Федеральное агентство по образованию
Всероссийский заочный финансово-экономический институт
Кафедра экономико-математических методов и моделей
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине «Эконометрика»
Вариант № 3
Исполнитель: Глушакова Т.И.
Специальность: Финансы и кредит
Курс: 3
Группа: 6
№ зачетной книжки: 07ффд41853
Руководитель: Денисов В.П.
г. Омск 2009г.
Задачи
По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.). Требуется:
1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
 - уравнение линейной регрессии, где  - параметры уравнения.
 , где  , - средние значения признаков.
 , где n – число наблюдений.
Представим вычисления в таблице 1:
Таблица 1. Промежуточные расчеты.
| t |
xi |
yi |
yi* xi |
xi*xi |
| 1 |
38 |
69 |
2622 |
1444 |
| 2 |
28 |
52 |
1456 |
784 |
| 3 |
27 |
46 |
1242 |
729 |
| 4 |
37 |
63 |
2331 |
1369 |
| 5 |
46 |
73 |
3358 |
2116 |
| 6 |
27 |
48 |
1296 |
729 |
| 7 |
41 |
67 |
2747 |
1681 |
| 8 |
39 |
62 |
2418 |
1521 |
| 9 |
28 |
47 |
1316 |
784 |
| 10 |
44 |
67 |
2948 |
1936 |
| средн. знач. |
35,5 |
59,4 |
 |
2108,7 |
 |
1260,25 |
 |
21734 |
 |
13093 |
| n |
10 |
 |
1,319 |
 |
12,573 |
Таким образом, уравнение линейной регрессии имеет вид:
Коэффициент регрессии равен 1,319>0, значит связь между объемом капиталовложений и выпуском продукции прямая, увеличение объема капиталовложений на 1 млн. руб. ведет к увеличению объема выпуска продукции в среднем на 1,319 млн. руб. Это свидетельствует об эффективности работы предприятий.
2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков  ; построить график остатков.
Вычислим прогнозное значение Y по формуле:
Остатки вычисляются по формуле:
 .
Представим промежуточные вычисления в таблице 2.
Таблица 2. Вычисление остатков.
 |
 |
 |
 |
| 69 |
62,695 |
6,305 |
39,75303 |
| 52 |
49,505 |
2,495 |
6,225025 |
| 46 |
48,186 |
-2,186 |
4,778596 |
| 63 |
61,376 |
1,624 |
2,637376 |
| 73 |
73,247 |
-0,247 |
0,061009 |
| 48 |
48,186 |
-0,186 |
0,034596 |
| 67 |
66,652 |
0,348 |
0,121104 |
| 62 |
64,014 |
-2,014 |
4,056196 |
| 47 |
49,505 |
-2,505 |
6,275025 |
| 67 |
70,609 |
-3,609 |
13,02488 |
Дисперсия остатков вычисляется по формуле:
 
 .
Построим график остатков с помощью MSExcel.
Рис. 1. График остатков.
3. Проверить выполнение предпосылок МНК
Проверим независимость остатков с помощью критерия Дарбина-Уотсона.
Вычислим коэффициент Дарбина-Уотсона по формуле:
 .
Данные для расчета возьмем из таблицы 2.
dw = 0,803
Сравним полученное значение коэффициента Дарбина-Уотсона с табличными значениями границ  и  для уровня значимости 0,05 при k=1 и n=10. =0,88, =1,32, dw < d , значит, остатки содержат автокорреляцию. Наличие автокорреляции нарушает одну из предпосылок нормальной линейной модели регрессии.
Проверим наличие гетероскедастичности. Т.к. у нас малый объем выборки (n=10) используем метод Голдфельда-Квандта.
- упорядочим значения n наблюдений по мере возрастания переменной x и разделим на две группы с малыми и большими значениями фактора x соответственно.
- рассчитаем остаточную сумму квадратов для каждой группы.
Вычисления представим в таблицах 3 и 4.
