Реферат: Функции нескольких переменных
Название: Функции нескольких переменных Раздел: Рефераты по математике Тип: реферат |
Высшая математика Функции нескольких переменных Содержание 1. Понятие функции двух и более переменных 2. Предел и непрерывность функции двух переменных 3. Частные производные первого порядка. Полный дифференциал 4. Частные производные высших порядков 5. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума 6. Условный экстремум Литература 1. Понятие функции двух и более переменных Многие явления, происходящие в природе, экономике, общественной жизни нельзя описать с помощью функции одной переменной. Например, рентабельность предприятия зависит от прибыли, основных и оборотных фондов. Для изучения такого рода зависимостей и вводится понятие функции нескольких переменных. В данной лекции рассматриваются функции двух переменных, так как все основные понятия и теоремы, сформулированные для функций двух переменных, легко обобщаются на случай большего числа переменных. Пусть Определение 1. Если каждой упорядоченной паре чисел Например, формула Пару чисел Значение функции Совокупность всех точек Например, область определения функции 2. Предел и непрерывность функции двух переменных Понятия предела и непрерывности функции двух переменных аналогичны случаю одной переменной. Пусть Определение 2. Число Обозначается предел следующим образом:
Пример 1. Найти предел Решение. Введем обозначение
Определение 3. Функция Функция Точки, в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции. В некоторых функциях точки разрыва образуют целые линии разрыва. Например, функция Пример 2. Найти точки разрыва функции Решение. Данная функция не определена в тех точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т. е. в точках, где 3. Частные производные первого порядка. Полный дифференциал Пусть задана функция двух переменных
Аналогично, фиксируя аргумент
Величина Определение 4. Частной производной функции двух переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной переменной, когда последнее стремится к нулю (если этот предел существует). Обозначается частная производная так: Таким образом, по определению имеем:
Частные производные функции Пример 3. Найти частные производные функций: а) Решение. а) Чтобы найти
Аналогично, считая
Решение. б)
Определение 5. Полным дифференциалом функции
Учитывая, что дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т.е.
Пример 4. Найти полный дифференциал функции Решение. Так как
4. Частные производные высших порядков Частные производные Определение 6. Частными производными второго порядка функции Частных производных второго порядка четыре. Они обозначаются следующим образом:
Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и более высоких порядков. Например, для функции
Частные производные второго или более высокого порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными. Для функции Пример 5. Найти частные производные второго порядка функции
Решение. Частные производные первого порядка для данной функции найдены в примере 3: Дифференцируя
5. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума Определение 7. Точка Точки минимума и максимума функции Заметим, что минимум и максимум функции имеют локальный характер, так как значение функции в точке Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если Точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю, называются критическими или стационарными. В критических точках функция Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Пусть функция При исследовании функции двух переменных на экстремум рекомендуется использовать следующую схему: 1. Найти частные производные первого порядка: 2. Решить систему уравнений 3. Найти частные производные второго порядка: 4. Вычислить значения частных производных второго порядка в каждой критической точке и, используя достаточные условия, сделать вывод о наличии экстремума. 5. Найти экстремумы функции. Пример 6. Найти экстремумы функции Решение. 1. Находим частные производные
2. Для определения критических точек решаем систему уравнений
Из первого уравнения системы находим:
откуда
Находим значения y, соответствующие значениям Таким образом, имеем две критические точки: 3. Находим частные производные второго порядка:
4. Вычисляем значения частных производных второго порядка в каждой критической точке. Для точки
Так как
то в точке В точке
и, следовательно,
Значит, в силу достаточного условия экстремума, в точке 5. Находим значение функции в точке
6. Условный экстремум В теории функций нескольких переменных иногда возникают задачи, когда экстремум функции нескольких переменных необходимо найти не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющем некоторому условию. Пусть Определение 8. Точка Если уравнение связи Замечание. В более сложных случаях, когда уравнение связи Пример 7. Найти экстремумы функции Решение. Из уравнения связи находим функцию или Находим экстремум данной функции:
– критическая точка первого рода (точка, подозрительная на экстремум). Так как в точке
Литература 1. Белько И. В., Кузьмич К. К. Высшая математика для экономистов. I семестр: Экспресс-курс. – М.: Новое знание, 2002. – 140 с. 2. Гусак А. А.. Математический анализ и дифференциальные уравне-ния.– Мн.: ТетраСистемс, 1998. – 416 с. 3. Гусак А. А.. Высшая математика. Учебное пособие для студентов вузов в 2-х томах. – Мн., 1998. – 544 с. (1 т.), 448 с. (2 т.). 4. Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н. Ш. Кремера.– М.: ЮНИТИ, 2002. – 471 с. 5. Яблонский А. И., Кузнецов А. В., Шилкина Е. И. и др. Высшая математика. Общий курс: Учебник / Под общ. ред. С. А. Самаля.– Мн.: Выш. шк., 2000. – 351 с. |