Реферат на тему:
Функція, границя функції
Означення.
Якщо кожному елементу x
з області визначення D
за деяким правилом поставлено у відповідність один і тільки один елемент y
з області значень E
, то говорять, що задано функцію y=f
(
x
)
.
Функцію на практиці задають таблично, графічно, аналітично (за допомогою формули).
Приклад
. Залежність (функцію) прибутку від витрат на рекламу задана такою таблицею:
Витрати на рекламу
x
|
Прибуток
f
(x
)
|
| 50 |
80 |
| 100 |
220 |
| 140 |
240 |
| 160 |
210 |
| 200 |
160 |
Областю визначення цієї функції є множина D
={50;100;140;160;200}, областю значень – множина E
={80;220;240;210;160} .
Приклад
. Залежність (функція) Q
(
p
)
попиту Q
на товар від його ціни p
задана графіком (рис. 4.1).
Q
Q
1
Q
2
p
1
p
2
p
Рис. 4.1.
Областю визначення цієї функції є відрізок D
=[p
1
;p
2
] , а областю значень – відрізок E
=[Q
1
;Q
2
] .
Приклад
. Загальні витрати TC
на виробництво Q
одиниць продукції є функцією, що задана аналітично:
TC
(Q
) = 20 + 5Q
,
де 20 ‑ це фіксовані витрати (опалення, зарплата сторожеві, тощо), а 5 – це змінні витрати (витрати на кожну одиницю продукції).
Означення.
Число b
називається границею функції y=f
(x
) в точці a
, якщо для довільної послідовності {x
n
} , що збігається до точки (числа) a
, відповідна послідовність значень функції {f
(x
n
)} буде збігатися до числа b
.
Використовують позначення
За допомогою кванторів ∃ та ∀ це означення можна записати так:
≡ (∀e>0)(∃d>0)(∀x
)[|x
-a
|<d® |f
(x
)-b
| <e]
Приклад.
Розглянемо функцію .
і співпадає із значенням y
(1) = 2 ;
;
не існує.
Приклад
. Розглянемо функцію .
Тут , хоча y
(10)=5.
Границі функцій мають такі властивості:
1. якщо існують границі та , то
;
2. якщо існують границі та , то
;
3. якщо існують границі та , причому , то .
Означення.
Функція y
=f
(x
) називається неперервною в точці x
= a
, якщо існує границя цієї функції в точці a
і
Приклад
. Зарплата W
продавця залежно від кількості x
проданого товару (рис. 4.2) є функцією вигляду
W
50 x
Рис. 4.2.
Функція W
(x
) у точці x
=50 не є неперервною (вона має розрив). Справді, хоча W
(50)=200 , проте границі не існує.
Приклади
обчислення границь:
(тут використано властивість неперервності функцій та y
=x
2
);
2) знайти . Безпосередньо застосувати третю властивість не можна, оскільки , тому спершу скорочуємо дріб.
Тепер ;
3).
|