Реферат: Кинематика
Название: Кинематика Раздел: Рефераты по физике Тип: реферат | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Кинематика тема 1 кинематика точки 1.1 п редмет изучения С самого рождения и на протяжении всей своей жизни мы встречаемся с движением материи. Простейшей формой движения материи является механика. В разделе «кинематика» мы будем изучать только одну сторону механического движения – геометрическую, т.е. мы будем изучать геометрию движения тела без учета его массы и сил, действующих на него. Механически движение в общем смысле будет изучаться в разделе «динамика». Под движением в механике мы будем понимать перемещение данного тела в пространстве и времени по отношению к другим телам. Для определения положения движущего тела вводится система отсчета, связанная с телом, условно принимаемым за неподвижное. Движение тела происходит в пространстве и времени. Мы будем рассматривать трехмерное эвклидо пространство. За единицу длины в нем принимается 1 метр. Время считается универсальным, т. е. не зависящим от выбранной системы отсчета. За единицу времени принимается 1 секунда. В задачах механики время принимается за независимую переменную. Все остальные кинематические величины (расстояния, скорости, ускорения и т.д.) являются функциями времени. Прежде чем изучать движение его необходимо задать, т.е. описать каким-либо математическими формулами так, чтобы можно было узнать положение тела и все его кинематические характеристики в любой момент времени. Основная задача кинематики заключается в том, чтобы по известному закону движения тела (или какой-либо его точки) найти все остальные Изучение кинематики мы начнем с изучения движения простейшего тела – точки, т.е. такого тела, размерами которого можно пренебречь и рассматривать его как геометрическую точку. 1.2 Способы задания движения точки Мы будем рассматривать три способа задания движения: векторный, координатный и естественный. 1.2.1 Векторный способ Положение движущейся точки М определяется с помощью радиуса вектора , проведенного из некоторого неподвижного центра О в эту точку (рис. 1.1). В процессе движения этот вектор изменяется по величине и направлению, т.е. является функцией времени. Зависимость (1.1) называется уравнением движения (или законом движения) в векторной форме. Линия, описываемая концом этого вектора называется траекторией движения. 1.2.2 Координатный способ С неподвижным центром О связывается неподвижная система координат ОХ у Z . Положение точки определяется тремя координатами: х , у , z (рис. 1.2). В процессе движения эти координаты изменяются, т.е. они являются функциями времени. Зависимости х=f1 (t); у=f2 (t); z=f3 (t) (1.2) называются уравнениями движения точки в координатной форме. Эти уравнения являются одновременно параметрическими уравнениями траектории движения (параметром является t ). Чтобы получить уравнение траектории в явной форме, надо из уравнений (1.2) исключить параметр t. 1.2.3 Естественный способ При естественном способе задания движения траектория заранее известна. На траектории выбирается начало отсчета (т. 0) и устанавливается положи-тельное и отрицательное направления отсчета. Положение точки на траектории однозначно определяется криволинейной координатой S , измеряемой вдоль траектории. Зависимость S = f(t) (1.3) называется уравнением движения в естественной форме. 1.2.4 Связь между способами задания движения Координатный векторный способы связаны зависимостью: (1.4) где - единичные орты координатных осей. Переход от координатного способа к естественному: здесь: ; (т.е. здесь и в дальнейшем производная по времени обозначается точкой над буквой). 1.3 Определение скорости и ускорение точки при векторном задании движения Пусть точка за время переходит из положения М в положение М1 , двигаясь вдоль траектории (Рис. 1.4) называется вектором перемеще-ния. - средняя скорость. Например, вектор по хорде М М1 . если уменьшать промежуток времени , то хорда будет приближаться к касательной, а средняя скорость к мгновенной. Рис. 1.4 (1.6) Направлен вектор скорости по касательной к траектории. Определение ускорения: Пусть в положении М скорость , а в положении М1 (через время ) скорость . Приращение скорости (рис. 1.5). Среднее ускорение: Ускорение в данный момент (1.7) Лежит вектор ускорения в плоскости, проведенных через касательной к траектории в двух бесконечно близких точках. Эта плоскость называется соприкасающейся или плоскостью главной кривизны. 