Контрольная работа: Кручение упругопластического стержня

В данной работе исследуется задача о кручении упругопластического стержня. Рассмотрим очень длинный стержень. Выделим участок длины из его середины, далеко от концов. Получившийся цилиндр приведен на Рис.1.

Рис.1 Стержень длины h

– основание стержня, описываемое уравнением ,

– боковая поверхность стержня.

Сделаем следующие предположения:

1. стержень сделан из изотропного материала;

2. на стержень не действуют объемные силы;

3. боковая поверхность свободна от нагружений;

4. на и ;

5. на ;

6. на ;

7. на ;

Из второго условия следует, что уравнение равновесия запишется в виде:

(1.1)

Тогда допустимые поля напряжений принадлежат множеству

(1.2)

Последние два условия задают поворот точек верхнего сечения вокруг оси , где – угол закрутки на единицу длины.

В соответствии с принципом Хаара-Кармана поле минимизирует функционал

(1.3)

Можно показать, что решение этой задачи таково, что все компоненты , кроме и , равны нулю. Тогда из уравнений равновесия остается только одно:

(1.4)

Введем функцию тока и положим:

Тогда уравнение (1.4) автоматически выполнено.

Уравнения на части границы можно представить в виде:

(1.5)

С другой стороны, (1.6)

Следовательно, , т.е. на границе . Не умаляя общности, можем положить на . Значит, .

Рассмотрим условие пластичности Мизеса:

, – предел текучести материала. (1.7)

В данном примере, . Отсюда, почти везде на . Переформулировав условие Мизеса в терминах , получаем

(1.8)

В итоге принцип Хаара-Кармана приводит к следующей вариационной задаче:

З1 : Найти такое, что достигает минимума функционал

где , (1.9)

– коэффициент Пуассона. Не умаляя общности, можем положить .

Если ввести билинейную форму , элемент и скалярное произведение , то задача З1 запишется в виде

(1.10)

или в форме вариационного неравенства: (1.11)

2. Математическая корректность

Теперь покажем, что задача З1 математически корректна.

Задача называется математически корректной, если выполнены три условия:

1) ее решение существует (условие существования);

2) решение единственно (условие единственности);

3) решение задачи непрерывно зависит от данных задачи (условие устойчивости).

Проверим выполнение всех трех условий.

2.1 Существование решения

Существование решения обеспечивается теоремой вариационного исчисления о том, что полунепрерывный выпуклый функционал достигает своей точной нижней грани на непустом, выпуклом, замкнутом подмножестве рефлексивного банахова пространства.

(2.1.1)

– рефлексивное банахово пространство,

Подмножество является непустым, замкнутым и выпуклым множеством.

Покажем, что – непрерывный и выпуклый функционал.

(2.1.2)

Пусть : в

Тогда в и в , при

Следовательно, ,

т.е. функционал является непрерывным.

Покажем выпуклость функционала, используя его запись в общем виде.

(2.1.3)

Таким образом, все условия указанной выше теоремы выполнены, и, следовательно, задача З1 имеет решение.

2.2 Единственность решения

Утверждение 1. Билинейная форма – V-эллиптическая.

Доказательство: (в силу эквивалентности норм в пространстве );

Утверждение 2. Решение задачи З1 единственно.

Доказательство:

Будем доказывать это утверждение от противного.

Пусть существуют различные , которые доставляют минимум функционалу .

Тогда, из (1.11) выполнено: (2.2.1)

(2.2.2)

Подставим в (2.2.1) вместо , в (2.2.2) вместо .

Получим (2.2.3)

(2.2.4)

Умножим (2.2.4) на -1:

Отсюда,

Форма – эллиптическая, .

Окончательно,

2.3 Устойчивость решения

Решение должно удовлетворять неравенству (2.3.1)

Перепишем неравенство (2.3.1) как (2.3.2)

Неравенство (2.3.2) выполняется для : (2.3.3)

Оценим правую часть неравенства (2.3.3) сверху:

(2.3.4)

Левую часть (2.3.3) оценим снизу:

(2.3.5)

Тогда (2.3.6)

- первое основное неравенство

3. Аппроксимация

, иначе

Рассмотрим семейство конечномерных пространств , каждое из которых является внутренней аппроксимацией пространства .

