| Гипотеза Билля формулируется следующим образом: неопределенное уравнение:
А
x
+В
y
= С
z
/1/
не имеет решения в целых положительных числах А, В, С,
x
,
y
и z
при условии, что x
,
y
и z
больше 2.
Суть гипотезы Билля не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом:
А
x
= С
z
- В
y
/2/
Уравнение /2/ рассматриваем как параметрическое уравнение с параметром A
и переменными B
и С
.
Уравнение /2/ запишем в следующем виде:
Аx
= (С0,5
z
)2
– (В0,5
y
)2
/3/
Обозначим:
В0,5
y
=V /4/
С0,5
z
=U /5/
Отсюда:
Вy
=V2
/6/
Сz
=U2
/7/
В = /8/
С = /9/
Тогда из уравнений /2/, /6/ и /7/ следует:
Аx
= Сz
– Вy
=U2
-V2
/10/
Уравнение /10/ в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел запишем в виде:
Аx
= (U-V)∙(U+V) /11/
Для доказательства гипотезы Билля используем метод замены переменных. Обозначим:
U-V=X /12/
Из уравнения /12/ имеем:
U=V+X /13/
Из уравнений /11/, /12/ и /13/ имеем:
Аx
= X· (V+X+V)=X (2V+X)=2VХ+X2
/14/
Из уравнения /14/ имеем:
Аx
– X2
=2VХ /15/
Отсюда:
V= /16/
Из уравнений /13/ и /16/ имеем:
U=  /17/
Из уравнений /8/, /9/, /16/ и /17/ имеем:
B = /18/
C = /19/
Алгебраическое выражение  включает в себе возведение чисел в степень, вычитание одного числа из другого и деление их разности на число.
Алгебраическое выражение  включает в себе возведение чисел в степень, их сложение и деление суммы этих чисел на число.
Из анализа этих алгебраических выражений следует, что с помощью указанных математических действий нельзя получить числа, равные  и  соответственно, т.е.:
 ; /20/
 , /21/
где: S
и R
–
должны быть целыми числами.
Поэтому в соответствии с уравнениями /18/, /19/, /20/ и /21/:
 – дробное число;
 – дробное число.
Таким образом, числа В
и С
– дробные числа.
Следовательно, гипотеза Билля не имеет решения в целых положительных числах.
|