Таблица 3. Промежуточные вычисления для 1-го уравнения регрессии.
| t |
xi |
yi |
yi* xi |
xi*xi |
 |
 |
 |
| 1 |
27 |
46 |
1242 |
729 |
47 |
-1 |
1 |
| 2 |
27 |
48 |
1296 |
729 |
47 |
1 |
1 |
| 3 |
28 |
47 |
1316 |
784 |
49,5 |
-2,5 |
6,25 |
| 4 |
28 |
52 |
1456 |
784 |
49,5 |
2,5 |
6,25 |
| средн. знач. |
27,5 |
48,25 |
 |
1326,875 |
|
756,25 |
 |
5310,00 |
 |
3026,00 |
| n |
4 |
 |
2,5 |
 |
- 20,5 |
 |
14,5 |
Таблица 4. Промежуточные вычисления для 2-го уравнения регрессии.
| t |
xi |
yi |
yi* xi |
xi*xi |
|
 |
|
| 1 |
37 |
63 |
2331 |
1369 |
63,789 |
-0,789 |
0,623 |
| 2 |
38 |
69 |
2622 |
1444 |
64,582 |
4,418 |
19,519 |
| 3 |
39 |
62 |
2418 |
1521 |
65,375 |
-3,375 |
11,391 |
| 4 |
41 |
67 |
2747 |
1681 |
66,961 |
0,039 |
0,002 |
| 5 |
44 |
67 |
2948 |
1936 |
69,340 |
-2,340 |
5,476 |
| 6 |
46 |
73 |
3358 |
2116 |
70,926 |
2,074 |
4,301 |
| средн. знач. |
40,833 |
66,833 |
|
2729,028 |
|
1667,361 |
|
16424 |
|
10067 |
| n |
6 |
|
0,793 |
|
34,448 |
 |
41,310 |
 =  = 2,849
где - остаточная сумма квадратов 1-ой регрессии, - остаточная сумма квадратов 2-ой регрессии.
Полученное значение сравним с табличным значением F распределения для уровня значимости  , со степенями свободы  и  ( - число наблюдений в первой группе, m – число оцениваемых параметров в уравнении регрессии).
 ,  , m=1.
Если >  , то имеет место гетероскедастичность.
= 5,41
 < ,
значит, гетероскедастичность отсутствует и предпосылка о том, что дисперсия остаточных величин постоянна для всех наблюдений выполняется.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента  .
Расчетные значения t-критерия можно вычислить по формулам:
 , 
 , 
 ,
 =35,5
Промежуточные расчеты представим в таблице:
Таблица 5. Промежуточные вычисления для расчета t- критерия
| xi |
 |
| 38 |
6,25 |
| 28 |
56,25 |
| 27 |
72,25 |
| 37 |
2,25 |
| 46 |
110,25 |
| 27 |
72,25 |
| 41 |
30,25 |
| 39 |
12,25 |
| 28 |
56,25 |
| 44 |
72,25 |
 =490,50
 для уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы n-2=8
Так как  и  можно сделать вывод, что оба коэффициента регрессии значимые.
5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
Коэффициент детерминации определяется по формуле:
Из расчетов нам известно, что
 ;  .
Рассчитаем  :
Таблица 6. Промежуточные вычисления для расчета коэффициента детерминации.
 |
 |
 |
| 69 |
9,6 |
92,16 |
| 52 |
-7,4 |
54,76 |
| 46 |
-13,4 |
179,56 |
| 63 |
3,6 |
12,96 |
| 73 |
13,6 |
184,96 |
| 48 |
-11,4 |
129,96 |
| 67 |
7,6 |
57,76 |
| 62 |
2,6 |
6,76 |
| 47 |
-12,4 |
153,76 |
| 67 |
7,6 |
57,76 |
 =930,4
 =0,917.
Т.к. значение коэффициента детерминации близко к единице, качество модели считается высоким.
Теперь проверим значимость уравнения регрессии. Рассчитаем значение F-критерия Фишера по формуле:
Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к.  > .
Средняя относительная ошибка аппроксимации находится по формуле:
Таблица 7. Промежуточные вычисления для расчета средней относительной ошибки аппроксимации.
| yi |
|
 |
| 69 |
6,305 |
0,091377 |
| 52 |
2,495 |
0,047981 |
| 46 |
-2,186 |
0,047522 |
| 63 |
1,624 |
0,025778 |
| 73 |
-0,247 |
0,003384 |
| 48 |
-0,186 |
0,003875 |
| 67 |
0,348 |
0,005194 |
| 62 |
-2,014 |
0,032484 |
| 47 |
-2,505 |
0,053298 |
| 67 |
-3,609 |
0,053866 |
  ,
значит модель имеет хорошее качество.
