Реферат: Динамическое представление данных

“ Динамическое представление сигналов “

Выполнил: Зазимко С.А.

Принял : Котоусов А.С.

Многие задачи радиотехники требуют специфической формы представления сигналов. Для решения этих задач необходимо располагать не только мгновенным значением сигнала, но и знать как он ведет себя во времени, знать его поведение в “прошлом” и “будущем”.

Данный способ получения моделей сигналов заключается в следующем:

Реальный сигнал представляется суммой некоторых элементарных сигналов, возникающих в последовательные моменты времени. Теперь, если мы устремим к нулю длительность отдельных элементарных сигналов, то в пределе получим точное представление исходного сигнала. Такой способ описания сигналов называется динамическим представлением , подчеркивая тем самым развивающийся во времени характер процесса.

На практике широкое применение нашли два способа динамического представления.

Первый способ в качестве элементарных сигналов использует ступенчатые функции, которые возникают через равные промежутки времени в . Высота каждой ступеньки равна приращению сигнала на интервале времени D. В результате сигнал может быть представлен как на рисунке 1.

рис. 1

При втором способе элементарными сигналами служат прямоугольные импульсы. Эти импульсы непосредственно примыкают друг к другу и образуют последовательность, вписанную в кривую или описанную вокруг нее . В этом случае исходный сигнал имеет вид как на рисунке 2.

рис. 2

Теперь рассмотрим свойства элементарных сигналов. Для начала : используемого для динамического представления по первому способу.

Допустим имеется сигнал, математическая модель которого выражается системой :

м 0, t < -x,

u(t) =н 0.5(t/x+1), -xЈ t Јx, (1)

о 1, t > x.

Такая функция описывает процесс перехода некоторого физического объекта из “нулевого” в “единичное” состояние.

Переход совершается по линейному закону за время 2x. Теперь если параметр x устремить к нулю, то в пределе переход из одного состояния в другое будет происходить мгновенно. Такая математическая модель предельного сигнала получила название функции включения или функции Хевисайда :

м 0, t < 0,

s(t) = н 0.5, t =0, (2)

о 1, t >0.

В общем случае функция включения может быть смещена относительно начала отсчета времени на величину t0. Запись смещенной функции такова :

м 0, t < t0,

s(t - t0) = н 0.5, t = t0, (3)

о 1, t > t0.

Рассмотрим некоторый сигнал S(t), причем для определенности скажем, что S(t)=0 при t<0. Пусть {D,2D,3D,...} - последовательность моментов времени и {S1,S2,S3,...} - отвечающая им последовательность значений сигнала. Если начальное значение сигнала есть S0=S(0), то текущее значение сигнала при любом t можно приближенно представить в виде суммы ступенчатых функций :

Ґ

s(t)»s0s(t)+(s1-s0)s(t-D)+...=s0s(t)+е(sk-sk-1)s(t-kD).

k=1

Если теперь шаг в устремить к нулю. то дискретную переменную kD можно заменить непрерывной переменной t. При этом малые приращения значения сигнала превращаются в дифференциалы ds=(ds/dt)dt , и мы получаем формулу динамического представления произвольного сигнала посредством функций Хевисайда

Ґ

у ds

S(t)=s0s(t) + фs(t-t) dt (4)

х dt

0

Переходя ко второму способу динамического представления сигнала , когда элементами разложения служат короткие импульсы, следует ввести новое важное понятие - понятие дельта-функции.

ДЕЛЬТА - ФУНКЦИЯ .

Рассмотрим импульсный сигнал прямоугольной формы, заданный следующим образом :

1 йxxщ

u(t;x) = ----- кs (t + ---- ) - s (t - ---- ) ч (5)

xл 2 2 ы

При любом выборе параметра x площадь этого импульса

равна единице :

Ґ

П = тu dt = 1

- Ґ

Например, если u- напряжение, то П = 1 В*с.

