| Задача 20
. Показать, что функция  удовлетворяет уравнению (1).
20.1. 
y'= e-x^2/2
-x2
e-x^2/2
= e-x^2/2
(1-x2
)
xe-x^2/2
(1-x2
)=xe-x^2/2
(1-x2
)
Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).
20.2. 
y'= (xcosx-sinx)/x2
(xcosx-sinx)/x+sinx/x=cosx
cosx=cosx
Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).
20.3. 
y'= -10e-2
x
+ex
/3
-10e-2x
+ex
/3+10e-2x
+2ex
/3=ex
ex
=ex
Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).
20.4. 
y'= -cx/√(1-x2
)
-cx(1-x2
)/√(1-x2
)+2x+cx√(1-x2
)=2x
2x=2x
Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).
20.5. 
y'= √(1-x2
)-x2
/√(1-x2
)= (1-2x2
)/√(1-x2
)
x
√(1-
x
2
)(1-2
x
2
)
= x-2x3
√(1-x2
)
x-2x3
= x-2x3
Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).
20.6. 
y'= c*tgx/cosx
c*tgx/cosx-c*tgx/cosx=0
0=0
Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).
20.7. 
y'= 3/(3x+c)2
3/(3x+c)2
=3/(3x+c)2
Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).
20.8. 
y'= ex
/(c+ex
)
ex
/(c+ex
)= ex
/eln(c+e^x)
ex
/(c+ex
)=ex
/(c+ex
)
Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).
20.9. 
dy= (2x-c)dx/(2√(x2
-cx))
(x2+x2-cx)dx-(2x√(x2-cx)(2x-c)dx)/(2√(x2
-cx))=0
0=0
Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).
20.10. 
dy= (cx-xlnx+1)dx
(x-x(c-lnx))dx+x(cx-xlnx+1)dx=0
0=0
Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).
20.11. 
y'= etgx/2
/(2cos2
x/2)= etgx/2
/(cosx+1)
sinx*etgx/2
/(cosx+1)= etgx/2
lnetgx/2
tgx/2= tgx/2
Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).
20.12. 
y'= (1-x+1+x)/(1-x)2
=2/(1-x)2
2/(1-x)2
= 1-2
x
+
x
2
+1+2
x
+
x
2
(1-x)2
(1+x)
2/(1-x)2
=2/(1-x)2
Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).
20.13. 
y'= 1-b2
(1-bx)2
b+x
– x(
1-b2
)
= b + x2
(
1-b2
)
1+bx (1-bx)2
(1-bx)2
b + x
2
(1-b2
)=b + x
2
(1-b2
)
(1-bx)2
(1-bx)2
Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).
20.14. 
y'= 1-2x _
3
√(2+3x-3x2
)2
(1-2x) 3
√(2+3x-3x2
)
= 1-2x _
3
√(2+3x-3x2
)2 3
√(2+3x-3x2
)
1-2x _
= 1-2x _
3
√(2+3x-3x2
) 3
√(2+3x-3x2
)
Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).
20.15. 
y'= 4ex
= ex
_
4(1+ex
)√(ln((1+ex
)/2)2
+1) (1+ex
)√(ln((1+ex
)/2)2
+1)
ex
(1+ex
)√(ln((1+ex
)/2)2
+1)
= ex
(1+ex
)√(ln((1+ex
)/2)2
+1)
ex
=ex
Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).
20.16. 
dy= 3dx _
3xcos2
ln3x
(1+tg2
ln3x)dx = 3xdx _
3xcos2
ln3x
dx/cos2
ln3x= dx/cos2
ln3x
Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).
20.17. 
y'= 2/(x3
√(2/x2
-1))
1+2/x2
-1- 2x√(2/x2
-1)/(x3
√(2/x2
-1))=0
0=0
Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).
20.18. 
y'= x-1 _
3x√(x-lnx-1)2
lnx+x-lnx-1-3x(x-1)√(x-lnx-1)2
= 0
3x√(x-lnx-1)2
0=0
Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).
