Дисциплина: "Высшая математика"
Тема: "Решение матричных уравнений: Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами"
1. Базовые действия над матрицами
Определение 1. Две матрица называются равными, если они имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают
.
Определение 2. Суммой двух матриц  ( ) и  () одинаковых порядков  называется матрица  () того же порядка, элементы которой равны
 .
На письме это действие может быть записано так:  . Операция сложения обладает, очевидно, обычными свойствами: перестановочным  ; сочетательным  .
Определение 3. Произведением матрицы на число  называется матрица , элементы которой равны
 .
Умножение матрицы на число может быть записано:  или  .
Эта операция обладает следующими свойствами: сочетательным относительно числового множителя  ; распределительным относительно суммы матриц  ; распределительным относительно суммы чисел  .
После первых двух действий необходимо отметить, что вычитание матриц производится аналогично сложению, а деление матрицы на число может быть определено как умножение на обратное число.
Определение 4. Произведением матрицы  ( ), имеющей порядок  , на матрицу  ( ), имеющую порядок  , называется матрица ( ), имеющая порядок , элементы которой равны  , где
.
Записывается это действие так  . Из сказанного выше следует, что для нахождения элемента  , в произведении  необходимо попарно перемножить все соответствующие элементы  -ой строки матрицы  на элементы  -го столбца матрицы  , а затем все это сложить. Из определения также следует, что для умножения двух матриц необходимо, чтобы число столбцов матрицы было равно числу строк матрицы . Отсюда следует, что одновременно произведение и  существует только лишь в том случае, когда число столбцов равно числу строк , а число столбцов равно числу строк . В этом случае и будут квадратными матрицами, но разных порядков. Чтобы оба произведения были одинакового порядка, необходимо, чтобы и были квадратными матрицами одинакового порядка.
Произведение матриц имеет свойства: сочетательное  ; распределительное  . Перестановочным свойством в общем случае произведение матриц не обладает. Оно выполняется лишь в некоторых случаях.
Среди квадратных матриц необходимо выделить важный класс диагональных матриц.
Определение 5. Диагональной называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные вне главной диагонали, равны 0:
 .
В том случае, если  , то для любой квадратной матрицы порядка  справедливо  . Действительно, для  получаем  . Для  -  . Отсюда,  .
Среди диагональных матриц с равными друг другу элементами особое место занимают две матрицы: единичная и нулевая. У единичной матрицы  , обозначается она -  , у нулевой  , обозначается она -  .
Как было показано  ,  . Перемножив эти матрицы, можно убедиться, что  ;  . Таким образом, матрицы и выполняют ту же роль, что и 1 и 0 среди чисел. Вообще нулевой называют любую матрицу, элементы которой равны нулю.
2. Обратная матрица
Кроме действий над матрицами как сложение, вычитание, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу есть также операция делении на матрицу. Она эквивалентна умножению на обратную матрицу. Рассмотрим, что же это такое.
Определение 1. Матрица  , удовлетворяющая вместе с матрицей  равенствам  , где  - единичная матрица, называется обратной к и обозначается 
.
Поскольку и обладают в произведении перестановочным свойством, то обе матрицы должны быть квадратными и одного порядка.
Прежде чем рассматривать вопрос о существовании обратной матрицы, введем некоторые понятия.
Определение 2. Если определитель квадратной матрицы отличен от нуля, то матрица называется невырожденной. В противном случае она называется вырожденной
.
Определение 3. Пусть дана квадратная матрица
 .
Матрицей союзной или присоединенной к матрице называется матрица
 ,
где  алгебраические дополнения элементов  данной матрицы
.
Необходимо обратить внимание на то, что в матрице  алгебраические дополнения к элементам  -ой строки расположены в -ом столбце.
Теорема 1. Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц, то есть 
.
Теорема 2. Матрица имеет обратную только в том случае, если она невырожденная
.
Доказательство. Пусть для матрицы существует обратная , тогда  . Отсюда следует, что
 ,
иначе единицы справа быть не может.
Теорема 3. У каждой невырожденной матрицы существует единственная обратная
.
Доказательство. Пусть имеет две обратные матрицы  и  . Тогда
 и  .
Теорема 4. У каждой невырожденной квадратной матрицы существует обратная, равная 
.
Докажем эту теорему, вычисляя  . Очевидно, что мы должны получить при этом матрицу  , элементы которой находятся по формуле
 .
В полученном выражении, если  , то  . Действительно,  похоже на выражение для вычисления величины определителя. При этом элементы -ой строки умножаются на алгебраические дополнения  -го столбца. Но так как эти дополнения содержат в себе -ую строку, то получается, что мы вычисляем определитель с двумя одинаковыми строками. Значит, он равен нулю.