1.4 Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения при координатном способе задания движения: (а) с другой стороны: (б) Сравнивая (а) и (б) находим: ; ; (1.8) т.е. проекция вектора скорости на оси координат равны первым производным по времени от соответствующих координат. Величина скорости: (1.9) направление вектора скорости определяется с помощью направляющих косинусов, т.е. косинусов углов между вектором скорости и осями координат (рис. 1.6). (1.10) Аналогично ищем ускорения: Сравнивая (в), (г), (д) находим: (1.11) Проекция ускорения равны первым производным по времени от соответствующих проекций скорости или вторым производным по времени от соответствующих координат. Величина ускорения: (1.12) Направляющие косинусы: ; ; ; (1.13) 1.5 Определение скорости и ускорения точки при естественном задании движения Пусть за время точка переместилась из положения М в положение М1 , совершив перемещение (рис. 1.17). величина скорости точки: (1.14) Направлена скорость по касательной к траектории: Найдем ускорение точки. Пусть в положении М точка имеет скорость (рис. 1.8). Полное ускорение точки будет: Обозначим угол между касательными через (угол смежности). Спроецируем вектор ускорения на касательную и нормам п . Найдем эти пределы, учитывая, что при одновременно и и . где ρ – радиус кривизны траектории в данной точке. Подставив эти значения в ап получим: Т.о. величины касательного, нормального и полного ускорений определяется формулами:
Касательное ускорение направлено по касательной к траектории (в сторону скорости при ускоренном движении и противоположно скорости – при замедленном) и характеризует изменение величины скорости. Нормальное ускорение направлено по нормам к траектории к центру кривизны и характеризует изменение направления скорости. 1.6 Частные случаи движения точки По виду траектории движение делится на прямолинейное и криволинейное. При прямолинейном движении ап = 0, т.к. ρ = ∞. По изменению величины скорости движения делится на равномерные и неравномерные. Движение называется равномерным, если величина скорости постоянна (V=const ). Закон равномерного движения: S=S0 +Vt (1.18) Движение называется равномерным, если величина касательного ускорения постоянна. Т.о. равномерное движение описывается двумя формулами: (1.19) Нормальное ускорение направлено от данной точки к оси вращения Тема 2 Простейшие движения тела К простейшим движениям твердого тела относятся поступательное движение и вращательное движение вокруг неподвижной оси. 2.1 Поступательное движение твердого тела Поступательным называется такое движение тела, при котором любой отрезок прямой проведенной в теле перемещается параллельно самому себе. Это самое простое движение тела. Оно описывается одной теоремой: При поступательном движении тела все его точки описывают одинаковые, при наложении совпадающие траектории, и имеют одинаковые скорости и одинаковые ускорения. Доказательство: Проведем в теле произвольный отрезок АВ . При движении тела он остается параллельным самому себе (рис. 2.1). траектория точки А на величину АВ , т.е. они одинаковые. Проведем из неподвижного центра О радиусы-векторы точек А и В (), а также вектор из точки А в точку В . Очевидно, что Продифференцируем это векторное равенство по времени, учитывая, что . ; но , значит (2.1) дифференцируя (2.1) по времени: , получаем: (2.2) Так как точки А и В взяты произвольно, то все выводы справедливы для всех точек тела. Следовательно, при поступательном движении тела его можно считать точкой и пользоваться формулами кинематики точки. 