Реферат: Курс лекции по Физике

Фотоны.

В теории равновесного излучения абсолютно черного тела Планка вводится понятие фотона – кванта света или порции излучения, которая может поглощаться или излучаться только целиком. С другой стороны, по средствам фотонов осуществляется электромагнитное взаимодействие. Энергия фотона , импульс . Масса покоя фотона равна нулю. Докажем это утверждение.

Рассмотрим фотон в покоящейся и движущейся системах отсчета. Энергия в покоящейся системе , в движущейся . Частоты в движущейся и покоящейся системах отсчета связаны соотношением , тогда энергия в движущейся и покоящейся системах . Энергия связана с импульсом . Энергия фотона в движущейся и покоящейся в системах отсчета должны быть равны, поэтому, , из связи энергии и импульса .

Фотоэффект

Фотоэффект наблюдается при передаче энергии фотона электрону, находящемуся вещества, то есть связанному электрону. Поглощение фотона электроном может привести либо к перераспределению электронной плотности в веществе, либо к вырыванию электрона с поверхности вещества. В связи с этим, для различных материалов имеют место два вида фотоэффекта: для металлов – внешний, для диэлектриков и полупроводников – внутренний (в частности, в полупроводниках наблюдается один из видов внутреннего фотоэффекта – вентильный). При внутреннем фотоэффекте валентные электроны либо становятся электронами проводимости, что наблюдается в полупроводниках, либо переходят на более высокий энергетический уровень, оставаясь в связанном состоянии.

Внешним фотоэффектом называется явление вырывания электронов с поверхности металлов. Энергия фотона, падающего на поверхность металла, переходит валентному электрону

Экспериментально фотоэффект описывается законами Столетова:

Фототок насыщения не зависит от частоты падающего света, а определяется только его интенсивностью

Задерживающее напряжение не зависит от интенсивности, а определяется только частотой падающего света

Для любого металла существует минимальная частота, называемая красной границей, при которой только начинается фотоэффект

Теоретически закон внешнего фотоэффекта описывается выражением, представляющим собой закон сохранения энергии: (1) – формула Эйнштейна, где Ав – работа выхода электрона из металла,  - частота света, освещающего фотокатод,  - максимальная скорость фотоэлектрона.

С учетом законов Столетова (2), и условие красной границы (3), тогда уравнение (1) можно переписать в виде

Световое давление

Квант света, попадая на поверхность, передает ей импульс. При отражении от поверхности переданный импульс равен удвоенному импульсу фотона , а при поглощении – импульсу фотона . Вводя коэффициент  отражения – относительное число фотонов, отраженных поверхностью, полный импульс, переданный N падающими фотонами перпендикулярной единичной поверхности . Импульс, переданный за единицу времени единице поверхности, равен нормальной силе, действующей на единицу поверхности, а это величина называется давлением. Таким образом, давление света на перпендикулярную поверхность равно (4), где Nts – число фотонов ежесекундно падающих на единицу площади поверхности.

Эффект Комптона

При отражении высокоэнергичных рентгеновских лучей от металлических поверхностей наблюдается изменение их длины волны. Такое явление имеет место только при отражении от металлов, следовательно необходимо рассмотреть взаимодействие фотона с электроном проводимости металла. Как известно, валентные электроны в металле обобществляются и их можно считать свободными, то есть способными перемещаться под действием внешних полей.

Рассмотрим взаимодействие падающего фотона с импульсом и покоящегося валентного электрона. В результате возникает отраженный фотон с импульсом и электрон отдачи с импульсом . По закону сохранения импульса (рис.3) или по теореме косинусов (4).

По закону сохранения энергии (5), здесь учтено, что электрон является релятивистской частицей и до взаимодействия обладает только энергией покоя. Зная связь релятивистской энергии и импульса , тогда, . Возведем в квадрат обе части уравнения и, учитывая , получим или, приводя подобные, разделим обе части на kk и учтем, что , , где комптоновская длина волны .

Спектр водорода. Формула Бальмера. Постулаты Бора.

В конце 19 начале 20 веков бурно развивалась спектроскопия. Самым простым для изучения материалом является водород, поэтому наибольшее число работ было посвящено изучению спектров атома водорода. Исследуемые спектры были линейчатыми. Особенность водородных спектров заключалась в том, что линии излучения и поглощения располагались группам, которые были названы сериями. Одна из спектральных серий лежит в видимой области, одна – в ультрафиолетовой, остальные – в инфракрасной.Частоты спектральных линий хорошо описывались обобщенной формулой Бальмера.

(1)

Где R = 3,291015 с-1 – константа Ридберга, а n и m – целые числа. Аналогичная формула имеет место для длин волн, где R = 1,10107 м-1:

(2)

Целое число m определяет спектральную серию: n = 1 серия Лаймана

n = 2 серия Бальмера

n = 3 серия Пашена

n = 4 серия Бреккета

n = 5 серия Пфунда

n = 6 серия Хэмфри

n = 7 серия Пиккеринга

Для объяснения полученных формул, а именно физического смысла чисел n и m были разработаны атомные модели.

Модель Томпсона.

Атом представляет собой массивный положительный заряд, занимающий практически весь объем атома, а точечные электроны равномерно распределены по его поверхности. Предполагалось, что электроны колеблются около положения равновесия и частота их колебания совпадает с частотой излучения света. Проблема заключалась в том, что согласно законам классической электродинамики, ускоренно движущаяся частица должна излучать. Если колеблющиеся электроны излучают – теряется энергия, следовательно, должна равномерно уменьшаться частота их колебания, и спектр излучения должен быть сплошным. Таким образом, модель объясняет сам факт излучения, но не объясняет физический смысл чисел n и m.

Модель атома Резерфорда.

На основании проведенного эксперимента Резерфорд заключил, что размер атома, в основном, определяется электронной оболочкой, масса атома определяется ядром, размер которого значительно меньше размеров оболочки. Электроны вращаются вокруг ядра по круговым орбитам, как планеты вокруг Солнца, поэтому, модель атома Резерфорда была названа планетарной. Предполагалось, что при переходе электронов между орбитами атом излучает или поглощает свет, в результате этих переходов формируется спектр атома. Целые числа в формуле Бальмера соответствуют номерам орбит, между которыми происходит переход: m – уровень, на который осуществляется переход, n – уровень, с которого осуществляется переход.

Проблема объяснения формирования спектров осталась прежней – ускоренно движущиеся по орбитам электроны должны излучать, следовательно, терять энергию, что должно приводить к уменьшению радиусов их орбит. В результате электроны должны были опуститься на ядро. Однако, последняя модель не только описывала факт излучения атома, но и объясняла сериальные закономерности, поэтому, для правомерности ее применения Бор сформулировал три постулата:

а) Существуют такие стационарные состояния, в которых атом не поглощает и не излучает энергию

б) При переходе между двумя стационарными состояниями атом излучает или поглощает квант света, энергия которого равна разности энергий состояний

(3)

в) Момент импульса электрона в атоме является квантованной величиной

(4)

Где n – скорость электрона на n-ной боровской орбите, rn – радиус соответствующей боровской орбиты, n – номер орбиты, m – масса электрона.

Применяя постулаты Бора к модели атома водорода (рис.1) легко получить обобщенную формулу Бальмера:

Рассмотрим электрон, движущийся по n-ной боровской орбите. Кулоновская сила взаимодействия электрона с ядром сообщает электрону нормальное ускорение и по второму закону Ньютона

Согласно третьему постулату Бора , отсюда радиус n-ной боровской орбиты (5); скорость на этой орбите (6)

Полная энергия электрона на n-ной боровской орбите складывается из кинетической энергии электрона и его потенциальной энергии кулоновского взаимодействия с ядром: . Подставляя (5) и (6) получим: , для атома водорода заряд ядра Z = 1. Таким образом, электрон в атоме водорода способен принимать строго дискретный набор энергий, определенный целым числом n – главным квантовым числом.

Применяя второй постулат Бора, получим обобщенную формулу Бальмера , тогда значение постоянной Ридберга (7). Расчет последней дает хорошее согласование с экспериментальным значением.

Корпускулярно волновой дуализм

Экспериментальные факты свидетельствуют, что в ряде явлений свет проявляет сугубо волновые свойства (дифракция, интерференция, поляризация, дисперсия), а в ряде – чисто корпускулярные (фотоэффект, эффект Комптона). Рассматривая эти факты, де Бройль предположил, что аналогичные проявления двойственности свойств должны иметь место для любого материального объекта. Импульс объекта определяет его длину волны (1).

