Федеральное агентство по образованию

Министерство образования и науки РФ

Тульский государственный университет

Кафедра теоретической механики

Курсовая работа

Кинематический расчет плоских шарнирных механизмов

Кафедра теоретической механики

Рецензия на курсовую работу

Студента _______________________

группы _________________________

Вариант № ___ количество страниц ___ Курсовая работа по содержанию соответствует / не соответствует выданному заданию и выполнена в полном / не в полном объеме.

КР может быть допущена к

Выполнил:

Студент_________________________

Группы_________________________

Проверил:

Тула 2008

Содержание

Исходные данные

1. Аналитический метод

1.1 Составление уравнений геометрических связей

1.2 Определение законов движения звеньев механизма

1.3 Определение скоростей и ускорений звеньев

1.4 Определение скоростей и ускорений узловых точек

2. Геометрические методы

2.1 Определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев с помощью мгновенных центров скоростей (МЦС)

2.2 Определение ускорений точек и угловых ускорений звеньев с помощью теоремы о сложении ускорений.

2.3 Основные теоремы составного движения точки

2.4 Определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев с помощью теоремы о сложении скоростей при переносном вращательном движении

3.Анализ результатов вычислений.

Список литературы

Постановка задачи. Описание подхода к решению задачи, формулировка математической модели и методов решения, использованных в курсовом проекте.

Исследовать движение плоского шарнирного многозвенного механизма с одной степенью свободы (Рис. 1). Размеры механизма известны. Закон движения ведущего звена механизма, определяется уравнением

где φ₀ — начальное значение угла поворота; ω₀ — угловая скорость.

Определить, используя разные методы, законы движения всех звеньев механизма, угловые скорости и ускорения ведомых звеньев, а также линейные скорости и ускорения всех узловых точек механизма и звена, движущегося поступательно. Все величины определить при заданном значении угла поворота ведущего звена φ_k .

Произвести визуализацию механизма, а также изобразить скорости и ускорение всех заданных точек механизма

Вычислить угловые координаты, скорости и ускорения звеньев механизма совершающих вращательные и плоскопараллельные движения, а также законы движения, скорости и ускорения всех узловых точек механизма при заданных значениях угла поворота ведущего звена φ_k .

Исходные данные

Рис.1 схема механизма

Дано:

ОА=22см АВ=60см О₁ D=20см АС=30см CD=50см а=40см

СК=0,5* CD=25см АМ=0,5*АС=15см

1. Аналитический метод

1.1 Составление уравнений геометрических связей

Рис. 2. Расчетная схема механизма

Изобразим плоский механизм в произвольном положении (рис. 2).

В качестве системы отсчета примем правую декартову систему координат. Начало системы координат расположим в подшипнике O. Положительные углы поворота в этом случае направлены против часовой стрелки.

Изобразим углы поворота звеньев , k=1,2,3 - отсчитывая их от горизонтальной оси Ox в положительном направлении.

В состав данного многозвенного механизма входят:

· два кривошипа OA и O₁ D

· два шотуна AB и CD

· ползун В

· неподвижное звено ОО₁

Кривошипы ОА и О₁ D совершают вращательное движение вокруг неподвижных осей перпендикулярных плоскости xOy и проходящих через точки O и O₁ соответственно. Шатуны AB и CD совершают плоскопараллельное движение в плоскости xOy. Ползун В совершает возвратно-поступательное движение вдоль направляющей параллельной оси Ox.

Для составления уравнений геометрических связей найдем точки механизма, траектории которых известны. К этим точкам относятся шарниры A, B и в . Точки A, в движутся по окружностям радиусов OA, O₁ D, соответственно, а ползун В – по прямолинейной траектории параллельной оси Ox (Рис. 2).

Шарнир A принадлежит одновременно шатуну AB и кривошипу OA, для которого известен закон вращательного движения и, следовательно, закон движения точки A определен. Шарнир С принадлежит одновременно шатуну AB и кривошипу CD, а шарнир в – шатуну CD и кривошипу O₁ D.

Так как закон плоскопараллельного движения твердого тела можно определить по двум любым точкам этого тела, в качестве базовых точек, при составлении уравнений геометрических связей, примем точки B и в .

