Реферат: Упорядоченные множества
Название: Упорядоченные множества Раздел: Рефераты по математике Тип: реферат | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию НИЖНЕКАМСКИЙ МУНИЦИПАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ Кафедра информатики математики и естественно – научных дисциплин Группа 561 РЕФЕРАТ по дисциплине «Абстрактная алгебра» Уровень образования специалист Тема: Упорядоченные множества Руководитель ___________________ Р.М. Мунипов Студент ___________________ А.В. Глазунов Нижнекамск 2007 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………..3 1. Частично упорядоченные множества…………………………………5 2. Вполне упорядоченные множества…………………………………..20 3. Частичные группоиды и их свойства………………………………..23 ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………..35 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ……………………………………………….36 Введение В настоящее время алгебра понимается в основном как общая теория алгебраических операций и отношений. Ее характеризует большая внутренняя естественность исходных идей и задач, единство методов, далеко идущая широта основных понятий. Ее область очерчена четко и ясно. И все же существующие границы теории нельзя признать установленными прочно и окончательно. Все чаще начинает выявляться стремление выйти за ее пределы. Ощущается потребность рассматривать операции не только полные, но и частичные. Теория частичных действий естественно должна продолжать теорию полных действий. Эта последняя в настоящее время является крайне разветвленной, богатой и находится в периоде своего расцвета. Естественно возникает мысль о перенесении выработанных там понятий и результатов в новую область. Это, разумеется, необходимо и во многих случаях плодотворно. Однако уже с первых шагов развития теории частичных действий дает себя знать значительная специфика этого направления. Часто прямое перенесение результатов теории полных действий оказывается затруднительным или даже невозможным. Привычный алгебраический материал приходится подвергать существенной переработке или переосмыслению, кроме того, возникают совсем новые понятия и задачи, специфические для нового направления. Для них требуется своя методика исследования. Таким образом, теория частичных алгебраических действий, будучи продолжением теории полных действий, пользуясь ее достижениями, связанная с ней идеями и опытом приложений за пределами алгебры, все же должна оформиться как самостоятельное направление в обширной области современной алгебры. К настоящему времени опубликованы сотни работ, специально посвященных изучению частичных действий. Что касается работ, в которых те или иные частичные действия встречаются по ходу исследования, то число их не поддается оценке. О частичных действиях говорится и в некоторых общих алгебраических трудах, но всегда очень кратко. Пока еще не было достаточно полного и связного изложения теории частичных алгебраических действий. Господствует разнобой в исходных понятиях и даже в обозначениях и терминологии. Недостает связей между отдельными работами. Дает себя знать недостаточность разработки отдельных вопросов, нужных для построения общей теории. 1. Частично упорядоченные множества Бинарное отношение Бинарное отношение ( Бинарное отношение ( Пример 1. Отношение q
1
,q Рефлексивное антисимметричное транзитивное бинарное отношение на множестве А называется отношением порядка (частичного порядка) на множестве А . Множество А с заданным на нем отношением частичного порядка ≤ называют частично упорядоченным множеством и обозначают < А ; ≤ >. В дальнейшем для удобства будем пользоваться сокращением ЧУМ , обозначающим частично упорядоченное множество. Пример 2. < N , ≤ > − обычное нестрогое неравенство чисел (в школьном смысле). Нужно доказать транзитивность, рефлексивность и антисимметричность этого отношения ≤. a) a ≤ a ,(2 ≤ 2) – рефлексивность, b) если а ≤ в , в ≤ с, то a ≤ c , (3 ≤ 4, 4 ≤ 5 → 3 ≤ 5 ) – транзитивность, c) если a ≤ в , в ≤ a , то a =в , (3 ≤ 3, 3 ≤ 3 → 3=3 ) – антисимметричность. Из этого следует, что < N , ≤ > - ЧУМ. Пример 3. <
N
