Реферат
на тему:
"Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя"
1. Теорема Ролля
Знание производной некоторой функции позволяет судить о характерных особенностях в поведении этой функции. В основе всех таких исследований лежат некоторые простые теоремы, называемые теоремами о среднем в дифференциальном исчислении.
Начнем рассмотрение таких теорем с теоремы, связываемой с именем французского математика Ролля (1652–1719).
Теорема 1.1. Если функция  непрерывна на отрезке  , дифференцируема во всех его внутренних точках, а на концах отрезка  ,  обращается в ноль, то существует, по крайней мере, одна точка  , в которой
 .
Доказательство. Так как функция непрерывна на отрезке , то, согласно свойству 11.1.1, она должна достигать хотя бы один раз на этом отрезке своего минимума  и максимума  (рис. 1.1).
Если  , функция постоянна, то есть  . Но в этом случае  для любого  .
В общем случае  , и хотя бы одно из этих чисел не равно нулю. Предположим для определенности, что  . Тогда существует точка  , в которой  .
Рис. 1.1
Так как рассматриваемое значение является максимальным, то для него справедливо, что  для  и  .
Рассмотрим пределы
 для
и
 для .
Так как оба предела равны производной функции в одной и той же точке , то они равны между собой. Значит, из одновременности  и  следует, что , что и требовалось доказать.
Следует отметить, что данная теорема справедлива и в том случае, когда на концах отрезка функция не обращается в ноль, но принимает равные значения  . Доказательство проводится аналогично.
Геометрический смысл данной теоремы следующий: если непрерывная кривая пересекает ось  в двух точках , или принимает в них равные значения, то, по крайней мере, в одной точке между  и  касательная к кривой параллельна оси .
Необходимо отметить, что если не во всех точках у рассматриваемой функции существует производная, то теорема может не выполняться. Это касается, например, функции  (рис. 1.2):
Рис. 1.2
Данная функция непрерывна на отрезке  и обращается в ноль на его концах, но ни в одной точке внутри отрезка производная не равна нулю.
2. Теорема Лагранжа
Результаты теоремы Ролля используются при рассмотрении следующей теоремы о среднем, принадлежащей Лагранжу (1736–1813).
Теорема. Если функция непрерывна на отрезке  и дифференцируема во всех его внутренних точках, то существует, по крайней мере, одна точка , в которой
 .
Доказательство. Рассмотрим график функции (рис. 2.1).
Проведем хорду, соединяющую точки  и  , и запишем ее уравнение. Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки на плоскости, получим:
 ,
откуда:
Рис. 2.1
 и  .
Составим теперь вспомогательную функцию, вычтя из уравнения кривой уравнение хорды:
 .
Полученная функция  непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках. Кроме того, вычисление в точках и показывает, что  . Значит, функция на отрезке удовлетворяет требованиям теоремы Ролля. Но в этом случае существует такая точка , в которой  .
Вычислим производную функции :
 .
Согласно теореме Ролля в точке производная , то есть  и
,
что и требовалось доказать.
Геометрический смысл теоремы Лагранжа следующий: внутри отрезка существует, по крайней мере, одна точка, в которой касательная параллельна хорде, стягивающей кривую на данном отрезке. В частности, при теорема переходит в теорему Ролля.
Теорему Лагранжа часто записывают в следующем виде:
 ,
то есть приращение функции равно приращению аргумента, умноженному на производную функции в некоторой внутренней точке. В связи с этим теорему Лагранжа называют также теоремой о конечных приращениях.
3. Теорема Коши
Рассмотрим, наконец, третью теорему о среднем, принадлежащей Коши (1789–1859), которая является обобщением теоремы Лагранжа.
Теорема. Если функции  и  непрерывны на отрезке и дифференцируемы во всех его внутренних точках, причем  не обращается в ноль ни в одной из указанных точек, то существует, по крайней мере, одна точка , в которой
 .
Доказательство. Так как  во всех точках  , то отсюда следует, что  . В противном случае, как следует из теоремы Ролля, существовала хотя бы одна точка , в которой  .
Составим вспомогательную функцию
 .
Данная функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках. Кроме того, вычисление ее в точках и дает: . Значит, функция удовлетворяет требованиям теоремы Ролля, то есть существует хотя бы одна точка , в которой .
Вычислим производную :
 .
Из условия следует, что
 и ,
что и требовалось доказать.
В случае, когда  , теорема Коши переходит в формулировку теоремы Лагранжа.
4. Правило Лопиталя
На основании теоремы Коши о среднем можно получить удобный метод вычисления некоторых пределов, называемый правилом Лопиталя (1661–1704).
Теорема. Пусть функции  и непрерывны и дифференцируемы во всех точках полуинтервала  и при  совместно стремятся к нулю или бесконечности. Тогда, если отношение их производных имеет предел при , то этот же предел имеет отношение и самих функций, то есть
 .
Проведем доказательство данной теоремы только для случая, когда  . Так как пределы у обеих функций одинаковы, то доопределим их на отрезке , положив, что при выполняется равенство  .
Возьмем точку  . Так как функции и удовлетворяют теореме Коши (п. 2.14), применим ее на отрезке  :
 , где  .
Так как , то
 .
Перейдем в данном равенстве к пределу:
 .
Но если , то и  , находящееся между точками и , будет стремится к , значит
 .
Отсюда, если  , то и  , то есть
,
что и требовалось доказать.
Если при  , то снова получается неопределенность вида  и правило Лопиталя можно применять снова, то есть
Доказательство правила Лопиталя для случая  проводится сложнее, и мы его рассматривать не будем.
При раскрытии неопределенностей типа  ,  ,  ,  ,  правило Лопиталя применять непосредственно нельзя. Вначале все эти неопределенности необходимо преобразовать к виду или .
Правило Лопиталя может быть использовано при сравнении роста функций, в случае когда  . Наибольший практический интерес здесь представляют функции  ,  ,  . Для этого найдем пределы их отношений:
1)  , значит, растет быстрее, чем ;
2)  , значит, растет быстрее, чем ;
3)  , значит, растет быстрее, чем .
Отсюда следует, что быстрее всего растет , затем и, наконец, .
Литература
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., «Высшая школа» изд. 5, 1977.
2. Зайцев И.А. Высшая математика. ДРОФА, 2005. – 400 с.
3. Краснов М. Вся высшая математика т. 1 изд. 2. Едиториал УРСС, 2003. – 328 с.
4. Краснов М.Л., Макаренко Г.И., Киселев А.И., Шикин Е.В. Вся высшая математика Интегральное исчисление. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Дифференциальная геометрия Том 2.: Учебник – 3-е изд. ЛКИ, 2007.
5. Мироненко Е.С. Высшая математика. М: Высшая школа, 2002. – 109 с.
|