Построим для этих точек векторные контуры, с помощью которых можно составить уравнения геометрических связей (рис. 3).

Рис.3а Векторные контуры для точки В.

Рис.3б Векторные контуры для точки D.

Уравнения геометрических связей в векторной форме будут иметь вид:

для точки B (рис. 3а)

(1.1)

для точки в (рис. 3 б)

(1.2)

Преобразуем (1.1) и (1.2) к виду:

(1.3)

здесь - вектор, характеризующий положение шарнира А относительно центра О₁ . Проецируя (1.3) на оси декартовой системы координат, получим уравнение геометрических связей в координатной форме.

x_B =x_A +x_AB

y_B =y_A +y_AB

или в развернутом виде:

(1.4)

В уровнениях (1.4) задаваемой функцией является закон вращения ведущего звена φ(t), а определяемыми функциями являются φ₁ (t), φ₂ (t), φ₃ (t), x_B (t).

Система (1.4), представляет замкнутую систему уравнений для определения законов движения всех звеньев многозвенного механизма.

Решение уравнений (1.4) можно найти различными методами, как аналитическим, так и численным.

1.2 Определение законов движения звеньев механизма

Для нахождения законов движения звеньев механизма в аналитической

форме запишем первые два уравнения системы (1.4) в следующем виде.

OAcosφ+ABcosφ₁ =x_B

(1.5)

OAsinφ+ABsinφ₁ =0

Угловые координаты звеньев и перемещение звена,совершающие поступательное движение,выражены в явном виде.

OAcosφ+ABcosφ₁ =x_B (1.6)

=-10,56 (1.7)

Теперь запишем закон движения остальных звеньев механизма с помощью третьего и четвертого уравнения системы (1.4)

O₁ Dcosφ₃ -CDcosφ₂ =O₁ Acosα+ACcosφ₁ =O₁ Ccosα₁

(1.8)

O₁ Dsinφ₃ -CDsinφ₂ =O₁ Asinα+ACsinφ₁ =O₁ Csinα₁

Для нахождения угловых координат φ_2, φ₃ приведем уравнения (1.8) к виду:

O₁ Dcosφ₃ -CDcosφ₂ =O₁ Ccosα₁

(1.8)

O₁ Dsinφ₃ -CDsinφ₂ =O₁ Csinα₁

Выразим дополнительные неизвестные величины для определения углов φ_2, φ_3.

Учитывая, что длина O₁ A непостоянна,определим ее по теореме косинусов

Вычислим дополнительный угол,определяющий положение звена O₁ A

Так же вычислим дополнительный угол,определяющий положение звена O₁ C

Учитывая, что длина O₁ C непостоянна, так же определим ее по теореме косинусов

Выразим неизвестные угловые координаты,воспользовавшись известной тригонометрической формулой cos² +sin² =1

Получим

Так как cosγ₂ является четной функцией углового аргумента, то угол φ₂ может иметь два значения:

Φ₂ = γ₂ + α₁ или φ₂ = γ₂ − α₁ ,

что соответствует двум положением четырехзвенника OADO₁ относительно O₁ A при одной и той же угловой координате ведущего звена φ.

Учитывая начальное положение механизма принимаем

(1.9)

Т.к. cosγ₃ является четной функцией углового аргумента,то угол φ₃ может иметь два значения

Φ₃ = γ₃ + α₁ или φ₃ = γ₃ − α₁

Что соответствует двум положениям четырехзвенника OACO₁ относительно O₁ A при одной и той же угловой координате ведущего звена φ.

Учитывая начальное положение механизма,принимаем

(1.10)

Уравнения (1.6),(1.7),(1.9),(1.10) позволяют определить угловые координаты звеньев совершающих вращательные и плоскопараллельные движения, а также закон движения звена движущегося поступательно.

1.3 Определение скоростей и ускорений звеньев

Для определения скоростей звеньев механизма продифференцируем по времени систему уравнений (1.4. Учитывая, что и, перенося слагаемые с неизвестными скоростями в одну сторону, получим

(1.11)

Данная система уравнений является системой линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных скоростей звеньев. Представим эту систему уравнений в матричной форме

(1.12)

Где

- матрица коэффициентов левых частей уравнений

- вектор неизвестных скоростей звеньев

- вектор правых частей уравнений.