, a) Отношение делимости б)
Если первое число делится нацело на второе(т.е кратное второму), а второе кратно третьему, то первое кратно третьему, значит отношение a
= в
q в =
c
q откуда a
=
c
(q Обозначим: q
=
q a = cq , где q
в) Антисимметричность отношения а=в q 1 , в=а
q откуда а=а
q
1
q то есть q
1
q Поэтому
Элементы a ,в ЧУМа А называются сравнимыми если a ≤ в или в ≤ а . Частичный порядок ≤ на A
называется линейным
, а само ЧУМ линейно – упорядоченным
или цепью
, если любые два элемента из А
сравнимы , т.е. для любых a
,в Пример 4. <
N
, ≤ >, <
R, ≤ > - являются цепью. Однако <В(М
) ; Пусть < А , ≤ > - произвольный ЧУМ. Элемент m
Смысл этого понятия в том, что А
не содержит элементов строго меньших этого элемента m
. Говорят , что х
строго меньше m
и записывают х
< m
, если x
≤
m
, но притом x
≠
m
. Аналогично определяется максимальный элемент этого ЧУМ. Ясно, что если m В теории частично упорядоченных множеств условие a ≤ в иногда читают так: элемент а содержится в элементе в или элемент в содержит элемент а . Лемма. Каждый элемент конечного ЧУМа содержит минимальный элемент и содержится в максимальном элементе этого ЧУМа. Доказательство: Пусть а
– произвольный элемент конечного ЧУМа S
. Если а –
минимальный элемент, то в силу рефлексивности, лемма доказана. Если А
не минимален, то найдется элемент а а Если а минимальным, то для некоторого а а Если а а для некоторого а Таким образом, на некотором n
– ом шаге рассуждений процесс оборвется, что равносильно тому, что элемент а а За счет транзитивности отсюда следует, что элемент а
содержит минимальный элемент а Следствие. Конечное ЧУМ содержит, по меньшей мере, один минимальный элемент. Сейчас мы введем важное для дальнейшего изложения понятие диаграммы конечного ЧУМа S . Вначале берем все минимальные элементы m S которые , как и S , является конечным , берем минимальные элементы,
Элементы “ первого ряда “m
Далее отыскиваем минимальные элементы ЧУМа Пример 5.
Здесь задано диаграммой ЧУМ S
= {m
Элемент m
называется наименьшим
элементом ЧУМа, если для любого x
Понятно, что наименьший элемент является минимальным, но обратное не верно: не всякий минимальный элемент является наименьшим. Наименьший элемент (если такой имеется) только один. Аналогично определяется наибольший элемент. Пример 6.
Это ЧУМ , элементы которого попарно несравнимы. Такие частично упорядоченные множества называются антицепями . Пример 7.
0 Эта цепь с наименьшим и наибольшим элементом. Где 0 - наименьший элемент , а 1 – наибольший элемент. Пусть М
– подмножество частичного упорядоченного множества А
. Элемент а Наибольшая из всех нижних граней множества М , если она существует, называется точной нижней гранью множества М и обозначают inf M . Пусть <
А
, ≤ > - произвольный ЧУМ. Элемент с Замечание 1. Не во всяком ЧУМ для любых двух элементов существует точная нижняя грань. Покажем это на примере. Пример 8. Для {a ;c },{d ;e } нет нижней грани, inf{a ;в }=d , inf{в ;c }=e . Пример 9.
Приведем пример ЧУМ, у которого для любых элементов существует точная нижняя грань. inf{a ;в }=d , inf{a ;d }=d , inf{a ;0 }=0 , inf{a ;c }=0 , inf{a ;e }=0 , inf{в ;c }=e , inf{в ;e }=e , inf{в ;d }=d , inf{c ;e }=c , inf{c ;0 }=0 , inf{c ;d }=0 , inf{d ;e }=0 , inf{d ;0 }=0 , inf{e ;0 }=0 . Определение : Частично упорядоченное множество, в котором для любых двух элементов существует точная нижняя грань, называется полурешеткой . Пример 10. Приведем пример ЧУМ, которое не является полурешеткой. Пусть <
N
, ≤ > - линейно - упорядоченное множество натуральных чисел и e Диаграмма этого ЧУМ следующая:
Любое натуральное число n ≤
e
Итак, по самому определению, полурешетка есть модель (как множество с отношением ≤ ). Как мы сейчас увидим к понятию полурешетки возможен и другой подход, а именно, полурешетку можно определить как некоторую алгебру. Для этого введем некоторые дополнительные алгебраические понятия. Как известно, полугруппой называется непустое множество с заданной на нем ассоциативной бинарной алгебраической операцией. Произвольную полугруппу обычно обозначают S (semigroup). Определение.
