КУРСОВАЯ РАБОТА
по предмету «Сопротивление материалов»
«РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ»
Вариант № 10
Студент:
Группа:
Преподаватель:
Санкт-Петербург
2011 г.
РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ
Целью курсовой работы является определение перемещений в пространственной стержневой системе под действием заданных сил, определение матрицы жёсткости стержневой системы, выполнение расчёта на прочность и устойчивость для определения поперечных размеров стержней, обеспечивающих уровень напряжений ниже предела прочности.
1. Пространственная стержневая система разбивается на отдельные стержневые элементы (дискретизируется) по принципу приложения всех внешних сил, изменения геометрических характеристик и определения степеней свободы (перемещений) только на концах стержней. Данная система состоит из N
= 13 стержневых элементов, которые пронумерованы в произвольном удобном порядке. Номера стержневых элементов обозначаются на схеме в кружках.
2. Для пространственной стержневой системы вводится глобальная система координат OXYZ для ориентации стержневых элементов, внешних сил и перемещений.
3. В концевых сечениях стержней (узлах) располагаются узловые системы координат для определения 3-х поступательных и 3-х вращательных степеней свободы, которые ориентированы так же, как и глобальная система координат OXYZ. Узловые степени свободы являются степенями свободы стержневой системы или глобальными степенями свободы.
4. Производится нумерация глобальных степеней свободы n
=54
по следующим правилам.
4.1. Сначала определяются и нумеруются m=
37 подвижных (на которых возможны перемещения) степеней свободы, затем нумеруются неподвижные степени свободы.
4.2. Нумерация начинается с узла имеющего минимальное количество соседних подвижных степеней свободы. Под соседними степенями свободы понимаются степени свободы, принадлежащие одному конечному (стержневому) элементу.
4.3. Следующие номера получают степени свободы узла ближайшего к узлу с минимальными номерами степеней свободы.
4.4. В каждом узле сначала нумеруются поступательные, затем вращательные степени свободы.
4.5. По направлениям осей координат степени свободы нумеруются в порядке x -> y -> z.
5. Для каждого стержневого элемента определяется направление его собственной (локальной) оси x, совпадающей с продольной осью.
6. Составляется матрица (файл stsysmi.prn
) соответствия индексов (номеров) степеней свободы стержневой системы, состоящая из N строк по числу стержневых элементов. В каждой строке записываются 12 глобальных номеров степеней свободы каждого стержневого элемента соответствующих 12-ти собственным (локальным) степеням свободы каждого стержневого элемента. Выбранное направление собственной оси x каждого стержня определяет 6 «левых» и 6 «правых» номеров степеней свободы.
| 2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
44 |
45 |
46 |
47 |
48 |
49 |
| 44 |
45 |
46 |
47 |
48 |
49 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
| 32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
| 2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
| 8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
43 |
| 38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
43 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
| 26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
| 32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
| 32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
| 26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
| 14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
| 20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
50 |
51 |
52 |
53 |
54 |
1 |
| 50 |
51 |
52 |
53 |
54 |
1 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
7. Составляется матрица (файл stsyscrd.prn
) координат узлов стержневых элементов, состоящая из N строк по числу стержневых элементов. В каждой строке записываются 6 координат (x0
, y0
, z0
, x1
, y1
, z1
) центров «левого» и «правого» концевых сечений каждого стержневого элемента, соответствующих направлению собственной оси x каждого стержневого элемента.