Решение уравнений (1.12) будет иметь вид

(1.13)

Для определения ускорений звеньев механизма продифференцируем по времени систему уравнений (1.11).Учитывая, что , , , и, перенося слагаемые с неизвестными ускорениями в одну сторону, получим

Или в матричной форме

(1.14)

Где

- вектор правых частей ускорений звеньев

- вектор неизвестных ускорений звеньев.

Решение системы уравнений (1.14) будет иметь вид

(1.15)

Таким образом, решения (1.13) позволяют определить скорости всех звеньев механизма, а решения (1.15) – ускорения звеньев.

1.4 Определение скоростей и ускорений узловых точек

Узловыми и задаваемыми точками многозвенного шарнирного механизма являются, согласно исходным данным, точки: A, B, C, D, M, K. Закон движения, скорость и ускорение точки B определен ранее:

(1.16)

Для остальных точек законы движения запишем в векторной форме:

Точка А

Точка C

Точка M

Точка D

Тоска К

или в проекциях на оси декартовой системы координат

Точка А

Точка C

Точка M(1.17)

Точка D

Точка К

Дифференцированием по времени (1.17) определяем проекции скоростей точек механизма на декартовые оси координат, а также модули и направления векторов скоростей точек.

Точка А

Точка В

Точка С(1.18)

Точка M

Точка К

Дифференцируя по времени проекции скоростей точек (1.18) определяем ускорения точек механизма:

Точка А

Точка C

Точка M

(1.18)

Точка D

Точка К

Соотношения (1.6)-(1.19) представляют математическую модель кинематического поведения механизма, которая позволяет определить законы движения всех звеньев механизма, координаты узловых точек, а также скорости и ускорения звеньев и узловых точек.

2. Геометрические методы

Расчет скоростей и ускорений точек и звеньев многозвенного шарнирного механизма будем проводить двумя методами:

- с помощью основных теорем кинематики плоского движения твердого тела;

- с помощью основных теорем кинематики составного движения точки при переносном вращательном движении.

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Изобразим механизм в заданном положении (Рис. 5). при значении угла поворота ведущего звена ОА — =150°. в выбранном масштабе длин — M_L .

Определим точки механизма, траектории и возможные направления скоростей которых известны.

Шарнир А принадлежит шатуну АВ и кривошипу ОА, совершающему вращательное движение вокруг центра О. Кривошип ОА является ведущим звеном, угловая скорость которого известна. Следовательно, траектория точки А — окружность радиуса ОА и скорость шарнира равна

(2.1)

Точка В принадлежит шатуну АВ и кривошипу O₁ B, совершающего возвратно поступательное движение вдоль горизонтальной направляющей.Следовательно, траектория точки В — прямая линия и скорость ползуна .

Шарнир в принадлежит шатуну CD и кривошипу O1D, совершающему вращательное движение вокруг подшипника О1. Следовательно, траектория точки в — окружность радиуса O1D и скорость шарнира

2.1 Определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев с помощью мгновенных центров скоростей (МЦС)

Определим положение МЦС для звеньев АB и CD. совершающих плоское движение. Для этого из точки А проведем перпендикуляр к скорости v_A , а из точки В — перпендикуляр к возможному направлению скорости v_B . Точка пересечения перпендикуляров — P_AB является МЦС звена АВ для заданного положения механизма.

Для определения МЦС для звена CD проведем перпендикуляр к скорости и продолжим прямую,соединяющую точку С с МЦС звена АВ, до пересечения с перпендикуляром к скорости .Получим точку Р_CD - мгновенный центр скоростей для звена CD.

Измеряем на чертеже расстояния от узловых точек механизма до МЦС соответствующего звена. В соответствие с выбранным масштабом длин эти расстояния равны

AP_AB =68,5см BP_AB =22,5см

MP_AB =54,5см KP_CD =23см

CP_AB =42см DP_CD =39см

CP_CD =29см

Так как скорость точки А известна (2.1). то мгновенную угловую скорость звена АВ вычисляем согласно выражению

Тогда

Направление мгновенной угловой скорости звена определяем по направлению скорости точки А при мгновенном вращении звена вокруг МЦС. В данном случае угловая скорость направлена по часовой стрелке.

