Единый государственный экзамен по
МАТЕМАТИКЕ
Демонстрационный вариант
контрольных измерительных материалов единого
государственного экзамена 2012 года
по
математике
подготовлен Федеральным государственным научным учреждением
«ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ»
Пояснения к демонстрационному варианту
контрольных измерительных материалов для ЕГЭ 2012 года
по МАТЕМАТИКЕ
Демонстрационный вариант ЕГЭ по математике 2012 года разработан по заданию Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации.
Демонстрационный вариант предназначен для того, чтобы дать представление о структуре будущих контрольных измерительных материалов, количестве заданий, их форме, уровне сложности. Задания демонстрационного варианта не отражают всех вопросов содержания, которые могут быть включены в контрольные измерительные материалы в 2012 году. Структура работы приведена в спецификации, а полный перечень вопросов – в кодификаторах требований и элементов содержания по математике для составления контрольных измерительных материалов ЕГЭ 2012 года.
Правильное решение каждого из заданий В1–В14 части 1 экзаменационной работы оценивается 1 баллом. Правильное решение каждого из заданий С1 и С2 оценивается 2 баллами, С3 и С4 – 3 баллами, С5 и С6 – 4 баллами. Максимальный первичный балл за выполнение всей работы – 32.
Верное выполнение не менее пяти заданий экзаменационной работы отвечает минимальному уровню подготовки, подтверждающему освоение выпускником основных общеобразовательных программ общего (полного) среднего образования.
К каждому заданию с развёрнутым ответом, включённому в демонстрационный вариант, даётся возможное решение. Приведённые критерии оценивания позволяют составить представление о требованиях к полноте и правильности решений. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов, система оценивания, спецификация и кодификаторы помогут выработать стратегию подготовки к ЕГЭ по математике.
Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ
Демонстрационный вариант
контрольных измерительных материалов 2012 года
Инструкция по выполнению работы
На выполнение экзаменационной работы по математике даётся 4 часа (240 мин.). Работа состоит из двух частей и содержит 20 заданий.
Часть 1 содержит 14 заданий с кратким ответом (В1–В14) базового уровня по материалу курса математики. Ответом является целое число или конечная десятичная дробь.
Часть 2 содержит 6 более сложных заданий (С1–С6) по материалу курса математики. При их выполнении надо записать полное решение и ответ.
Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой, капиллярной или перьевой ручки.
При выполнении заданий Вы можете пользоваться черновиком. Обращаем Ваше внимание, что записи в черновике не будут учитываться при оценке работы.
Советуем выполнять задания в том порядке, в котором они даны. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся выполнить сразу, и переходите к следующему. Если после выполнения всей работы у Вас останется время, Вы сможете вернуться к пропущенным заданиям.
Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.
Желаем успеха
!
Часть 1
| Ответом на задания В1–В14 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.
|
Билет на автобус стоит 15 рублей. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 100 рублей после повышения цены билета на 20%?
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха (в градусах Цельсия) в Ярославле по результатам многолетних наблюдений. Найдите по диаграмме количество месяцев, когда средняя температура в Ярославле была отрицательной.
 Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рисунок). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Строительная фирма планирует купить 70  пеноблоков у одного из трёх поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей нужно заплатить за самую дешёвую покупку с доставкой?
| Поставщик
|
Стоимость
пеноблоков
(руб. за 1 м3
)
|
Стоимость доставки
(руб.)
|
Дополнительные
условия доставки
|
| А |
2 600 |
10 000 |
Нет |
| Б |
2 800 |
8 000 |
При заказе товара на сумму свыше 150 000 рублей доставка бесплатная |
| В |
2 700 |
8 000 |
При заказе товара на сумму свыше 200 000 рублей доставка бесплатная |
Найдите корень уравнения  .
Треугольник  вписан в окружность с центром  . Найдите угол  , если угол  равен  .
Найдите  , если  и  .
На рисунке изображён график дифференцируемой функции  . На оси абсцисс отмечены девять точек:  . Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции  отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.
 Диагональ  основания правильной четырёхугольной пирамиды  равна 6. Высота пирамиды  равна 4. Найдите длину бокового ребра  .
В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.
Объём первого цилиндра равен 12 м³. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания в два раза меньше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра (в м³).
Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой  , где  – высота в метрах,  – время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров.
Весной катер идёт против течения реки в  раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в  раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).
Найдите наибольшее значение функции
 на отрезке  .
Часть 2
а)
Решите уравнение  .
б)
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку  .
Сторона основания правильной треугольной призмы  равна  , а диагональ боковой грани равна  . Найдите угол между плоскостью  и плоскостью основания призмы.
Решите систему неравенств 
На стороне BA
угла , равного  , взята такая точка D
, что  и  . Найдите радиус окружности, проходящей через точки A
, D
и касающейся прямой BC
.
Найдите все значения  , при каждом из которых наименьшее значение функции  больше 1.
