| КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1
по дисциплине
«Экономико-математические методы и модели»
на тему «Оптимальная комбинация ресурсов»
Выполнила: студентка гр. О-060500-31
Проверил: доцент
Гольман А.Ф.
Ижевск, 2010
Оптимальная комбинация ресурсов
Использование аппарата производственных функций дает возможность решения задачи об оптимальном использовании средств, предназначенных для приобретения производственных факторов.
Предположим, что факторы ( x
1
, ..., x N
) могут быть закуплены по ценам ( p
1
, ..., p N
), а объем имеющихся средств для приобретения составляет b
(руб.). Тогда соотношение, описывающее множество допустимых наборов факторов, имеет вид:
Граничная линия этого множества, соответствующая полному использованию имеющихся средств, т.е.:
называется изокостой, поскольку ей отвечают наборы, имеющие одинаковую стоимость b
. Задача об оптимальном использовании средств формулируется так: требуется найти набор факторов, который дает наибольший выпуск продукции при ограниченных финансовых средствах b
. Таким образом, требуется найти решение задачи:
Искомое решение находится из системы уравнений:
где l множитель Лагранжа.
В частности, если число факторов N
= 2, задача допускает наглядную геометрическую интерпретацию (рис. 1).
Рис. 1. Оптимальная комбинация ресурсов
Здесь отрезок АВ
есть изокоста, кривая R
изокванта, касающаяся изокосты в точке D
, которая и соответствует оптимальному набору факторов (  ).
Полезно привести полное решение поставленной задачи для случая двух факторов, т.е. N
= 2.
Пусть x
1
= K
капитал (основные фонды),
x
2
= L
труд (рабочая сила);
производственная функция
условие ограниченности ресурса
где r
цена использования машин и оборудования (т.е. услуг капитала), равная норме банковского процента; w
ставка оплаты труда.
Условия оптимальности имеют вид:
а) 
Это условие означает, что объем используемого капитала должен быть принят на том уровне, когда маргинальная фондоотдача ( y
/ K
) равна норме процента; дальнейшее увеличение капитала приведет к снижению его эффективности;
б) 
Это условие требует, чтобы количество занятой рабочей силы было взято на уровне, когда маргинальная производительность труда ( y
/ L
) равна ставке заработной платы, так как дальнейшее увеличение количества занятых приводит к убыткам (точка  на рис. 2).
Рис. 2. Оптимальное количество занятых
Здесь угловой коэффициент касательной в точке А
равен w
.
Для ПФ типа Кобба - Дугласа задача имеет вид:
найти
при условии
Получим следующее решение:
Множитель  характеризует здесь предельную продуктивность финансовых средств, т.е. показывает, на какую величину в y
изменится максимальный выпуск продукции  если объем средств b
увеличится на малую единицу.
Заметим, что сумма эластичностей капитала (b) и труда (a) характеризует так называемый удельный выпуск (отдачу) при изменении масштаба производства, т.е. когда расход ресурсов ( K
и L
) увеличивается в одинаковое число раз. Если a + b > 1, то отдача возрастает, если a + b = 1, то отдача постоянная, если a + b < 1, то отдача убывает, а производственная функция является выпуклой вверх.
Литература
1.Замков О.О.,Толстопятенко А.В.,Черемных Ю.Н.,Математические методы в экономике. М.: АО ДИС, 1997.
2. http://www.humanities.edu.ru/
|