Модули скоростей точек С, В, и М равны

а направление скоростей определяется направлением вращения звена АВ вокруг МЦС Р_АВ .

Угловую скорость звена CD определим из соотношений

Направление мгновенной угловой скорости звена определяем по направлению скорости точки С при мгновенном вращении звена вокруг МЦС

По найденной мгновенной угловой скорости найдем мгновенные скорости точек K и D

Направление скоростей определяется направлением вращения звена CD вокруг МЦС Р_CD .

Осталось определить мгновенную угловую скорость звена O1D сщгласно формуле

Направление определяем по направлению вектора скорости точки D.

Определение скоростей точек и угловых ускорений звеньев с помощью теоремы о сложении скоростей

При неизвестной угловой скорости твердого тела, совершающего плоскопараллельное движение, теорему о сложении скоростей можно применять для тех точек звена, у которого известны: для одной — модуль и направление вектора скорости, а для другой — возможное направление вектора скорости, т.е. траектория движения.

Так как для звена АВ вектор скорости шарнира А известен и по модулю и но направлению (2.1), а для шарнира В известна траектория движения, запишем теорему о сложении скоростей для точки В , приняв точку А за полюс:

(2.2)

где см/с, , - скорость полюса,

см/с, - скорость точки В при вращательном движении звена АВ вокруг полюса А (относительная скорость точки В в поступательном переносном движении)

Изображаем в выбранном масштабе скоростей M_v (Рис 6) векторный треугольник скоростей, соответствующий уравнению (2.2).

Откладываем в точке В вектор скорости полюса — . Из конца вектара проводим возможное направление вектора — прямую, перпендикулярную звену АВ. Из точки В проводим направление вектора до пересечения с прямой, определяющей направление вектора в точке пересечения данных прямых сходятся концы неизвестных векторов и .

Измеряя указанные векторы, в соответствии с выбранным масштабом скоростей, получаем

1,5 см/с , 4,05 см/с

Угловая скорость звена АВ равна

с

Так как угловая скорость звена найдена, для точки С можно записать теорему о сложении скоростей, приняв точку А за полюс:

где см/с, ,

см/с, ,

Для нахождения скорости изображаем в точке С вектор скорости полюса — , а из его конца проводим перпендикулярно АС вектор относительной скорости (Рис. 6). Соединяя точку С с концом вектора ,находим вектор скорости точки С — . После измерения получим

=2,75 см/с

Для точки M можно записать теорему о сложении скоростей, приняв точку А за полюс:

где см/с, ,

Для нахождения скорости изображаем в точке M вектор скорости полюса — , а из его конца проводим перпендикулярно АB вектор относительной скорости (Рис. 6). Соединяя точку M с концом вектора ,находим вектор скорости точки M —. После измерения получим

V_M =3.7 см/с

Приняв точку С за полюс, применим теорему о сложении скоростей к точке в звена CD.

здесь = ? см/с, - относительная скорость точки D. Скорости , определяем графически, аналогично методу, изложенному ранее, построив в масштабе треугольник скоростей (Рис. 6)

3.45 см/с , 4.6 см/с

Следовательно, угловая скорость звена CD равна

с

Угловая скорость звена O1D равна

Скорость точки К вычисляем по аналогии с определением скорости точки М.

где см/с,

см/с, .

В этом случае (Рис.6)

2,1 см/с

Следующий метод, являющийся графической интерпретацией теоремы о сложении скоростей, называется планом скоростей. Особенностью метода является возможность быстрого определения скорости любой точки механизма.

Построим план скоростей в масштабе M_{v 1} (Рис. 7).

Из произвольно выбранного полюса О проводим луч Оа, изображающий в выбранном масштабе скорость точки А — . Для определения скорости точки В через полюс О проводим прямую, параллельную скорости (), а через точку "а" — прямую, перпендикулярную АВ, т.е. параллельную скорости . Получаем точку "b"; отрезок Ob определяет скорость точки В, а отрезок ab — скорость . Измеряем длину лучей Ob , ab и, пользуясь масштабом скоростей находим

=1,55 см/с,

= 4 см/с.

Для определения угловой скорости звена АВ найдем с учетом выбранного масштаба скоростей отношение

0.067 с.