Рассчитаем коэффициент эластичности по формуле:
6. осуществить прогнозирование среднего значения показателя Yпри уровне значимости  , если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения.
Рассчитаем стандартную ошибку прогноза
 ,
где
=930,4 ; 
 ,  для уровня значимости 0,1 и числа степеней свободы n-2=8
Доверительный интервал прогноза:
Таким образом,  =61,112 , будет находиться между верхней границей, равной 82,176 и нижней границей, равной 40,048.
7.
Представить графически фактические и модельные значения Y точки прогноза.
Воспользуемся данными из таблицы 2 для построения графиков с помощью MS Excel.
Рис. 2. Фактические и модельные значения Y точки прогноза.
8. Составить уравнения нелинейной регрессии: гиперболической, степенной, показательной. Привести графики построенных уравнений регрессии.
Построение степенной модели.
Уравнение степенной модели имеет вид:
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:
Обозначим  .
Тогда уравнение примет вид  – линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 1:
Таблица 8. Расчет параметров уравнения степенной модели регрессии.
| t |
xi |
X |
|
Y |
YX |
X*X |
 |
|
 |
 |
| 1 |
38 |
1,5798 |
69 |
1,839 |
2,905 |
2,496 |
62,347 |
6,653 |
9,642 |
44,26 |
| 2 |
28 |
1,447 |
52 |
1,716 |
2,483 |
2,094 |
50,478 |
1,522 |
2,926 |
2,315 |
| 3 |
27 |
1,431 |
46 |
1,663 |
2,379 |
2,048 |
49,225 |
-3,225 |
7,010 |
10,399 |
| 4 |
37 |
1,568 |
63 |
1,799 |
2,821 |
2,459 |
61,208 |
1,792 |
2,845 |
3,212 |
| 5 |
46 |
1,663 |
73 |
1,863 |
3,098 |
2,765 |
71,153 |
1,847 |
2,530 |
3,411 |
| 6 |
27 |
1,431 |
48 |
1,681 |
2,406 |
2,049 |
49,225 |
-1,225 |
2,552 |
1,5 |
| 7 |
41 |
1,613 |
67 |
1,826 |
2,945 |
2,601 |
65,771 |
1,289 |
1,924 |
1,66 |
| 8 |
39 |
1,591 |
62 |
1,793 |
2,853 |
2,531 |
63,477 |
-1,477 |
2,382 |
2,182 |
| 9 |
28 |
1,447 |
47 |
1,672 |
2,419 |
2,094 |
50,478 |
-3,478 |
7,4 |
12,099 |
| 10 |
44 |
1,644 |
67 |
1,826 |
3,001 |
2,701 |
68,999 |
-1,999 |
2,984 |
3,997 |
Уравнение регрессии будет иметь вид:
Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:
Вычислим коэффициент детерминации  :
=930,4; 
 (1)
Вычислим среднюю ошибку аппроксимации А:
 %
 (2)
Коэффициент эластичности рассчитывается по формуле:
(3)
Рис. 3. График степенного уравнения регрессии.
Построение показательной функции.
Уравнение показательной кривой:
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения:
Обозначим 
Получим линейное уравнение регрессии:
Рассчитаем его параметры, используя данные таблиц 1 и 8.
Промежуточные расчеты представим в таблице 9.
Таблица 9. Промежуточные расчеты для показательной функции.
| t |
xi |
Y |
 |
y |
|
|
|
|
| 1 |
38 |
1,839 |
69,882 |
69 |
62,632 |
6,368 |
10,167 |
40,552 |
| 2 |
28 |
1,716 |
48,048 |
52 |
49,893 |
2,107 |
4,223 |
4,44 |
| 3 |
27 |
1,663 |
44,901 |
46 |
48,771 |
-2,771 |
5,682 |
7,68 |
| 4 |
37 |
1,799 |
66,563 |
63 |
61,224 |
1,776 |
2,901 |
3,155 |
| 5 |
46 |
1,863 |
85,698 |
73 |
75,128 |
-2,128 |
2,832 |
4,528 |
| 6 |
27 |
1,681 |
45,387 |
48 |
48,771 |
-0,771 |
1,581 |
0,595 |
| 7 |
41 |
1,826 |
74,866 |
67 |
67,054 |
-0,054 |
0,08 |
0,003 |
| 8 |
39 |
1,793 |
69,927 |
62 |
64,072 |
-2,072 |
3,235 |
4,295 |
| 9 |
28 |
1,672 |
46,816 |
47 |
49,893 |
-2,893 |
5,798 |
8,369 |
| 10 |
44 |
1,826 |
80,344 |
67 |
71,788 |
-4,788 |
6,669 |
22,921 |
 =63,2432
Уравнение будет иметь вид:
Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:
Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле (1).
