Реферат: Метод наименьших квадратов в случае интегральной и дискретной нормы Гаусса
Название: Метод наименьших квадратов в случае интегральной и дискретной нормы Гаусса Раздел: Рефераты по математике Тип: реферат | ||||||||||||||
Метод наименьших квадратов в случае интегральной и дискретной нормы Гаусса 1. Постановка задачи При решении многих задач физики и других прикладных наук возникает необходимость вместо функции Например: Например: всякую
т.е.
где
т.е. Известно также, что В утверждение, что функция а) можно потребовать, чтобы приближающая функция Если б) функцию В функциональном пространстве Гильберта
часто, в качестве нормы рассматривают Чебышевскую норму (Т – первая буква фамилии Чебышева на немецком языке):
При использовании нормы (5) говорят о равномерном приближении функции Подробная теория Т-приближений была развита в работах немецкого математика Л. Коллатца. На практике, для оценки характера приближения, часто применяют метод наименьших квадратов, при котором невязка вычисляется по дискретной норме Гаусса:
Ясно, что метод наименьших квадратов (6) – является дискретным аналогом функции Гаусса (4). Принципиальную возможность приближения любой непрерывной функции
2. Метод наименьших квадратов в случае приближения функции Мы ранее рассматривали задачу аппроксимации результатов неточного эксперимента линейной функцией Как известно, для линейной независимости системы функций
где
В приближающей функции 2.1 Квадратичное приближение таблично заданной функции Рассмотрим задачу приближения функции
где неизвестная функция
Очевидно, что условия минимума дискретной функции невязки Гаусса
Эти условия для (11) преобразуются к виду:
Раскрывая систему (13) получаем систему уравнений для определения коэффициентов разложения
Нетрудно увидеть, что вводя скалярные произведения в соответствующем функциональном пространстве в виде:
систему (14) можно переписать в нормальном виде Гаусса:
Ясно, что эта система имеет единственное решение, т.к. определитель системы (16) совпадает с определителем Грама для базисных функций Найдя
которая является приближением к функции
а дискретная норма Гаусса невязки имеет вид:
2.2 Интегральное приближение функции В предыдущем параграфе мы рассматривали приближение функции Рассмотрим теперь случай, когда аналитически заданную, на интервале
так, чтобы минимизировалась интегральная норма невязки Гаусса
иначе говоря, нам нужно минимизировать интеграл
Для решения этой задачи подставим (20) в (22), тогда функционал (22) превратится в функцию многих переменных, т.е.
Эти условия приобретают вид:
т.е.
Определитель этой системы представляет собой определитель Грама для функций Задача аппроксимации функции заданной аналитически часто применяется для вычисления интегралов. 2.3 Числовые примеры на применение метода наименьших квадратов Гаусса для приближения функций заданных таблично или аналитически а) Рассмотрим пример в случае табличного задания функции Пример 1:
пусть функция
с помощью метода наименьших квадратов аппроксимировать эту функцию в классе линейных функций. Т.е. допускаем, что
Необходимые условия минимума для
Из (27) – получаем нормальные уравнения Гаусса:
Решение имеет вид:
т.е.
б) Теперь, рассмотрим пример в случае приближения сложных аналитически заданных Пример 2:
Функцию Решение: интегральная норма невязки для данной функции имеет вид:
Необходимые условия минимума для
т.е.
Из уравнений (33) и (34) находим
аппроксимирующий многочлен имеет вид:
или
Для более глубокого изучения теории приближения, необходимо знание численных методов вычисления интегралов и методов решения систем уравнения, поэтому на следующей лекции мы временно прервем изложение теории аппроксимации и перейдем на подготовительную работу. Литература1). К. Ректорис. Вариационные методы в математической физике и механике. Мир, М.,1995 2). С.Г. Михлин. Численная реализация вариационных методов, М., Наука, 1996 3). Л.А. Кальницкий, Д.А. Добротин, В.Ф. Жевердеев. Специальный курс высшей математики для втузов. М., ”Высшая математика”, 1996 4). Т. Шуп. Решение инженерных задач на ЭВМ. Мир, М., 1982 5). Л. Коллатц. Функциональный анализ и вычислительная математика. Мир, М., 1999 6). Р. Варга. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе. Мир, М., 1994 7). Л. Коллатц, Ю. Альбрехт. Задачи по прикладной математике. Мир, М.,1998. |