Для определения скорости точки М делим отрезок ab плана скоростей в отношении

Луч Оm изображает скорость точки M-, а отрезок —относительную скорость . Пользуясь масштабом скоростей, получаем

3,7 см/с, 1 см/с.

Для определения скорости точки С достраиваем отрезок ab в соотношении

Продолжая построение плана скоростей на Рис. 7, находим скорости точек , , , а также угловые скорости звеньев,.

2,75см/с, 0.175 с

= 3. 5 см/с, 0,092с

=2.1 см/с.

2.2 Определение ускорений точек и угловых ускорений звеньев с помощью теоремы о сложении ускорений

Ускорения точек и угловые ускорения звеньев, совершающих плоскопараллельное движение, будем определять с использованием теоремы о сложениях ускорений в плоском движении. Данную теорему реализуем графически, в виде отдельных многоугольников ускорений на схеме механизма (Рис. 8) и с помощью плана ускорений (Рис. 9), построенных в масштабе ускорений М_A .и М_А1 соответственно.

Вращение ведущего звена ОА является равномерным с угловой скоростью = /15 с, поэтому полное ускорение точки А равно ее центростремительной составляющей

,см/с, (2.3)

Определение ускорений начинаем с точки В_; траектория которой известна. Взяв за полюс точку А, применим, с учетом (2.3), теорему о сложении ускорений к точке В звена АВ :

(2.4)

где — ускорение точки В при вращательном движении звена АВ

вокруг полюса А.

—центростремительное ускорение точки В при вращательном

движении звена АВ вокруг полюса А.

—вращательное ускорение точки В при вращательном движении звена АВ вокруг полюса А.

Точка В совершает возвратно поступательное движение вдоль горизонтально направляющей.Следовательно, нам известна прямая, на которой лежит вектор ускорения точки В. Найдем ускорения:

= см/с,

= см/с,

Построив в точке В механизма замкнутый многоугольник ускорений на Рис. 8 в масштабе ускорений, измеряем значения неизвестных векторов:

=0,44 см/с, 0.63 см/с.

Построение многоугольника ускорений проводим следующим образом:

Из точки В проводим, в масштабе ускорений, вектор ускорения полюса

.

Из конца вектора откладываем параллельно ВА вектор ускорения , из конца которого проводим линию АВ, определяющую возможное направление вектора .

Из точки В, в направлении прямой OB откладываем линию определяющую возможное направление вектора .

Данная линия проводится до пересечения с прямой, перпендикулярной АВ, характеризующей направление вектора .

Точка пересечения этих прямых является точкой, в которой сходятся концы векторов и .

Угловые ускорения звеньев определяем по формулам

0,00733 с,

Направления угловых ускорений, которые определяем по направлению вектора , показано на Рис. 8.

Теперь зная угловое ускорение звена АВ мы можем найти ускорения точек С и М. Сначала найдём ускорение точки С.

Взяв за полюс точку А, применим, с учетом (2.3), теорему о сложении ускорений к точке С звена АС:

(2.6)

где — ускорение точки С при вращательном движении звена АС

вокруг полюса А.

—центростремительное ускорение точки С при вращательном

движении звена АС вокруг полюса А.

—вращательное ускорение точки С при вращательном движении звена АС вокруг полюса А.

Решаем векторное уравнение (2.6) с учётом выбранного масштаба ускорений, где –

= см/с,

= см/с,

Получимсм/с²

Аналогично для точки М

= см/с,

= см/с,

см/с

Ускорение точки в звена CD определим с использованием теоремы о сложении ускорений, приняв точку С за полюс

Для точки в звена O₁ D имеем

где - центростремительное ускорение точки в при вращательном движении звена O₁ D;

- вращательное ускорение точки в при вращательном движении звена O₁ D.

Приравнивая (2.6) и (2.7), получим векторное уравнение, которое решаем графическим способом с учетом выбранного масштаба ускорений (Рис. 8):

Здесь

см/с²

см/с²

см/с²

см/с²

Построение многоугольника ускорений проводим следующим образом:

Из точки в проводим, в масштабе ускорений, вектор ускорения полюса , из конца которого проводим линию CD, определяющую возможное направление вектора .

Из точки D, в направлении прямой O1D, откладываем вектор , а из его конца линию перпендикулярную O1D определяющую возможное направление вектора .

