Реферат: Теория вероятности и математическая статистика 2
Название: Теория вероятности и математическая статистика 2 Раздел: Рефераты по математике Тип: реферат | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Филиал государственного образовательного учреждения Высшего профессионального образования «Тюменский государственный университет» В г. Тобольске Специальность «Финансы и кредит» Контрольная работа Предмет: «Теория вероятности и математическая статистика» Вариант №8 Выполнила: № зачетной книжки: № группы: Домашний адрес: Тобольск, 2009 1. На трех карточках написаны буквы У, К, Ж. После тщательного перемешивания берут по одной карточке и кладут последовательно рядом. Какова вероятность того, что получится слово «ЖУК»? Решение Вариант получившегося слова является размещением 3-х элементов по 3. N(n-1)(n-2)…(n-k+2)(n-k+1)= Отсюда получаем: Число таких вариантов равно: Из этих вариантов правильным будет только один, т.е. m=1, тогда по классическому определению вероятности 2. Какое из восьми вычислительных устройств обслуживается одним оператором? В штатном составе вычислительного центра имеется 6 операторов. Назначение оператора на данное вычислительное устройство производится наудачу. Найти вероятность того, что первые шесть вычислительных устройств будут обслужены. Решение Поскольку количество испытаний не велико (n=8), то для нахождения вероятности того, что событие А появится точно k=6 раз воспользуемся формулой Бернулли: , где q=1-p По условию задачи вероятность назначения оператора равна , значит 3. Опыт состоит в четырехкратном выборе с вращением одной из букв алфавита Е={а, б, о, м} и выкладывании слова в порядке поступления букв. Какова вероятность того, что в результате будет выложено слово «мама»? Решение Число элементарных исходов равно числу размещений с повторениями из четырёх элементов по четыре элемента, т.е. N = = Слову «мама» соответствует лишь один исход. Поэтому Р(А ) = = 0,00390625 ≈ 0,004 Ответ: 0,004. 4. 70% деталей, поступающих на сборку, изготовлены автоматом, дающим 2% брака, а остальные детали автоматом, дающим 5% брака. Наудачу взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена первым автоматом? Решение детали брак 1 автомат 70% 2% 2 автомат (100-70)% 5% Введём обозначения для событий: А - взятая деталь оказалась бракованной; В1 , В2 – эта деталь изготовлена соответственно первым и вторым автоматом. Имеем: Р(В1 ) = 0,7; Р(В2 ) = 0,3 =0,02 = 0,05 По формуле Байеса РА (Вk ) = (k = 1, 2, …, п ) находим РА (В2 ) = = = ≈ 0,52 5. В первый класс должны были принять 200 детей. Определить вероятность того, что среди них окажутся 100 девочек, если вероятность рождения мальчиков равна 0,515. Решение Пусть событие А состоит в том, что в первый класс приняли 200 детей, девочек будет 100. Поскольку количество испытаний велико (n=200), то для нахождения вероятности того, что событие А появится ровно k=100 раз воспользуемся локальной теоремой Лапласса: , где и F(x) – диф. функция Лапласса-Гаусса. По условию задачи вероятность рождения мальчиков равна q=0.515,значит вероятность рождения девочек равна p=1-q=1-0.515=0.485 Определим аргумент функции Лапласса-Гаусса x: По таблице значений функций Лапласса определяем, что F(0,42)=0,1628 Теперь 6. Случайная величина Х задана функцией f(x). Определить: а) плотность распределения f(x); b) вероятность попадания случайной величины Х в интервал (a,b); с) математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Построить график функций F(x) и f(x). Решение 0 x ≤ -1,5 а) f(x) = F'(x) f(x) = -1,5 < x ≤ 1,5 0 x > 1,5 b ) P (a ≤ x ≤ b) = => = > P (-1,5 ≤ x ≤ 1,5) = = = (1,5 - 0,5) = ≈ 0,33 c ) М(х)== = = ≈ 0,75 D(x)= Построим графики F(x) и f(x) 7. Даны результаты наблюдений некоторой случайной физической величины Х, сгруппированные в статистический ряд. а) Построить гистограмму и полигон частот. b) Составить эмпирическую функцию распределения и изобразить ее графически. с) Вычислить числовые характеристики: 1) выборочную среднюю; 2) выборочное среднее квадратичное отклонение; 3) асимметрию; 4) эксцесс; 5) коэффициент вариаций. d) По виду гистограммы и полигона, а также по значению выборочных коэффициентов аx и ех и, исходя из механизма образования исследуемой случайной величины Х сделать предварительный выбор закона распределения случайной величины Х. е) Определить точные оценки параметров нормального закона распределения а и b, предполагая, что исследуемая случайная величина распределена по нормальному закону, записать плотность распределения вероятностей f(x). f) Найти теоретические частоты с нормальным законом с помощью основных критериев согласия – критерия Пирсона и критерия Колмагорова. g) Найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения (доверительную вероятность принять равной 0,95). Время выполнения упражнения (с):