2.2 Вращение тела вокруг неподвижной оси Вращательным называется такое движение тела, при котором хотя бы две точки, принадлежащие телу или жестко с ним связанные, во все время движения остаются неподвижными. Прямая, проходящая через эти две неподвижные точки называется осью вращения. Проведем через ось вращения две полуплоскости: неподвижную І и подвижную II, жестко связанную с телом и вращающуюся вместе с ним (рис. 2.2). Положением тела будет однозначно определяться углом φ между этими полуплоскостями. Угол φ называется углом поворота. Измеряется он в радианах. Положительное направление φ – против часовой стрелки, если смотреть навстречу оси Z . Зависимость φ = φ(t) (2.3) называется уравнением вращательного движения. Быстрота вращения характеризуется угловой скоростью ω . Средняя угловая скорость определяется как отношения приращения угла поворота ∆φ к промежутку времени ∆t , за который оно произошло. Угловая скорость в данный момент времени: (2.3) Вектор угловой скорости направлен по оси вращения в ту сторону, чтобы, глядя навстречу ему, мы видели вращение происходящей против часовой стрелки. Изменяется ω в радиан/сек. На производстве угловую скорость измеряют в об/мин. В этом случае она обозначается буквой «п». Формула перехода: (2.4) Изменение угловой скорости характеризуется угловым ускорением ε , которая определяется как первая производная от угловой скорости или вторая производная от угла поворота по времени: (2.5) Направлен вектор также по оси вращения в сторону при ускоренном и противоположном при замедленном вращении. Единица измерения – 1Рад/с2 . 2.3 Равномерное и равнопеременное вращение Вращение называется равномерным, если угловая скорость постоянна, т.е. ω = const . Закон равномерного вращения: φ=φ0 +ωt (2.6) Вращение называется равнопеременным, если угловое ускорение постоянно, т.е. ε = const . Но . Разделяя переменные и интеграции находим, что (2.7) Подставив сюда и еще раз интегрируя , получим уравнение переменного вращения: (2.8) 2.4 Скорости и ускорение точек вращающегося тела пусть за время dt тело повернулось на угол dφ , а точка М , находящаяся на расстоянии R от оси вращения, получила перемещение dS =ч* dφ (рис. 2.3). Тогда скорость точки (2.9) Направлен вектор скорости по касательной к траекториям, т.е. по касательной к окружности радиуса R , центр которой лежит на оси вращения, а ее плоскость перпендикулярна оси вращения. Найдем нормальное и касательное ускорение точки:
Нормальное ускорение направлено от данной точки к оси вращения. Касательное ускорение направлено по касательной к округлости, которую описывает точка и совпадает с направлением скорости при ускоренном вращении, а при немедленном – противоположно скорости. Рассмотрим векторное произведение (рис. 2.4). Его модуль , а направление совпадает с направлением скорости. Из этого делаем вывод, что вектор скорости: (2.11) взяв от этого выражения производную по времени, получим: Первое произведение по величине и направлению совпадает с касательным, а вторая – с нормальным ускорением. Таким образом, касательная и нормальная составляющие вектора полного ускорения при вращательном движении определяется формулами: (2.12) Отметим, что радиус-вектор точки М можно проводить из любой точки О1 , лежащей на оси вращения (все точки оси вращения неподвижны) и что этот вектор постоянный по модулю (у него меняется только направление). 2.5 Простейшие передаточные механизмы Передаточными называют механизмы, служащие для передачи вращения с одного вала на другой. К простейшим из них относятся: зубчатые, ременные, цепные и фрикционные. Схематическое изображение зубчатых и фрикционных механизмов показано на рис. 2.5а , а ременных и цепных на рис. 2.5.б . Найдем скорость точки а : на колесе І и на колесе ІІ. Так как проскальзывание отсутствует, то . Отсюда: (2.13) т.е. угловые скорости обратно пропорциональны радиусом колес. Величина i 1-2 называется передаточным отношением. У зубчатых и цепных передач – передаточное отношение точное, у ременных и фрикционных – может быть проскальзывание. Ременные и цепные передачи позволяют передавать вращение на большие расстояния, чем зубчатые и фрикционные. С устройством передаточных механизмов, их изготовлением, расчетами и эксплуатацией вы познакомитесь в курсах «Теория механизмов и машин» и «Детали машин». Тема 3 Сложное движение точки 3.1 Основные определения До сих пор мы рассматриваем движение точки в одной, неподвижной системе отсчета. Однако, часто встречаются случаи, когда точка движется по определенному закону в некоторой системе отсчета, которая, в свою очередь, перемещается относительно неподвижной системы отсчета. Такое движение точки называется сложным. Введем основные определения сложного движения точки. Движение точки в подвижной системе отсчета называется относительным. Скорость и ускорение точки в