Данная линия проводится до пересечения с прямой, перпендикулярной CD, характеризующей направление вектора .

Точка пересечения этих прямых является точкой, в которой сходятся концы векторов . Измеряя неизвестные векторы, получаем значения ускорений

Затем вычисляем угловое ускорение звена CD

Вычисляем угловое ускорение звена O1D

Ускорение точки К находим аналогично ускорениям точек С и М, но приняв за полюс точку С

Получаем

Следующий метод, являющийся графической интерпретацией теоремы о сложении ускорений, называется планом ускорений. Особенностью метода является возможность быстрого определения ускорения любой точки механизма.

Построим план ускорений в масштабе M_А1 (Рис. 9).

Построение плана ускорений проводим следующим образом: Из произвольной точки О проводим, в масштабе ускорений М_А , отрезок оа, определяющий модуль и направление вектора ускорения полюса . Из конца вектора _А ^ц откладываем вектор ускорения _ВА ^ц , из конца которого проводим линию АВ, определяющую возможное направление вектора .

Из точки О, в направлении прямой ОВ, откладываем линию, определяющую возможное направление вектора .

Данная линия проводится до пересечения с прямой, перпендикулярной АВ , характеризующей направление вектора .

Точка пересечения этих прямых «b» является, точкой, в которой сходятся концы векторов и . Отрезок оb определяет модуль и направление вектора ускорения точки В.Измеряя длины отрезков, находим, с учётом выбранного масштаба

Для нахождения ускорения точки М и С звена АВ разделим отрезок аb точками m и с в соотношении

Измеряя длины отрезков om и ос, вычисляем, с использованием масштаба ускорений, ускорения

=0.84 см/с и =0.78см/с²

Треугольник oam на плане ускорений определяет теорему о сложении ускорений для точки М

Угловые ускорения звена АВ определим по формуле

Для нахождения ускорения точки в построим многоугольник ускорений,аналагично построению для точки В.Измерив длины отрезков,

получим

Ускорение точки С равно

Для нахождения ускорения точки в построим многоугольник ускорений аналогично построению для точки В. Измерив длины отрезков, получим

Угловое ускорение звена CD равно

см/с²

Вычисляем угловое ускорение звена O1D

Для нахождения ускорения точки К звена CD разделим отрезок cd точкой "k" в соотношении

Измеряя длину отрезка ok, вычисляем, с использованием масштаба ускорений, ускорение

=0.56 см/с.

2.3 Основные теоремы составного движения точки

Изобразим механизм в заданном положении при значении угла поворота ведущего звена ОА - f_к – 150, в выбранном масштабе длин – М_L .

Определим,измерив в масштабе длины М_{L ,} положения узловых точек базовых механизмов;

ОА=22см ОВ=40см О₁ D=40см

ОМ=9,3см О₁ С=36см AD=54см

ОС=12см О₁ К=15см

Для определения скоростей и ускорений этих точек, а также угловых скоростей и ускорений звеньев представим плоское движение шатунов AB и CD в виде двух вращений.

В качестве переносного вращения примем:

Для шатуна АВ – вращение вместе с кривошипом ОА вокруг неподвижной оси OZ с переносной угловой скоростью

Для шатуна СD – вращение вместе с кривошипом O₁ D вокруг неподвижной оси O₁ z с неизвестной пока переносной угловой скоростью

Относительным вращением в этом случае является:

Для шатуна АВ – вращение звена вокруг подвижной оси Az с относительной угловой скоростью ;

Для шатуна CD – вращение звена вокруг подвижной оси Cz с относительной угловой скоростью .

2.4 Определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев с помощью теоремы о сложении скоростей при переносном вращательном движении

Так как закон движения кривошипа ОА задан, а для ползуна В известна траектория движения,вычисление скоростей начнем с точки В, вектор скорости которой, определим согласно теореме о сложении скоростей при составном движении:

(2.6)

Где

- переносная скорость т. В

- относительная скорость т. В

- абсолютная скорость т. В.

Направление переносной скорости , определяется направлением угловой переносной скорости.

Решение уравнения (2.6) найдем графически, построив векторный треугольник скоростей.

Для этого, из точки В проводим вектор переносной скорости - .