| 0 |
0 |
0.6 |
0 |
0.5 |
0.6 |
| 0 |
0.5 |
0.6 |
0.28 |
0.15 |
0.6 |
| 0.28 |
0.15 |
0.6 |
0 |
0 |
0.6 |
| 0 |
0 |
0.6 |
0 |
0 |
0 |
| 0 |
0 |
0 |
0 |
0.5 |
0 |
| 0 |
0.5 |
0 |
0.28 |
0.15 |
0 |
| 0.28 |
0.15 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| 0.28 |
0.15 |
0.6 |
0.28 |
0.15 |
0 |
| 0.28 |
0.15 |
0.6 |
0.4 |
0.15 |
0.6 |
| 0.28 |
0.15 |
0 |
0.4 |
0.15 |
0 |
| 0.4 |
0.15 |
0.6 |
0.4 |
0.15 |
0 |
| 0.4 |
0.15 |
0 |
0.4 |
0 |
0 |
| 0.4 |
0 |
0 |
0.4 |
0.15 |
0.6 |
8. Составляется вектор (файл stsysp.prn
) внешних узловых сил, действующих по каждой степени свободы.
| 1
|
0 |
10
|
0 |
19
|
0 |
28
|
0 |
37
|
0 |
46
|
0 |
| 2
|
0 |
11
|
0 |
20
|
0 |
29
|
0 |
38
|
0 |
47
|
0 |
| 3
|
0 |
12
|
0 |
21
|
0 |
30
|
0 |
39
|
0 |
48
|
0 |
| 4
|
0 |
13
|
0 |
22
|
0 |
31
|
0 |
40
|
0 |
49
|
0 |
| 5
|
0 |
14
|
0 |
23
|
0 |
32
|
0 |
41
|
0 |
50
|
0 |
| 6
|
0 |
15
|
0 |
24
|
0 |
33
|
-10000 |
42
|
0 |
51
|
0 |
| 7
|
0 |
16
|
0 |
25
|
0 |
34
|
0 |
43
|
0 |
52
|
0 |
| 8
|
3000 |
17
|
-50 |
26
|
0 |
35
|
0 |
44
|
0 |
53
|
0 |
| 9
|
0 |
18
|
0 |
27
|
-5000 |
36
|
0 |
45
|
0 |
54
|
0 |
9. Составляется матрица (файл stsyssz.prn
) геометрических характеристик стержневых элементов, с числом строк, равному числу стержневых элементов. В каждой строке записываются длина l [м]
, площадь поперечного сечения F
[м2
]
, три момента инерции Jx
, Jy
, Jz
[м4
]
поперечного сечения и коэффициент k
f
изменения исходных размеров. Площадь сечения и моменты инерции рассчитываются на компьютере, согласно п. 10.
l F Jx
Jy
Jz
k
f
| 0.5 |
0.000724 |
0.00000001541 |
0.00000006668 |
0.00000002861 |
1 |
| 0.448 |
0.000724 |
0.00000001541 |
0.00000006668 |
0.00000002861 |
1 |
| 0.318 |
0.000724 |
0.00000001541 |
0.00000006668 |
0.00000002861 |
1 |
| 0.6 |
0.000724 |
0.00000001541 |
0.00000006668 |
0.00000002861 |
1 |
| 0.5 |
0.000724 |
0.00000001541 |
0.00000006668 |
0.00000002861 |
1 |
| 0.448 |
0.000724 |
0.00000001541 |
0.00000006668 |
0.00000002861 |
1 |
| 0.318 |
0.000724 |
0.00000001541 |
0.00000006668 |
0.00000002861 |
1 |
| 0.6 |
0.000724 |
0.00000001541 |
0.00000006668 |
0.00000002861 |
1 |
| 0.12 |
0.000724 |
0.00000001541 |
0.00000006668 |
0.00000002861 |
1 |
| 0.12 |
0.000724 |
0.00000001541 |
0.00000006668 |
0.00000002861 |
1 |
| 0.6 |
0.000724 |
0.00000001541 |
0.00000006668 |
0.00000002861 |
1 |
| 0.15 |
0.000724 |
0.00000001541 |
0.00000006668 |
0.00000002861 |
1 |
| 0.618 |
0.000724 |
0.00000001541 |
0.00000006668 |
0.00000002861 |
1 |
10. Расчет геометрических характеристик сечения и определение поля касательных напряжений.