Элемент e
e Пример 11. Полугруппа < N ; · > − обладает единственным идемпотентом 1. Полугруппа < Z ; + > − обладает единственным идемпотентом 0. Полугруппа < N
; + > −
не имеет идемпотента, т.к. 0 Для любого непустого множества X, как обычно, через Полугруппа <В A Полугруппа называется идемпотентной полугруппой или связкой , если каждый ее элемент является идемпотентным. Таким образом, примерами связки является всякий булеан относительно объединения. Пример 12. Пусть X – произвольное множество. B B Если Х = {1,2,3} , то B Так как пересечение двух подмножеств множества Х
вновь является подмножеством в Х
, то имеем группоид < В Точно также, имеем связку <; В Коммутативная связка называется полурешеткой . Пример 13. Пусть Х
= {1,2,3}, построим диаграмму < В
Приведем примеры ЧУМ, но не полурешетки. Пример 14.
ЧУМ с двумя нижними гранями е и d , которые между собой не сравнимы: е || d . Следовательно, inf{a ;с } не существует. Пример 15.
ЧУМ с двумя нижними гранями с и d , которые между собой несравнимы: с || d . Следовательно, inf{a ;в } не существует. Приведем примеры полурешеток. Пример 16. Диаграмма: а
Является полурешеткой , т.к. для любых двух элементов существует точная нижняя грань, т.е. inf{a ;в }=в , inf{a ;с }=с , inf{a ;d }=d , inf{в ;c }=d , inf{в ;d }=d , inf{c ;d }=d .
Является полурешеткой , т.к. для любых двух элементов существует точная нижняя грань, т.е. inf{a ;в }=в , inf{a ;с }=с , inf{в ;c }=с . Теорема 1. Пусть <S
; ≤ > - полурешетка. Тогда <S
;
Доказательство: Нужно доказать, что в <S
; (1) x
(2) (x
(3) x
1) Согласно равенству(*) x
2) Обозначим а
= (x
Докажем, что а = в . Для этого достаточно доказать , что а ≤ в (4) в ≤ а (5) (в силу антисимметричности) Обозначим с
= x
По смыслу, а точная нижняя грань между с и z а ≤ с , а ≤ z , c ≤ x , следовательно, в силу транзитивности a ≤ x . Аналогично, а ≤ y , т.е. а – общая нижняя грань для y и z . А d – их точная нижняя грань . Следовательно, a ≤ d , но в = inf {x , d }. Из неравенства a ≤ x , a ≤ d следует , что а – некоторая общая нижняя грань для х и d , а в – их точная нижняя грань, следовательно, а ≤
в
Аналогично доказывается (5). Из (4) и (5) , в виду антисимметричности, заключаем, что а = в . Этим мы доказали ассоциативность операции ( 3) Имеем x
Равенство выполняется за счет рефлексивности : х ≤ х . Т.о. построенная алгебра <S
; Теорема 2. Пусть <S ; · > - коммутативная идемпотентная полугруппа, тогда бинарное отношение ≤ на S , определяемое равенство ≤ = {(a
,в
) является частичным порядком. При этом ЧУМ <S ; ≤ > является полурешеткой . Доказательство: 1) рефлексивность ≤. По условию <S ; · > удовлетворяет трем тождествам: (1) х (2) х· y = y·x (3) (x·y )·z = x· (y ·z ) Тогда х·х = х 2) антисимметричность ≤ . Пусть х ≤ у и у ≤ х , тогда по определению , (4) х·у = х (5) у·х = у отсюда, благодаря коммутативности, имеем х = у. 3) транзитивность ≤. Пусть х≤ у и у ≤ z тогда , по определению, (6) х·у = х (7) у· z = у Имеем x
·z
=
(x
·
y
)·z
Итак, x ·z = x , то есть х ≤ z . Таким образом, имеем ЧУМ <S
; ≤ >. Остается показать, что для любых (а
, в
) Берем произвольные а
,в В самом деле , с·а =
(а·в
)·а
т.о. с ≤ а . Аналогично, с·в =
(а·в
)·в
т.е. с ≤ в . Итак, с – общая нижняя грань {а,в }. Докажем ее точность. Пусть d – некоторая общая нижняя грань для а и в : (8) d ≤ a (9) d ≤ в Тогда (10) d·a = d (11) d· в = d Поэтому d
·
c
=
d
·
(а·в
