Матрицы
Матрица - прямоугольная (в частном случае квадратная) таблица с числами.
Матрица m × n - это таблица из m строк и n столбцов. Если m = n, матрицу называют квадратной матрицей порядка n.
Пример матрицы 4×3 :
| a
1,1
|
a
1,2
|
a
1,3
|
| a
2,1
|
a
2,2
|
a
2,3
|
| a
3,1
|
a
3,2
|
a
3,3
|
| a
4,1
|
a
4,2
|
a
4,3
|
Определитель матрицы
Определитель матрицы A (обозначается как det A) это число, которое ставится в соответствие матрице A по определенному правилу.
Определитель существует (определен) только для квадратной матрицы.
Определителем квадратной матрицы A порядка n называется число:
| det(A)=
|
|
=
|
|
где M1,j
- определитель квадратной матрицы порядка n -1, полученной из матрицы A вычеркиванием первой строки и j -го столбца, называемый минором элемента a1,j
.
Выражение
| det A =
|
|
называется формулой вычисления определителя разложением по первой строке.
Число (-1) j+1
M1,j
называется алгебраическим дополнением
элемента a1,j
.
Если вас пугает это формула, то она значит следующее:
- Определитель вычисляется как сумма n слагаемых, где n - порядок матрицы.
- Знак, с которым каждое слагаемое входит в сумму, определяется как (-1)1+k
.
- Каждое слагаемое представляет собой произведение двух чисел: элемента первой строки матрицы на минор - определитель матрицы, получаемой из исходной путем вычеркивания 1 строки и j столбца.
Обратите внимание, что порядок минора на 1 меньше, чем у исходной матрицы!!!
Умножение матриц
Произведением матриц A размером m × n и матрицы B размера n × k называется матрица размера m × k, элементы которой определяются формулой
| ci,j
=
|
n
|
a i,q
· b q,j
|
| ∑
|
| q=1
|
i=1, ... , m
j=1, ..., k
Произведение матриц записывается как C=A·B.
Произведение матриц определено, если число столбцов матрицы A равняется числу строк матрицы B!!!!
Для более легкого запоминания формулы умножения матриц существует простое правило: строка на столбец. Берем элементы из строки матрицы А и они умножаются на соответствующие элементы столбца матрицы B. Потом все произведения складываются и мы получаем значение элемента матрицы C.
Координаты элемента в результирующей матрице определяется как номер строки матрицы A и номер столбца матрицы B.
Транспонирование матриц
Транспонирование матрицы - это такая операция над матрицей, когда первая строка становится первым столбцом, вторая строка становится вторым столбцом и так далее...
В результате получается транспонированная матрица, обозначаемая как AT
.
Обратная матрица
Матрица A-1
- называется обратной к матрице A, если выполняется условие A ·A-1
= A-1
·A=E.
Для квадратной матрицы A обратная матрица существует тогда, когда det A ≠ 0.
Обратную матрицу находим следующим образом:
где Ai,j
- алгебраические дополнения элементов матрицы A.
|