10.1. Сечение изображается в масштабе и разбивается на N = 114 треугольных элементов близких по форме к равносторонним. Сечения, имеющие в своей основе прямоугольники, разбиваются на прямоугольные треугольники с отношением сторон не более 2.
10.2. Треугольники нумеруются в произвольном удобном порядке, а номера обводятся на схеме кружками.
10.3. Вершины треугольников образуют n = 75 узлов, которым в определенном порядке присваиваются глобальные номера. Сначала нумеруются m = 41 внутренних (не лежащих на контуре сечения) узлов, затем нумеруются внешние (лежащие на контуре сечения) узлы. Нумерация начинается с узла имеющего минимальное количество соседних внутренних узлов. Под соседними узлами понимаются узлы принадлежащие одной стороне треугольника. Следующие номера получают узлы ближайшие к узлам с минимальными номерами.
10.4. Составляется матрица (файл torsionm.prn
) соответствия индексов (номеров) узлов, состоящая из N строк, равном числу треугольных элементов. В каждой строке записываются 3 глобальных (внешних) номера вершин каждого треугольного элемента соответствующих 3-м собственным локальным (внутренним) номерам вершин каждого треугольного элемента. Номера располагаются в порядке, соответствующем обходу вершин треугольников против часовой стрелки.
1
2 3
| 42 |
17 |
43 |
16 |
30 |
25 |
26 |
29 |
11 |
| 42 |
64 |
17 |
9 |
16 |
25 |
29 |
14 |
11 |
| 64 |
32 |
17 |
33 |
9 |
25 |
29 |
38 |
14 |
| 64 |
61 |
32 |
33 |
25 |
2 |
29 |
6 |
38 |
| 32 |
61 |
60 |
33 |
2 |
20 |
6 |
70 |
38 |
| 32 |
60 |
63 |
19 |
33 |
20 |
70 |
53 |
38 |
| 74 |
59 |
41 |
19 |
20 |
66 |
38 |
53 |
69 |
| 59 |
58 |
41 |
44 |
19 |
66 |
38 |
69 |
5 |
| 41 |
58 |
57 |
66 |
20 |
21 |
38 |
5 |
28 |
| 41 |
57 |
56 |
66 |
21 |
45 |
14 |
38 |
28 |
| 41 |
56 |
72 |
20 |
34 |
21 |
14 |
28 |
27 |
| 41 |
72 |
8 |
20 |
2 |
34 |
11 |
14 |
27 |
| 41 |
8 |
31 |
2 |
25 |
34 |
35 |
11 |
27 |
| 74 |
41 |
31 |
25 |
10 |
34 |
35 |
27 |
4 |
| 74 |
31 |
24 |
25 |
30 |
10 |
35 |
4 |
75 |
| 63 |
74 |
24 |
30 |
15 |
10 |
23 |
35 |
75 |
| 32 |
63 |
24 |
30 |
39 |
15 |
23 |
75 |
47 |
| 32 |
24 |
1 |
30 |
7 |
39 |
46 |
23 |
47 |
| 32 |
1 |
18 |
7 |
71 |
39 |
75 |
36 |
48 |
| 17 |
32 |
18 |
71 |
54 |
39 |
75 |
4 |
36 |
| 18 |
73 |
17 |
39 |
54 |
70 |
4 |
27 |
36 |
| 43 |
17 |
73 |
39 |
70 |
6 |
27 |
12 |
36 |
| 73 |
18 |
19 |
39 |
6 |
29 |
27 |
28 |
12 |
| 73 |
19 |
44 |
15 |
39 |
29 |
28 |
13 |
12 |
| 18 |
33 |
19 |
15 |
29 |
26 |
28 |
37 |
13 |
| 18 |
1 |
33 |
10 |
15 |
26 |
28 |
5 |
37 |
| 1 |
24 |
33 |
34 |
10 |
26 |
5 |
69 |
37 |
| 24 |
9 |
33 |
34 |
26 |
3 |
69 |
52 |
37 |
| 24 |
31 |
9 |
34 |
3 |
22 |
37 |
52 |
62 |
| 31 |
16 |
9 |
21 |
34 |
22 |
37 |