Данное утверждение было экспериментально подтверждено Дэвидсоном и Джермером, которые исследовали дифракцию электронных пучков на атомных плоскостях кристалла. Электронные пучки разгонялись в электрическом поле и их скорость определялась выражением (2). Тогда длина волны де Бройля электрона (3). Предполагалось, что дифракция электронных пучков будет аналогична дифракции рентгеновских лучей (рис.1) и условие дифракционных максимумов будет удовлетворять формуле Брэггов-Вульфа (4). Длина волны рентгеновского излучения 1,67 нм. В опыте Девидсона и Джермера электронный пучок падал на кристалл перпендикулярно кристаллографической плоскости [111], отражался под углом  и фототок фиксировался гальванометром (рис.2). В зависимости от напряжения, при прохождении которого разгонялись электроны, максимум дифракции фиксировался под углом . Для напряжений 44, 48, 54 В длина волны де Бройля составила 1,85 нм, 1,77 нм, 1,67 нм, что соответствовало рентгеновской длине волны, дифрагировавшей под заданными углами в опыте Брэггов-Вульфа.

Второй опыт был проделан Томпсоном. Электронный пучок дифрагировал на тонкой фольге, при этом наблюдалось полное совпадение электронных и рентгеновских максимумов. Тартаковский усовершенствовал опыт, увеличив время экспозиции и сведя электронный пучок к одиночным электронам и снова зафиксировал совпадение электронных и рентгеновских максимумов.

Таким образом, для вещества, как и для света, имеет место корпускулярно-волновой дуализм.

Принцип неопределенности Гейзенберга

В макромире работают законы классической механики и электродинамики, поэтому, для любого макрообъекта определено понятие траектории и любые кинематические и динамические параметры движения объекта могут быть измерены одновременно.

Для микрочастиц имеют место волновые свойства, поэтому, законы макромира при переходе в микромир претерпевают существенные изменения. Рассмотрим двухщелевой интерферометр, на который падает пучок гипотетических параллельно движущихся частиц. Если перекрыть одну из щелей, на экране, расположенном за щелью, частицы после ее прохождения симметрично распределятся по обе стороны от центра щели (рис.3). Вероятность для частицы занять на экране координату х будет определяться некой функцией 1(x, t). Перекрывая вторую щель, получим аналогичную картину и вероятность для частицы определится функцией 2(x, t). Если открыть обе щели, на экране окажется интерференционная картина с максимумом в центре экрана, симметрично по отношению к щелям и вероятность обнаружения частицы в точке с координатой x в момент времени t будет равна сумме вероятностей

В микромире принципиально отсутствует понятие траектории, поэтому, координата и импульс микрочастицы могут быть одновременно измерены только с точностью до некоторой величины. Данное утверждение носит название принципа неопределенности Гейзенберга, а выражения

(5)

(6)

называются соотношениями неопределенности Гейзенберга. Выражение (6) легко получить из выражения (5), записав, что , так как импульс , а скорость , заменяя дифференциалы величин на их приращения, приходим к идентичности выражений (5) и (6).

Уравнение Шредингера

Для описания микрочастицы необходимо, чтобы были определены:

величины, задающие состояние частицы;

уравнение движения, определяющее изменение состояния частицы;

физические величины, доступные измерению и способ получения их значений в данном состоянии.

Для микрочастиц из-за соотношений неопределенности классическое определение состояния (координата и импульс, а следовательно и сила) не подойдет. В соответствии с корпускулярно-волновым дуализма в квантовой теории состояния частицы задается волновая функция , которая является комплексной величиной и формально обладает волновыми свойствами. Для волновой функции характерны следующие свойства:

1) с помощью волновой функции определяется вероятность (7), то есть вероятность нахождения частицы в единице объема

2) волновая функция нормирована на единицу (8), то есть, во всем пространстве, где волновая функция отлична от нуля, частица может быть достоверно найдена

3) для волновых функций имеет место принцип суперпозиции что объясняет проявление волновых свойств частицы

4) так как волновая функция описывает реальные частицы, она должна быть конечной, непрерывной, гладкой и однозначно определяемой.

Рассмотрим свободную частицу, способную двигаться вдоль оси x в отсутствии внешних полей. Такая частица должна описываться плоской волной (9) или, учитывая связь волнового числа и импульса , а также частоты и энергии , тогда выражение (9) примет вид (10).

Продифференцируем (10) по времени и по координате:

(11)

; (12)

Учитывая связь энергии и импульса для свободной частицы и следствия уравнений (11) и (12) , получим одномерное уравнение (13).

В общем случаи и в левой части берется сумма производных по координатам.

Последнее уравнение может быть записано, используя операторную форму. Вводя оператор полной энергии частицы – оператор Гамильтона - сумму операторов кинетической и потенциальной энергии (14) и оператор импульса , в декартовых координатах он примет вид , в одномерном случаи . Действие оператора потенциальной энергии сводится к его домножению на волновую функцию поэтому выражение (13) примет вид: (14) – временное уравнение Шредингера.

В случаи, когда потенциальная энергия частицы не зависит от времени волновую функцию можно представить как произведение чисто временной и чисто координатной частей , тогда переменные в (14) разделяются и задача сводится к нахождению собственных функций и собственных значений оператора Гамильтона (15) –стационарное уравнение Шредингера. Решая уравнение Шредингера находят волновую функцию и плотность вероятности положения частицы в пространстве.

Тепловое излучение и люминесценция

Энергия, расходуемая светящимся телом на излуче­ние, может пополняться из различных источников. Окис­ляющийся на воздухе фосфор светится за счет энергии, выделяемой при химическом превращении. Такой вид свечения называется хемилюминесценцией. Све­чение, возникающее при различных видах самостоятель­ного газового разряда, носит название электролю­минесценции. Свечение твердых тел, вызванное бомбардировкой их электронами, называют катодо-л юм и не сцен цией. Испускание телом излучения не­которой характерной для него длины волны λ1 можно вы­звать, облучая это тело (или облучив предварительно) излучением длины волны λ2, меньшей чем λ1. Такие про­цессы объединяются под названием фотолюминес­ценции.

Самым распространенным является свечение тел, обусловленное их нагреванием. Этот вид свечения назы­вается тепловым (или температурным) излу­чением. Тепловое излучение имеет место при любой температуре, однако при невысоких температурах излу­чаются практически лишь длинные (инфракрасные) элек­тромагнитные волны.

Окружим излучающее тело непроницаемой оболочкой с идеально отражающей поверхностью (рис. 154). Воздух из оболочки удалим. Отраженное оболочкой излучение, упав на тело, поглотится им (частично или полностью). Следовательно, будет происходить непрерывный обмен энергией между телом и заполняющим оболочку излуче­нием. Если распределение энергии между телом и излу­чением остается неизменным для каждой длины волны, состояние системы тело — излучение будет равновесным. Опыт показывает, что единственным видом излучения, которое может находиться в равновесии с излучающими телами, является тепловое излучение. Все остальные виды излучения оказываются неравно­весными.

Способность теплового излучения находиться в равновесии с излучаю­щими телами обусловлена тем, что его интенсивность возрастает при повыше­нии температуры. Допустим, что рав­новесие между телом и излучением (см. рис. 1) нарушено и тело излу­чает энергии больше, чем поглощает. Тогда внутренняя энергия тела будет убывать, что приведет к понижению температуры. Это в свою очередь обусловит уменьшение количества излу­чаемой телом энергии. Температура тела будет пони­жаться до тех пор, пока количество излучаемой телом энергии не станет равным количеству поглощаемой энер­гии. Если равновесие нарушится в другую сторону, т. е. количество излучаемой энергии окажется меньше, чем поглощаемой, температура тела будет возрастать до тех пор, пока снова не установится равновесие. Таким обра­зом, нарушение равновесия в системе тело — излучение вызывает возникновение процессов, восстанавливающих равновесие.

Иначе обстоит дело в случае любого из видов люми­несценции. Покажем это на примере хемилюминесценции. Пока протекает обусловливающая излучение хими­ческая реакция, излучающее тело все больше и больше удаляется от первоначального состояния. Поглощение телом излучения не изменит направления реакции, а на­оборот приведет к более быстрому (вследствие нагрева­ния) протеканию реакции в первоначальном направле­нии. Равновесие установится лишь тогда, когда будет из­расходован весь запас реагирующих веществ и свечение, обусловленное химическими процессами, заменится теп­ловым излучением.

