|
Пошукова робота на тему:
Умовний екстремум. Метод множників Лагранжа. Метод найменших квадратів.
П
лан
- Умовний екстремум
- Необхідні умови
- Метод множників Лагранжа
- Знаходження функції на основі експериментальних даних за методом найменших квадратів
1
. Умовний екстремум
У попередніх параграфах були розглянуті максимуми і мінімуми функції в припущенні, що ті змінні, від яких функція залежить, є незалежними. В цих випадках максимуми мінімуми називаються безумовними. Але у багатьох задачах потрібно знаходити екстремуми функції, аргументи якої задовольняють деяким додатковим умовам – зв’язку. В цих випадках аргументи функції не є незалежними. Екстремуми такого типу називаються умовними. Як приклад, наведемо задачу про знаходження екстремуму функції
за умови, що її аргументи задовольняють умові зв’язку
.
У даній задачі екстремуми функції
знаходять не на всій площині, а лише на прямій
.
Нехай потрібно знайти максимуми і мінімуми функції
(6.89)
при
(6.90)
За наявності умови (6.90) із двох змінних
і
незалежною буде лише одна, наприклад
, оскільки
визначається із рівності (6.90) як функція
. Якщо із (6.90) знайти явну залежність
від
і підставити її в (6.89), то одержимо функцію однієї змінної
, яку потрібно дослідити на екстремум. Але розв’язання рівняння (6.90) відносно однієї із змінних може бути важким або взагалі неможливим. Тому зупинимося на особливому методі розв’язання задачі на умовний екстремум – методі невизначених множників Лагранжа.
У точках екстремуму похідна
має дорівнювати нулю. Враховуючи, що
є функція від
, знаходимо
.
Отже, в точках екстремуму
. (6.91)
Із рівності (6.90) маємо
(6.92)
Домножимо рівність (6.92) на невизначений множник
і додамо її з рівністю (6.91), одержимо
.
або
(6.93)
(6.93) перетворювалася на нуль: Рівність (6.93) виконується в усіх точках екстремуму. Доберемо множник
так, щоб в точках екстремуму функції
друга дужка у рівності
.
Тоді в точках екстремуму виконуються три рівняння:
(6.94)
з трьома невідомими
. Із системи (6.94) визначаємо
і
, що відіграє лише допоміжну роль і в подальшому не потрібне.
Ліві частини рівнянь (6.94) є частинними похідними функції
,
яка називається функцією Лагранжа. Система (6.94) співпадає з умовами безумовного екстремуму функції
.
Із виводу рівнянь (6.94) випливає, що вони є лише необхідними умовами умовного екстремуму.
Зауваження.
Описаний метод поширюється на дослідження умовного екстремуму функції будь-якого числа змінних.
Нехай потрібно знайти максимуми і мінімуми функції
змінних
за умови, що змінні
зв’язані
рівняннями:
(6.95)
Складемо функцію Лагранжа
і прирівняємо до нуля її частинні похідні по
:
(6.96)
Із
рівнянь (6.95) і (6.96) знаходимо координати критичних точок і допоміжних невідомих
. Системи рівнянь (6.95) і (6.96) є необхідними умовами умовного екстремуму.
Приклад.
За яких розмірів прямокутний паралелепіпед має найбільший об’єм, якщо його повна поверхня має площу
?
Р о з в ’ я з о к. Нехай довжина сторін паралелепіпеда дорівнюють
і
. Його об’єм
, а площа поверхні
. Потрібно знайти найбільше значення функції
за умови
.
Складаємо функцію Лагранжа
і прирівнюємо до нуля її частинні похідні:
,
,
,
.
Звідси знаходимо
. Точка
є критичною точкою функції
. Оскільки поставлена задача має певний розв’язок, а критична точка лише одна, то в цій критичній точці буде екстремум.
Шуканий паралелепіпед – куб із стороною
.
2
. Знаходження функції на основі експериментальних даних
за методом найменших квадратів
У різних областях людської діяльності широке розповсюдження мають формули, одержані на основі обробки спостережень або експериментів. Такі формули називаються емпіричними.
Нехай на основі експерименту потрібно встановити функціональну залежність величини
від величини
:
.
В результаті одержано
значень функції при відповідних значеннях аргументів і результати записані так:
Вид функції
встановлюється або із теоретичних міркувань, або на основі аналізу графіка функції
. Для цього слід побудувати в прямокутній декартовій системі координат точки, відповідні експериментальним значенням. Ці точки в дальшому будемо називати експериментальними. Якщо експериментальні точки розміщені на координатній площині так, як зображено на рис. 6.15, то доречно будувати залежність
від
у вигляді лінійної функції
. Якщо експериментальні точки розміщені так, як показано на рис. 6.16, то функцію будемо шукати у вигляді
.
При вибраному вигляді функції
залишається добрати параметри
так, щоб вони якнайкраще і описували
Рис.6.13 Рис.6.14
розглядуваний процес. Найпоширенішим методом розв’язання даної задачі є метод розв’язання даної задачі є метод найменших квадратів.
Нехай експериментальні точки групуються навколо прямої (див. рис. 6.13). Тоді
(6.97)
де
і
- параметри, які потрібно знайти.
Розглянемо експериментальну точку
і точку
з такою самою абсцисою, але яка лежить на прямій. Її координати
. Різницю ординат цих точок
, (6.98)
що являє собою відхилення точки
від прямої
, назвемо похибкою.
Доберемо параметри
і
так, щоб сума квадратів похибок
(6.99)
була найменшою.
Підставимо в (6.99) вирази помилок (6.98), одержимо
(6.100)
Тут
і
відомі величини, а
і
- невідомі, які потрібно знайти. Для того щоб функція
мала найменше значення, необхідно
виконати умови:
або
Перегрупувавши члени, подамо цю систему у вигляді
або
(6.101)
Ця система рівнянь називається нормальною системою методу найменших квадратів. Розв’язавши її, знаходимо
і
і підставляємо в емпіричну формулу
.
Нехай тепер експериментальні точки розміщені поблизу деякої параболи (див. рис. 6.14). Тоді
(6.102)
Для знаходження
і
використаємо метод найменших квадратів. Відхилення за ординатою експериментальних точок від відповідних точок параболи
, (6.103)
Доберемо параметри
і
так, щоб сума квадратів похибок
(6.104)
була найменшою. Для цього необхідно виконання умов
Обчисливши частинні похідні, маємо систему рівнянь
Перегрупувавши доданки в кожному із рівнянь, одержимо нормальну систему рівнянь методу найменших квадратів для параболічної залежності:
(6.105)
Із цієї системи знаходимо
і
і підставляємо їх в емпіричну формулу
.
|