62 |
51 |
| 31 |
40 |
16 |
21 |
22 |
67 |
37 |
51 |
65 |
| 31 |
8 |
40 |
45 |
21 |
67 |
13 |
37 |
65 |
| 8 |
72 |
40 |
67 |
22 |
23 |
13 |
65 |
68 |
| 72 |
55 |
40 |
67 |
23 |
46 |
12 |
13 |
68 |
| 40 |
55 |
71 |
22 |
35 |
23 |
36 |
12 |
68 |
| 40 |
71 |
7 |
22 |
3 |
35 |
36 |
68 |
50 |
| 40 |
7 |
30 |
3 |
26 |
35 |
36 |
50 |
49 |
| 16 |
40 |
30 |
26 |
11 |
35 |
48 |
36 |
49 |
10.5. Составляется матрица (файл torsionf.prn
) координат узлов, состоящая из n строк, равному числу узлов. В каждой строке записываются 2 координаты (y и z) каждого узла и весовой коэффициент w = 1.
Коэффициент w называется «коэффициентом восстановления жесткости». Если исходная фигура целиком разбивается на треугольники, то для каждого узла w = 1. Если же из-за симметрии разбиения фигуры для расчетов используется только симметричная часть фигуры, то узлы на границе отсечения имеют коэффициенты w > 1.
| 0.005 |
0.005 |
1 |
0.008 |
0.020 |
1 |
0.018 |
0.034 |
1 |
| 0.005 |
0.012 |
1 |
0.008 |
0.028 |
1 |
0.022 |
0.031 |
1 |
| 0.005 |
0.020 |
1 |
0.014 |
0.028 |
1 |
0.022 |
0.024 |
1 |
| 0.005 |
0.028 |
1 |
0.014 |
0.020 |
1 |
0.022 |
0.016 |
1 |
| 0.018 |
0.028 |
1 |
0.014 |
0.012 |
1 |
0.022 |
0.008 |
1 |
| 0.018 |
0.020 |
1 |
0.014 |
0.005 |
1 |
0.022 |
0.002 |
1 |
| 0.018 |
0.012 |
1 |
0.005 |
0.002 |
1 |
0.022 |
0 |
1 |
| 0.018 |
0.005 |
1 |
0.005 |
0.008 |
1 |
0.018 |
0 |
1 |
| 0.008 |
0.008 |
1 |
0.005 |
0.016 |
1 |
0.014 |
0 |
1 |
| 0.008 |
0.016 |
1 |
0.005 |
0.024 |
1 |
0.008 |
0 |
1 |
| 0.008 |
0.024 |
1 |
0.005 |
0.031 |
1 |
0.005 |
0 |
1 |
| 0.008 |
0.031 |
1 |
0.018 |
0.031 |
1 |
0.022 |
0.034 |
1 |
| 0.014 |
0.031 |
1 |
0.018 |
0.024 |
1 |
0.008 |
0.002 |
1 |
| 0.014 |
0.024 |
1 |
0.018 |
0.016 |
1 |
0.002 |
0 |
1 |
| 0.014 |
0.016 |
1 |
0.018 |
0.008 |
1 |
0.014 |
0.034 |
1 |
| 0.014 |
0.008 |
1 |
0.018 |
0.002 |
1 |
0 |
0.012 |
1 |
| 0.002 |
0.002 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0.020 |
1 |
| 0.002 |
0.005 |
1 |
0 |
0.002 |
1 |
0.008 |
0.034 |
1 |
| 0.002 |
0.008 |
1 |
0 |
0.008 |
1 |
0.022 |
0.028 |
1 |
| 0.002 |
0.012 |
1 |
0 |
0.016 |
1 |
0.022 |
0.020 |
1 |
| 0.002 |
0.016 |
1 |
0 |
0.024 |
1 |
0.022 |
0.012 |
1 |
| 0.002 |
0.020 |
1 |
0 |
0.028 |
1 |
0.022 |
0.005 |
1 |
| 0.002 |
0.024 |
1 |
0.002 |
0.031 |
1 |
0 |
0.005 |
1 |
| 0.008 |
0.005 |
1 |
0.002 |
0.034 |
1 |
0.014 |
0.002 |
1 |
| 0.008 |
0.012 |
1 |
0.005 |
0.034 |
1 |
0.002 |
0.028 |
1 |
10.6. Расчет поля касательных напряжений при кручении и геометрических характеристик поперечного сечения выполняется программой TORSION
.mcd
. В первых строках программы необходимо ввести число m