Итак, из всех видов излучения равновесным может быть только тепловое излучение. К равновесным состоя­ниям и процессам применимы законы термодинамики. Следовательно, и тепловое излучение должно подчи­няться некоторым общим закономерностям, вытекающим из принципов термодинамики. К рассмотрению этих за­кономерностей мы и перейдем.

Закон Кирхгофа

Для характеристики теплового излучения, мы будем пользоваться величиной потока энергии, измеряемой в ваттах.

Поток энергии, испускаемый единицей поверхности излучающего тела по всем направлениям (в пределах телесного угла 2π), называют энергетической све­тимостью тела Rэ.

Излучение состоит из волн различных частот ω (или длин λ). Обозначим поток энергии, испускаемый едини­цей поверхности тела в интервале частот dω, через dRω (чтобы не усложнять обозначений, мы опустили индекс «э» при R). При малой величине интервала dω поток dRω будет пропорционален dω

(1)

Величина rω называется испускательной спо­собностью тела. Опыт показывает, что испускательная способность сильно зависит от температуры тела. Таким образом, rω есть функция частоты и температуры. Соответственно и энергетическая светимость является функцией температуры.

Зная испускательную способность, можно вычислить энергетическую светимость:

(2)

(чтобы подчеркнуть, что энергетическая светимость и испускательная способность зависят от температуры, мы их снабдили индексом «T»).

Излучение можно характеризовать вместо частоты со длиной волны λ. Участку спектра dω будет соответство­вать интервал длин волн dλ. Определяющие один и тот же участок величины dω и dλ связаны простым соотно­шением, вытекающим из формулы: λ = c/v = 2πс/ω. Диф­ференцирование дает:

(3)

Знак минус в этом выражении не имеет существенно­го значения, он лишь указывает на то, что с возраста­нием одной из величин, ω или λ, другая величина убы­вает. Поэтому знак минус в дальнейшем мы не будем писать.

Доля энергетической светимости, приходящаяся на интервал dλ, может быть по аналогии с (1) предста­влена в виде:

(4)

Если интервалы d и d, входящие в выражения (1) и (4), связаны соотношением (3), т. е. отно­сятся к одному и тому же участку спектра, то величины dRω и dRλ, должны совпадать:

.

Заменив в последнем равенстве d согласно (3), получим:

,

откуда

С помощью (5) можно перейти от rλ к rω и на­оборот.

Пусть на элементарную площадку поверхности тела падает поток лучистой энергии dΦω, обусловленный элек­тромагнитными волнами, частота которых заключена в интервале dω. Часть этого потока dΦ′ω будет поглощена телом. Безразмерная величина

(6)

называется поглощательной способностью тела. Поглощательная способность зависит от темпера­туры тела. Следовательно, аωТ есть функция частоты и температуры.

По определению аωТ не может быть больше единицы. Для тела, полностью поглощающего упавшее на него из­лучение всех частот, аωТ = 1. Такое тело называют абсолютно черным. Тело, для которого аωТ = аТ = const < 1, назы­вается серым.

Между испускательной и поглоща­тельной способностью любого тела имеется определенная связь. В этом можно убедиться, рассмотрев следую­щий эксперимент. Пусть внутри за­мкнутой оболочки, поддерживаемой при постоянной температуре Т, поме­щены несколько тел (рис. 2). Полость внутри оболочки эвакуирована, так что тела могут обмениваться энергией между собой и с оболочкой лишь путем испускания и поглощения элек­тромагнитных волн. Опыт показывает, что такая система через некоторое время придет в состояние теплового рав­новесия — все тела примут одну и ту же температуру, равную температуре оболочки T. В таком состоянии тело, обладающее большей испускательной способностью rωТ, теряет в единицу времени с единицы поверхности больше энергии, чем тело, обладающее меньшей rωТ. Поскольку температура (а следовательно и энергия) тел не ме­няется, то тело; испускающее больше энергии, должно и больше поглощать, т. е. обладать большей аωТ. Таким образом, чем больше испускательная способность тела rωТ, тем больше и его поглощательная Способность аωТ. Отсюда вытекает соотношение:

,

где индексы 1, 2, 3 и т. д. относятся к разным телам.

Кирхгоф сформулировал следующий закон: отноше­ние испускательной и поглощательной способностей не зависит от природы тела, оно является для всех тел одной и той же, (универсальной) функцией частоты (длины волны) и температуры:

(7)

Сами величины rωТ и аωТ, взятые отдельно, могут ме­няться чрезвычайно сильно при переходе от одного тела к другому. Отношение же их оказывается одинаковым для всех тел. Это означает, что тело, сильнее поглощаю­щее какие-либо лучи, будет эти лучи сильнее и испускать (не следует смешивать испускание лучей с их отраже­нием).

Для абсолютно черного тела по определению аωТ = 1. Следовательно, нз формулы (7) вытекает, что rωТ для такого тела равна f(ω,Т). Таким образом, универсальная функция Кирхгофа f(ω,Т) есть не что иное, как испускательная способность абсолютно черного тела.

При теоретических исследованиях для характеристики спектрального состава равновесного теплового излучения удобнее пользоваться функцией частоты — f(ω,Т). В экс­периментальных работах удобнее пользоваться функцией длины волны — φ(λ,Т). Обе функции связаны друг с другом формулой

, (8)

аналогичной формуле (5). Согласно (8) для того, чтобы по известной функции f(ω,Т) найти φ(λ,Т), нуж­но заменить в f(ω,Т) частоту ω через 2πс/λ и получив­шееся выражение умножить на 2πс/λ2:

(9)

Для нахождения f(ω,Т) по известной φ(λ,Т) нужно воспользоваться соотношением:

(10)

Абсолютно черных тел в природе не существует. Сажа или платиновая чернь имеют поглощательную способ­ность аωТ, близкую к единице, лишь в ограниченном интервале частот; в далекой инфракрасной области их поглощательная способность заметно меньше единицы. Однако можно создать устройство, сколь угодно близкое по своим свойствам к абсолютно черному телу.

Такое устройство представляет собой почти замкнутую полость, снабженную малым отверстием (рис. 3). Излучение, проникшее внутрь через отверстие, прежде чем выйти об­ратно из отверстия, претерпевает многократные отраже­ния. При каждом отражении часть энергии поглощается, в результате чего практически все из­лучение любой частоты поглощает­ся такой полостью. Согласно за­кону Кирхгофа испускательная спо­собность такого устройства очень близка к f(ω,Т), причем Т означает температуру стенок полости. Таким образом, если стенки полости под-церживать при некоторой температуре Т, то из отверстия выходит излучение, весьма близкое по спектрально­му составу к излучению абсолютно черного тела при той же температуре. Разлагая это излучение в спектр с помощью дифракционной решетки и измеряя болометром интенсивность различных участков спектра, можно найти экспериментально вид функции f(ω, Т) или φ(λ,Т). Результаты таких опытов приведены на рис. 4. Разные кривые относятся к различным значениям темпе­ратуры Т абсолютно черного тела. Площадь, охватывае­мая кривой, дает энергетическую светимость абсолютно черного тела при соответствующей температуре.

Кривые на рис. 4 очень похожи на кривые распре­деления молекул газа по скоростям. Правда, есть и существенное отличие. В то время как кривые распределения по скоростям для разных темпе­ратур пересекают друг друга (охватываемые ими площа­ди одинаковы), кривые спектрального распределения из­лучения абсолютно черного тела для более низких тем­ператур целиком лежат внутри кривых, соответствующих более высоким температурам (как мы увидим в следующем параграфе, площадь, охватываемая этими кривыми, пропорциональна четвертой степени температуры).

Из рис. 4 следует, что энергетическая светимость аб­солютно черного тела сильно возрастает с температурой. Максимум испускательной способности с увеличе­нием температуры сдвигается в сторону более коротких волн.

Закон Стефана — Больцмана и закон Вина

Теоретическое объяснение излучения абсолютно чер­ного тела имело огромное значение в истории физики — оно привело к понятию квантов энергии.

Долгое время многочисленные попытки получить тео­ретически вид функции f(ω, Т) не давали общего реше­ния задачи. Стефан (1879), анализируя эксперимен­тальные данные, пришел к выводу, что энергетическая светимость Rэ любого тела пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры. Однако последующие более точные измерения показали ошибочность его выво­дов. Больцман (1884), исходя из термодинамических со­ображений, получил теоретически для энергетической светимости абсолютно черного тела следующее значение:

(11)

где σ —постоянная величина, Т — абсолютная темпера­тура. Таким образом, заключение, к которому Стефан пришел для нечерных тел (с абсолютно черными телами он не экспериментировал), оказалось справедливым лишь для абсолютно черных тел.

