Реферат: Решение матричных уравнений Базисный минор Ранг Действия над матрицами
Название: Решение матричных уравнений Базисный минор Ранг Действия над матрицами Раздел: Рефераты по математике Тип: реферат |
Дисциплина: "Высшая математика" Тема: "Решение матричных уравнений: Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами" 1. Базовые действия над матрицамиОпределение 1. Две матрица называются равными, если они имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают . Определение 2. Суммой двух матриц На письме это действие может быть записано так: Определение 3. Произведением матрицы Умножение матрицы на число может быть записано: Эта операция обладает следующими свойствами: сочетательным относительно числового множителя После первых двух действий необходимо отметить, что вычитание матриц производится аналогично сложению, а деление матрицы на число может быть определено как умножение на обратное число. Определение 4. Произведением матрицы Записывается это действие так Произведение матриц Среди квадратных матриц необходимо выделить важный класс диагональных матриц. Определение 5. Диагональной называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные вне главной диагонали, равны 0:
В том случае, если Среди диагональных матриц с равными друг другу элементами особое место занимают две матрицы: единичная и нулевая. У единичной матрицы Как было показано 2. Обратная матрицаКроме действий над матрицами как сложение, вычитание, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу есть также операция делении на матрицу. Она эквивалентна умножению на обратную матрицу. Рассмотрим, что же это такое. Определение 1. Матрица Поскольку Прежде чем рассматривать вопрос о существовании обратной матрицы, введем некоторые понятия. Определение 2. Если определитель квадратной матрицы отличен от нуля, то матрица называется невырожденной. В противном случае она называется вырожденной . Определение 3. Пусть дана квадратная матрица
Матрицей союзной или присоединенной к матрице
где Необходимо обратить внимание на то, что в матрице Теорема 1. Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц, то есть Теорема 2. Матрица Доказательство. Пусть для матрицы
иначе единицы справа быть не может. Теорема 3. У каждой невырожденной матрицы существует единственная обратная Доказательство. Пусть
Теорема 4. У каждой невырожденной квадратной матрицы существует обратная, равная Докажем эту теорему, вычисляя
В полученном выражении, если Итак, если Но Отсюда следует правило вычисления обратной матрицы: 1. находим 2. транспонируем матрицу 3. заменяем каждый элемент транспонированной матрицы его алгебраическим дополнением; 4. делим каждый полученный элемент на 3. Решение матричных уравненийПонятие обратной матрицы дает возможность решать матричные уравнения. Пусть имеется уравнение вида
При решении подобных уравнений необходимо учитывать, с какой стороны стоит множитель при
Если же уравнение имеет множители при ( 4. Базисный минор и ранг матрицыВведя понятие линейной комбинации строк и столбцов матрицы, как это было сделано у векторов, можно ввести понятие их линейной зависимости и независимости. Определение 1. Строки Здесь 0 - нулевая строка. Определение 2. Строки В этом случае линейная комбинация называется тривиальной. Так же как и у векторов имеется соответствующая теорема. Теорема 1. Для того чтобы строки Доказательство проводится так же, как и в 4 (там это разбито на две теоремы). Теорема 2. Если в систему строк матрицы входит нулевая строка, то эти строки линейно зависимы . Доказательство. Действительно, нулевая строка представляет собой тривиальную линейную комбинацию любых строк. Но тогда мы сразу переходим к теореме 1. Рассмотрим теперь понятие базисного минора. Пусть имеется произвольная матрица порядка
Определение 3. Минором Определение 4. В матрице Очевидно, что в матрице может быть несколько базисных миноров, но все они должны быть одного порядка. Определение 5. Рангом матрицы называется порядок базисного минора
. Обозначается ранг матрицы - Теорема 3. (Теорема о базисном миноре). Базисные строки и столбцы линейно независимы. Любая другая строка или столбец матрицы Доказательство проведем для строк. Покажем вначале, что базисные строки линейно независимы. Если бы они были линейно зависимы, то одна из этих строк была бы линейной комбинацией остальных. Тогда на основании свойств определителя эту комбинацию можно вычесть из указанной строки и получить на ее месте ноли. Но если вся строка состоит из нолей, то минор равен нулю, что противоречит теореме. Докажем вторую часть этой теоремы. Рассмотрим любой минор
По определению данный минор равен нулю. Раскроем его по последнему столбцу:
Здесь Из полученного выражения следует, что Отсюда можно сделать вывод, что число линейно независимых строк или столбцов равно рангу матрицы. Это свойство используется для практического вычисления Литература1. Александров В.В., Потапов М.К., Пасиченко П.И., Потапов М.К. Александров В.В., Потапов М. К и др. Алгебра, тригонометрия и элементарные функции. Учебник. М: Высшая школа, 2001. - 736с. 2. Тоом А., Гельфанд И., Львовский С. Тригонометрия. МЦМНО, 2003. - 200с. 3. Баврин И.И. Высшая математика - 1980 г. 4. Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун Матричные вычисления. - М.: Мир, 1999. 5. Беллман Р. Введение в теорию матриц. - М.: Мир, 1969. 6. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц (2-е издание). - М.: Наука, 1966. 7. Ланкастер П. Теория матриц. - М.: Наука, 1973. |