Задача № 1

Имеются следующие выборочные данные по предприятиям одной из отраслей промышленности в отчетном году (выборка 20%-тная, механическая), млн. руб.:

Таблица 1 – Исходные данные

По исходным данным:

1. Построим статистический ряд распределения предприятий по признаку прибыль от продаж , образовав пять групп с равными интервалами.

2. Построим график полученного ряда распределения. Графически определим значения моды и медианы.

3. Рассчитаем характеристики интервального ряда распределения предприятий по прибыли от продаж: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, дисперсию, коэффициент вариации.

4. Вычислим среднюю арифметическую по исходным данным, сравним ее с аналогичным показателем, рассчитанным в п.3 для интервального ряда распределения.

Решение:

1. Рассчитаем прибыль от продаж продукции, как разность от продажи продукции и затратами на производство и реализацию продукции

В результате получим новую таблицу:

Таблица 2 – Расчет прибыли от продаж

2. Сначала вычислим величину интервала группировочного признака (прибыль от продаж ):

i=(х _{максимальное значение} –х _{минимальное значение} ) /5 групп =

= (18,216 – 1,872)/5=3,2688 млн.руб.

Таблица 3 - Распределение предприятий по признаку прибыль от продаж

Результаты группировки показывают, что наибольшая часть предприятий, т.е. 43 % имеет прибыль от продаж в размере от 5,14 до 8,41 млн.руб.

3. Построим график полученного ряда распределения:

Рис.1. Гистограмма распределения предприятий по прибыли от продаж

Мода Мо - это величина признака (варианта), который наиболее часто встречается в данной совокупности, т.e. это варианта, имеющая наибольшую частоту. Моду находим по формуле:

где: минимальная граница модального интервала;

- величина модального интервала;

{частоты модального интервала, предшествующего и следующего за ним

= 5,1408+3,2688 *(13-6/ ((13-6)+(13-5)) =6,6662 млн.руб.

Рис.2. Графическое определение моды в распределении предприятий по прибыли от продаж

Медиана Ме - варианта, находящаяся в середине ряда распределения. Медиану находим по формуле:

где: - нижняя граница медианного интервала;

- величина медианного интервала;

- полусумма частот ряда;

- сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

- частота медианного интервала.

= 5,1408+3,2688*((0,5*30-6)/ 13) =7,4038 млн.руб.

Рис.3. Графическое определение медианы в распределении предприятий по прибыли от продаж

Значит, наиболее часто встречающееся значение находится в пределе 6,67 млн.руб., а серединное значение 7,4 млн.руб.

4. Рассчитаем характеристики интервального ряда распределения предприятий по прибыли от продаж: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, дисперсию, коэффициент вариации.

Средняя арифметическая взвешенная

x_cр = ∑xf/∑f = 249,02/30 = 8,3 млн.руб. в среднем составляет прибыль от продаж

Среднеквадратическое отклонение

σ = == 3,9347 млн. руб.

(на данную величину в среднем отклоняются значения ряда распределения от среднего значения)

Таблица 4

Дисперсия

Коэффициент вариации

υ = σ/x_cp *100 = 3,9347/8,3 * 100 = 47,41 % - значение характеризующее однородность ряда. Так как коэффициент вариации превышает 33 %, то делаем вывод, что наш ряд распределения не однороден.

Выводы:

1. Средняя величина прибыли от продажи продукции на предприятии составляет 8,301 млн. руб.

2. Среднеквадратическое отклонение показывает, что значение признака в совокупности отклоняется от средней величины в ту или иную сторону в среднем на 3,9347 млн. руб

3. Совокупность данных неоднородна, т.к. коэффициент вариации больше 33%.

Задача № 2

Связь между признаками – затраты на производство и реализацию продукции и прибыль от продаж .

1. Установим наличие и характер связи между признаками затраты на производство и реализацию продукции и прибыль от продаж , образовав заданное число групп с равными интервалами по обоим признакам, методами:

а) аналитической группировки,

б) корреляционной таблицы.

Решение:

1. Прибыль предприятия напрямую зависит от затрат на производство и реализацию продукции, тогда обозначим затраты независимой переменной Х, тогда прибыль зависимой переменной У. Поскольку в каждом отдельном случае рассматривается одно предприятие, то на прибыль предприятия, кроме затрат на производство и реализацию продукции, может влиять множество факторов в том числе и неучтенных, следовательно можно определенно сказать, что связь в данном случае корреляционная. Ее можно выявить при помощи аналитической группировки. Для этого сгруппируем предприятия по затратам, а интервал высчитаем по формуле:

е=(х_max – x_min )/k,

где k – число выделенных интервалов.

е =(60,984-12,528)/5=9,691 млн.руб.

