С.К. Соболев
Матричный способ решения СЛАУ, формулы Крамера, свойство присоединенной матрицы и основное свойство линейной зависимости.
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ
), содержащую
т
уравнений и п
неизвестных:
 (1)
Пусть
– матрица коэффициентов при неизвестных, столбец свободных членов
(чисел стоящих справа от равенства в системе (1)) и столбец неизвестных соответственно системы (1). Матрица А
называется основной матрицей
системы (1). Тогда очевидно, что система (1) может быть кратко записана в матричной форме
 . Форма (1) называется координатной
записью системы.Если  , т.е. число уравнений равно числу неизвестных, то СЛАУ называется «квадратной
», она принимает вид:
 (2)
Если же матрица А
к тому же не вырождена, т.е.  , то тогда СЛАУ (2) можно решить как матричное уравнение  по формуле
 . (3)
Этот метод называется матричным способом решения
СЛАУ (2). 
Пример.
Решить систему матричным способом, если это возможно:
Решение
. Запишем эту систему как матричное уравнение , где
 ,  . Вычисляем:  , следовательно, матричный способ применим. Находим обратную матрицу:
Следовательно,
 .
Ответ:
Формулы Крамера для решения СЛАУ
Эти формулы применимы для решения СЛАУ при тех же условиях, что и матричный способ, а именно, когда матрица А коэффициентов при неизвестных этой СЛАУ квадратная и не вырожденная
. Для нахождения неизвестных квадратной системы (2) надо вычислить главный определитель  , убедиться что  , и затем вычислить п
вспомогательных определителей  , где определитель  ( ) получается из главного определителя заменой в нем k
-го столбца на столбец В
свободных членов:
Тогда решением системы (2) будет:  .
Вывод формул Крамера
. Распишем подробно формулу (3) .
Вспомним, что  , где  – алгебраическое дополнение элемента  , равное  , а  – определитель порядка  , полученный из главного определителя в вычеркиванием i
-й строки и j
-го столбца. Получим
 .
Итак, матричный способ дает формулу
 (4)
Сравним эту формулу с выражением для  , полученным по формуле Крамера:
 . (5)
Заметим, что у всех элементов k
-го столбца этого определителя алгебраические дополнения точно такие же, как и у элементов k
-го столбца матрицы А
. Поэтому, разложив определитель в (5) по этому столбцу, получим:
 . (6)
Полученная формула (6) в точности совпадает с (4). Формулы Крамера доказаны.
Пример.
Решить систему  методом Крамера, если это возможно:
Решение
. Вычислим главный определитель системы:  , следовательно, метод Крамера применим. Далее вычислим три вспомогательных определителя:
Следовательно,  .
Дополнение 1.
При выводе на лекции в ауд. 220 формулы для обратной матрицы через алгебраические дополнения использовалось основное свойство присоединенной матрицы
 .
Доказательство этого свойства, в свою очередь, опиралось на два свойства определителя:
(1) Сумма произведений элементов произвольной строки квадратной матрицы на соответствующие алгебраические дополнения этой же
строки равна определителю этой матрицы (и аналогично для столбцов)
:
 (разложение по i
-й строке),
 (разложение по j
-му столбцу)
(2) Сумма произведений элементов произвольной строки квадратной матрицы на соответствующие алгебраические дополнения другой
строки равна нулю (и аналогично для столбцов)
:
 , (для строк, при  ),
 (для столбцов, при )
Свойство (1) нам известно из общих свойств определителя, которые у нас идут без доказательства. Среди этих свойств есть, в частности, такое:
если в определителе две строки или два столбца совпадают, то он равен нулю
.
Теперь докажем свойство (2). Заменим в определителе
j
- строку на строку с номером i
. Понятно что после этого у полученного определителя  две одинаковые строки, и потому он равен нулю. Заметим также, что алгебраические дополнения изменённой j
-й строки не изменились, т.к. они не зависят от элементов этой строки. Разложим определитель по j
-й строке, получим:
Аналогично доказывается для столбцов.
Дополнение 2.
Относительно линейной зависимости векторов теории линейного пространства, просьба не путать:
Общий критерий линейной зависимости векторов произвольного линейного пространства:
Совокупность векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов выражается в виде линейной комбинации остальных.
Основное свойство линейной зависимости
: Пусть даны
n векторов линейного пространства  , и еще какие-то т векторов этого же пространства,  каждый из которых линейно выражается через , причем,  . Тогда векторы линейно зависимы
.
Доказательство этого свойства есть в лекциях, присланных на вашу Почту.
|