этом движении называются относительными и обозначаются: (или ). Движение точки вместе с подвижной системой называется переносным. Скорость и ускорение той точки М/ подвижной системы, в которой в данный момент находится движущаяся точка М , являются для данной точки переносной скоростью и переносным ускорением и обозначаются (или ). Движение точки относительно неподвижной системы отсчета называется абсолютным. Скорость и ускорение точки в этом движении называются абсолютными и обозначаются (или ). Пусть точка М движется в подвижной системе отсчета оху z . Ее координаты х, у, z являются функциями времени, а координаты х/ , у/ , z / точки М/ подвижной системы, в которой в данный момент находится движущая точка М , являются константами. Но в любой момент времени х = х/ , у = у/ , z = z / (3.1) Введем в рассмотрение радиусы-векторы, определяющие положение точек М и М/ в подвижной и неподвижной системах отсчета (рис. 3.1). - радиус-вектор, определяющий положение начала подвижной системы оху z в неподвижной системе отсчета о1 х1 у1 z 1 . = - радиус-вектор, определяющий положение движущейся точки М в подвижной системе отсчета. Он описывает относительное движение точки. - радиус-вектор, определяющий положение точки М/ подвижной системы в этой же системе. - радиус-вектор, определяющий положение точки М/ подвижной системы в неподвижной системе отсчета. Он описывает переносное движение точки. - радиус-вектор, определяющий положение движущейся точки М в неподвижной системе отсчета. Он описывает абсолютное движение. 3.2 Теоремы о схождении скоростей и ускорений Скорости и ускорения точки в различных движениях будем определять как первую и вторую производные по времени от соответствующих радиусов-векторов. 1. Относительную скорость и относительное ускорение находим как первую и вторую производные по времени от радиус-вектора , считая единичные орты константами (в подвижной системе – они постоянны).
2. Переносную скорость и переносное ускорение находим как первую и вторую производные по времени от радиус-вектора , считая координаты х/ , у/ , z / константами, а единичные орты – переменными. так как дифференцирование проведено, то мы можем воспользоваться равенствами (3.1), т.е. заменить х/ на х , у/ на у , z / на z :
3. Абсолютную скорость и абсолютное ускорение находим как первую и вторую производные по времени от радиус-вектора , считая все величины переменными: Таким образом доказана теорема сложения скоростей: Абсолютная скорость равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей. (3.6) находим абсолютное ускорение: где введено обозначение: (3.7) Величина , определяемая равенством (3.7) называется поворотным ускорением или ускорением Кориолиса, по имени французского ученого, доказавшего теорему сложения ускорений: Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме переносного, относительного и Кориолисов ускорений. (3.8) 3.3 Ускорение Кориолиса, его величина направление и физический смысл Рассмотрим ускорение Кориолиса, определяемое равенством (3.7). Если подвижная система движется относительно неподвижной поступательно (т.е. переносное движение поступательное), то единичные орты будут постоянны и по модулю и по направлению и их производные по времени будут равны нулю, следовательно и ускорение Кориолиса равно нулю. Теорема о сложении ускорений при поступательном переносном движении будет выражаться равенством: (3.9) Рассмотрим переносное вращательное движение. Пусть подвижная система вращается вокруг оси О3 с угловой скоростью (рис. 3.2). единичные орты можно рассматривать как радиус-векторы точек А , В и С соответственно. А производные по времени от радиус-векторов точек дают скорости точек. Следовательно: ; ; (а ) с другой стороны, скорости точек А, В и С мы можем найти как во вращательном движении по формуле (2.11): ; ; (б ) сравнивая (а ) и (б ) находим, что: ; ; ;(в ) Подставим эти значения в формулу (3.7) Таким образом ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению вектора угловой скорости переносного движения на вектор относительной скорости. (3.10) Его величина (3.11) В соответствии с правилом векторного произведения ускорения Кориолиса направлено перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и , в ту сторону, чтобы, глядя навстречу ему, мы видим поворот