Соотношение (11) между энергетической свети­мостью абсолютно черного тела и его абсолютной темпе­ратурой получило название закона Стефана — Больцмана. Константу σ называют постоянной Стефана — Больцмана. Ее экспериментальное зна­чение равно:

(12)

Вин (1893), воспользовавшись, кроме термодинамики, электромагнитной теорией, показал, что функция спек­трального распределения должна иметь вид:

(13)

где F — неизвестная функция отношения частоты к тем­пературе.

Согласно формуле (9) для функции φ(λ,Т) полу­чается выражение:

(14)

где ψ(λТ) — неизвестная функция произведения КТ.

Соотношение (4) позволяет установить зависимость между длиной волны λm, на которую приходится макси­мум функции φ(λ,Т), и температурой. Продифференци­руем (14) по λ:

(15)

Выражение в квадратных скобках представляет собой некоторую функцию ψ(λT). При длине волны λт, соот­ветствующей максимуму функции φ(λ,T), выражение (15) должно обращаться в нуль:

.

Поскольку, как следует из опыта, λm≠∞, должно выполняться условие: Ψ(λтТ) = 0. Решение последнего уравнения относительно неизвестного λтТ дает для этого неизвестного некоторое число, которое мы обозначим буквой b. Таким образом, получается соотношение:

(16)

которое носит название закона смещения Вина. Экспериментальное значение константы b равно:

b=2,90∙107Е∙град=2,90∙103мк∙град (17)

Формула Рэлея — Джииса

Рэлей и Джинс сделали попытку определить функ­цию f(ω,T), исходя из теоремы классической статистики о равнораспределении энергии по степеням свободы. Они предположили, что на каждое электромагнитное колеба­ние приходится в среднем энергия, равная двум половни­кам kT— одна половинка на электрическую, вторая—на магнитную энергию волны (напомним, что по класси­ческим представлениям на каждую колебательную сте­пень свободы приходится в среднем энергия, равная двум половинкам kT).

Рассмотрим излучение, находящееся в равновесии с веществом. Для этого представим себе эвакуированную полость, стенки которой поддерживаются при постоянной температуре Т. В равновесном состоянии энергия излуче­ния будет распределена в объеме полости с определен­ной плотностью и = и(Т). Спектральное распределение этой энергии можно охарактеризовать функцией и (ω,Т), определяемой условием: duω = и(ω,Т)dω, где duω — доля плотности энергии, приходящаяся на интервал частот dω. Полная плотность энергии может быть представлена в виде:

(18)

Равновесная плотность энергии излучения и(Т) зави­сит только от температуры и не зависит ют свойств сте­нок полости. Это следует из термодинамических сообра­жений. Рассмотрим две полости, стенки которых изгото­влены из разных материалов и имеют первоначально одинаковую температуру. Допустим, что равновесная плотность энергии в обеих полостях различна и, скажем, u1(Т)> u2(Т). Соединим полости с помощью небольшого отверстия (рис. 5) и тем самым позволим стенкам по­лостей вступить в теплообмен через излучение. Так как по предположению u1 > u2, поток энергии из первой по­лости во вторую должен быть больше, чем поток, теку­щий во встречном направлении.

В результате стенки второй полости станут поглощать больше энергии, чем излучать, и температура их начнет повышаться. Стенки же первой по­лости станут поглощать меньше энергии, чем излучать, так что они будут охлаждаться. Однако два тела с первоначально одинаковой температурой не могут вследствие теплообмена друг с другом приобрести различные температуры — это запрещено вторым началом термо­динамики. Поэтому наше допущение о неодинаковости u1 и и2 должно быть признано неправомерным. Вывод о ра­венстве u1(Т) и и2(Т) распространяется на каждую спек­тральную составляющую u(ω,Т).

Независимость равновесного излучения от природы стенОк полости можно пояснить следующими соображе­ниями. Абсолютно черные стенки поглощали бы всю упавшую на них энергию Фэ и испускали бы такой же по величине поток энергии Фэ. Стенки с поглощательной способностью а поглотят долю аФэ упавшего на них по­тока Фэ и отразят поток, равный (1—а)Фэ. Кроме того, они излучат поток аФэ (равный поглощенному потоку). В итоге стенки полости вернут излучению поток энергии Фэ = (1—а)Фэ + аФэ, такой же, какой возвращали бы излучению абсолютно черные стенки.

Равновесная плотность энергии излучения и связана с энергетической светимостью абсолютно черного тела R*э простым соотношением, которое мы сейчас выведем.

В случае плоской волны (т. е. когда энергия перено­сится волной в одном, определяемом вектором k напра­влении) плотность потока энергии I может быть пред­ставлена как произведение плотности энергии и на ско­рость волны с: I = си. Через каждую точку внутри полости проходит бесчисленное количество волн, направления которых равномерно распре­делены в пределах телесного угла 4л. Поток энергии I = си также распределен равномерно в пределах этого телесного угла. Следовательно, в пределах телесного угла dQ будет заключен поток энергии, плотность кото­рого равна:

.

Возьмем на поверхности полости элементарную пло­щадку ΔS . Эта площадка посылает в пределах телесного угла в направлении, образующем с нор­малью угол , поток энергии:

По всем направлениям, заключенным в пределах те­лесного угла 2π, площадка ΔS посылает поток энергии:

.

Вместе с тем поток Фэ должен быть таким, какой из­лучали бы абсолютно черные стенки. Последний же по­ток по определению равен R*эΔS. Следовательно,

(19)

Соотношение (19) должно выполняться для каждой спектральной составляющей излучения. Отсюда выте­кает, что

(20)

Рэлей и Джине исходили из того, что равновесное из­лучение в полости представляет собой систему стоячих волн. Такое представление оправдывается тем, что заме­на поглощающих стенок полости идеально отражающими стенками не изменяет плотности энергии равновесного излучения. Возникновение стоячих волн возможно лишь при выполнении определенных условий. Пусть полость имеет форму прямоугольного параллелепи­педа со сторонами a, b и с. Совместим с ребрами паралле­лепипеда координатные оси х, у, z . Условие возникновения стоячей волны вдоль оси х имеет вид:

(21)

где kx — модуль волнового вектора, совпадающий в дан­
ном случае с проекцией волнового вектора на ось х. За-
метим, что данная стоячая волна образована наложением двух бегущих волн, для которых значе­ния kx отличаются зна­ком. Для стоячих волн, устанавливающихся вдоль оси у или оси z, должны выполняться условия, аналогичные (21). Если волновой вектор к не совпадает с направлением ни одной из координатных осей, условия, аналогичные (21), должны выполняться одновременно для всех трех проекций вектора к:

(22)

В этом случае стоячая волна с данным значением "к (т. е. k) представляет собой суперпозицию восьми бегу­щих волн одинаковой длины, но различных направлений, для которых проекции волнового вектора равны:

Одинаковые по модулю векторы k, соответствующие восьми приведенным выше комбинациям чисел kx, ky и kz, располагаются в разных октантах. Векторы (1) и (8) имеют противоположные направления; то же самое отно­сится к векторам (2) и (7), (3) и (6), а также (4) и (5). Векторы (1) и (2) симметричны относительно координат­ной плоскости yz, векторы (1) и (3) — относительно пло­скости xz и т. д.

Каждая тройка чисел т1 т2 и т3 определяет возмож­ное значение волнового числа:

По определению k = 2π/λ = ω/с. Следовательно, каж­дой тройке чисел m1 m2 и m3 соответствует возможное значение частоты стоячей вол­ны ω (или длины волны λ). Определим количество возмож­ных частот dNω, попадающих в интервал dω. Для этого возь­мем прямоугольную систему координат с осями kx, ky, kz (рис. 6). Такую систему на­зывают координатной системой в k-пространстве. Каждой стоя­чей волне с данным значением k будет соответствовать в k-пространстве точка с коорди­натами, определяемыми усло­виями (22) (точки разме­щаются в октанте с положительными kx, ky, kz). Плотность этих точек в к-пространстве равна (объем прямоугольного параллелепипеда с вершинами, помещающимися в соседних точках, равен ; в пределы такого параллелепипеда попа­дает одна точка).