Теперь устремим величину x к нулю. Импульс, сокращаясь по длительности, сохраняет свою площадь, поэтому его высота должна неограниченно возрастать. Предел последовательности таких функций при x ® 0 носит название дельта-функции , или функции Дирака1 :

d(t) = lim u (t;x)

x®0

Дельта функция - интересный математический объект. Будучи равной нулю всюдю, кроме как в точке t = 0 2 дельта-функция тем не менее обладает единичным интегралом. А вот так выглядит символическое изображение дельта-функции :

ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЙ.

Теперь вернемся к задаче описания аналогового сигнала суммой примыкающих друг к другу прямоугольных импульсов (рис. 2) . С помощью дельта-функции u (t) представимо в виде совокупности примыкающих импульсов. Если Sk - значение сигнала на k - ом отсчете, то элементарный импульс с номером k представляется как :

hk(t) = Sk [ s(t - tk) - s(t - tk - D) ] (6)

В соответствии с принципом динамического представления исходный сигнал S (t) должен рассматриваться как сумма таких элементарных слагаемых :

Ґ

S(t) = еh (t) (7)

k= - Ґ k

В этой сумме отличным от нуля будет только один член, а именно тот, что удовлетворяет условию для t :

tk< t < tk+1

Теперь, если произвести подстановку формулы (6) в (7) предварительно разделив и умножив на величину шага D, то

Ґ 1

S(t) = е Sk --- [ s(t - tk) - s(t - tk - D) ] D

k=- ҐD

Переходя к пределу при D® 0 , необходимо суммирование заменить интегрированием по формальной переменной t, дифференциал которой dt ,будет отвечать величине в .

Поскольку

1

lim [ s(t - tk) - s(t - tk - D) ] ---

D®0 D

получим искомую формулу динамического представления сигнала

Ґ

S (t) = т s (t) d(t - t) dt

- Ґ

Итак, если непрерывную функцию умножить на дельта-функцию и произведение проинтегрировать по времени, то результат будет равен значению непрерывной функции в той точке, где сосредоточен d - импульс. Принято говорить, что в этом состоит фильтрующее свойство дельта-функции.1

d(t) = 1’ (t) ;

d(t-t0) = 1’ (t-t0) .

В классической математике полагают, что функция S(t) должна принемать какие-то значения в каждой точке оси t . Однако рассмотренная функция d(t) не вписывается в эти рамки - ее значение при t = 0 не определено вообще, хотя эта функция и имеет единичный интеграл. Возникает необходимость расширить понятие функции как математической модели сигнала. Для этого в математике была введено принципиально новое понятие обобщенной функции.

В основе идеи обобщенной функции лежит простое интуитивное соображение. Когда мы держим в руках какой-нибудь предмет , то стараемся изучить его со всех сторон, как бы получить проекции этого предмета на всевозможные плоскости. Аналогом проекции исследуемой функции ¦(t) может служить, например, значение интеграла

Ґ

т¦(t) j(t) dt (8)

- Ґ

при известной функции j(t) , которую называют пробной функцией.

Каждой функции j(t) отвечает, в свою очередь, некоторое конкретное числовое значение. Поэтому говорят, что формула (8) задает некоторый функционал на множестве пробных функций j(t). Непосредственно видно, что данный функционал линеен, то есть

(¦, aj1 + bj2) = ¦,j1) + b(¦,j2).

Если этот функционал к тому же еще и непрерывен, то говорят, что на множестве пробных функций j(t) задана обобщенная функция ¦(t) 1. Следует сказать, что данную функцию надо понимать формально-аксиоматически, а не как предел соответствующих интегральных сумм.

Обобщенные фнкции , даже не заданные явными выражениями, обладают многими свойствами классических функкций. Так, обобщенные функции можно дифференцировать.

И в заключение следует сказать, что в настоящее время теория обобщенных функций получила широкое развитие и многочисленные применения. На ее основе созданы математические методы изучения процессов, для которых средства классического анализа оказываются недостаточными.

