Курсовая работа: Еліптичні інтеграли
Название: Еліптичні інтеграли Раздел: Рефераты по математике Тип: курсовая работа | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Міністерство освіти і науки України Південноукраїнський державний педагогічний університет ім. К.Д.Ушинського (м. Одеса) Кафедра математичного аналізу Курсова робота на тему: „Еліптичні інтеграли” виконала студентка 4 курсу інституту фізики і математики спеціальності „МІ” Сушкова О.А. Науковий керівник: Аров Д.З. Одеса 2007 План Вступ 1.Загальні зауваження та означення 2.Допоміжні перетворення 3.Приведення до канонічної форми 4. Еліптичні інтеграли 1-го, 2-го і 3-го роду Висновки Література Додатки Вступ У багатьох питаннях науки і техніки доводиться не по заданій функції шукати її похідну, а навпаки – відновлювати функцію по відомій її похідній. Дамо наступне означення: Функція F(x) на даному проміжку називається первісною функцією для функції f(x) або інтегралом від f(x), якщо на всьому цьому проміжку f(x) являється похідною для функції F(x) або, що те ж саме, f(x)dx служить для F(x) диференціалом F’(x )= f(x) або dF(x )= f(x)dx. Пошук для функції всіх її первісних, що називається інтегруванням її, і складає одну з задач інтегрального числення; як бачимо, ця задача являється оберненою основній задачі диференціального числення. Так, наприклад, для обчислення довжини дуги еліпса чи деякої її частини необхідно розв’язати певні еліптичні інтеграли, яким і присвячена дана курсова робота. 1. Загальні зауваження та означення Розглянемо інтеграл виду
де y це алгебраїчна функція від х, тобто задовольняє алгебраїчному рівнянню
(тут Дійсно, функції задовольняють, відповідно, алгебраїчним рівнянням Виходячи на геометричну точку зору, абелев інтеграл (1) вважають зв’язаним з тою алгебраїчною кривою, яка визначається рівнянням (2). Наприклад, інтеграл
зв’язаний з кривою другого порядку Якщо крива (2) може бути представлена параметрично так, що функції
До цього класу відносяться обидва вище згадані випадки. В окремому випадку, можливість раціоналізації підінтегрального виразу в інтегралі типу (3) зв’язана безпосередньо з тим фактом, що крива другого порядку унікурсальна. Очевидно, що змінні x і t зв’язані алгебраїчним рівнянням, так що t являється алгебраїчною функцією від х. Якщо розширити клас елементарних функцій, включаючи в нього і всі алгебраїчні функції, то можна сказати, що в випадку унікурсальності кривої (2), інтеграл (1) завжди виражається через елементарні функції в кінцевому виді. Але подібні обставини являються в деякому розумінні винятком. В загальному випадку крива (2) не унікурсальна, тоді ж, як можна довести, інтеграл (1) заздалегідь не завжди, тобто не при всякій функції R, може бути вираженим в кінцевому виді (проте не виключена можливість цього при окремих конкретних R). З цим ми зустрічаємося уже при розгляді важливого класу інтегралів
які містять квадратний корінь з многочленів 3-ої або 4-ої степені і звичайно прилягаючих до інтегралів (3). Інтеграли виду (4) , як правило , уже не виражаються в кінцевому вигляді через елементарні функції навіть при розширеному розумінні цього терміну. Тому, знайомство з ними ми віднесли до заключного параграфу, щоб не переривати головної лінії викладення даної глави, присвяченої, головним чином вивченню класів інтегралів, що беруться в кінцевому вигляді. Многочлени під коренем в (4) передбачаються такими, що мають дійсні коефіцієнти. Крім того, ми завжди будемо вважати, що у них не має кратних коренів, бо інакше, можна було б винести лінійний множник з під знаку кореня; питання звелося б до інтегрування виразу раніше вивчених типів, і інтеграл виразився б у кінцевому вигляді. Кінцева обставина може мати місце інколи і при відсутності кратних коренів; наприклад, легко перевірити, що Інтеграли від виразів типу (4) взагалі називають еліптичними в зв’язку з тією обставиною, що вперше з ними зіткнулися при розв’язанні задачі про спрямування еліпсу: Еліпс: Зручніше буде взяти рівняння еліпса в параметричній формі де Обчислюючи довжину дуги еліпса від верхнього кінця малої осі до будь-якої його точки в першому квадранті, отримаємо
Таким чином, довжина дуги еліпса виражається еліптичним інтегралом 2-го роду; як вказувалося, цей факт послужив поводом для самої назви „еліптичний”. В частковому випадку, довжина чверті обводу еліпса виражається через повний еліптичний інтеграл
Між іншим, цю назву, в прямому розумінні, відносять зазвичай лише до таких із них, що не беруться в кінцевому вигляді; інші ж, подібні тільки що приведеним, називають псевдоеліптичними. Вивчення і табулювання ( тобто складання таблиць значень) інтегралів від виразів (4) при довільних коефіцієнтах a, b, c,…, розуміється складно. Тому звичайно бажання звести всі ці інтеграли, до небагатьох таких, до складу яких входило б по можливості менше довільних коефіцієнтів (параметрів). Це досягається за допомогою елементарних перетворень, які ми розглянемо в наступних пунктах. 2. Допоміжні перетворення Зазначимо перш за все, що достатньо обмежитися випадком многочлена 4-ї степені під коренем, так як до нього легко приводиться випадок, коли під коренем многочлен 3-ї степені. Розглянемо, взагалі, алгебраїчне рівняння непарної степені (з дійсними коефіцієнтами)
