Контрольная работа: Прикладне вживання методів дискретної математики

Название: Прикладне вживання методів дискретної математики
Раздел: Рефераты по математике
Тип: контрольная работа

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ

Бердичівський політехнічний коледж

Контрольна робота

Прикладне вживання методів дискретної математики

м.Бердичів 2007 р.


Зміст

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Список використаної літератури

1. Задача 1

1. Задана універсальна множина U={a,b,c,d,e,f,g,h,i} і дві множини S={b,c,e,i}, T={c,e,f,i}. Знайти:

a) об’єднання, перетин, різницю і симетричну різницю множин SiT;

b) доповнення множини Sі доповнення множини T;

c) прямий добуток множин SiT;

d) задати функцію із Sв T: ін’єктивну, сюр’єктивну і бієктивну.

2. Дані відображення h1 і h2 , що представляють множину сумісних кортежів. Знайти:

a) h3 =(h1 Èh2 );

b) h4 =(h1 Çh2 );

c) h5 =(h1 \h2 );

h1 у x1 x2 x 3 h2 у x1 x2 x 3
2 b e 6 3 с e 6
3 с e 5 5 с b 2
5 с b 2 4 а c 5
4 а e 5 2 b e 6

d) h6 =(h1 Dh2 ).

3. Хай дані відношення r1 і r2 . Знайти:

a) r3 =(r1 Èr2 );

b) r4 =(r1 Çr2 );

c) r5 =(r1 \r2 ).

d) r6 =(r1 Dr2 ).

r1 x1 x2 x3 x4 r2 x1 x2 x3 x4
x1 1 1 0 1 x1 1 1 0 1
x2 0 1 0 1 x2 1 1 0 0
x3 1 0 1 0 x3 0 1 0 0
x4 0 1 1 1 x4 0 0 1 1

Відповідь:

1.

а)А=SÈT = {b, c, e, f, i};

А= SÇT = {c, e, i};

A = S\T = {b}; B = T\S = {f}:

A = SDT = {b, f}.

b) A = ùS = {a, d, f, g, h};

B = ùT = {a, b, d, g, h}.

c) SÄT= {{b, c}, {b, e}, {b, f}, {b, i}, {c, c}, {c, e}, {c, f}, {c, i}, {e, c}, {e, e}, {e, f}, {e, i}, {i, c}, {i, e}, {i, f}, {i, i}}.

2.

a) h3 =

у x1 x2 x 3
2 b e 6
3 с e 5
5 с b 2
4 а e 5
3 с e 6
4 а c 5

b) h4 =

c) h5 =
у x1 x2 x 3
3 с e 5
4 а e 5

d) h6 =

у x1 x2 x 3
2 b e 6
5 с b 2

3.

a)

r 3 x1 x2 x3 x4
x1 1 1 0 1
x2 1 1 0 1
x3 1 1 1 0
x4 0 1 1 1

b)

r 4 x1 x2 x3 x4
x1 1 1 0 1
x2 0 1 0 0
x3 0 0 0 0
x4 0 0 1 1

c)

r 3 x1 x2 x3 x4
x1 0 0 0 0
x2 0 0 0 1
x3 1 0 1 0
x4 0 1 0 0

d)

r 3 x1 x2 x3 x4
x1 0 0 0 0
x2 1 0 0 1
x3 1 1 1 0
x4 0 1 0 0

2. Задача 2

У колоді 52 карти. У скількох випадках при виборі з колоди 10 карт серед них виявляться: а) рівно один туз; б) хоча б один туз; в) не менше двох тузів; г) рівно два тузи?

Відповідь:

а) Всього у колоді 4 тузи. Отже за правилом добутку перемножимо ймовірність вибору з чотирьох тузів одного туза та ймовірність вибору інших карт, тобто 9 з 48:

.

б) Хоча б один туз – це означає може бути і 4, і 3, і 2, і 1. Отже для розв'язку необхідно від ймовірності вибору 10 карт з 52 відняти ймовірність вибору 10 карт з 48:

.

в) Не менше двох тузів – означає, що з 10 карт буде 4, 3 або 2 тузи. Рішенням буде попередня відповідь від якої відняти ймовірність вибору 1 туза (першої відповіді):

.

г) Аналогічно розв'язку першого завдання отримаєм:

3. Задача 3

Граф заданий матрицею вагів. Побудувати для нього остов мінімальної ваги використовуючи алгоритми Пріма та Краскала, за алгоритмом Флойда обчислити найкоротші шляхи графа.

Відповідь:

Будова графа:

Побудова остову мінімальної ваги по алгоритму Краскала:

Встановлюємо частковий порядок по вазі ребер графа:

L13 L15 L14 L12 L23 L45 L34 L35 L24 L25
8 8 9 11 12 12 14 15 18 20

Будуємо остов мінімальної ваги:


Крок Ребра остову Вершини остову
L13 L15 L14 L12 x1 x2 x3 x4 x5
1 1 0 0 0 1 1 0 0 0
2 1 1 0 0 1 1 1 0 0
3 1 1 1 0 1 1 1 1 0
4 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Lij 8 8 9 11 L=8+8+9+11=36

Обчислення найкоротших шляхів за алгоритмом Флойда:

Будуємо матрицю вагів та матрицю переходів:

А0 = Р0 =

Елементи матриці вагів будемо знаходити за формулою:

Ak [i; j] = min (Ak-1 [i; j], Ak-1 [i; k] + Ak-1 [k; j])

Перша ітерація:k=1


А1 = Р1 =

Друга ітерація:k=2

А2 = Р2 =

Третя ітерація:k=3

А3 = Р3 =

Четверта ітерація:k=4

А4 = Р4 =

П’ята ітерація:k=5

А5 = Р5 =

4. Задача 4

Знайти мінімальну ДНФ логічної функції F= F(хг , х2 , х3 , х4 ), яка дорівнює одиниці на наборах 2, 3, 4, 11, 14, 15 і нулю на решті наборів.

Відповідь:

Спочатку необхідно подати функцію у ДДНФ.

ДДНФ =x1 x2 x3 x4 Úx1 x2 x3 x4 Úx1 x2 x3 x4 Úx1 x2 x3 x4 Úx1 x2 x3 x4 Úx1 x2 x3 x4

Виконуємо склеювання:

1-2 x1 x2 x3

1-4 x2 x3 x4

2-4 x2 x3 x4

4-6 x1 x3 x4

5-6 x1 x2 x3

ДДНФ = x1 x2 x3 Úx2 x3 x4 Úx2 x3 x4 Úx1 x3 x4 Úx1 x2 x3 Úx1 x2 x3 x4

1-2 x2 x3

1-3 x2 x3

2-3 x2 x3

3-4 x3 x4

4-5 x1 x3

ДДНФ = x2 x3 Úx3 x4 Úx1 x3 Úx1 x2 x3 x4

ДДНФ x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4
x2 x3 + + - + - -
x3 x4 - + - + - +
x1 x3 - - - + + +
x1 x2 x3 x4 - - + - - -

Отже,

minДНФ = x1 x3 Úx2 x3 Úx1 x2 x3 x4


Список використаної літератури

1. «Дискретна математика» С.Лук’яненко. К-2000

2. «Комбінаторика» Д.Сафонов. М-1992

3. «Комбінаторика для програмістів» В.Липський. М-1988

4. Конспект лекцій

5. Комп’ютерна мережа Інтернет