Курсовая работа: Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра
Название: Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра Раздел: Рефераты по коммуникации и связи Тип: курсовая работа | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. Краткое математическое описание методов расчёта Цифровой фильтр полностью описывается своим разностным уравнением: (1) Для нерекурсивного цифрового фильтра и уравнение принимает вид: (2) Зная коэффициенты разностного уравнения, можно легко получить выражение для передаточной функции фильтра (для НЦФ): (3) Для образа выходного сигнала НЦФ справедливо выражение , (4) где – z-преобразования выходного и входного сигналов фильтра. Зная выражение (4) и учитывая, что z-преобразование функции единичного скачка равно 1, можно получить выражение для z-образа импульсной характеристики : (5) Из (5) следует, что отсчеты импульсной характеристики НЦФ численно равны коэффициентам разностного уравнения НЦФ, а сама импульсная характеристика и передаточная функция связаны парой z-преобразований (прямым и обратным). Заменив в (4) z на , получим комплексную частотную характеристику: (6) Импульсная характеристика и комплексная частотная характеристика связаны парой преобразований Фурье: (7) (8) Из комплексной частотной характеристики можно получить выражения для АЧХ и ФЧХ: (9) (10) Во все вышеприведённые формулы входит интервал квантования . Чтобы от него избавиться, частоту обычно нормируют. Это можно сделать с помощью замены: (11) Так как интервал определения , то интервал определения . Исходными данными для проектирования фильтра является его АЧХ. Как правило, в зонах неопределённости АЧХ некоторым образом доопределяют с тем, чтобы избежать явления Гиббса («выбросы» характеристики в точках разрыва первого рода – «скачках»). В простейшем случае доопределить АЧХ можно линейным законом. В этом случае АЧХ проектируемого полосового фильтра будет выглядеть таким образом. Аналитически АЧХ будет записываться в виде: (12) При проектировании часто полагают, что ФЧХ фильтра является линейной. В [1] показывается, что в этом случае импульсная характеристика фильтра является либо симметричной (), либо антисимметричной (). Учитывая, что порядок фильтра может быть чётным и нечётным, существует четыре вида ИХ с линейной ФЧХ: 1. N – нечётное, ИХ – симметричная 2. N – чётное, ИХ – симметричная 3. N – нечётное, ИХ – антисимметричная 4. N – чётное, ИХ – антисимметричная цифровой фильтр выборка частотный Основная идея метода частотной выборки – замену в выражениях (7) и (8) непрерывную частоту дискретизированной. В этом случае выражения (7) и (8) превращаются в пару дискретных преобразований Фурье: (13) (14) Существует 2 метода дискретизации частоты (выражения записаны для нормированной частоты): (15) (16) Выражения (13) и (14) записаны для первого метода дискретизации частоты. По условию задания необходимо использовать второй метод дискретизации частоты, в этом случае выражение (14) приобретает вид: (17) Из (17) следует, что для определения импульсной характеристики необходимо знать частотную характеристику. Её можно записать в показательной форме: (18) (19) При чётном N: (20) При нечётном N: (21) Подставляя вместо , по выражениям (20) и (21) можно найти , а из (17) – . 1.3 М етод наименьших квадратов При расчете коэффициентов импульсной характеристики используется формула вида: после чего решается система уравнений: и находятся коэффициенты Ск. Далее из найденных Ск можно найти коэффициенты импульсной характеристики: 2.1 Расчёт методом частотной выборки 2.1.1 Расчёт импульсной характеристики Расчёт импульсной характеристики для нечётных N осуществлялся по формулам (21) и (17), для чётных – по формулам (20) и (17). Результаты расчёта импульсной характеристики для N=15, 25 и 32 представлены в таблице 1. Таблица 1. Результаты расчёта импульсной характеристики методом частотной выборки
Расчёт АЧХ и ФЧХ осуществлялся по формулам (9) и (10) для 50 значений частоты , взятой с шагом 0,01 (). На рисунках приведены графики рассчитанной АЧХ фильтра. Для расчёта точности аппроксимации запишем функцию ошибки аппроксимации: , (32) В таблице 2 приведены результаты расчёта точности аппроксимации . Таблица 2. Результаты расчета точности аппроксимации для метода частотной выборки График функции точности аппроксимации для N=25 Максимальные ошибки аппроксимации (абсолютная погрешность) для трёх значений N приведены в таблице 3: Абсолютная погрешность аппроксимации АЧХ, рассчитанной методом частотной выборки
2.2 Расчёт методом наименьших квадратов 2.2.1 Расчёт импульсной характеристики Результаты расчёта импульсной характеристики для N=13, 25 и 32 представлены в таблице. Учитывая симметрию импульсной характеристики, приведена только половина отсчётов. Результаты расчёта импульсной характеристики методом наименьших квадратов
Расчёт АЧХ и ФЧХ осуществлялся по формулам (9) и (10) для 50 значений частоты , взятой с шагом 0,01 (). Заданная по условию и рассчитанная АЧХ фильтра для N=25 (метод наименьших квадратов) 2.2.3 Расчёт точности аппроксимации Точность аппроксимации оценивалась по формуле (32). В таблице (5) приведены результаты расчёта Результаты расчета точности аппроксимации для метода наименьших квадратов В таблице 6 приведена максимальная (абсолютная) погрешность аппроксимации для различных значений N. Абсолютная погрешность аппроксимации для метода наименьших квадратов
Сравнивая результаты расчётов точности аппроксимации, приведённые в таблицах 2 и 6, можно сделать вывод, что метод наименьших квадратов обеспечивает более точную аппроксимацию при N=25 амплитудно-частотной характеристики по сравнению с методом частотной выборки. С увеличением порядка фильтра N точность аппроксимации увеличивается для обоих методов, но точность метода наименьших квадратов начинает уменьшаться по сравнению с методом частотной выборки. В данной курсовой работе был рассмотрен расчёт нерекурсивного цифрового фильтра двумя методами: методом наименьших квадратов и методом частотной выборки. Результаты расчётов точности аппроксимации для каждого метода позволяют сделать следующие выводы: · Точность аппроксимации увеличивается с увеличением N (порядка фильтра) · Метод наименьших квадратов обеспечивает более точную аппроксимацию при средних значениях N. |