Количество волн dNk, для которых мо­
дуль волнового вектора лежит в пределах от k до k + dk, равно количеству точек в ⅛ объема шарового слоя тол­щины dk (см рис. 6):

(23)

(V — объем полости). Произведя в (23) замену: k = ω/с, dk = dω/c, найдем число волн dNω, частоты ко­торых попадают в интервал от ω до ω + dω:

(24)

Вдоль заданного направления могут распространять­ся две электромагнитные волны одинаковой частоты, отличающиеся направлением поляризации (поляризован­ные во взаимно перпендикулярных направлениях). Чтобы учесть это обстоятельство, нужно выражение (52.7) умножить на два. Число колебаний (52.7) пропорционально объему полости V. Поэтому можно говорить о числе ко­лебаний dnω, приходящихся на единицу объема полости. Учтя оба направления поляризации, получим:

(25)

Умножив (25) на среднюю энергию одного колеба­ния, получим приходящуюся на интервал частот dω энергию излучения, заключенную в единице объема, т. е. u(ω,T)dω. Исходя из закона равнораспределения энер­гии по степеням свободы, Рэлей и Джине приписали каждому колебанию энергию, равную kT (см. выше). В этом случае

или

(26)

Перейдя от и(ω,Т) к f(ω,Т) по формуле (26), по­лучим:

Выражение (26), равно как и (25), называется формулой Рэлея — Джинеса. Заметим, что функ­ция (26) удовлетворяет полученному Вином условию (25).

Формула Рэлея — Джинса удовлетворительно согла­суется с экспериментальными данными лишь при боль­ших длинах волн, и резко расходится с опытом для малых длин волн (см. рис. 7), на котором сплошной линией изображена экспериментальная кривая, пункти­ром — кривая, построенная по формуле Рэлея — Джинса).

Интегрирование выражения (23) или (24) по со в пределах от 0 до ∞ дает для равновесной плотности энергии и(Т) и для энергетической светимости R*э бес­конечно большие значения.- Этот результат, получивший название ультрафиолетовой катастрофы, также находится в противоречии с опытом. Равновесие между излучением и излучающим телом устанавливает­ся при конечных значениях и(Т).

Формула Планка

Вывод формулы Рэлея — Джинса с классической точ­ки зрения является безупречным. Поэтому расхождение этой формулы с опытом указывало на существование каких-то закономерностей, несовместимых с представле­ниями классической статистической физики и электроди­намики.

В 1900 г. Планку удалось найти вид функции f(ω,T), в точности соответствующий опытным данным. Для этого ему пришлось сделать предположение, совершенно чуж­дое классическим представлениям, а именно допустить, что электромагнитное излучение испускается в виде от­дельных порций энергии ε (квантов), величина которых пропорциональна частоте излучения:

(27)

Коэффициент пропорциональности ħ получил впо­следствии название постоянной Планка. Опре­деленное из опыта значение равно:

(28)

В механике есть имеющая размерность «энергиях X время» величина, которая называется действием. Поэтому постоянную Планка иногда называют кван­том действия. Заметим, что размерность ħ совпа­дает с размерностью момента импульса.

Если излучение испускается порциями ħω, то его энер­гия εn должна быть кратной этой величине:

(29)

Согласно закону Больцмана вероятность Рп того, что энергия излучения имеет величину еп, определяется вы­ражением:

(30)

Нормировочный множитель А можно найти, исходя из условия, что сумма всех Рп должна быть равна единице. Действительно, сумма Рп представляет собой вероят­ность того, что энергия имеет одно из возможных для нее значений. Такое событие является достоверным и, следовательно, имеет вероятность, равную единице. Итак,

,

откуда

.

Подставив найденное значение А в формулу (53.4), по­лучим:

.

Предположим, что мы имеем возможность измерить значение энергии данной спектральной составляющей излучения в любой момент времени. Произведем через равные промежутки времени Δt очень большое число таких измерений N. Разделив сумму полученных значе­ний на число измерений N, мы найдем среднее по врег мени значение энергии . При очень большом N количе­ство измерений Nn, которые дадут результат εп, будет равно NPn. Поэтому

(31)

Таким образом, среднее значение энергии излучения частоты со определяется следующим выражением:

(32)

Чтобы произвести вычисления, обозначим bw/kT = х и допустим, что величина х может изменяться, прини­мая непрерывный ряд значений. Тогда выражение для ё можно записать в виде:

(33)

Выражение, стоящее под знаком логарифма, пред­ставляет собой сумму членов бесконечной геометриче­ской прогрессии с первым членом, равным единице, и знаменателем прогрессии, равным е-x. Так как знамена­тель меньше единицы, прогрессия будет убывающей, и по известной из алгебры формуле

.

Подставив это значение суммы в (53.7) и выполнив диф­ференцирование, получим:

.

Наконец, заменив х его значением ħω/kT, получим окон­чательное выражение для средней энергии излучения ча­стоты ω:

(34)

Заметим, что при ħ, стремящемся к нулю, формула (26) переходит в классическое выражение . В этом можно убедиться, положив , что выполняется тем точнее, чем меньше ħ. Таким обра­зом, если бы энергия могла принимать непрерывный ряд значений, ее среднее значение было бы равно kT.

Заменив в формуле Рэлея — Джинса kT выражением (34), получим формулу, найденную Планком:

(35)

Эта формула, как уже отмечалось, точно согласуется с экспериментальными данными во всем интервале ча­стот от 0 до ∞. Она удовлетворяет критерию Вина (26). При условии, что ħω/kT<1 (малые частоты или большие длины волн), можно положить равным приближенно 1 + ħω/kТ, в результате чего формула (53.9) переходит в формулу Рэлея — Джинса. Это сле­дует также непосредственно из того, что при указанном условии выражение (35) приближенно равняется kT.

Осуществив преобразование по формуле (35), по­лучим:

(36)

На рис. 8 сопоставлены графики функций (35) и (36), построенные для одной и той же температуры (5000° К). Масштабы по оси абсцисс логарифмические и выбраны так, что связанные соотношением λ = 2πс/ω значения λ и ω совмещены друг с другом. Из рисунка видно, что частота ωm, соответствующая максимуму f(ω,Т), не совпадает с 2πс/λm, где λm — длина волны, отвечающая максимуму φ(λ,Т).

Для энергетической светимости абсолютно черного тела получается выражение:

.

Введем вместо ω безразмерную переменную х = ħω/kT. Подстановка ω = (kT/ħ)x, dω = (kT/ħ)dx пре­образует формулу для R*э к виду:

.

Определенный интеграл в последнем выражении мо­жет быть вычислен. Он равен π4/15 = 6,5. Подставив его значение, мы придем к закону Стефана — Больцмана:

(37)

Подстановка в эту формулу численных значений k, с и ħ дает для постоянной Стефана — Больцмана вели­чину 5,6696∙10-8 вт/м2∙град4, очень хорошо согласую­щуюся с экспериментальным значением (37).

В заключение найдем значение постоянной в законе смещения Вина (16). Для этого продифференцируем функцию (36) по λ и приравняем получившееся вы­ражение нулю:

.

Удовлетворяющие этому уравнению значения λ = 0 и λ = ∞ соответствуют минимумам функции φ(λ,T). Значение λm, при котором функция достигает макси­мума, обращает в нуль выражение, стоящее в числителе в квадратных скобках. Обозначив 2πħc/kTλm = x, полу­чим уравнение:

.

Решение этого трансцендентного уравнения дает х = 4,965. Следовательно, 2πħc/kTλm = 4,965, откуда

.

Подстановка численных значений ħ, с и k дает для b величину 2,90∙103 мк∙град, совпадающую с эксперимен­тальным значением (17).

Таким образом, формула Планка дает исчерпываю­щее описание равновесного теплового излучения.

Применение уравнения Шредингера

Частица в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.

Пусть в одномерном пространстве создано силовое поле, потенциальная энергия которого бесконечна везде, кроме области 0 < x < l и не зависит от времени. Пусть электрон попадает в это поле, тогда его движение описывается волновой функцией, которая является решением уравнения Шредингера. Так как потенциальная энергия не зависит от времени, решается стационарное уравнение Шредингера , где Е – разрешенные значения энергии в потенциальной яме. Расписывая оператор Гамильтона, получим (1).

В областях 1 и 3 (рис.1) потенциальная энергия бесконечна, для ее преодоления частица должна иметь бесконечную скорость, а так как волновая функция описывает только реальные частицы, она не может иметь сингулярности, поэтому, в этих областях .