На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно  , среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно  .
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Система оценивания демонстрационного варианта
контрольных измерительных материалов по МАТЕМАТИКЕ
Ответы к заданиям части 1
Каждое правильно выполненное задание части 1 оценивается 1 баллом. Задания части 1 считаются выполненными верно, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби.
| Задание
|
Ответ
|
| В1 |
5 |
| В2 |
5 |
| В3 |
18 |
| В4 |
192000 |
| В5 |
12 |
| В6 |
64 |
| В7 |
–0,8 |
| В8 |
3 |
| В9 |
5 |
| В10 |
0,92 |
| В11 |
9 |
| В12 |
2,4 |
| В13 |
5 |
| В14 |
1 |
Ответы к заданиям части 2
Решения и критерии оценивания заданий части 2
Количество баллов, выставляемых за выполнение заданий части 2 зависит от полноты решения и правильности ответа.
Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом: решение должно быть математически грамотным, полным, в частности, все возможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное число баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов.
Эксперты проверяют только математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают.
В критериях оценивания конкретных заданий содержатся общие требования к выставлению баллов.
При выполнении задания можно использовать без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендованных (допущенных) Министерством образования и науки Российской Федерации.
а)
Решите уравнение .
б)
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .
Решение.
а)
Так как  ,  , то    .
 Корни уравнения: 
, 
б)
Корни уравнения  изображаются точками  и  , а корни уравнения  — точками  и  , промежуток изображается жирной дугой (см. рис.). В указанном промежутке содержатся три корня уравнения:  ,  и  .
Ответ:
а)
 ,  ,
б)
 .
Другие решения пункта б).
б)
Корни, принадлежащие промежутку  , отберем по графику  . Прямая  (ось  ) пересекает график в единственной точке  , абсцисса которой принадлежит промежутку .
Прямая  пересекает график ровно в двух точках, абсциссы которых принадлежат (см. рис.). Так как период функции равен  , то эти абсциссы равны, соответственно,
 и  .
В промежутке содержатся три корня: .
б)
Пусть  . Подставляя  , получаем  . Промежутку принадлежит только  .
Пусть  . Подставляя  , получаем:  . Промежутку принадлежат только  .
Промежутку принадлежат корни: .
б)
Отберем корни, принадлежащие промежутку .
Пусть  Тогда  . Корень, принадлежащий промежутку : .
Пусть .
Тогда  .
Корень, принадлежащий промежутку :  .
Пусть .
Тогда  .
Корень, принадлежащий промежутку :  .
Промежутку принадлежат корни: .
| Содержание критерия |
Баллы |
| Обоснованно получены верные ответы в п. а)
и в п. б)
|
2 |
Обоснованно получен верный ответ в п. а)
, но обоснование отбора корней в п. б)
не приведено или
задача в п. а)
обоснованно сведена к исследованию простейших тригонометрических уравнений без предъявления верного ответа, а в п. б)
приведен обоснованный отбор корней
|
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше |
0 |
| Максимальный балл
|
2 |
Сторона основания правильной треугольной призмы равна , а диагональ боковой грани равна . Найдите угол между плоскостью и плоскостью основания призмы.
Решение.
Обозначим  середину ребра  (см. рисунок). Так как треугольник равносторонний, а треугольник – равнобедренный, отрезки  и  перпендикулярны . Следовательно,  – линейный угол двугранного угла с гранями  и  .
Из треугольника  найдём:  .
Из треугольника  найдём:  .
Из треугольника  найдём: 
 Искомый угол равен  .
Ответ:
.
Возможны другие формы записи ответа.
Например:
А)  ;
Б) рад.
В)  и т.п.
Возможны другие решения.
Например, с использованием векторов или метода координат.
| Содержание критерия |
Баллы |
| Обоснованно получен верный ответ |
2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ, или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше |
0 |
| Максимальный
балл
|
2 |
Решите систему неравенств 
Решение.
1. Неравенство  запишем в виде  . Относительно  неравенство имеет вид:  , откуда получаем:  ,  .
Значит,  ,  .
2. Второе неравенство системы определено при 
то есть при  и  .
При допустимых значениях переменной получаем:  ,  ,  ,  ,  .
С учётом области допустимых значений переменной получаем решение второго неравенства системы:  .
3. Сравним  и  . Так как  , то
 , следовательно,  .
Решение системы неравенств:  .
Ответ:
.
| Содержание критерия |
Баллы |
| Обоснованно получен верный ответ |
3 |
| Для обоих неравенств системы обоснованно получены верные ответы, но не проведено обоснованного сравнения значений конечных точек найденных промежутков |
2 |
| Для одного из двух неравенств системы обоснованно получен верный ответ |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше |
0 |
| Максимальный
балл
|
3 |
Комментарий.
Если обоснованно получены оба ответа: и , после чего лишь сказано
, но никак не обосновано, что , то такое решение оценивается в 2 балла.