Решение
а) Построим гистограмму и полигон частот. Гистограмма частот Полигон частот b ) Составим эмпирическую функцию распределения и изобразим ее графически. Найдём объём выборки: n = 5 + 7 + 2 = 14 Зная, что 0 при x < x1 при xk ≤ x ≤ xk +1 (k € N) 1 при x ≤ xs , при 9,35 < x < 9,45 , при 9,45 < x < 9,55 , при 9,55 < x < 10,05 можем записать эмпирическую функцию и изобразить графически: 0 при х ≤ 9,35 при 9,35 < x < 9,45 , при 9,45 < x < 9,55 1 при 9,55 ≤ x с) Вычислим числовые характеристики: 1. выборочную среднюю; , в данной задаче в качестве xi возьмём серидины интервалов, а ni – соответствующие этим интервалам частоты. ≈ 7,18 2. выборочное среднее квадратичное отклонение; , ≈ - ≈ 38,87 6,23 3. асимметрию; , ≈ 12,74 ≈ 0,05 4. эксцесс; , ≈ 30 -3 = -2,98017 ≈ -3 5. коэффициент вариаций. 0,87 d ) По виду гистограммы и полигона, а также по значению выборочных коэффициентов аx и ех и, исходя из механизма образования исследуемой случайной величины Х сделать предварительный выбор закона распределения случайной величины Х. Решение: Сделаем предварительный выбор закона распределения случайной величины Х. · аx = 0,05 и ех = -3, что неприемлимо для нормального закона распределения. · М(х) = σ(х) – для показательного закона распределения. Здесь имеем М(х) = = 7,18, а · При законе распределения Пуассона М(х) = D(х) = а. В данной задаче М(х) = 7,18, а D(х)=dB
= = ≈ · Таким образом, сходя из механизма образования исследуемой случайной величины Х можно сделать вывод-предположение, что она распределена по биноминальному закону распределения. е) Определим точные оценки параметров нормального закона распределения а и b, предполагая, что исследуемая случайная величина распределена по нормальному закону, запишем плотность распределения вероятностей f(x). Предположим, что исследуемая случайная величина распределена по нормальному закону распределения, тогда параметр а – это математическое ожидание М(х), а параметр b – это среднее квадратичное отклонение σ(х). Плотность распределения вероятностей f(x) будет выглядеть так: а = М(х) = 7,18 , b = σ(х) = 6,23. f ) Найдём теоретические частоты с нормальным законом с помощью основных критериев согласия – критерия Пирсона и критерия Колмагорова. При нахождении теоретических частот за оценку математического ожидания и среднего квадратического ожидания нормального закона распределения принимают значения соответствующих выборочных характеристик и σв , т.е. m = = 7,18 , G = σв = 6,23 , где n – объём выборки, n = 14 р i – величина попадания значения нормально распределённой случайной величины в i -ый интервал. р i = р (а i < x ≤ b i ) ≈ , ,
g ) Найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения (доверительную вероятность принять равной 0,95). , γ = 0,95. где = δ – точность оценки, n – объём выборки, t – значение аргумента функции Лапласа Ф(t) = = 0,475 => t = 1,96 δ = 1,96 * = 3,27 7,18 – 3,27 < < 7,18 + 3,27 3,91 < < 10,45 S = = = ≈ 5,86 , где S – исправленное среднее квадратическое отклонение S( 1 - q) < σ < S( 1 + q) если q < 1 0 < σ < S( 1 + q) если q < 1 По данным задачи γ = 0,95 и n = 14 в специальном приложении найдём q = 0,48< 1. Итак: 6,23*( 1 – 0,48) < σ < 6,23*( 1 + 0,48) 3,2396 < σ < 9,2204 3,2 < σ < 9,2 Математическое ожидание найдём при неизвестном σ нормального распределения. По таблице в специальном приложении к учебнику определим tγ => tγ = 2,16 6,23 – 2,16* 2,8535 9,6157 2,9 9,6 8. Зависимость между признаками X и Y задана корреляционной таблицей. Требуется: а) вычислить выборочный коэффициент корреляции; b) составить уравнение прямых линий регрессии X на Y и Y на X. X – стрела кривизны рельса, см. Y – количество дефектов рельса, см на 25 м.
Решение а) вычислим выборочный коэффициент корреляции; , Cxy = M(xy) – M(x)M(y) , M(xy) =
M(x) = mx = M(x) = mx
= 20* + 15* + 10* + 5* + 0 = M(y) = my = 7* + 7,5* + 8* + 8,5* = = =8,025 M(xy) = 20*+ 15* +10* + D(x) = M(x2 ) – [M(x)]2 = 202 *+152 *+102 *+52 *+ 0- -87,8752 = 176,25 - 115,56 = 60,6875 D(y) = M(y2
) – [M(y)]2
= 72
* + 7,52
* + 82
* + 8,52
* - 8,0252
= 64,6875 - σ(х) = = ≈ 7,8 σ(y) = = ≈ 0,54 = = 0,384961383 ≈ 0,4 Если || * 3, то связь между случайными величинами x и y достаточно вероятна. |0,4|* ≈ 1,39 < 3 – связь между случайными величинами x и y мало вероятна. b) составим уравнение прямых линий регрессии X на Y и Y на X. = = = = 10 , = = = 7,75 - 10 = 0,4 ** (y - 7,75) = 5,78y – 44,78 + 10 = 5,78y – 34,78 – уравнение прямой линии регрессии X на Y = – 7,75 = 0,4 ** (х - 10) = 0,03y – 0,28 +7,75 = 0,38y + 7,47 - уравнение прямой линии регрессии Y на X |