=930,4; 
Вычислим среднюю ошибку аппроксимации А по формуле (2):
А=0,1*43,170=4,317%
Коэффициент эластичности рассчитаем по формуле (3):
 %
Построим график функции с помощью MSExcel.
Рис. 4. График показательного уравнения регрессии.
Построение гиперболической функции.
Уравнение гиперболической функции 
Произведем линеаризацию модели путем замены Х=1/х.
В результате получим линейное уравнение: 
Рассчитаем параметры уравнения, промежуточные вычисления представим в таблице 10.
Таблица 10. Расчет параметров для гиперболической модели.
| t |
xi |
yi |
X=1/xi |
y*X |
 |
 |
 |
 |
 |
| 1 |
38 |
69 |
0,02632 |
1,81579 |
0,00069 |
63,5648 |
5,4352 |
7,877 |
29,5409 |
| 2 |
28 |
52 |
0,03571 |
1,85714 |
0,00128 |
50,578 |
1,422 |
2,7346 |
2,0221 |
| 3 |
27 |
46 |
0,03704 |
1,7037 |
0,00137 |
48,7502 |
-2,7502 |
5,9787 |
7,5637 |
| 4 |
37 |
63 |
0,02703 |
1,7027 |
0,00073 |
62,5821 |
0,4179 |
0,6634 |
0,1747 |
| 5 |
46 |
73 |
0,02174 |
1,58696 |
0,00047 |
69,8889 |
3,1111 |
4,2618 |
9,6791 |
| 6 |
27 |
48 |
0,03704 |
1,77778 |
0,00137 |
48,7502 |
-0,7502 |
1,563 |
0,5628 |
| 7 |
41 |
67 |
0,02439 |
1,63415 |
0,00059 |
66,2256 |
0,7744 |
1,1559 |
0,5998 |
| 8 |
39 |
62 |
0,02564 |
1,58974 |
0,00066 |
64,4972 |
-2,4972 |
4,0278 |
6,2362 |
| 9 |
28 |
47 |
0,03571 |
1,67857 |
0,00128 |
50,578 |
-3,578 |
7,6128 |
12,8021 |
| 10 |
44 |
67 |
0,02273 |
1,52273 |
0,00052 |
68,5235 |
-1,5235 |
2,2738 |
2,3209 |
Уравнение гиперболической модели:
Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле (1).
 =930,4; 
Вычислим среднюю ошибку аппроксимации А по формуле (2):
А=0,1*38,1488=3,81488%
Коэффициент эластичности рассчитаем по формуле (3):
  %
Построим график функции с помощью MSExcel.
Рис. 5 График гиперболического уравнения регрессии.
9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать выводы.
Коэффициенты были рассчитаны в задании 8. Для сравнения моделей составим сводную таблицу 11:
Таблица11. Сводная таблица характеристик моделей.
параметры
модель
|
Коэффициент детерминации, R |
Коэффициент эластичности, (%) |
Средняя относительная ошибка аппроксимации, А (%) |
| Линейная |
0,917 |
0,788 |
3,648 |
| Степенная |
0,909 |
0,692 |
4,22 |
| Показательная |
0,896 |
0,817 |
4,317 |
| Гиперболическая |
0,923 |
0,638 |
3,815 |
Для всех моделей средняя относительная ошибка аппроксимации не превышает 7%, значит, качество всех моделей хорошее. Коэффициент детерминации более приближен к 1 у гиперболической модели, таким образом, эту модель можно взять в качестве лучшей для построения прогноза. Для гиперболической модели степень связи между факторным и результативным признаком самая низкая, т.к. имеет наименьшее значение, а для показательной модели самая высокая, т.к. коэффициент эластичности наибольший.
|