Литература :

1. А. Л. Зиновьев, Л. И. Филипов ВВЕДЕНИЕ В

ТЕОРИЮ СИГНАЛОВ И ЦЕПЕЙ.

2. С. И. Баскаков РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

И СИГНАЛЫ.

1 Также эту функцию называют единичной импульсной функцией,

2 Говорят, что дельта-функция сосредоточена в этой точке.

1 Отсюда вытекает структурная схема систем, осуществляющей измерение мгновенных значений аналогового сигнала S(t). Система состоит из двух звеньев : перемножителя и интегратора.

1 Обобщенные функции иногда называют также распределениями.

“ Динамическое представление сигналов “

Многие задачи радиотехники требуют специфической формы представления сигналов. Для решения этих задач необходимо располагать не только мгновенным значением сигнала, но и знать как он ведет себя во времени, знать его поведение в “прошлом” и “будущем”.

Данный способ получения моделей сигналов заключается в следующем. Реальный сигнал представляется суммой некоторых элементарных сигналов, возникающих в последовательные моменты времени. Теперь, если мы устремим к нулю длительность отдельных элементарных сигналов, то в пределе получим точное представление исходного сигнала. Такой способ описания сигналов называется динамическим представлением , подчеркивая тем самым развивающийся во времени характер процесса.

Широкое применение нашли два способа динамического представления.

Первый способ в качестве элементарных сигналов использует ступенчатые функции, которые возникают через равные промежутки времени в (рис. 1.1). Высота каждой ступеньки равна приращению сигнала на интервале времени D.

При втором способе элементарными сигналами служат прямоугольные импульсы. Эти импульсы непосредственно примыкают друг к другу и образуют последовательность, вписанную в кривую или описанную вокруг нее (рис. 1.2).

рис 1.1 рис 1.2

Рассмотрим свойства элементарного сигнала, используемого для динамического представления по первому способу.

Допустим имеется сигнал, математическая модель которого выражается системой :

м 0, t < -x,

u(t)=н 0.5(t/x+1), -xЈ t Јx, (1)

о 1, t > x.

Такая функция описывает процесс перехода некоторого физического объекта из “нулевого” в “единичное” состояние. Переход совершается по линейному закону за время 2x. Если параметр x устремить к нулю, то в пределе переход из одного состояния в другое будет происходить мгновенно. Эта математическая модель предельного сигнала получила название функции включения или функции Хевисайда :

м 0, t < 0,

s(t) = н 0.5, t =0, (2)

о 1, t >0.

В общем случае функция включения может быть смещена относительно начала отсчета времени на величину t0. Запись смещенной функции такова :

м 0, t < t0,

s(t - t0) = н 0.5, t = t0, (3)

о 1, t > t0.

Рассмотрим некоторый сигнал S(t), причем для определенности скажем, что S(t)=0 при t<0. Пусть {D,2D,3D,...} - последовательность моментов времени и {S1,S2,S3,...} - отвечающая им последовательность значений сигнала. Если S0=S(0) - начальное значение, то текущее значение сигнала при любом t приближенно равно сумме ступенчатых функций :

Ґ

s(t)»s0s(t)+(s1-s0)s(t-D)+...=s0s(t)+е(sk-sk-1)s(tkD).

k=1

Если теперь шаг в устремить к нулю. то дискретную переменную kD можно заменить непрерывной переменной t. При этом малые приращения значения сигнала превращаются в дифференциалы ds = (ds/dt) dt , и мы получаем формулу динамического представления произвольного сигнала посредством функций Хевисайда

Ґ

у ds

S(t)=s0s(t)+ фs(t-t) dt (4)

х dt

0

Переходя ко второму способу динамического представления сигнала , когда элементами разложения служат короткие импульсы, следует ввести новое важное понятие.

Рассмотрим импульсный сигнал прямоугольной формы, заданный следующим образом :

1 йxxщ

u(t;x) = ----- кs (t + ---- ) - s (t - ---- ) ч (5) xл 2 2 ы

При любом выборе параметра x площадь этого импульса равна единице :

Ґ

П = тu dt = 1

- Ґ

Например, если u- напряжение, то П = 1 В*с.