Будем строить по схеме метода конечных элементов.

Построим триангуляцию области . В результате получим область, где – число треугольников в разбиении, – i-тый треугольник разбиения.

Для каждого узла триангуляции построим аффинную функцию , обладающую следующими свойствами:

2. , где – вершины, смежные с

3. , где – семейство полиномов первого порядка.

Составим пространство из построенных функций .

Теперь необходимо аппроксимировать множество , заданное формулой (1.9).

Пусть . Тогда .

Покажем, что множество аппроксимирует .

От противного: Пусть такие, что

Но, по свойству предельной плотности

. Следовательно, , т.е. .

Отсюда, по лемме о сохранении строгих неравенств требуемое свойство выполнено.

2) слабо.

(конечномерное пространство), значит сильно,

Запишем задачу З1 : найти такое, что

Наряду с ней сформулируем задачу З2 :

найти такое, что

При сделанных предположениях относительно .

4. Численный метод

Для решения задачи З2 будем использовать метод штрафа.

Исходная вариационная задача: (4.1)

Построим вспомогательный функционал

(4.2)

– функция штрафа. (4.3)

, если

Тогда вместо решения задачи (4.1) можем решать задачу . По свойствам функционала ее решение существует и единственно.

Кроме того, – выпуклая, дифференцируемая по Гато функция [2].

Производная Гато функции :

Тогда задача эквивалентна решению уравнения

(4.4)

(4.5)

Можно показать, что – монотонный оператор и , если [3].

Следовательно, решение вариационной задачи .

Замечания по реализации:

Неизвестную функцию решения будем искать в виде:

, (4.6) где – число узлов триангуляции,

– значение функции в i-том узле,

– базисная функция из пространства .

Тогда задача минимизации функционала (4.2) превратится в задачу многомерной минимизации по :

5. Тесты

Алгоритм для нахождения минимума функционала (4.2) реализован в среде Matlab.

Были проведены расчеты для различных форм сечений стержня (области ): круга, квадрата и треугольника.

В случае если сечение стержня – круг, то известно аналитическое решение задачи.

1) . Точное решение задачи .

На рис. 2-5 продемонстрированы численные решения задачи при разных разбиениях .

Рис.2 Число узлов = 29

Рис.3 Число узлов = 146

Рис.4 Число узлов = 270

Рис.5 Число узлов = 549

Для оценки погрешности решения введем величину , характеризующую относительную погрешность.

Здесь – точное решение, – численное решение;

, где – число узлов.

В таблице 1 приведены результаты сравнения численного и точного решения.

№ теста	Число элементов	Число узлов	Относит.погрешность
1	40	29	0.03035
2	258	146	0.00631
3	490	270	0.01735
4	1032	549	0.00219

Таблица 1 Результаты сравнения (1).

2) . Точное решение задачи .

На рис. 6-9 продемонстрированы численные решения задачи при разных разбиениях .

Рис.6 Число узлов = 29

Рис.7 Число узлов = 146

Рис.8 Число узлов = 270

Рис.9 Число узлов = 549

Как и в первом примере, вычислена относительная ошибка, см. Таблицу 2.

№ теста	Число элементов	Число узлов	Относит.погрешность
1	40	29	0.18035
2	258	146	0.08561
3	490	270	0.04981
4	1032	549	0.03484

Таблица 2 Результаты сравнения (2).

3) На Рис.10-11 изображены численные решения задачи для стержня с квадратным сечением,

Рис.10 Число узлов = 27

Рис.11 Число узлов = 177

4) На Рис.12 изображено численное решение задачи для стержня с треугольным сечением,

Рис.12 Число узлов = 144

Выводы

В ходе выполнения данной работы была изучена задача о кручении упругопластического стержня.

Показано, что решение задачи существует и единственно.

Предложен метод численного решения поставленной задачи, основанный на применении конечноэлементного подхода для перехода от бесконечномерной задачи к конечномерной, а также на применении метода штрафа для минимизации целевого функционала.

Проведены различные численные эксперименты; для случая, когда известно аналитическое решение задачи, вычислена относительная ошибка численного решения по сравнению с точным.

Список литературы

Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. – М.:Мир, 1980.
Гловински Р., Лионс Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. – М.:Мир, 1979.
Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – М.:Мир, 1972.