Содержание
Задача 1. 2
Задача 2. 4
Задача 3. 6
Задача 1
Пусть х (млн. шт.) – объем производства, С(х)=2х3
-7х и D(x)=2х2
+9х+15 – соответственно функция издержек и доход некоторой фирмы. При каком значении х фирма получит наибольшую прибыль π(х)? какова эта прибыль?
Решение
Прибыль фирмы является разницей между доходом и издержками фирмы:
 ,
 ,
 .
Найдем наибольшее значение прибыли путем нахождения максимума функции  .
 - не удовлетворяет условию задачи,
 .
График функции прибыли представлен на рисунке 1.
Рисунок 1 - График функции прибыли
Как видно из рисунка 1, функция прибыли в точке х=2 достигает максимального значения. Следовательно, фирма получает наибольшую прибыль при объеме производства 2 млн. шт. и эта прибыль составляет:
 млн. у.е.
Ответ: наибольшую прибыль фирма получит при объеме производства 2 млн. шт. и эта прибыль составит 39 млн. у.е.
Задача 2
Заданы: функция прибыли  , где х1
и х2
– объемы некоторых ресурсов; цены р1
=1 и р2
=1 за единицу каждого ресурса соответственно (в некоторых у.е.); бюджетное ограничение I=150 на затраты по приобретению указанных ресурсов (в тех же у.е.). При каких значениях объемов используемых ресурсов фирма–производитель получит наибольшую прибыль?
Решение
Задача сводится к поиску максимума функции  при существовании ограничения  :
при  .
 ,
 .
Найдем максимум функции графически.
Рисунок 2 – График функции 
Как видно, функция достигает максимального значения при х1
=90.
 ,
 .
Ответ: фирма–производитель получит наибольшую прибыль при объемах ресурсов х1
=90 и х2
=60.
Задача 3
Задана парная выборка из 10 пар значений случайных велbчин X и Y (таблица 1).
Таблица 1 – Исходные данные
| х |
у |
| 1 |
5 |
70 |
| 2 |
11 |
65 |
| 3 |
15 |
55 |
| 4 |
17 |
60 |
| 5 |
2 |
50 |
| 6 |
22 |
35 |
| 7 |
25 |
40 |
| 8 |
27 |
30 |
| 9 |
30 |
25 |
| 10 |
35 |
32 |
1) Изобразите корреляционное поле случайных величин X и Y.
2) Вычислите основные числовые характеристики случайных величин X и Y: их математические ожидания и дисперсии, средние квадратические отклонения и размах вариации.
3) Найдите их совместные числовые характеристики: ковариацию, коэффициент корреляции.
4) С помощью найденных характеристик составьте уравнение линейной регрессии Y на X.
5) Составьте уравнение линейной регрессии X на Y.
6) Нанесите найденные уравнения на корреляционное поле; найдите точку пересечения полученных линий регрессии.
7) Вычислите стандартные ошибки коэффициентов регрессии b0
и b1
.
8) Проверьте гипотезы о статистической значимости коэффициентов регрессии b0
и b1
.
9) Вычислите с надежностью 0,95 интервальные оценки коэффициентов b0
и b1
регрессии Y на X.
10) Найдите коэффициент детерминации R2
и поясните смысл полученного результата.
Решение.
1) Корреляционное поле случайных величин X и Y
2) Основные числовые характеристики случайных величин X и Y: их математические ожидания и дисперсии, средние квадратические отклонения и размах вариации
Таблица 2 – Вспомогательные расчеты
| х |
у |
х2
|
y2
|
xy |
| 1 |
5 |
70 |
25 |
4900 |
350 |
| 2 |
11 |
65 |
121 |
4225 |
715 |
| 3 |
15 |
55 |
225 |
3025 |
825 |
| 4 |
17 |
60 |
289 |
3600 |
1020 |
| 5 |
2 |
50 |
4 |
2500 |
100 |
| 6 |
22 |
35 |
484 |
1225 |
770 |
| 7 |
25 |
40 |
625 |
1600 |
1000 |
| 8 |
27 |
30 |
729 |
900 |
810 |
| 9 |
30 |
25 |
900 |
625 |
750 |
| 10 |
35 |
32 |
1225 |
1024 |
1120 |
| сумма |
189 |
462 |
4627 |
23624 |
7460 |
| средн |
18,9 |
46,2 |
462,7 |
2362,4 |
746 |
Математическое ожидание:
 ,
 .
