| Реферат на тему:
Інтегрування і пониження порядку деяких ДР
з вищими похідними.
1. ДР що містять n-ту похідну від шуканої функції і незалежну змінну.
а) Розглянемо ДР (4.38)
Так як , то
Аналогічно , …..,
(4.39)
Остання формула дає розвязок загальний в області
Формулу (4.39) легко використати для знаходження розвязків задачі Коші з начальними умовами
(4.40)
Цей розвязок представляється в вігляді (4.41)
Ф-я
являється частиним розвязком ДР (4.38) з початковими умовами
яким відповідають константи
Для обчислення використовують ф-лу Коші
(4.42)
Дійсно інтеграл
можна розглядати як повторний інтеграл в заштрихованій області (мал. 1).
Міняючи порядок інтегрування, отримаємо
Аналогічно обчислюємо
.. і. т. д.
Приходимо до ф-ли (4.42)
Таким чином розвязок (4.41) записується у вигляді
Загальний розвязок ДР (4.38) можна також записати через невизначений інтеграл
Пр. 4.4 Розвязати рівняння
Послідовно знаходимо ,
б) Розглянемо випадок (4.43)
в якому співвіднощення (4.43) не можна розвязати відносно в елементарних ф-ях, або вирази для будуть досить складними.
Припустимо, що ДР (4.43) допускає параметризацію (4.44)
(4.44),
де та такі, що
Проводимо обчислення ,
Аналогічно обчислюємо
Остаточно маємо
(4.45) -загальний зорвязок в параметричній формі.
Відмітимо два випадки, в яких ДР (4.43) легко параметрмзується
I.(4.46)(частинні випадки )
II. (4.47), де і -однорідні ф-ї відповідного
виміру і .
Покладемо (4.48)
і розвяжемо р-ня (4.47) відносно через :
Піставляючи в (4.48), отримаємо (4.49)
Дальше вищеотриманим способом знаходимо загальний розвязок в параметричній формі.
Пр. 4.5 Розвязати р-ня
Зробимо заміну
остаточно маємо
2. Інтегрування ДР, які не містять шуканої ф-ї та похідної.
Розглянемо ДР (4.50), в якому є .
Введемо нову змінну (4.51)
отримаємо (4.52)
тобто ми понизили порядок ДР (4.50) на одиниць.
Припустимо, що ми розвязали ДР (4.52) і визначили (4.53)
Тоді р-ня (4.54)
інтегруємо і отримаємо загальний розвязок (4.55)
Якщо замість загального розвязку (4.53) можна знайти загальний інтеграл (4.54)
то отримаємо ДР типу (4.43)
Розглянемо два частичних випадка відносно ДР (4.50) :
а) ДР вигляду
якщо ДР (4.51) можна розвязати відносно :
(4.52)
то поклавши перейдемо до р-ня
Якщо - загальний розвязок останнього р-ня, то остотаточно маємо р-ня вигляду (4.38)
Припустимо, що ДР (4.51) не можна записати в вигляді (4.52), але воно допускає параметризацію (4.53)
то з співвідношення знаходимо
Звідки (4.54)
ДР (4.54) вигляду (4.44) і розвязки можна отримати в параметричній формі.
б) ДР вигляду (4.55)
Нехай ДР (4.55) можно розвязати відносно
(4.56)
Позначимо і перейдемо до ДР (4.57)
Домножимо (4.57) на :
Звідки . Отже
з якого визначимо
.
Останнє ДР є р-ням з відокремлюваними змінними.
Знайшовши з нього
ми остаточно переходимо до ДР вигляду (4.38).
(4.58)
Припустимо, що ДР (4.55) не можна розвязати відносно але для нього можлива параметризація
Запишемо співвідношення
Домножимо першу рівність на :
Звідки.
Отже маємо
Прийшовши до отсанньої рівності ми отримаємо а)
3. Пониження порядку ДР які не містять незалежної змінної.
Ці ДР мають вигляд (4.59)
і його можна понизити на один порядок заміною
При цьому стане незалежною зміною, а - функцією
Обчислюємо
…..
і остаточно прийдемо до ДР порядку
Якщо - розвязок ДР (4.60) то
Інтегруємо ДР (4.61) і знайдемо загальний інтеграл.
Особливі зорвязки можуть появлятися при інтегруванні ДР (4.61). При переході до ДР (4.60) ми можимо загубити розвязки .
Для їх знаходження необхідно розвявати р-ня .
Якщо - розвязок однорідного р-ня, то - розвязок ДР (4.59)
Пр. 4.6 Розвязати р-ня
Вводимо змінну , ,
,
звідки , отже, ,
-загальний інтергал рівняння.
4. Однорідні ДР відносно шуканої ф-ї та її похідних.
Так називаються ДР вигляду в якому являється однорідною ф-єю відносно , тобто маємо
Шляхом заміни ДР (4.62) можна понизити на один порядок.
Обчислюємо
Тому ДР (4.62) прийме вигляд
(4.63)
Скорочуючи на ( при може бути розвязком ДР (4.62)), перейдемо до ДР порядку .
Якщо – загальний розвязок останнього ДР, то
звідки (4.64) – загальний розвязок ДР (4.62). Розвязок міститься в формулі (4.64) при .
Пр 4.7 Знайти загальний розвязок ДР
Це ДР являється однорідним відносно шуканої ф-ї і її похідних, тому .
Маємо ДР Бернулі – .
Інтегруючи отрімаємо , Звідки . Наше ДР має розвязок який не міститься в знайденому загальному інтергалі.
4. ДР, ліва частина якого є точна похідна.
Припустимо, що ДР (4.62), його ліва частина, є точна похідна по від деякої ф-ї , тобто ,
тоді ДР (4.62) має перший інтерграл (4.64) так, що яого порядок можна понизити на одиницю.
Пр 4.8 Розвязати ДР
Маємо , ,, – загальний інтеграл. Якщо ліва частина ДР (4.62) не являється точною похідною, то в деяких випадках можна знайти ф-ю , після домноження на яку р-ня (4.62), його ліва частина буде точною похідною. Ця ф-я називається інтергрувальним множником. Якщо ми знаємо ф-ю , то можна знайти не тільки перший інтеграл, а й особливі розвязки, які знаходяться з р-ня
Пр 4.9 Знайти загальний розвязок ДР .
Візьмемо , тоді .
При цьому , - розвязки нашого ДР.
Маємо .
- перший інтерал.
, загальний інтергал.
Особливих розвязків немає, так як ДР приводіть до розвязків , які містяться в загальному.
|