) d · c = d , следовательно, d ≤ c . Вывод: с = inf{a ,в }. Доказанные теоремы 1 и 2 позволяют смотреть на полурешетки с двух точек зрения: как на ЧУМ, и как на алгебре (идемпотентные коммутативные полугруппы). 2. Вполне упорядоченные множества Теорию упорядоченных множеств создал Г. Кантор. В 1883 он ввёл понятие вполне упорядоченного множества и порядкового числа, а в 1895 – понятие упорядоченного множества и порядкового типа. В 1906–07 С. О. Шатуновский сформулировал определения направленного множества (у Шатуновского – расположенный комплекс) и предела по направленному множеству (амер. математиками Э. Г. Муром и Г. Л. Смитом эти же понятия были рассмотрены независимо от Шатуновского, но значительно позднее – в 1922). Общее понятие частично упорядоченного множества принадлежит Ф. Хаусдорфу (1914). Вполне упорядоченные множества- Упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если каждое его подмножество обладает первым элементом (т. е. элементом, за которым следуют все остальные). Все конечные упорядоченные множества вполне упорядочены. Натуральный ряд, упорядоченный по возрастанию (а также некоторыми др. способами), образует вполне упорядоченное множество. Важность вполне упорядоченных множеств определяется главным образом тем, что для них справедлив принцип трансфинитной индукции. Упорядоченные множества, имеющие одинаковый порядковый тип, обладают и одинаковой мощностью, так что можно говорить о мощности данного порядкового типа. С др. стороны, конечные упорядоченные множества одинаковой мощности имеют один и тот же порядковый тип, так что каждой конечной мощности соответствует определённый конечный порядковый тип. Положение меняется при переходе к бесконечным множествам. Два бесконечных упорядоченных множества могут иметь одну и ту же мощность, но разные порядковые типы. 3. Частичные группоиды и их свойства Как известно, бинарная алгебраическая операция на множестве S – это отображение из декартового квадрата S ×S . В этом случае говорят , что задано действие на S . Мы его в этом параграфе будем называть полным действием . Всякое отображение из подмножества S ×S в S называется частичным действием на S . Иными словами, частичное действие на S – это некоторая функция из S ×S → S . Можно сказать, что на S
задано частичное действие (частичное умножение), если для любых элементов а,в Множество S с заданным в нем частичным умножением называется частичным группоидом и обозначается (S ; · ) в отличие от полного группоида < S ; · >. Если для полного группоида можно говорить о таблице Кэли, то для частичного группоида можно говорить о некотором аналоге таблицы Кэли, а именно о такой таблице, когда некоторые клетки пусты – это в том случае, когда произведение элементов неопределенно. Пример 1.
а
·в= в
, но в
·а
не определено, т.е. в
·а
= Ø
. Символ “ Ø
“ не принадлежит S
, т.е. не является элементом из S
. Пример 2. Рассмотрим ЧУМ (S ; ≤ ).
S = {a ,в, c , d }, где а ≤ а , в ≤ в , с ≤ с , d ≤ d , с ≤ а , с ≤ в , d ≤ а , d ≤ в . В произвольном ЧУМе (S ; ≤ ) условимся обозначать: а Тогда указанное в примере ЧУМ относительно этого частичного действия
В этом параграфе мы рассмотрим три вида ассоциативности: сильная ассоциативность, средняя ассоциативность, слабая ассоциативность. Определение 1. Частичный группоид (S ; · ) называется слабо ассоциативным , если ( Определение 2. Частичный группоид (S ; · ) называется средне ассоциативным , если ( Определение 3. Частичный группоид (S ; · ) называется сильно ассоциативным , если ( В сильно ассоциативном частичном группоиде выполняется свойства средней и слабой ассоциативности. Однако обратное отнюдь не обязательно. Пример 3. Дано А = {a ,в,с }. Зададим на А частичное действие умножение “ частичной таблицей Кэли”.