вектора к вектору на меньший угол происходящим против часовой стрелки. Другое правило: чтобы найти направление ускорения Кориолиса, надо вектор спроецировать на плоскость, перпендикулярно оси переносного вращения, и полученную проекцию повернуть на 90о в сторону вращения. Эти и будет направление вектора . Физический смысл ускорения Кориолиса выясним на таком примере. Пусть круглая платформа вращается с постоянной угловой скоростью , а по радиусу платформы двигается точка М с постоянной относительной скоростью V ч (рис. 3.3). В некоторый момент точка занимает положение Мо ,а через промежуток времени положение М1. При этом произошло изменение относительной скорости за счет переносного движения (изменилось направление вектора ) и изменение переносной скорости за счет относительного движения (изменилась величина в результате удаления точки от оси вращения). Эти два изменения и характеризуются ускорением Кориолиса. Таким образом, ускорение Кориолиса характеризует изменение относительной скорости в результате переносного движения и изменение переносной скорости в результате относительного движения. В общем случае движения формулы (3.8) удобнее использовать в таком виде: (3.12) Задача кинематики плоского движения твердого тела - найти характеристики движения самого тела и отдельных его точек. В данном задании к таким характеристикам относятся векторы угловой скорости и углового ускорения тела. Рис. 1 Основные формулы кинематики плоского движения твердого тела - векторные формулы, связывающие соответственно скорости и ускорения двух произвольных точек плоской фигуры, например, точек А и В (рис. 1) B = A + BA = A + ´;(1) B = A + + = A + × (´) + × ;(2) где , , - векторы угловой скорости и углового ускорения вращения плоской фигуры вокруг любой оси, например Az' перпендикулярной плоскости движения Oxy относительно системы координат Ax'y'z', оси которой параллельны осям неподвижной системы координат Оxyz.На рис.1 оси Оz. и Аz' не изображены, так как считается, что они перпендикулярны к плоскости рисунка и направлены на наблюдателя, а плоскости Охy и Аx'y' совпадают с плоскостью рисунка. Левые части выражений BA = ´; = × (´) = × BA ; = × ; являются соответственно векторамискорости, нормального и касательного ускорения точки В относительно системы координат Ax'y'z'при вращении отрезка АВ в плоскости рисунка вокруг точки A, называемой в таком случае полюсом, с угловой скоростью и угловым ускорением . Индексы n и t , в выражениях и указывают, что эти векторы направлены соответственно по внутренней нормали и касательной в точке Bк окружности радиуса r = AB с центром в точке А. Модули упомянутых векторов находятся по формулам ½BA ½ = ´AB;½½ = = ´AB;½½ = ´AB;(3) Векторы BA , , лежат в плоскости движения плоской фигуры тела, причем ненулевые векторы BA , перпендикулярны отрезку AB, а ненулевой вектор направлен от точки В к точке А . Таким образом, для этих векторов всегда известны линии действия. Поскольку модуль ускорения может быть вычисленпо формуле (3) через угловую скорость тела , обычно известную к этапу нахождения ускорений, целесообразно в формуле (2) вектор записывать вслед за известным векторомА , т.е. перед вектором . Векторы и параллельны оси Оz и поэтому полностью определяются своими проекциями на эту ось Модуль проекции равен модулю вектора ;, а знак проекции указывает на направление вектора. Например, если проекции векторов положительны (, то векторы направлены так же, как и , или ось Oz. Таким образом, при плоском движении тела задача нахождения векторов сводится к задаче отыскания их проекций на ось Oz или Az'. Если (рад) - угол между осью Ax' (Ох) и вектором (рис. 1) и за положительное направление отсчета угла для выбранной системы координат принято направление против хода часовой стрелки, то рад/с; = = рад/с.