Из конца вектора проводим линию, перпендикулярную звену АВ, характеризующую возможное направление вектора относительной скорости .

Из точки В проводим параллель к кривошипу ОВ, которая определяет возможное направление абсолютной скорости шарнира В, до пересечения с прямой, характеризующей направление вектора .

Точка пересечения данных прямых определяет концы неизвестных векторов относительной и абсолютной скорости шарнира В.

Измеряя указанные векторы, в соответствии с выбранным масштабом скоростей, получаем

=1.5см/с, =8.5см/с,

Направление относительной угловой скорости шатуна АВ, определяемое направлением относительной скорости точки В - .

Так как относительная и переносная угловые скорости направлены в разные стороны,то абсолютная угловая скорость звена АВ равно:

Знак «+» у величины угловой скорости шатуна АВ показывает, что направлено против часовой стрелки. Мгновенный центор вращения звена АВ лежит на прямой ОА и его положение определяется соотношением

Разрешая данное уравнение относительно неизвестной АР, получим

см

Величина АР определяет положение мгновенного центра вращения звена АВ МЦС при заданном положении механизма.

Зная величину и направление относительной угловой скорости звена АВ, скорость точки М найдем из уравнения

(2.7)

Где

- переносная скорость т.М

- относительная скорость т. М

- абсолютная скорость точки М.

Направление векторов переносной и относительной скоростей точки М показано на Рис.9 Решение уравнения (2.7) найдем, построив векторный треугольник скоростей. Измерением получено

V_M =3,65 см/с.

Скорость точки С найдем из уравнения

(2.9)

где см/с, -переносная скорость точки С,
см/с, -относительная скорость точки С,

см/с -абсолютная скорость точки С.

Зная скорость точки С, мы построим ее переносную и относительные скорости: . Построив данный треугольник мы запишем значения этих скоростей:

Выразим угловые скорости звеньев через найденные нами скорости точки С:

Угловую скорость звена ОD найдем по формуле

с.

Направление угловой скорости по часовой стрелке в сторону скорости .

Скорость точки в найдём из уравнения

(2.8)

Направление относительной угловой скорости шатуна СD, определяемое направлением относительной скорости точки С —, показано на Рис. 9. Так как относительная и переносная угловые скорости направлены в разные стороны, то абсолютная угловая скорость звена CD равна

==-=-0,09266 с.

Знак "-" у величины угловой скорости шатуна CD показывает, что направлено по часовой стрелке. Мгновенный центр вращения звена CD лежит перпендикулярно и его положение определяется соотношением

Величина O1P_CD определяет положение мгновенного центра вращения звена СD (МЦС) при заданном положении механизма.

Зная величину и направление относительной угловой скорости звена CD, скорость точки K найдем из уравнения

(2.9)

Где - переносная скорость точки K

см/с, -относительная скорость точки K,

см/с

Направление векторов переносной и относительной скоростей точки K показано на Рис.9.

см/с.

Определение ускорений точек и угловых ускорений звеньев с помощью теоремы о сложении ускорений при переносном вращательном движении

Так как для шарнира В известна траектория движения, а закон движения кривошипа ОА задан, вычисление ускорений начинаем с точки В. Абсолютное ускорение точки В определим согласно теореме о сложении ускорений при непоступательном переносном движении:

(2.10)

Где - переносное ускорение точки,

- относительное ускорение точки,

ускорение Кориолиса,

см/с²

=1,7528 см/с, - переносное центростремительное ускорение точки

т.к. - переносное вращательное ускорение точки,

- относительное вращательное ускорение точки,

= 1,2042 см/с - относительное центростремительное ускорение точки,

Направление ускорения Кориолиса , которое можно определить по правилу векторного произведения векторов или методом Жуковского, показано на Рис. 11.

В уравнении (2.10) учтено, что переносное и относительное движения шатуна АВ являются вращениями вокруг осей Oz и Az соответственно.

Решение уравнения (2.10) найдем, построив векторный многоугольник ускорений (Рис. 11).

Для этого, из точки В проводим в сторону точки О вектор переносного центростремительного ускорения —.

Из конца вектора проводим параллельно АВ вектор относительного центростремительного ускорения —.