Получим некоторый частичный группоид. Проверим будет ли группоид сильно ассоциативным. Пусть (x
·y
)·z
1) пусть х = с
, тогда у = в а) пусть у = в , тогда z = a (с
·в
)·а (с ·в )·а = с ·(в ·а ) равенство выполняется б) пусть у = с
, тогда z
= в
а’) если z = в , тогда (с
·с
)·в (с ·с )·в = с ·(с ·в ) равенство выполняется б’) если z = с , тогда (с
·с
)·с (с ·с )·с = с ·(с ·с ) равенство выполняется 2) пусть х = в
, тогда у = а
, а z
= в
а) если у = а и z = в (в
·а
)·в (в
·а
)·в б) пусть у = а и z = с (в
·а
)·с (в
·а
)·с Итак, по определению, частичный группоид не является сильно ассоциативным . Но это еще не означает, что (S ; · ) не является слабо ассоциативным. Выясним это. Пусть (x
·y
)·z
При х х = в у = в этот частичный группоид является слабо ассоциативным. Пример 4. Пусть А = {a , в,с }, можно задать на А следующую таблицу Кэли. Получим некоторый частичный группоид. Проверим будет ли этот группоид средне ассоциативным.
Пусть (x
·y
)·z
1) пусть х = а
, тогда у = а а) пусть у = а , тогда z = a , z = в а’) если z = а , тогда (а
·а
)·а (а
·а
)·а б’) если z = в , тогда (а
·а
)·в (а
·а
)·в Отсюда, мы видим, что группоид не является средне ассоциативным. Выясним является ли он слабо ассоциативный. Пусть (x
·y
)·z
1) пусть х = а
, тогда у = а а) пусть у = а , тогда z = a , z = в а’) если z = а , тогда (а
·а
)·а (а
·а
)·а б’) если z = в , тогда (а
·а
)·в (а ·а )·в = а ·(а ·в ) равенство выполняется б) пусть у = в , тогда z = a , z = в а’) если z = а , тогда (а
·в
)·а (а
·в
)·а б’) если z = в , тогда (а
·в
)·в (а
·в
)·в 2) пусть х = с , тогда у = а , у = в а) пусть у = а , тогда z = a , z = в а’) если z = а , тогда (с
·а
)·а (с
·а
)·а б’) если z = в , тогда (с
·а
)·в (с ·а )·в = с ·(а ·в ) равенство выполняется Итак , мы видим что частичный группоид является слабо ассоциативным при х = а и z = в или при х = с если у = а и z = в . Определение 4. Частичный группоид (S ; · ) называется коммутативным , если ( Определение 5. Частичный группоид (S ; · ) называется катенарным , если ( Определение 6. Частичный группоид (S ; · ) называется идемпотентным , если ( Приведем пример некатенарного частичного группоида. Пример 5.
Имеем с Ясно, что понимаем под термином “ общая верхняя грань” элементов а и в некоторого ЧУМ. Определение 7. ЧУМ называется категорийным , если любые два его элемента, имеющие верхнюю грань, имеют точную нижнюю грань. Пример 6.
Чум не является категорийным, т.к. элементы с и d имеют верхнюю грань , но не имеют точную нижнюю грань. Пример 7. Частично упорядоченное множество, задаваемое таблицей Кэли:
является категорийным, так как любые два его элемента, имеющие верхнюю грань, имеют точную нижнюю грань. Пример 8. Частично упорядоченное множество имеющее следующую таблицу Кэли:
является категорийным, так как любые два его элемента, имеющие верхнюю грань, имеют точную нижнюю грань. Понятно, что всякая полурешетка – это категорийное ЧУМ (но не на оборот), т.к. любые два элемента имеют точную нижнюю грань. Иными словами, класс всех категорийных ЧУМ содержит класс всех полурешеток, но с ним не совпадает. Т.о. любое предложение, доказанное для категорийных ЧУМ влечет в качестве очевидного следствия некоторую теорему относительно полурешеток. Приведем примеры полурешеток.