Получим следующие интервалы:

12,528-22,219; 22,219-31,910; 31,910-41,602; 41,602-51,293; 51,293-60,984

Таблица 5

Теперь по данным рабочей таблицы строим итоговую аналитическую таблицу 6:

Таблица 6

По данным аналитической таблицы мы видим, что с приростом затрат на производство и реализацию продукции, средняя прибыль на одно предприятие возрастает. Значит, между исследуемыми признаками существует прямая корреляционная зависимость.

2. Строим расчетную таблицу 7:

Таблица 7

Вычисляем коэффициент детерминации по формуле:

где - межгрупповая дисперсия, находящаяся по формуле:

- общая дисперсия результативного признака, находящаяся по формуле:

Теперь находим межгрупповую дисперсию: =451,19/30=15,04

Для нахождения общей дисперсии, нужно рассчитать:

y² =2573,89/30=85,796

=85,796-(8,364)² =15,84

Вычисляем коэффициент детерминации:

η² =ε_y ² /δ_y ²

η² =15,04/15,84=0,95 или 95%

Следовательно, на 95% вариация прибыли предприятия зависит от вариации затрат на производство и реализацию продукции и на 5% зависит от неучтенных факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение составляет:

η = √0,95=0,975

Это говорит о том, что корреляционная связь играет существенную роль между затратами и суммой прибыли.

Задача № 3

По результатам выполнения задания 1 с вероятностью 0,683 определите:

1. Ошибку выборки средней суммы прибыли от продаж и границы, в которых будет находиться средняя сумма прибыли в генеральной совокупности.

2. Ошибку выборки доли организаций с суммой прибыли 14,948 млн. руб. и более и границы, в которых будет находиться генеральная доля.

Решение:

Определяем ошибку выборки (выборка механическая) для средней суммы прибыли на одно предприятие по следующей формуле:

если Р=0,683, то t=1. Т.к. выборка механическая 20%-ная, то N=150

Δ_х =1*√(15,472/30)*(1-30/150)=0.7млн. руб.

Ошибка выборки для средней суммы прибыли на одно предприятие Δ_х =0,7млн.руб.

Средняя сумма прибыли будет находиться в границах которые мы находим по формуле :

7,601≤ ≤9.001

С вероятностью 0,683 можно утверждать, что средняя сумма прибыли одного предприятия заключается в пределах от 7,601 млн. руб. до 9,001 млн. руб.

Доля предприятий со средней прибылью свыше 16,6 млн.руб. находится в пределах :

Выборочная доля составит:

w =3/30=0,1 или 10%

Ошибку выборки определяем по формуле:

где N-объем генеральной совокупности. Т.к. выборка 20%-ная и в выборку вошло 30 предприятий, то N=150.

Подставляя данные в формулу, получим:

D_w =1√(0,1(1-0,1)/30)*(1-30/600)

∆_w =0,0024

Следовательно с вероятностью 0,683 можно утверждать, что доля предприятий со средней прибылью > 14,948 млн. руб. будет находиться в следующих пределах:

0,1-0,0024≤∆_ω ≤0,1+0,0024

0,098≤∆_ω ≤0,1024

или от 9,8% до 10,24%.

Задача №4

Имеются следующие данные по организации о прибыли от продажи продукции и ее рентабельности:

Таблица 8

Определите:

1. Общий индекс рентабельности реализованной продукции.

2. Абсолютное изменение прибыли от продажи продукции в результате роста рентабельности.

Сделать выводы.

Решение:

Для проведения необходимых расчетов построим дополнительную таблицу 9:

Таблица 9

1) Индекс рентабельности – это отношение рентабельности отчетного периода к ее уровню в базисном периоде.

Для определения уровня рентабельности нам необходимо знать величину прибыли от продажи продукции и ее себестоимость. Поскольку себестоимость неизвестна, но имеются индивидуальные индексы рентабельности по трем видам продукции, мы можем определить темп роста себестоимости в отчетном году по сравнению с базисным (Сотч/Сбаз).

Для того, чтобы определить общий индекс рентабельности – нужно суммировать показатели по всем трем видам продукции:

,

Итак, общий индекс рентабельности составил 1,03, то есть в отчетном периоде по сравнению с базисным общий уровень рентабельности всей реализованной продукции увеличился на 3%.

2) Абсолютное изменение прибыли от продажи продукции в результате роста рентабельности:

Из таблицы видно, что прибыль от продажи всех трех видов продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличилась на 0,1 млн. руб. (2,5-2,4), что позволяет нам сделать следующий вывод:

Рост рентабельности продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным на 3 % (по продукции А, Б, В) позволил увеличить прибыль от продажи этой продукции на 100 тысяч рублей.