В области 2 U=0, поэтому (2). Решение уравнения ищем в виде , где (3). Решение можно записать в виде (4), где константы А и  определим из граничных условий. Так как волновая функция должна быть непрерывна и однозначно определяема во всем пространстве, и . Применим условия . , тогда энергия электрона на n-ном уровне (5), таким образом, электрон в потенциальной яме может занимать только дискретный набор уровней. Тогда волновая функция имеет вид . Константу А найдем из условий нормировки или в одномерном случаи (6).

Плотность вероятности электрона в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками можно представить графически (рис.2)

Прохождение через барьер.

Пусть частица, движу­щаяся слева направо, падает на потенциальный барьер

высоты Uo и ширины l (рис. 3). По классическим представлениям поведение частицы имеет следующий характер. Если энергия частицы больше высоты барьера (E>U0), частица беспрепятственно проходит «над» барьером (на участке 0xl лишь уменьшает скорость частицы, но затем при х > I снова принимает первоначальное значение). Если же Е меньше Uo (как изображено на рисунке), то частица отражается от барь­ера и летит в обратную сторону; сквозь барьер частица проникнуть не может.

Совершенно иначе выглядит поведение частицы со­гласно квантовой механике. Во-первых, даже при Е>U0 имеется отличная от нуля вероятность того, что частица отразится от барьера и полетит в обратную сторону. Во-вторых, при Е < Uo имеется отличная от нуля вероятность того, что частица проникнет «сквозь» барьер и окажется в области, где х>l. Такое, совершенно невозможное с классической точки зрения, поведение микрочастицы вытекает непосредственно из уравнения Шредингера.

Рассмотрим случай Е<Uo. В этом случае уравнение Шредингера имеет вид: , для областей I и III и для области, причем Е — U0<0. Легко убедиться (хотя бы подстановкой), что общее решение уравнения Шредингера для каждой из трех областей имеет вид:

(7)

причем и определяются из выражений: (8)

Заметим, что решение вида eiax соответствует волне, распространяющейся в направлении оси х, а решение вида e-iax — волне, распространяющейся в противопо­ложном направлении. Чтобы это понять, вспомним, что обычная (звуковая, электромагнитная и т. п.) плоская волна, распространяющаяся в направлении оси х, имеет вид cos(at—kx), а волна, распространяющаяся в направлении убывания х,— вид cos (- kx) [см. т. I, фор­мулы (78.2) и (78.5)]. В § 65 мы установили, что волновая функция свободной частицы, движущейся в направлении оси х, имеет вид (65.5). Если отбросить в этой формуле временной множитель, то для получится значение . Для частицы, движущейся в противоположном направлении, нужно, очевидно, взять e-i(p/h)x.

В области III имеется только волна, прошедшая через барьер и распространяющаяся слева направо. Поэтому коэффициент В3 следует положить равным нулю. Для на­хождения остальных коэффициентов воспользуемся усло­виями, которым должна удовлетворять функция . Для того чтобы была непрерывна во всей области измене­ний х от до , должны выполняться условия: = и 2(l) =(l). Для того, чтобы была гладкой, т. е. не имела изломов, должны выполняться условия: = и ’2(l) =’(l) .Из этихусловий вытекают соотношения:

(9)

Разделим все уравнения на А1 и введем обозначения:

а также (10), Тогда уравнения (9) примут вид:

(11)

Отношение квадратов модулей амплитуд отраженной и падающей волны

определяет вероятность отражения частицы от потенци­ального барьера и может быть названо коэффициен­том отражения.

Отношение квадратов модулей прошедшей и падаю­щей волны

определяет вероятность прохождения частицы через барьер и может быть названо коэффициентом про­хождения (или коэффициентом прозрач­ности).

Нас будет интересовать только прохождение частиц через барьер, и мы ограничимся нахождением величи­ны D. Правда, найдя D, легко найти R, поскольку эти коэффициенты связаны очевидным соотношением: R+D=1.

Умножим первое из уравнений (11) на i и сложим с третьим. В результате получим: 2i = (п + i) a2-(n- i) b2. (13)

Теперь умножим второе из уравнений (11) на i и вы­чтем его из четвертого. Получим: (14)

Решая совместно уравнения (68.13) и (68.14), найдем, что и

Наконец, подставив найденные нами значения а2 и b2 во второе дз уравнений (68.11), получим выражение для а3:

Величина обычно бывает много больше единицы. Поэтому в знаме­нателе выражения для а3 слагаемым, содержащим множитель , можно пренебречь по сравнению со слагае­мым, содержащим множитель (комплексные числа п+i и п-i имеют одинаковый модуль). Итак, можно положить Согласно (12) квадрат модуля этой величины дает вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер. Учтя, что , получим: где

Выражение 16п2/(п2 + 1)2 имеет величину порядка единицы1). Поэтому можно считать, что (15).

Как следует из полученного нами выражения, вероят­ность прохождения частицы через потенциальный барьер сильно зависит от ширины барьера l и от его превыше­ния над Е, т.е. от Uo — Е. Если при какой-то ширине барьера коэффициент прохождения в равен, допустим, 0,01, то при увеличении ширины в два раза в станет рав­ным 0,012 = 0,0001, т.е. уменьшается в 100 раз. Тот же эффект в этом случае вызвало бы возрастание в четыре раза величины Uo — Е. Коэффициент прохождения резко уменьшается при увеличении массы частицы m. В случае потенциального барьера произвольной фор­мы (см., например, (рис. 2) формула (15) должна быть заменена более общей формулой: (16) где U= U(x),

При преодолении потенциального барьера частица как бы проходит через «туннель» в этом барьере (см. заштрихованную область на рис. 197,6), в связи с чем рассмотренное нами явление часто называют туннель­ным эффектом.

С классической точки зрения туннельный эффект представляется абсурдным, так как частица, «находя­щаяся в туннеле», должна была бы обладать отрицатель­ной кинетической энергией (в туннеле E<U). Однако туннель — явление специфически квантовое, не имеющее аналога в классической физике. В квантовой же меха­нике деление полной энергии на кинетическую и потен­циальную не имеет смысла, так как противоречит прин­ципу неопределенности. Действительно, тот факт, что ча­стица обладает определенной кинетической энергией T, был бы равнозначен тому, что частица имеет определен­ный импульс р. Аналогично тот факт, что частица имеет определенную потенциальную энергию U, означал бы, что частица находится в точно заданном месте простран­ства. Поскольку координата и импульс частицы не могут одновременно иметь определенных значений, не могут быть одновременно точно определены Т и U. Таким об­разом, хотя полная энергия частицы Е имеет вполне определенное значение, она не может быть представлена в виде суммы точно определенных энергий Т и U. Ясно, что при такой ситуации заключение об отрицательности Т в туннеле становится беспочвенным.

Мультиплетность спектров и спин электрона

Исследование спектров щелочных металлов при по­мощи приборов с большой разрешающей силой показа­ло, что каждая линия этих спектров является двойной (дублет). Так, например, характерная для натрия жел­тая линия ЗР 3S состоит из двух линий с длинами волн 5890 А и 5896 А. То же относится и к другим ли­ниям главной серии, а также к линиям других серий. В табл. 4 приведены некоторые дублеты натрия. В чет­вертом столбце указаны волновые числа линий '. В последнем столбце дано расщепление компо­нент дублетов (разность волновых чисел).

Расщепление спектральных линий, очевидно, обуслов­лено расщеплением энергетических уровней. Поскольку расщепление линий главной серии nP3S различно, а для линий резкой серии nS3P одно и то же

(см. табл. 4), приходится предположить, что уровни S яв­ляются одиночными (синглетами), а уровни Р — двой­ными (дублетными) (см. рис. 204). Дальнейший анализ спектра натрия показал, что уровни в и F также яв­ляются двойными.

Структура спектра, отражающая расщепление линий на компоненты, называется тонкой структурой. Сложные линии, состоящие из нескольких компонент, получили название мультиплетов. Тонкая струк­тура обнаруживается, кроме щелочных металлов, также и у других элементов, причем число компонент в муль-типлете может быть равно двум (дублеты), трем (три­плеты), четырем (квартеты), пяти (квинтеты) и т. д. В частном случае спектральные линии даже с учетом тонкой структуры могут быть одиночными (синглеты).