Диаграмма:
называется диамантом , и определяется полурешеткой, имеющей следующую таблицу Кэли:
называется пентагоном , и определяется полурешеткой, имеющей следующую таблицу Кэли:
Пример 11. Полурешетка, задаваемая таблицей Кэли:
имеет диаграмму:
Теорема 1. Пусть (S
; ≤
) – категорийное ЧУМ, тогда (S
; Доказательство: Для любого а
а Имеем а Проверим слабую ассоциативность. Пусть (а а Докажем, что f = g . По определению имеем f
≤
d
≤
a
f
≤
d
≤ в f ≤ c (2) Т.к. е = inf{в,с }, то из (1), (2) следует, что f ≤ e . Т.о. f – некоторая общая нижняя грань для а и е , а g – их точная нижняя грань, поэтому f ≤ g (3) Аналогично, g ≤ f (4) Неравенство (3), (4) и антисимметричность отношения ≤ обеспечивают f = g . Слабая ассоциативность доказана. Проверим катенарность S . Пусть а в
– общая верхняя грань х
и у
. Т.к. ЧУМ S
категорийно, то существует inf{х,у
}, т.е. существует в S
х а z – нижняя грань для х и с . Обеспечим точность. Пусть t ≤ x , t ≤ c ( t – какая – либо нижняя грань ), т.к. t ≤ x , то t ≤ a , t ≤ в , по условию t ≤ с , т. е. t – общая нижняя грань для в и с . Отсюда следует по определению у , t ≤ y . Итак, t ≤ x , t ≤ у следовательно t ≤ z (по определению z ). Катенарность доказана. Теорема 2. Если (S ; · ) – катенарный идемпотентный коммутативный слабо ассоциативный частичный группоид, то отношение ≤ = { (а,в
) Является отношением порядка. При этом ЧУМ <S ; ≤ > – является катенарным. Доказательство: Докажем рефлексивность отношения ≤ . Т.к. частичный группоид S идемпотентен , то a · a = a отсюда , по определению (2) а ≤ а. Проверим антисимметричность. Если а ≤ в , в ≤ а , то а·в = а, в·а = в, левые части равны в виду коммутативности , значит равны и правые, следовательно а = в . Осталось доказать транзитивность. Пусть а ≤ в
, в ≤ с
, тогда а·в = а
, в·с = в
, а·с =
(а·в
)·с
. В силу катенарности имеем (а
·в
)·с
(а·в )·с = а· (в·с ), а поэтому, а·с = а· (в·с ) = а·в = а . Итак, а·с = а , т.е. а ≤ с . Т.о. имеем ЧУМ <S ; ≤ > . Проверим категоричность ЧУМ. Пусть z
– общая верхняя грань для х
и у
. Следовательно, х ≤
z
, y
≤
z
, отсюда х·
z
=
x
,
y
·
z
=
y
, тогда z
·
y
=
y
. В силу катенарности (x
·y
)·z
Обозначим х·у = s , докажем , что s точная нижняя грань . Имеем s · x = (x ·y )·x = x · (x · y ) = (x · x )·y = x · y = s (в виду катенарности и слабой ассоциативности), следовательно, s ≤ x , т.е. s – общая нижняя грань. Из этих теорем вытекают известные в теории полурешеток два следствия. Следствие 1. Если <S ; · > - идемпотентная коммутативная полугруппа, то отношение ≤ , определенное равенством (2), является частичным порядком. При этом для любых двух элементов в S существует точная нижняя грань. Следствие 2. Если <S ; · > - частично упорядоченное множество, в котором любых двух элементов существует точная нижняя грань, то относительно операции а множество S является идемпотентной коммутативной полугруппой. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В заключении можно отметить, что теорию упорядоченных множеств создал Г. Кантор. В 1883 он ввёл понятие вполне упорядоченного множества и порядкового числа, а в 1895 – понятие упорядоченного множества и порядкового типа. В 1906–07 С. О. Шатуновский сформулировал определения направленного множества (у Шатуновского – расположенный комплекс) и предела по направленному множеству (амер. математиками Э. Г. Муром и Г. Л. Смитом эти же понятия были рассмотрены независимо от Шатуновского, но значительно позднее – в 1922). Общее понятие частично упорядоченного множества принадлежит Ф. Хаусдорфу (1914). Таким образом, теория частичных алгебраических действий, будучи продолжением теории полных действий, пользуясь ее достижениями, связанная с ней идеями и опытом приложений за пределами алгебры, все же должна оформиться как самостоятельное направление в обширной области современной алгебры. К настоящему времени опубликованы сотни работ, специально посвященных изучению частичных действий. Что касается работ, в которых те или иные частичные действия встречаются по ходу исследования, то число их не поддается оценке. О частичных действиях говорится и в некоторых общих алгебраических трудах, но всегда очень кратко. Список литературы 1. А.К. Клифорд, Г. Престон. Алгебраическая теория полугрупп. 1972. 2. Грейцер. Общая теория решеток.Москва.-284с. 3. Кожевников О.Б. Частично упорядоченные множества частичных группоидов.Москва,1998. – 680с. 4. Е.С. Ляпин. Полугруппы. Москва: физмат, 1960.- 354с. 5. Ляпин Е.С. Алгебра и теория чисел. Москва, 1980.-589с. |