Дослідження характеристик стійкості в системі популяційної динаміки
із запізненням
1. Вступ
У багатьох застосуваннях припускається, що на поведінку піддослідної системи не впливає жодна затримка в часі, тобто майбутній стан системи не залежить від попередніх станів і визначається лише теперішнім. У таких випадках динамічна система переважно моделюється звичайними диференціальними рівняннями. Однак при глибшому вивченні виявляється, що такий погляд – це лише перше наближення до дійсного стану і реальніша модель повинна включати минулі стани системи.
Крім того, деякі задачі повністю втрачають свій зміст без розгляду “попередньої історії”. Ці положення були відомі й раніше, але теорія систем з післядією інтенсивно розвивається лише протягом останніх 50 років. Досягнення в галузі обчислювальної техніки є дуже важливими, оскільки теорія інтегрування, тобто аналітичного розв’язування, для систем з післядією не настільки успішна.
Перші системи, з якими зіткнулися дослідники, були біологічними. При дослідженні динаміки популяцій двох антагоністичних видів [7] використовувалися системи із запізненням. Р.Беллман [3] вивчав наслідки введення у кров хімічного розчину. Зауважимо, що рівняння, які описують цей процес, не є звичайними диференціальними рівняннями, оскільки повна циркуляція крові триває близько двох хвилин.
Мета цієї праці – проаналізувати систему імунного захисту організму, враховуючи запізнення в часі. Вперше модель імунного захисту людського організму була розроблена групою математиків і лікарів на чолі з Г.І.Марчуком. Як зазначає Г.І.Марчук [1], модель дала непогані результати при використанні її для лікування пневмонії та вірусного гепатиту.
2. Асимптотична стійкість
2.1. Головні результати теорії стійкості
Широке коло задач пов’язано з дослідженнями динаміки об’єктів, що описуються диференціальними рівняннями із запізненням:
(2.1)
Тут – функціонал, визначений для довільного фіксованого на множині кусково-неперервних функцій:
Одним із найзагальніших методів дослідження стійкості таких задач є прямий метод Ляпунова. Використання такої методики для систем із післядією пов’язано з двома напрямками. Перший ґрунтується на скінченно-вимірних функціях Ляпунова і використовує теореми Б.С.Разуміхіна. Однак цей підхід має недолік: не доведено необхідності цих умов стійкості. Сенс диференціально-різницевих рівнянь полягає в нескінченно-вимірних просторах. Використання скінченно-вимірних функцій Ляпунова призводить до зайвих достатніх умов.
Зцієї причини М.М.Красовський [8] запропонував підійти до вивчення стійкості з точки зору дослідження процесів у функціональних просторах. Як точку простору він запропонував розглядати не вектор, а вектор-відрізок цієї траєкторії . Замість функції він запропонував використовувати функціонал , визначений на відрізку . Використання функціоналів – це природнє узагальнення прямого методу Ляпунова для звичайних диференціальних рівнянь на рівняння із запізненням. Головний результат для автономних систем твердить [2].
Теорема 2.1.
Нехай існують - функціонал і неперервні функції такі, що при
, при,
Тоді незбурений роз’язок системи (1) є стійким, а кожен роз’язок обмеженим. Якщо, крім цього, при
, тоді кожен розв’язок прямує до нуля при .
2.2.
Один загальний випадок нелінійної системи третього порядку із запізненням
Розглянемо систему диференціальних рівнянь із запізненням:
(2.2)
Туті– від’ємні константи, функції задовольняють наступні умови:
(2.3)
де – додатні константи.
Теорема 2.2.
Нехай умови
(2.3)виконані.
Тоді незбурений розв’язок
(2.2) є стійким та експоненціально -стійким.
Доведення.
Нехай– функція Ляпунова для скалярного рівняння:
(2.4)
Тоді:
Розглянемо функціонал, що відображаєввигляду:
Повна похідна функціоналу вздовж першого рівняння з (2.2) має вигляд:
Згідно з умовами (3), існуєтаке, що:
(2.5)
у сфері:
. (2.6)
Функціонал задовольняє умови:
(2.7)при досить великомуN
.
Нехай– довільний розв’язок системи (2.2) з початковими умовами зі сфери:
Розглянемо інтервал, на якому піддослідний розв’язок зодовольняє умови:
Оскільки мають місце (2.5), (2.6), (2.7), то, як випливає з теореми 2 (див. [10], стор.145), розв’язок першого рівняння з (2.2) – експоненціально x-стійкий, тобто:
(2.8)
Уявимо функцію, яка задовольняє друге рівняння з (2.2) у наступному вигляді:
(2.9)
Оскількито маємо:
Застосовуючи до останньої нерівності лему Гронуола-Беллмана, отримуємо:
Виберемоітакі, що мають місце нерівності:
Звідси при має місце:
Нехай. Таким чином, нерівності мають місце для довільного . Таким же чином, як це було зроблено для , можна довести -стійкість (2.2). Теорему доведено.
3.
Система імунного захисту
Наша подальша мета – отримати достатні умови стійкості в явному вигляді для наступної нелінійної системи:
(3.1)
Тут. З цією метою введемо такі позначення. Нехай – довільні додатні константи.
Нехай:
Теорема 3.1.
Нехай існують додатні константи , що задовольняють нерівності:
Тоді тривіальний розв’язок (22 ) є асимптотично стійким.
Доведення
. Використаємо квадратичний функціонал вигляду:
що є додатньо-означеним на розв’язках системи (22). Обчислимо повну похідну функціоналу , використовуючи систему (22). Маємо:
Зробимо перетворення в усіх складових порядку, відмінного від двох. Тут береться до уваги додатність траєкторії системи. Маємо:
Ми отримали нерівність, де в правій частині є квадратична форма, що відповідає вектору:
Маємо:
.
Тут:
.
Взявши до уваги вигляд матриці , стає зрозумілим, що від’ємна визначеністьє еквівалентною виконанню нерівностей, згаданих у формулюванні теореми.
Література
- Нисевич Н.И., Марчук Г.И. Математическое моделирование вирусного гепатита. – М.: Наука, 1981.
- Hale J. Theory of Functional-Differential Equations. Springer. – Berlin, 1977.
- Bellman R., Jacques J., Kalaba R. Some mathematical aspects of chemoterapy. I: one-organ models // Bull. Math. Biophys. – 1960. – Р. 181-198.
- Marzeniuk V.P. On Construction of Exponential Estimates for Linear Systems with Delay. – Advances in Difference Equations. – Gordon and Breach Science Publishers. – 1997. – Р.439-445.
- Хусаинов Д.Я., Марценюк В.П. Оптимизационный метод исследования устойчивости линейных систем с запаздыванием // Кибернетика и системный аналіз. – 1996. – №4. – С. 88-93.
- Хусаинов Д.Я., Марценюк В.П. Двусторонние оценки решений линейных систем с запаздыванием // Доклады НАН Украины.– 1996. – №8. – С. 8-13.
- Volterra V. Sur la theorie mathmatique des phenomenes hereditaires. J. Math. Pures Appl. – 7 (1928). – Р. 249-298.
- Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. – М.: Физматгиз, 1959.
- Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. – М.: Наука, 1951.
- Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. – М.: Наука, 1971.
- Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с постедействием. – М.: Наука, 1981. – 448 с.
|