Дисперсия:
 ,
 .
Среднеквадратическое отклонение:
 ,
 .
Размах вариации:
 ,
 .
3) Совместные числовые характеристики: ковариацию, коэффициент корреляции
Ковариация:
 .
Коэффициент корреляции:
 .
4) Уравнение линейной регрессии Y на X
 ,
 ,
 .
5) Уравнение линейной регрессии X на Y
 ,
 ,
 .
6) Нанесите найденные уравнения на корреляционное поле; найдите точку пересечения полученных линий регрессии
Точка пересечения (18,4;46,9).
7) Стандартные ошибки коэффициентов регрессии b0
и b1
Таблица 3 – Вспомогательные расчеты
| х |
у |
x' |
y' |
x-xcp
|
y-ycp
|
(x-xcp
)2
|
(y-ycp
)2
|
| 1 |
5 |
70 |
5,572 |
62,975 |
-13,028 |
16,775 |
169,7288 |
281,4006 |
| 2 |
11 |
65 |
8,3645 |
55,745 |
-10,2355 |
9,545 |
104,7655 |
91,10702 |
| 3 |
15 |
55 |
13,9495 |
50,925 |
-4,6505 |
4,725 |
21,62715 |
22,32562 |
| 4 |
17 |
60 |
11,157 |
48,515 |
-7,443 |
2,315 |
55,39825 |
5,359225 |
| 5 |
2 |
50 |
16,742 |
66,59 |
-1,858 |
20,39 |
3,452164 |
415,7521 |
| 6 |
22 |
35 |
25,1195 |
42,49 |
6,5195 |
-3,71 |
42,50388 |
13,7641 |
| 7 |
25 |
40 |
22,327 |
38,875 |
3,727 |
-7,325 |
13,89053 |
53,65563 |
| 8 |
27 |
30 |
27,912 |
36,465 |
9,312 |
-9,735 |
86,71334 |
94,77023 |
| 9 |
30 |
25 |
30,7045 |
32,85 |
12,1045 |
-13,35 |
146,5189 |
178,2225 |
| 10 |
35 |
32 |
26,795 |
26,825 |
8,195 |
-19,375 |
67,15803 |
375,3906 |
| сумма |
189 |
462 |
188,643 |
462,255 |
2,643 |
0,255 |
711,7565 |
1531,748 |
| средн |
18,9 |
46,2 |
18,8643 |
46,2255 |
0,2643 |
0,0255 |
71,17565 |
153,1748 |
Для линии регрессии Y на X:
 ,
 ,
 .
Для линии регрессии X на Y:
 ,
 ,
 .
8) Проверка гипотезы о статистической значимости коэффициентов регрессии b0
и b1
Для α
=0,05 и k
=n-1-1=8 значение критерия Стьюдента t
=2,31
Для линии регрессии Y на X:
 , коэффициент значим,
 , коэффициент значим.
Для линии регрессии X на Y:
 , коэффициент значим,
 , коэффициент значим.
9) Вычисляем с надежностью 0,95 интервальные оценки коэффициентов b0
и b1
регрессии Y на X
Доверительный интервал для b0
:
 <a0
< ,
 <a0
< ,
54,97<a0
<83,03.
Доверительный интервал для b1
:
 <a1
< ,
 <a1
< ,
-1,23<a1
<-1,17.
10) Коэффициент детерминации R2
:
 .
Коэффициент детерминации R2
=0,6724 показывает, что вариация параметра Y на 67,24% объясняется фактором Х. Доля влияния неучтенных факторов – 32,76%.
|