внутренних узлов. Рядом с рисунком поля напряжений указываются геометрические характеристики сечения
Jx=1.541E-8
Jy=6.668E-8
Jz=2.861E-8
Alfa=-0.047
Flat=7.24E-4
Yc=0.011
Zc=0.017
11. Составляется матрица (файл stsycos.prn
) направляющих косинусов (МНК) собственных осей каждого элемента. Эта матрица может быть рассчитана автоматически программой stsyscrd.mcd
по матрице stsyscrd.prn
координат (x0
, y0
, z0
, x1
, y1
, z1
) центров концевых сечений каждого стержневого элемента, соответствующих направлению собственной оси x каждого стержневого элемента. При этом локальные оси Z каждого элемента располагаются параллельно плоскости YOZ глобальной системы координат. МНК также может быть составлена иным образом, если требуется специальная ориентация локальных осей координат. МНК имеет вид таблицы с числом строк равному числу стержневых элементов:
0 1 0 -1 0 0 0 0 1
0.6247 -0.7809 0 0.7809 0.6247 0 0 0 1
-0.8815 -0.4722 0 -0.4722 0.8815 0 0 0 -1
0 0 -1 0 1 0 1 0 0
0 1 0 -1 0 0 0 0 1
0.6247 -0.7809 0 0.7809 0.6247 0 0 0 1
-0.8815 -0.4722 0 -0.4722 0.8815 0 0 0 -1
0 0 -1 0 1 0 1 0 0
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 -1 0 1 0 1 0 0
0 -1 0 1 0 0 0 0 1
0 0.2425 0.9701 0 0.9701 -0.2425 -1 0 0
12. Расчет перемещений в пространственной стержневой системе производится по программе stsys3.mcd
. В первых строках программы необходимо ввести число m
подвижных степеней свободы.
13. Расчет стержней на прочность и определение размеров поперечных сечений стержней производится по программе stsys3L.mcd
. В первых строках программы необходимо ввести номер стержня nst
, для которого производятся вычисления и строятся графики напряжений и эпюры внутренних сил, а также значение модуля продольной упругости E(стали) и предел прочности материала (стали) sigmax
.
14. Расчёт стержней на устойчивость производится в программе stsys3L.mcd
. По номеру стержня nst
вычисляется коэффициент дополнительного прогиба kf
= 1/(1+N/Pkr
). Значение этого коэффициента не должно превышать 1.05, иначе необходимо изменить поперечный размер стержня.
15. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
15.1. Вектор узловых перемещений (Stsysq.prn
)
0.002235
-0.004678
-3.943e-006
-0.001361
0.002072
-0.005726
-0.01156
-0.000359
-3.966e-006
-0.001361
0.002115
-0.005702
-0.001488
-0.003267
-0.00324
0.0007731
0.005827
-0.005492
-0.003129
-0.0002557
-2.222e-006
0.0007321
0.007015
-0.004384
0.001878
-0.0002547
-0.0002114
0.0002083
0.002973
-0.004324
0.0006995
-0.003268
-0.002644
0.0002043
0.002844
-0.004326
-0.00772
15.2. Матрица узловых сил (stsyspu.prn
) представляет значения 12-ти узловых сил в проекции на локальные оси координат. Число строк матрицы равно числу стержневых элементов.
