Реферат: Гамма функции
Название: Гамма функции Раздел: Рефераты по математике Тип: реферат |
1. Бэта-функции 6 Бэта – функции определяются интегралом Эйлера первого рода:
сходятся при
т.e. аргумент по формуле интегрирования почестям имеем Откуда
7 При целом b = n последовательно применяя(1.2) Получим
при целых но B(1,1) = 1,следовательно: Положим в (1.1) 8 и в результате подстановки полагая в(1.1)
разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и от 1 до
2. Гамма-функция 9 Гамма функцию определяет интеграл Эйлера второго рода G(a) = сходящийся при G(a) = и после замены Умножая это равенство и интегрируя по t и пределах от 0 до или на основании (1.4) и после изменения в правой части порядка интегрирования ,получаем: 10 откуда заменяя в (2,1) получаем рекурентною формулу
так как но при целом
то есть при целых значениях аргумента гамма-функция превращается в факториал.Порядок которого на единицу меньше взятого значения аргумента.При n=1 в (2.4) имеем 3. Производная гамма функции 11Интеграл
сходится при каждом В области Отсюда вытекает непрерывность гамма функции при 12 сходится равномерно на каждом сегменте и так как интеграл в котором подынтегральная функция непрерывна в области
13 сходится равномерно , а, следовательно , гаммма функция бесконечно дифференцируема при любом Относительно интеграла По индукции доказывается , что Г-функция бесконечно дифференцируема при Изучим теперь поведение Из выражения для второй производной 14 Равенство Положим для Определив таким образом Отметим еще раз, что интеграл определяет Г-функцию только при положительных значениях 15 (рис.1) 4. Вычисление некоторых интегралов. 16 Формула Стирлинга Применим гамма функцию к вычислению интеграла: где m > -1,n > -1.Полагая , что и на основании (2.2) имеем
В интеграле Где k > -1,n > 0,достаточно положить 17 Интеграл Где s > 0,разложить в ряд = где Рассмотрим неполные гамма функции (функции Прима) связанные неравенством Разлагая, 18 Переходя к выводу формулы Стирлинга , дающей в частности приближенное значение n! при больших значениях n ,рассмотрим предварительно вспомогательную функцию
Непрерывна на интервале (-1, то И так производная непрерывна и положительна во всем интервале 19 Из предыдущего следует, что существует обратная функция, Обращающаяся в 0 при v=0 и удовлетворяющая условие
Формулу Стирлинга выведем из равенства полагая Положим далее 20 имеем
полагая на конец , или в пределе при откуда вытекает формула Стирлинга которую можно взять в виде 21
где для достаточно больших
вычисление же производится при помощи логарифмов если приведем без вывода более точную формулу где в скобках стоит не сходящийся ряд. 5. Примеры вычисления интегралов 22 Для вычисления необходимы формулы: Г( Вычислить интегралы
23 Міністерство освіти і науки УкраїниЗапорізький державний університет ДО ЗАХИСТУ ДОПУЩЕНИЙЗав. каф. Математичного аналізу д. т. н. проф. ____ С.Ф. Шишканова _________________________ 2002р. ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА ДО КУРСОВОГО ПРОЕКТУГАМА ФУНКЦІЇ РозробивСт..гр.. 8221-2 Садигов Р.А.Керівник Ст. викладач Кудря В.І.Запоріжжя 2002. СодержаниеЗадание на курсовую работу........................... ...................................2Реферат............................................................. ...................................4 введение............................................................ ...................................5 1. Бета функции……………………………………………..............6 2. Гамма функции....................................... ...................................9 3. Производная гамма функции ............... ..................................11 4. Вычисление интегралов формула Стирлинга............................16 5. Примеры вычеслений............................. ..................................22 вывод................................................................ ..................................24 Список литературы……………………………………………..............25
Реферат
Курсовая работа: 24 ст., 5 источников, 1 рис.Обьект иследований: гамма и ее приложения. В работе идет речь о представлении бета и гамма функций с помощью интегралов Эйлера соответствено первого и второго рода. И о их применении для вычисления интегралов. Ключевые слова: ГАММА И БЕТА ФУНКЦИЯ, ИНТЕГРАЛ ЭЙЛЕРА, ПРОИЗВОДНАЯ, ПРЕДЕЛ.
Введение
Выделяют особый класс функций, представимых в виде собственого либо несобственого интеграла, который зависит не только от формальной переменной, а и от параметра. Такие функции называются интегралами зависящими от параметра. К их числу относятся гамма и бета функции Эйлера. Бета функции представимы интегралом Эйлера первого рода: гамма функция представляется интегралом Эйлера второго рода:
Вывод Гамма функции являются удобным средством для вычисления некоторых интегралов в частности многих из тех интегралов, которые не представимы в элементарных функциях. Благодаря этому они широко применяются в математике и ее приложениях, в механике, термодинамике и в других отраслях современной науки. Список литературы 1. Специальные функции и их приложения: Лебедев И.И.,М.,Гостехтериоиздат,19532. Математический анализ часть 2: Ильин О.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х.,М.,”Московский университет”,1987 3. Сборник задач по математическому анализу: Демидович Б.П.,М.,Наука,1966 4. Интегралы и ряды специальные функции: Прудников А.П., Брычков Ю.А.,М.,Наука,1983 5. Специальные функции: Кузнецов , М.,”Высшая школа”,1965 |