Для объяснения мультиплетной структуры спектров и аномального эффекта Зеемана Гаудсмит и Юленбек выдвинули в 1925 г. гипотезу о том, что элек­трон обладает собственным моментом импульса Ms, не связанным с движением электрона в пространстве. Этот собственный момент был назван спином.

Первоначально предполагалось, что спин обусловлен вращением электрона вокруг своей оси. Согласно этим представлениям электрон уподоблялся волчку или веретену. Кстати, отсюда происходит и сам термин «спин»: по-английски spin означает «верчение». Однако очень скоро пришлось отказаться от подобных модельных представлений, в частности по следующей причине. Вра­щающийся заряженный шарик должен обладать магнит­ным моментом, причем отношение магнитного момента к механическому должно иметь значение : (1)

Действительно, было установлено, что электрон, на­ряду с собственным механическим моментом, обладает также и собственным магнитным моментом . Однако ряд опытных фактов, в частности аномальный эффект Зеемана, свидетельствует о том, что отношение собствен­ных магнитного и механического моментов в два раза больше, чем для орбитальных моментов: (2)

Таким образом, представление об электроне как о вращающемся шарике оказалось несостоятельным. Спин следует считать внутренним свойством, присущим электрону подобно тому, как ему присущи заряд и масса.

Предположение о спине электрона было подтвер­ждено большим количеством опытных фактов и должно, считаться совершенно доказанным. Оказалось также, что наличие спина и все его свойства автоматически вы­текают из установленного Дираком уравнения квантовой механики, удовлетворяющего требованиям теории отно­сительности. Таким образом, выяснилось, что спин элек­трона является свойством одновременно квантовым и релятивистским. В настоящее время также установлено, что спином обладают и другие элементарные частицы: протоны, нейтроны, фотоны и др.

Величина собственного момента импульса электрона определяется по общим законам квантовой механики так называемым спиновым квантовым числом s, равным 1/2: . (3)

Составляющая механического момента по заданному направлению может принимать квантованные значения, отличающиеся друг от друга на h:

где (4)

Чтобы найти величину собственного магнитного мо­мента электрона, умножим Ms на отношение (2) к Ms:

. (5)

Знак минус указывает на то, что механический Ms и магнитный ц,5 моменты электрона направлены в про­тивоположные стороны.

Проекция собственного магнитного момента элек­трона на заданное направление может иметь следую­щие значения:

(минус получается, если ms = + , плюс — если ms = = -).

Таким образом, проекция собственного момента им­пульса электрона может принимать значения + и -, а собственного магнитного момента — значения + и . В ряд формул, в частности в выражение для энергии, входят не сами моменты, а их проекции. Поэтому принято говорить, что собственный механиче­ский момент (спин) электрона равен половине (подра­зумевается в единицах h), а собственный магнитный мо­мент равен одному магнетону Бора.

Рассмотрим теперь на примере атома натрия, как существование спина электрона может объяснить мультиплетную структуру спектра. Поскольку момент атом­ного остатка равен нулю, момент атома натрия равен моменту оптического электрона. Момент же электрона будет слагаться из двух моментов: орбитального Mi, об­условленного движением электрона в атоме, и спино­вого Ms, не связанного с движением электрона в пространстве. Результирующая этих двух моментов дает полный момент импульса оптического электрона. Сложе­ние орбитального и спинового моментов в полный мо­мент осуществляется по тем же квантовым законам, по которым складываются орбитальные моменты разных электронов. Величина полного момента Mj определяется квантовым числом j:

причем / может иметь значения:

где l и s соответственно азимутальное и спиновое кван­товые числа. При l=0 квантовое число j имеет только одно значение: j = s = . При l, отличном от нуля, возможны два значения: j = l + и j = l-, которые соответствуют двум возможным взаимным ориентациям моментов Ml и Ms — «параллельной» и «антипараллельной».

Теперь учтем, что с механическими моментами свя­заны магнитные моменты, которые взаимодействуют друг с другом подобно тому, как взаимодействуют два тока или две магнитные стрелки. Энергия этого взаимодей­ствия (называемого спин-орбитальным взаи­модействием) зависит от взаимной ориентации орбитального и собственного моментов. Следовательно, состояния с различными j должны обладать различной энергией.

Таким образом, каждый терм ряда Р(l=1) расщепляется на два, соответствующих j = и j = 3/2; каждый терм ряда в (l = 2) расщепляется на термы с j = 3/2 и j = , и т. д. Каждому терму ряда S(l= 0) соответствует только одно значение j= ; поэтому термы ряда S не расщепляются.

Итак, каждый ряд термов, кроме S, распадается на два ряда—структура термов оказывается дублетной (двойной). Термы принято обозначать символами:

Рис.1

Рис.2

С учетом тонкой структуры схема термов выглядит более сложно, о чем дают представление схемы уровней натрия (рис. 1) и цезия (рис. 2). Поскольку мультиплетное расщепление термов в и F для натрия очень мало, подуровни в и F, отличающиеся зна­чениями /, изображены на схеме слитно. Мультиплетное расщепление у цезия значительно больше, чем у натрия. На схеме цезия видно, что тонкая структура диффузной серии состоит не из двух линий, а из трех:

Возникновение этих линий пояснено дополнительно на рис. 206, Изображенный пунктиром переход запрещен правилом отбора:

= 0, ±1. (7)

В нижней части схемы на рис. 3 показано, как выглядит сам мультиплет. Толщина линий на, схеме пример­но соответствует" интенсивности спек­тральных линий. Совокупность полу­чающихся линий выглядит как дублет, у которого одна из компонент в свою очередь оказывается двойной. Такая группа линий называется не трипле­том, а сложным дублетом, так как она возникает в результате ком­бинации дублетных термов.

З

Рис. 3

Атом водорода

В атоме водорода или водородоподобном ионе потен­циальная энергия электрона равна где Ze — заряд ядра, r — расстояние между ядром и электроном.

Уравнение Шредингера имеет в этом случае вид (1)

Поскольку поле является центрально-симметричным, удобно воспользоваться сферической системой коорди­нат: r, , . Подставив в (1) выражение оператора Лапласа в сферических координатах, получим уравнение:

(2)

Можно показать, что уравнение (2) имеет требуе­мые (т. е. однозначные, конечные и непрерывные) реше­ния в следующих случаях: 1) при любых положительных значениях Е; 2) при дискретных отрицательных значе­ниях энергии, равных (n=1, 2, 3,…). (3)

Случай Е > 0 соответствует электрону, пролетающему вблизи ядра и удаляющемуся вновь на бесконечность. Случай Е < 0 соответствует электрону, находящемуся в пределах атома. Сравнение (3) с (5) показывает, что квантовая механика приводит к таким же значениям энергии водородного атома, какие получались и в теории Бора. Однако в квантовой механике эти значения полу- чаются логическим путем из основного предположения о том, что движение микрочастиц описывается уравнением Шредингера. Бору же для получения такого результата пришлось вводить специальные дополнительные предпо­ложения.

Собственные функции уравнения (2) содержат три целочисленных параметра. Один из них совпадает с но­мером уровня энергии п, два других принято обозначать буквами l и т. Эти числа называются квантовыми:

п — главное квантовое число,

l — азимутальное квантовое число,

т — магнитное квантовое число.

При данном п числа l и т могут принимать следую» щие значения:

L = 0, 1, 2, …, п -1,

т. е. всего п различных значений;

т=-l, -l+1, .... -1, 0, +1, .... l-1, l,

т. е. всего 2l + 1 различных значений.

Таким образом, каждому Еп (кроме Е1) соответ­ствует несколько волновых функций отличающихся значениями квантовых чисел l и т. Это означает, что атом водорода может иметь одно и то же значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях.

Состояния с одинаковой энергией называются вырожденными, а число различных состояний с каким-либо значением энергии называется кратностью вы­рождения соответствующего энергетического уровня.

Кратность вырождения уровней водорода легко вы­числить, исходя из возможных значений для l и т. Ка­ждому из п значений квантового числа l соответствует 2l + 1 значений квантового числа т. Следовательно, чис­ло различных состоя-

ний, соответствующих данному п, равно

Таким образом, ка­ждый уровень энергии водородного атома имеет вырождение кратности п2.

В табл. 3 приведе­ны состояния, соответ­ствующие первым трем энергетическим уров­ням.