-1142 982.1 -1079 -14.12 214.4 113.2 1142 -982.1 1079 14.12 324.9 377.8
-7377 1890 -171.5 -14.18 52.75 521.9 7377 -1890 171.5 14.18 24.06 324.7
1779 155.7 1061 -5.202 -132.2 -44.33 -1779 -155.7 -1061 5.202 -205.1 93.85 -143 399.3 -659.8 20.69 197.4 119.4 143 -399.3 659.8 -20.69 198.5 120.2
-1148 -7.216 -1066 -14.06 210 -18.84 1148 7.216 1066 14.06 322.8 15.23
-1925 372.4 -219.4 -14.4 60.45 74.49 1925 -372.4 219.4 14.4 37.83 92.36
2769 -227.7 1084 -5.454 -138.3 -75.57 -2769 227.7 -1084 5.454 -206.3 3.163
984.4 -218.6 -310.1 17.3 93 -66.8 -984.4 218.6 310.1 -17.3 93.09 -64.34
-1181 -2179 1874 -30.65 17.11 -349.6 1181 2179 -1874 30.65 -242 88.2
1111 -2166 -120.1 -41.53 13.89 -186.2 -1111 2166 120.1 41.53 0.5215 -73.75
-9886 195.5 -36.32 10.29 -13.72 47.33 9886 -195.5 36.32 -10.29 35.51 69.99
2145 1075 9766 36.03 -108.7 67.02 -2145 -1075 -9766 -36.03 -1356 94.2
8371 445.1 -1145 13.04 440.6 191.5 -8371 -445.1 1145 -13.04 266.8 83.57
15.3. Матрица жесткости стержневой системы (stsys
k
.prn
) представляет значения (n
xn
) коэффициентов жесткости. Изображается в виде прямоугольной диаграммы
15.4. Рисунок перемещений системы с указанием направлений приложенных сил
15.4. Эпюры максимальных эквивалентных напряжений в поперечных сечениях стержней с указанием коэффициентов дополнительного прогиба
До изменения коэффициента исходных размеров:
Стержневой элемент № 1
Стержневой элемент № 2
Стержневой элемент № 3
Стержневой элемент № 4
После изменения коэффициента исходных размеров:
Стержневой элемент № 1
Стержневой элемент № 2
Стержневой элемент № 3
Стержневой элемент № 4
Стержневой элемент № 5
Стержневой элемент № 6
Стержневой элемент № 7
Стержневой элемент № 8
Стержневой элемент № 5
Стержневой элемент № 6
Стержневой элемент № 7
Стержневой элемент № 8
Стержневой элемент № 9
Стержневой элемент № 10
Стержневой элемент № 11
Стержневой элемент № 12
Стержневой элемент № 9
Стержневой элемент № 10
Стержневой элемент № 11
Стержневой элемент № 12
Стержневой элемент № 13
Таблица исходных коэффициентов kf:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Стержневой элемент № 13
Таблица изменённых коэффициентов kf:
2.5
4.22
2.227
2.22
2.855
4.183
3.777
2.325
3.088
4.446
4.17
3.477
4.365
15.5. Выводы
Данный метод позволил определить, что перемещения в пространственной стержневой системе под действием заданных сил очень малы. Так же возможно определить касательные напряжения при кручении и геометрические характеристики сложных сечений, расчитать прочностные размеры, что позволит обеспечить прочность и устойчивость конструкции при оптимальных затратах материала. Погрешность метода мала, так как связана в основном с округлениями в вычислениях, проводимых программой, и с округлениями исходных данных.
Схема программного комплекса
|