На стороне BA
угла , равного , взята такая точка D
, что и . Найдите радиус окружности, проходящей через точки A
, D
и касающейся прямой BC
.
Решение.
Центр O
искомой окружности принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AD
. Обозначим P
середину отрезка AD
, Q
– основание перпендикуляра, опущенного из точки O
на прямую BC
,E
–
точку пересечения серединного перпендикуляра с прямой BC
(см. рисунок а). Из условия касания окружности и прямой BC
следует, что отрезки OA
, OD
и OQ
равны радиусу R
окружности.
Заметим, что точка не может лежать по ту же сторону от прямой AB
, что и точка E
, так как в этом случае расстояние от точки O
до прямой BC
меньше, чем расстояние от неё до точки A
.
Из прямоугольного треугольника BPE
с катетом BP
=
2 и  находим, что PE
= 
.
Так как OA
=
R
и  , получаем:  , следовательно,  .
Из прямоугольного треугольника OQE
, в котором  , находим:
.
В результате получаем уравнение:
.
Возведём в квадрат обе части этого уравнения и приведём подобные члены. Получим уравнение R
2
– 8R +
7 = 0, решая которое находим два корня: R
1
= 1, R
2
= 7. Если радиус равен 1, то центром окружности является точка  (см. рисунок б).
Ответ:
1 или 7.
Другое решение.
Пусть точка  касания окружности с прямой лежит на луче  (см. рисунок а). По теореме о касательной и секущей
 ,
откуда  .
Пусть – точка пересечения луча  и перпендикуляра к , проведённого через точку . Из прямоугольного треугольника  находим:
 , тогда  и  .
Таким образом, точка удалена от точек , и на одно и то же расстояние, равное 1. Следовательно, – центр искомой окружности, а её радиус равен 1.
Пусть теперь точка касания окружности с прямой лежит на продолжении за точку (см. рисунок б), а прямая, проходящая через точку перпендикулярно , пересекает прямую  в точке , а окружность вторично – в точке  . Тогда
Если  – радиус окружности, то  . По теореме о двух секущих  , то есть  , откуда находим, что  .
Ответ:
1 или 7.
Возможны другие формы записи ответа.
Например:
А) 1, 7;
Б) радиус окружности равен 7 или 1.
| Содержание критерия |
Баллы |
| Обоснованно получен верный ответ |
3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины, или рассмотрены обе конфигурации, для которых получены значения искомой величины, неправильные из-за арифметических ошибок |
2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше |
0 |
| Максимальный
балл
|
3 |
Найдите все значения , при каждом из которых наименьшее значение функции  больше 1.
Решение.
1. Функция  имеет вид:
a) при  :  , а её график есть две части параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии  ;
б) при  :  , а её график есть часть параболы с ветвями, направленными вниз.
Все возможные виды графика функции  показаны на рисунках:
Рис. 1
Рис. 3
|
Рис. 2
Рис. 4
|
2. Наименьшее значение функция может принять только в точках  или  , а если  – то в точке  .
3. Наименьшее значение функции больше 1 тогда и только тогда, когда
   
 
  .
Ответ:
| Содержание критерия |
Баллы |
| Обоснованно получен правильный ответ |
4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное, но либо имеет пробелы (например, не описаны необходимые свойства функции), либо содержит вычислительные ошибки |
3 |
| Верно рассмотрены все случаи раскрытия модулей. При составлении или решении условий на параметр допущены ошибки, в результате которых в ответе либо приобретены посторонние значения, либо часть верных значений потеряна |
2 |
| Хотя бы в одном из случаев раскрытия модуля составлено верное условие на параметр либо построен верный эскиз графика функции в целом |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше |
0 |
| Максимальный балл
|
4 |
На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно , среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно .
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Решение.
Пусть среди написанных чисел  положительных,  отрицательных и  нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому  .
а) Заметим, что в левой части приведённого выше равенства каждое слагаемое делится на 4, поэтому  — количество целых чисел — делится на 4. По условию  , поэтому  . Таким образом, написано 44 числа.
б) Приведём равенство  к виду  . Так как  , получаем, что  , откуда  . Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.
воценка
) Подставим в правую часть равенства :  , откуда  . Так как  , получаем:     то есть положительных чисел не более 17.
впример
) Приведём пример, когда положительных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25 раз написано число и два раза написан 0. Тогда  , указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ:
а) 44; б) отрицательных; в) 17.
| Содержание критерия |
Баллы |
| Верно выполнены: а), б), впример
), воценка
) |
4 |
| Верно выполнены три пункта из четырёх: а), б), впример
), воценка
) |
3 |
| Верно выполнены два пункта из четырёх: а), б), впример
), воценка
) |
2 |
| Верно выполнен один пункт из четырёх: а), б), впример
), воценка
) |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше |
0 |
| Максимальный балл
|
4 |
|