При достатньо великих по абсолютній величині значеннях xмногочлен має знак старшого члена, тобто при додатному x – знак Дійсно, многочлен 3-ї степені Підстановка В першу чергу ми будемо розглядати лише диференціали, що мають корінь із многочленів 4-ї степені. По відомій теоремі алгебри, многочлен четвертої степені з дійсними коефіцієнтами може бути представленим у виді добутку двох квадратних трьохчленів з дійсними коефіцієнтами:
Постараємось тепер необхідною підстановкою знищити в обох трьохчленах відразу члени першої степені. Якщо р=р’, то наша ціль досягається простою підстановкою Можливість встановити дійсні і при чому різні значення для коефіцієнтів μ і ν зумовлена нерівністю
Нехай же тепер трьохчлени (5) обидва мають дійсні корені, скажемо, перший – корені α і β, а другий корені γ і δ. Підставляючи можна переписати (6) у вигляді
а для здійснення цієї нерівності достатньо лише потурбуватися, щоб корені трьохчленів не перемежались (наприклад, щоб було α > β > γ > δ ), що в наших можливостях. Таким чином, належно вибравши μ і ν, за допомогою вказаної підстановки ми отримаємо що можна також (якщо виключити випадки, коли який-небудь з коефіцієнтів M, N, M’, N’ виявляються нулем) переписати у виді при А, m іm’ відмінних від нуля. Цей інтеграл можна звести, з точністю до інтеграла від раціональної функції, до такого Розкладемо тепер раціональну функцію R*(t) на два доданки Перший доданок не міняє свого значення при заміні tна –t, значить, зводиться до раціональної функції від Але другий із них підстановкою і береться в кінцевому виді. Таким чином, подальшому дослідженню підлягає тільки інтеграл
3. Приведення до канонічної форми Покажемо, нарешті, що кожен інтеграл типу (7) може бути представленим у формі
де k – деякий додатній правильний дріб: 0<k<1. Назвемо цю форму канонічною. Введемо скорочено Не зменшуючи загальності, дозволяється вважати тут А = ± 1; крім того, для визначеності обмежимося додатніми значеннями t. Розглянемо тепер різні можливі комбінації знаків A, m, m’ і вкажемо для кожного випадку підстановку, що безпосередньо приводить інтеграл (7) в канонічну форму. 1) А = +1,
Тоді так, що за kтут треба прийняти 2) А = +1, Припускаємо, що
Тоді і можна взяти 3) А = +1,
В цьому випадку і 4) А = -1,
так, що і 5) А = -1,
Маємо і Відмітимо ще, що розглядаючи інтеграл (8), ми можемо обмежуватися значеннями z<1; випадок 4. Еліптичні інтеграли 1-го, 2-го і 3-го роду Тепер залишається вивчити найпростіші з інтегралів виду (8), до яких можна було б звести всі інтеграли цього виду, а відповідно, в кінцевому рахунку, і взагалі, всі еліптичні інтеграли. Виділимо з раціональної функції R(x), що зустрічається в підінтегральному виразі (8) цілу частину P(x), а правильний дріб, який входить до його складу, розкладемо на прості дроби. Якщо не об’єднувати спряжені комплексні корені знаменника, а розглядати їх окремо, як дійсні корені, то R(x) представиться у вигляді суми степенів
і Зупинимося на інтегралах то отримаємо рекурентне співвідношення
що зв’язують три послідовні інтеграли І. Припускаючи що тут n=2, виразимо де
де Зауважимо, що з (9) можна було б виразити через Переходячи до інтегралів справедливе і при від’ємних і нульовому значеннях m. Звідси всі тобто, кінцево через Підкреслимо, що усе це зберігає силу і при уявних значеннях параметра а. Так в результаті усіх наших тверджень ми підходимо до наступних висновків: всі еліптичні інтеграли за допомогою елементарних підстановок – з точністю до доданків, що виражаються в кінцевому виді, - приводяться до наступних трьох стандартних інтегралів:
( останній інтеграл виходить із Лежандр вніс у ці інтеграли ще подальші спрощення, виконавши в них підстановку
Другий перетворюється так: тобто приводиться до попереднього інтеграла і до нового інтеграла
Нарешті, третій інтеграл при вказаній підстановці переходить в
Інтеграли (11), (12) і (13) також називаються еліптичними інтегралами 1-го, 2-го і 3-го роду – в формі Лежандра. Із них особливо важливе значення і застосування мають перші два. Якщо враховувати, що ці інтеграли при Лежандром були складені обширні таблиці значень цих функцій при різних Крім того, як Лежандром, так і іншими вченими були вивчені найглибші властивості цих функцій, встановлений ряд формул, що відносяться до них, і т.д. Дякуючи цьому функції F і E Лежандра ввійшли в сім’ю функцій, що зустрічаються в аналізі і його додатках, на рівних правах з елементарними функціями. Висновки В результаті усіх наших міркувань ми коротко можемо сказати, що всі еліптичні інтеграли за допомогою елементарних підстановок – з точністю до доданків, що виражаються в кінцевому виді, - приводяться до наступних трьох стандартних інтегралів Лежандра:
А за допомогою підстановки
які також називаються еліптичними інтегралами 1-го, 2-го і 3-го роду в формі Лежандра, значення яких можна знайти в таблицях. Використана література: 1. Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том I. М.: Наука, 1966 г., 800 стр. с илл. 2. Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том II. М.: Наука, 1966 г., 800 стр. с илл. 3. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1973 г., 832 стр. с илл. 4. И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. М.: Наука, 1980 г., 976 с., илл. ДОДАТКИЕліптичні інтеграли першого роду
Еліптичні інтеграли другого роду
Повні еліптичні інтеграли
|