Итак, если , то . Если же  , то полученное выражение в точности соответствует формуле для вычисления определителя. Значит,
  
Но определяет диагональные элементы. Значит, в полученной матрице по главной диагонали стоят единицы, а остальные элементы - нули. Это единичная матрица . Следовательно, и .
Отсюда следует правило вычисления обратной матрицы:
1. находим  (он должен быть не равен нулю);
2. транспонируем матрицу ;
3. заменяем каждый элемент транспонированной матрицы его алгебраическим дополнением;
4. делим каждый полученный элемент на .
3. Решение матричных уравнений
Понятие обратной матрицы дает возможность решать матричные уравнения. Пусть имеется уравнение вида  , где , , ,  - некоторые матрицы, причем - неизвестная. Для нахождения , прежде всего, необходимо перенести вправо:  . Затем, пользуясь тем, что , умножим равенство на :
 .
При решении подобных уравнений необходимо учитывать, с какой стороны стоит множитель при . Если уравнение имеет вид  , то
 .
Если же уравнение имеет множители при с обеих сторон
( ), то  .
4. Базисный минор и ранг матрицы
Введя понятие линейной комбинации строк и столбцов матрицы, как это было сделано у векторов, можно ввести понятие их линейной зависимости и независимости.
Определение 1. Строки  ,  ,...,  называются линейно зависимыми, если существуют числа  , не все равные нулю, такие что справедливо равенство 
.
Здесь 0 - нулевая строка.
Определение 2. Строки  называются линейно независимыми, если их линейная комбинация обращается в ноль лишь при условии, что 
.
В этом случае линейная комбинация называется тривиальной.
Так же как и у векторов имеется соответствующая теорема.
Теорема 1. Для того чтобы строки были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы одна из них была линейной комбинацией остальных
.
Доказательство проводится так же, как и в 4 (там это разбито на две теоремы).
Теорема 2. Если в систему строк матрицы входит нулевая строка, то эти строки линейно зависимы
.
Доказательство. Действительно, нулевая строка представляет собой тривиальную линейную комбинацию любых строк. Но тогда мы сразу переходим к теореме 1.
Рассмотрим теперь понятие базисного минора. Пусть имеется произвольная матрица порядка  :
 .
Определение 3. Минором  -го порядка матрицы называется определитель -го порядка с элементами, лежащими на пересечении любых строк и столбцов матрицы
.
Определение 4. В матрице , порядка , минор порядка  называется базисным, если он не равен нулю, а все остальные миноры порядка  равны нулю или миноров порядка вообще нет, то есть совпадает с меньшим из чисел  или 
.
Очевидно, что в матрице может быть несколько базисных миноров, но все они должны быть одного порядка.
Определение 5. Рангом матрицы называется порядок базисного минора
. Обозначается ранг матрицы -  . Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными.
Теорема 3. (Теорема о базисном миноре). Базисные строки и столбцы линейно независимы. Любая другая строка или столбец матрицы являются линейной комбинацией базисных строк или столбцов
.
Доказательство проведем для строк. Покажем вначале, что базисные строки линейно независимы. Если бы они были линейно зависимы, то одна из этих строк была бы линейной комбинацией остальных. Тогда на основании свойств определителя эту комбинацию можно вычесть из указанной строки и получить на ее месте ноли. Но если вся строка состоит из нолей, то минор равен нулю, что противоречит теореме.
Докажем вторую часть этой теоремы. Рассмотрим любой минор -го порядка, включающий в себя базисный. Расположим базисный минор в левом верхнем углу:
 .
По определению данный минор равен нулю. Раскроем его по последнему столбцу:
 .
Здесь  , разделим на него все равенство:
Из полученного выражения следует, что -ая строка является линейной комбинацией базисных строк.
Отсюда можно сделать вывод, что число линейно независимых строк или столбцов равно рангу матрицы. Это свойство используется для практического вычисления .
Литература
1. Александров В.В., Потапов М.К., Пасиченко П.И., Потапов М.К. Александров В.В., Потапов М. К и др. Алгебра, тригонометрия и элементарные функции. Учебник. М: Высшая школа, 2001. - 736с.
2. Тоом А., Гельфанд И., Львовский С. Тригонометрия. МЦМНО, 2003. - 200с.
3. Баврин И.И. Высшая математика - 1980 г.
4. Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун Матричные вычисления. - М.: Мир, 1999.
5. Беллман Р. Введение в теорию матриц. - М.: Мир, 1969.
6. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц (2-е издание). - М.: Наука, 1966.
7. Ланкастер П. Теория матриц. - М.: Наука, 1973.
|