Как мы выяснили, состояние электрона в водородном атоме за­висит от трех квантовых чисел п, l и т, при­чем значение главного квантового числа п. определяет энергию состояния. Естественно предположить, что и два других квантовых числа определяют какие-то физические величины. Действительно, в квантовой механике доказы­вается, что азимутальное квантовое число l определяет величину момента импульса электрона в атоме, а маг­нитное квантовое число т — величину проекции этого момента на заданное направление в пространстве. Под заданным направлением (мы будем обозначать его бук­вой z) понимают направление, выделенное физически,путем создания, например магнитного или электриче­ского поля.

Момент импульса М оказывается равным: (4)

Проекция момента импульса на заданное направле­ние равна: Мz = mh. (5)

Соотношения (4) и (5) показывают, что момент импульса электрона в атоме и проекция этого момента являются, как и энергия, квантованными величинами. Постоянную h можно рассматривать как естественную единицу момента импульса.

Итак, состояния с различными значениями азимуталь­ного квантового числа l отличаются величиной момента импульса. В атомной физике применяются заимствован­ные из спектроскопии условные обозначения состояний электрона с различными значениями момента импульса. Электрон, находящийся в состоянии с l = 0, называют s-электроном (соответствующее состояние — s-состояни-ем), с l = 1 — р-электроном, с l = 2 — d-электроном, с l = 3 — f-электроном, затем идут g, h и т. д. уже по алфа­виту. Значение главного квантового числа указывается перед условным обозначением квантового числа l. Та­ким образом, электрон в состоянии с п = 3 и l = 1 обо­значается символом Зр и т. д.

Поскольку l всегда меньше п, возможны следующие состояния электрона:

1s

2s, 2p,

3s, 3p, 3d,

4s, 4p, 4d, 4f

и.т.д.

Схему уровней энергии можно изобразить пользуясь схемой, показанной на рис. 1. На этой схеме отражено (правда, частично) вырождение уровней; кроме того, она имеет еще ряд су­щественных преимуществ, которые вскоре станут оче­видными.

Мы знаем, что испускание и поглощение света проис­ходит при переходах электрона с одного уровня на дру­гой. В квантовой механике доказывается, что возможны только такие переходы, при которых квантовое число / изменяется на единицу: . (6)

Условие, выраженное соотношением (6), называет­ся правилом отбора. Существование правила (6) обусловлено тем, что фотон обладает собственным момен­том импульса (спином), равным примерно h (в даль­нейшем мы уточним его значение). При испускании фотон уносит из атома этот момент, а при поглощении привносит, так что правило отбора (6) есть просто следствие закона сохранения момента импульса.

На рис. 198 показаны переходы, разрешенные пра­вилом (6). Пользуясь условными обозначениями со­стояний электрона, переходы, приводящие к возникнове­нию серии Лаймана, можно записать в виде:

np1s (n = 2, 3, ...); серии Бальмера соответствуют переходы:

ns2p и nd2p (n = 3, 4, ...),

и т. д.

Состояние 1s является основным состоянием атома водорода. В этом состоянии атом обладает минимальной энергией. Чтобы перевести атом из основного состояния в возбужденное (т. е. в состояние с большей энергией), ему необходимо сообщить энергию. Это может быть осу­ществлено за счет теплового соударения атомов (по этой причине нагретые тела светятся — атомы излучают, воз­вращаясь из возбужденного в основное состояние), или оптического возбуждения. Кроме обозначенных квантовых чисел имеет место спиновое квантовое число, характеризующее собственный механический момент электрона в атоме.

Нормальный эффект Зеемана

Если атомы, излучающие свет, поместить в магнит­ное поле, то линии, испускаемые этими атомами, рас­щепляются на несколько компонент. Это явление было обнаружено голландским физиком Зееманом в 1896 г. при наблюдении свечения паров натрия и носит его имя. Расщепление весьма невелико — при Н = 20 30 тысяч эрстед оно достигает лишь несколько десятых долей ангстрема.

Напрашивается предположение, что расщепление линий обусловлено расщеплением под действием маг­нитного поля энергетических уровней атома. Причину такого расщепления легко понять, если учесть, что вра­щающийся по орбите электрон обладает, наряду с ме­ханическим моментом М, также и магнитным момен­том: (6)

Хотя представление об орбитах, как и вообще пред­ставление о траекториях микрочастиц, является непра­вильным, соотношение (6) остается, как показывает опыт, справедливым.

Известно, что магнитный момент обладает в магнитном поле энергией:

(7) где — проекция магнитного момента на направление поля.

Вычислим величину орбитального магнитного момен­та электрона и величину проекции момента на направ­ление поля. Подставим в соотношение (7) квантово-механическое выражение для механического момента:

Величина эрг/гаусс (8) называется магнетоном Бора.

Проекция магнитного момента на направление поля равна: где т — магнитное квантовое число.

Рис.1.

Согласно (7) атом получает в магнитном поле до­бавочную энергию:

Следовательно, энергетический уровень Enl расщепляется на 2l + 1 равноотстоящих друг от друга подуровней (магнитное поле снимает вырождение по т), в связи с чем расщепляются и спектральные линии.

На рис. 1 показано рacщепление уровней и спектральных линий для перехода между состояниями сl = 1 и l = 0 (для Р S-перехода). В отсутствие поля наблюдается одна линия, частота которой обозначена . При включении поля, кроме линии o, появляются две

Рис.2

расположенные симметрично относительно нее линии с частотами и .

На рис. 202 дана аналогичная схема для более слож­ного случая — для перехода DP. На первый взгляд может показаться, что первоначальная линия должна в этом случае расщепиться на семь компонент. Однако на самом деле получается, как и в предыдущем случае, лишь три компоненты: линия с частотой ю0 и две сим­метрично расположенные относительно нее линии с ча­стотами и . Это объясняется тем, что для магнитного квантового числа т также имеется правило отбора, согласно которому возможны только такие переходы, при которых квантовое число т либо остается неизменным, либо изменяется на единицу:

(8)

Происхождение этого правила можно пояснить сле­дующим образом. Если механический момент электрона

Рис.3

при излучении изменяется на еди­ницу (фотон уносит с собой момент, равный единице), то из­менение проекции момента не мо­жет быть больше единицы.

С учетом правила (9) воз­можны только переходы, указан­ные на рис. 3. В результате по­лучаются три компоненты с ча­стотами, указанными выше. Опыт показывает, что эти компоненты поляризованы. Характер поляри­зации зависит от направления наблюдения. При поперечном наблюдении (т. е. при наблюдении в направлении, перпендикулярном к вектору Н ) световой (электриче­ский) вектор несмещенной компоненты (ее называют я-компонентой) колеблется в направлении, параллель­ном вектору Н, а в смещенных с-компонентах — в на­правлении, перпендикулярном к Н (рис. 3, а). При продольном наблюдении получаются только две сме­щенные компоненты. Обе поляризованы по кругу: сме­щенная в сторону меньших частот — против часовой стрелки, смещенная в сторону больших частот — по ча­совой стрелке (рис. 3, б).

Получающееся в рассмотренных случаях смещение компонент называется нормальным или лоренцевым смещением. Величина нормального сме­щения, очевидно, равна:

(9)

О

Рис.4

Частота и для видимого света имеет порядок 3-1015 сек-1 .Следовательно,

за счет столкновения атома с достаточно быстрым элек­троном, или, наконец, за счет поглощения атомом фотона.

Фотон при поглощении его атомом исчезает, переда­вая атому всю свою энергию. Атом не может поглотить только часть фотона, ибо фотон, как и электрон, как и

Рис.5

1snp (n = 2, 3, ...). Этот результат полностью согласуется с опытом.

Собственные функции s-состояний (т. е. состояний с l = 0) оказываются не зависящими от углов и . Это можно записать следующим образом:

Вероятность найти электрон в тонком шаровом слое радиуса r и толщины dr согласно (66.1) равна .

Выражение представляет собой плотность вероятности нахождения электрона на расстоянии r от ядра.

Волновые функции для l, отличных от нуля, распа­даются на два множителя, один из которых зависит толь­ко от r, а другой — только от углов и . Таким обра­зом, и в этом случае можно ввести понятие плотности вероятности нахождения электрона на расстоянии r от ядра, подразумевая под R(r) ту часть функции , кото­рая зависит только от r.

На рис. 5 приведены плотности вероятности для случаев: 1) п = 1, l = 0; 2) п = 2, l = 1 и 3) п = 3, l = 2. За единицу масштаба для оси r принят радиус первой боровской орбиты. На графиках отмечены радиусы соответствующих боровских орбит. Как видно из рисунка, эти радиусы совпадают с наиболее вероят­ными расстояниями электрона от ядра.