(4) О направлении векторов и судят по круговым стрелкам и согласно правилу: "круговая стрелка, направленная против хода стрелки часов, соответствует вектору, направленному так же, как ось Oz". Из формул, использующих понятие МЦС (точка Р) на рис.2, ´;B = ;; ;,(5) следует, что в данный момент времени распределение скоростей точек тела при плоском движении таково, как если бы тело вращалось вокруг оси Рz с угловой скоростью . Если отсчитывать угол 90 от направления вектора скорости точки A к направлению АР от этой точки до МЦС, то направление отсчета угла совпадает с направлением круговойстрелки . Этот факт можно использовать для определения направления вектора . Из формул, использующих понятие МЦУ (точка Q на рис. 3), ;;(6) , следует, что в данный момент времени распределение ускорений точек тела при плоском движении таково, как если бы тело вращалось вокруг оси Qz с угловой скоростью и угловым ускорением . Угол отсчитывается от вектора ускорения какой-либоточки в направлении круговой стрелки . При отыскании положения МЦУ по ускорениям двух точек, например по и, под углом к соответствующим ускорениям проводят лучи AQ и BQ. Точка пересечения лучей (точка Q) является МЦУ плоской фигуры в данный момент времени. Направления векторов и помимо формул (4) могут быть найдены из отдельных векторных формул ;;.(7) Рис. 4 Чтобы избежать анализа расположения трех взаимно перпендикулярных векторов формул (7) при известных , , направления и находят аналогично случаю вращательного движения тела вокруг неподвижной оси (рис. 4). Рис. 5 Кинематика плоского движения катка радиуса R. при отсутствии скольжения по направляющей (в общемслучае криволинейной), имеет некоторые особенности вследствие того,что мгновенный центр скоростей катка (точка Р ) совпадает с точкой окружности касающейся направляющей (рис. 5). Поэтому при движении каткарасстояние от его центра (точкиА) до МЦС является неизменным во времени и равнымR. AP(t) = const = R(8) Свойство неизменности расстояния АР позволяет установить дополнительные соотношения, удобные для расчетов кинематических характеристик катка. Представим вектор скорости точки А с помощью: а) формулы естественного способа задания движения точки , где - единичный вектор естественного трехгранника, касательный в точке A к кривой ее движения; SA - криволинейная координата точки; б) формулы (7) плоского движения тела , ; - орт оси Оz , перпендикулярной плоскости движения катка Qxy;j - угол, задающий направление какого-либо отрезка плоской фигуры катка. Ввиду произвольности выбора такого отрезка, обычно собственно отрезок, не указывают на рисунках, а изображают лишь круговую стрелку положительного направления отсчета угла j, называя его углом поворота катка. Приравнивая правые части последних формул, имеем. Поскольку вектoр коллинеарен результату векторного произведения (^, ^), то . Откуда, используя свойство (8), получим формулы , или , (9) справедливые для любого момента времени t. В правой части формулы (9) берется знак "+", если при мысленном увеличении угла поворота катка jв направлении против хода стрелки часов наблюдается возрастание координаты SА центра движущегося катка в положительном направлении ее отсчета, иначе берется знак "-". Так, например, для случая отсчетов SА и j, изображенном на рис.5, в формуле (9) необходимо брать знак "-". Дифференцируя и интегрируя по времени соотношения (9), придем к выражениям , или ,(10), а также , где С - некоторая константа, значение которой зависит от выбора начал отсчетов SА и j. Обычно принимают С=0, так как считают, что когда SА =0, j также равно нулю. Из произведения соответствующих частей формул (9), (10), (11) следует, что если векторы , сонаправлены, то сонаправлены и векторы , . Таким образом, с помощью формул (1-4), (8-9) могут быть найдены характеристики векторов скоростей и ускорений точек, векторов угловых скоростей и ускорений звеньев механизма, а с помощью формул (5, 6), (11) осуществлена их проверка. Нахождение кинематических характеристик движения (, , , ) при помощи векторных формул (1), (2) рекомендуется проводить следующим образом: 1) написать формулу (1) или (2) применительно к конкретным точкам рассматриваемого звена механизма. При этом в качестве полюса следует взять точку с известными кинематическими характеристиками движения; 2) установить, известны или неизвестны на данном этапе решения две независимые характеристики {проекции на две оси или модуль и направляющий угол) для каждого вектора, входящего в уравнение (1) или (2). Найти значения тех независимых характеристик векторов, которые могут быть установлены из условий движения звена без решения рассматриваемого векторного уравнения; 3) решить векторное уравнение графоаналитическим или аналитическим методом (метод проекций). |