Пусть теперь величина Е стремится к нулю. Импульс, сокращаясь по длительности, сохраняет свою площадь, поэтому его высота должна неограниченно возрастать. Предел последовательности таких функций при x ® 0 носит название дельта-функции , или функции Дирака :

d(t) = lim u (t;x)

x®0

Теперь вернемся к задаче описания аналогового сигнала суммой примыкающих друг к другу прямоугольных импульсов (рис. 2) . Если Sk - значение сигнала на k - ом отсчете, то элементарный импульс с номером k представляется как :

hk(t) = Sk [ s(t - tk) - s(t - tk - D) ] (6)

В соответствии с принципом динамического представления исходный сигнал S (t) должен рассматриваться как сумма таких элементарных слагаемых :

Ґ

S(t) = еh (t) (7)

k= - Ґk

В этой сумме отличным от нуля будет только один член, а именно тот, что удовлетворяет условию для t :

tk< t < t k+1

Теперь, если произвести подстановку формулы (6) в (7) предварительно разделив и умножив на величину шага D, то

Ґ 1

S(t) = е Sk --- [ s(t - tk) - s(t - tk - D) ] D

k=- ҐD

Переходя к пределу при в ® 0 , необходимо суммирование заменить интегрированием по формальной переменной t, дифференциал которой dt ,будет отвечать величине в . Поскольку

1

lim [ s(t - tk) - s(t - tk - D) ] ---

D®0 D

получим искомую формулу динамического представления сигнала

Ґ

S(t) = т s (t) d(t - t) dt

- Ґ

Итак, если непрерывную функцию умножить на дельта-функцию и произведение проинтегрировать по времени, то результат будет равен значению непрерывной функции в той точке, где сосредоточен d - импульс. Принято говорить, что в этом состоит фильтрующее свойство дельта-функции.1

В классической математике полагают, что функция S(t) должна принемать какие-то значения в каждой точке оси t . Однако рассмотренная функция d(t) не вписывается в эти рамки - ее значение при t = 0 не определено вообще, хотя эта функция и имеет единичный интеграл. Возникает необходимость расширить понятие функции как математической модели сигнала. Для этого в математике была введено принципиально новое понятие обобщенной функции.

В основе идеи обобщенной функции лежит простое интуитивное соображение. Когда мы держим в руках какой-нибудь предмет , то стараемся изучить его со всех сторон, как бы получить проекции этого предмета на всевозможные плоскости. Аналогом проекции исследуемой функции ¦(t) может служить, например, значение интеграла

Ґ

т¦(t) j(t) dt (8)

- Ґ

при известной функции j(t) , которую называют пробной функцией.

Каждой функции j(t) отвечает, в свою очередь, некоторое конкретное числовое значение. Поэтому говорят, что формула (8) задает некоторый функционал на множестве пробных функций j(t). Непосредственно видно, что данный функционал линеен, то есть

(¦, aj1 + bj2) = ¦,j1) + b(¦,j2).

Если этот функционал к тому же еще и непрерывен, то говорят, что на множестве пробных функций j(t) задана обобщенная функция ¦(t) 1. Следует сказать, что данную функцию надо понимать формально-аксиоматически, а не как предел соответствующих интегральных сумм.

Обобщенные фнкции , даже не заданные явными выражениями, обладают многими свойствами классических функкций. Так, обобщенные функции можно дифференцировать.

И в заключение следует сказать, что в настоящее время теория обобщенных функций получила широкое развитие и многочисленные применения. На ее основе созданы математические методы изучения процессов, для которых средства классического анализа оказываются недостаточными.

1 Отсюда вытекает структурная схема систем, осуществляющей измерение мгновенных значений аналогового сигнала S(t). Система состоит из двух звеньев : перемножителя и интегратора.

1 Обобщенные функции иногда называют также распределениями.