Доклад: Метод решения уравнений Ньютона - Рафсона
Название: Метод решения уравнений Ньютона - Рафсона Раздел: Промышленность, производство Тип: доклад | |||||||||||||||
Метод Ньютона-Рафсона, также известный как Метод Ньютона, представляет собой обобщенный метод поиска корня уравнения
Примем x = xj
в качестве j-го приближения к корню уравнения (1). Предположим, что xj
не является решением. Следовательно,
Если примем в качестве следующего члена x = xj+1 , то уравнение (2) будет иметь вид:
Теперь предположим, что справедливо необязательное допущение того, что предыдущее приближение xj было удовлетворительным, так что xj+1 - xj мало. Если это предположение верно, мы можем пренебречь членами более высокого порядка в уравнении (3), так как n-я степень малой величины значительно меньше, чем малая величина для n>=2. В этом случае уравнение (3) может быть аппроксимировано следующим образом:
Нашей целью является выбор такого xj+1
, чтобы оно стало решением уравнения (1). Следовательно, если наше предыдущее предположение справедливо, xj+1
должно быть выбрано таким, что
Уравнение (5) называется уравнением Ньютона - Рафсона. Если наше предположение, приведшее к выводу уравнения (5), справедливо, этот алгоритм будет сходящимся, но только в том случае, если точка начального приближения достаточно близка к точке решения. Геометрическая интерпретация сходящегося метода Ньютона - Рафсона приведена на рис. 1а.
Рис.1. Геометрическая интерпретация метода Ньютона - Рафсона Однако, если точка начального приближения далека от точки решения, то метод Ньютона - Рафсона может не сходиться совсем. Геометрическая интерпретация не сходящегося метода Ньютона - Рафсона приведена на рис. 1б. Алгоритм Назначение: поиск решения уравнения (1) Вход: Начальное приближение x0 Точность (число итераций I) Выход: xI - решение уравнения (1) Инициализация: calculate f’(x0 ) Шаги: 1. repeat: 2. calculate xi using (5) 3. let i=i+1 4. if i>I then break the cycle end of repeat Модификация алгоритма Ньютона для решения системы нескольких уравнений заключается в линеаризации соответствующих функций многих переменных, т. е. аппроксимации их линейной зависимостью с помощью частных производных. Например, для нулевой итерации в случае системы двух уравнений: Чтобы отыскать точку, соответствующую каждой новой итерации, требуется приравнять оба равенства нулю, т.е. решить на каждом шаге полученную систему линейных уравнений. |