Из конца вектора откладываем вектор ускорения Кориолиса , из конца которого проводим линию AB, определяющую возможное направление вектора .

Из точки В, в направлении прямой ОВ, откладываем вектор возможного направления вектора .

В точке пересечения этих прямых сходятся концы векторов и . Измеряя данные векторы в масштабе ускорений, получим

=0.45 см/с, =0.65 см/с.

Угловые ускорения звеньев определяем по формулам

=0.0075с^-2

Направления угловых ускорений, которые определяем по направлению векторов и соответственно, показаны на рис.11.

Так как угловое относительное ускорение шатуна AB определено, найдём ускорение точки M:

(2.11)

, - ускорение Кориолиса,

см/с²

–переносное центростремительное ускорение точки,

, т. к. w_AB ^e = const – переносное вращательное ускорение точки,

||AМ–относительное центростремительное ускорение точки,

, – относительное вращательное ускорение точки.

Изображаем многоугольник ускорений для точки М (рис.11). Измеряя неизвестный вектор ускорения , получим

Аналогично для точки С имеем

(2.12)

, - ускорение Кориолиса,

–переносное центростремительное ускорение точки,

, т. к. w_AB ^e = const – переносное вращательное ускорение точки,

||AС–относительное центростремительное ускорение точки,

, – относительное вращательное ускорение точки.

Изображаем многоугольник ускорений для точки С (рис.12). Измеряя неизвестный вектор ускорения , получим

Так как точка С принадлежит одновременно шатуну АВ и CD, то ускорение точки С можно записать следующим образом:

(2.12)

, - ускорение Кориолиса,

–переносное центростремительное ускорение точки,

, – переносное вращательное ускорение точки,

||DС–относительное центростремительное ускорение точки,

, – относительное вращательное ускорение точки.

- полное ускорение точки С

Изображаем многоугольник ускорений для точки С (рис.13). Измеряя неизвестный вектора ускорений и , получим

Зная ускорения, вычислим угловые ускорения по формулам:

Полное угловое ускорение звена CD найдется из соотношения:

Найдем ускорение точки К из всех известных нам уже величин, построив многоугольник ускорений по формуле:

(2.11)

, - ускорение Кориолиса,

см/с²

–переносное центростремительное ускорение точки,

– переносное вращательное ускорение точки,

–относительное центростремительное ускорение точки,

, – относительное вращательное ускорение точки.

Изображаем многоугольник ускорений для точки К. Измеряя неизвестный вектор ускорения, получим

3.Анализ результатов вычислений

Cведем результаты вычислений, полученные разными методами, в таблицы. Точность вычислений проведенных графическими методами будем оценивать положительной величиной относительной погрешности δ, определяемой соотношением

Здесь x – исследуемая величина, x_T – точное значение исследуемой величины.

Для оценки точности скоростей узловых точек и угловых скоростей звеньев заданного механизма составим таблицу

Для оценки точности ускорений узловых точек и угловых ускорений звеньев заданного механизма составим таблицу

Анализ вычисленных значений кинематических параметров многозвенного шарнирного механизма позволяет сделать следующие выводы:

· Все три графических метода с допустимой степенью точности определяют кинематические параметры механизма;

· Увеличение погрешности при вычислении ускорений связано с накоплением ошибок графических методов при определении скоростей точек и угловых скоростей звеньев;

· Наиболее громоздкими и трудоемкими являются графоаналитические и графические методы при исследовании ряда различных положений механизма,

· Данные методы целесообразно использовать в качестве ориентировочных расчетов при отладке программ для численного моделирования системы.

Методы визуального моделирования являются наиболее перспективными, т.к. позволяют осуществлять не только числовые расчеты, но и отображать ренальную картину поведения механизма и распределения кинематических характеристик звеньев и их точек.

Список литературы

1. Бертяев В.Д., Булатов Л.А., Комолов Д.В., Маркелов С.С. Кинематический расчет плоского многозвенного механизма. – Тула, 2003;

2. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Т.1 (Статика и кинематика) – М.: Наука, 1990;

3. Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики. Т.1 – М.: Высшая школа, 1984;

4. Тейксера, Пачеко Delphi 5 Руководство разработчика;

5. В.В. Фаронов Delphi учебный курс М.: Нолидж 1999;