20.19. 
y'= 7/(ax+1)2
a+7x/(ax+1) – 7x/(ax+1)2
= a(1+7x2
/(ax+1)2
)
a(1+7x2
/(ax+1)2
)= a(1+7x2
/(ax+1)2
)
Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).
20.20. 
y'= -a2
_
2x2
√(a/x-1)cos2
√(a/x-1)
a2
+a2
tg2
√(a/x-1)- 2a2
x√(ax-x2
)
= 0
2x2
√(a/x-1)cos2
√(a/x-1)
a2
/cos2
√(a/x-1) – a2
/cos2
√(a/x-1)=0
Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).
20.21. 
y'= 1 _
8 4
√(√x+√(x+1))
8x
_ 4
√(√x+√(x+1)) = -1 _
8 4
√(√x+√(x+1)) 4
√(√x+√(x+1))3
√(x+1)
-1 _
= -1 _
4
√(√x+√(x+1))3
√(x+1) 4
√(√x+√(x+1))3
√(x+1)
Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).
20.22. 
y'= ex^2
(1+2x2
+2x)
ex^2
(1+2x2
+2x) – 2xex^2
(1+x)=2xex^2
2xex^2
=2xex^2
Равенство выполняется. Функция  удовлетворяет уравнению (1).
20.23. 
y'= 2x2
-4x5
-x6
-2x3
-1
x2
(x3
+1)2
x(x3
+1)( 2x2
-4x5
-x6
-2x3
-1)
+ (2x3
-1)(2x2
+1)
= x3
-2
x2
(x3
+1)2
x(x3
+1) x
x3
-2
= x3
-2
x x
Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).
20.24. 
y'= (1+2x)ex+x^2
+2ex
(1+2x)ex+x^2
+2ex
- ex+x^2
+2ex
= 2xex+x^2
2xex
+
x
^2
=2xex
+
x
^2
Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).
20.25. 
y'= -cosx-xsinx+3
-xcosx+x2
sinx+3x = -xcosx+3x+ x2
sinx
Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).
20.26. 
y'= -cosx-1 _
2√(sinx+x)3
-2sinx(cosx+1)
+ cosx
= xcosx-sinx
2√(sinx+x)3
√(sinx+x) √(sinx+x)3
xcosx-sinx
= xcosx-sinx
√(sinx+x)3
√(sinx+x)3
Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).
20.27. 
y'= 2
x
3
-4
x
2
+2
x
-1
(x-1)2
x
(
x
-1)(2
x
3
-4
x
2
+2
x
-1)
+ x/(x-1)+x2
= x2
(2x-1)
(x-1)2
x2
(2x-1)= x2
(2x-1)
Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).
20.28. 
y'= (cosx+xsinx)/cos2
x
(cosx+xsinx)/cos2
x-xtgx/cosx = secx
1/cosx=secx
secx= secx
Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).
20.29. 
y'= n(x+1)n-1
(ex
-1)+(x+1)n
ex
n(x+1)n-1
(ex
-1)+(x+1)n
ex
- n(x+1)n
(ex
-1)/(x+1) = (x+1)n
ex
(x+1)n
ex
=(x+1)n
ex
Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).
20.30. 
y'= 2xcosx-2sinx-x2
sinx
x2
xsinx(2xcosx-2sinx-x2
sinx)
+ (sinx-xcosx)(2sinx+xcosx)
= sinxcosx-x
x2
x
sinxcosx-x= sinxcosx-x
Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).
20.31. 
y'= 2x-4x3
= 1-2x2
2√(x4
-x2
) √(x2
-1)
-x√(x4
-x2
)( 1-2x2
)
- x4
+x2
= x4
√(x2
-1)
x4
= x4
Равенство выполняется. Функция  удовлетворяет уравнению (1).
|