Реферат: Сопромат 2

Сопоставление предела прочности хрупких материалов при растяжении с пределом прочности при сжатии показывают, что эти материалы обладают, как правило, более высокими прочностными показателями при сжатии, нежели при растяжении. Величина отношения для чугуна составляет 0.2 ё0.4, для керамических материалов 0.1ё0.2. Для пластичных материалов установлено, что .

Большое влияние на проявление свойств материалов оказывает скорость нагружения и температурное воздействие. При высокоскоростном нагружении более резко проявляются свойства хрупкости, а при медленном нагружении - свойства пластичности. Например, хрупкое стекло способно при длительном воздействии нагрузки в условиях нормальной температуры (+20оС) проявляет пластические свойства. Пластичные же материалы, такие, как малоуглеродистая сталь, при воздействии ударных нагрузок проявляет хрупкие свойства. В зависимости от указанных обстоятельств механические свойства материалов проявляются по-разному. Обобщенный анализ свойств материалов с учетом температуры и времени оказывается очень сложным. Функциональная зависимость между четырьмя параметрами s, e, температурой to и временем t, т.е. не является адекватной и содержит в сложной форме дифференциальные и интегральные соотношения, входящих в нее величин.

Так как в обобщенной форме, точное аналитическое выражение функции f получить невозможно, то влияние температуры и фактора времени рассматривается в настоящее время применительно только к частным классам задач. Деление на классы производится как по характеру действия внешних сил так и по типу материалов, а также в зависимости от скорости нагружения.

Наиболее, изучаемыми в механике материалов, являются процессы происходящие при действии медленно изменяющихся (статических) нагрузок.

Скорость изменения этих нагрузок во времени настолько мала, что кинетическая энергия деформируемого тела, составляет незначительную долю от работы внешних сил. Поэтому работа внешних сил превращается только в упругую энергию и в необратимую тепловую энергию, связанную с пластическими деформациями тела.

При статических испытаниях материалов в различных температурных режимах определяется зависимость механических характеристик материалов от температуры. Эта зависимость характеризует изменения внутрикристаллических и межкристаллических связей, а в некоторых случаях и структурными изменениями материалов. В общем случае с ростом температуры, прочностные характеристики материалов существенно падают. При этом, чем выше температура, тем труднее определить механические характеристики материалов. Происходит это не только потому, что возрастают сложности в технике эксперимента, но также вследствие того, что сама характеристика становится менее определенной.

При статическом нагружении, начиная с некоторых значений температур, фактор времени становится очень существенным. Для разных материалов это явление происходит при совершенно различных температурных режимах. Влияние фактора времени обнаруживается и при нормальных температурах. Для металлов его влияние, из-за незначительности, можно пренебречь. А для органических материалов даже при низких температурах время нагружения имеет существенное значения.

В заключение отметим наиболее важные свойства материалов которые обнаруживаются при их испытаниях. Эти свойства имеют фундаментальное значение при построении физических уравнений механики твердого деформируемого тела.

Упругость - это способность твердого деформируемого тела восстанавливать свою форму и объем после прекращения действия внешних нагрузок.

Пластичность - это свойство твердого деформируемого тела до разрушения необратимо изменять свою форму и объем от действия внешних сил.

Вязкость - это свойство оказывать сопротивление за счет трения происходящего при перемещении элементарных частиц тела относительно друг друга в процессе деформирования. Отметим, что при этом, как показывают результаты экспериментов, сила сопротивления, возникающая за счет внутреннего трения материалов, прямым образом зависит от величины скорости перемещения элементарных частиц относительно друг друга.

Упругость, пластичность и вязкость являются главными физическими свойствами твердого деформируемого тела.

Ползучесть - это явление характеризующееся изменения во времени величин деформаций и напряжений в теле при действии статических нагрузок.

Выносливость - при действии периодически изменяющихся по времени нагрузок, это явление, которое характеризуется чувствительностью и изменениями прочностных свойств материалов в зависимости от числа циклов нагружения.

33

ПРЕДИСЛОВИЕ

Современные базовые учебники по сопротивлению материалов, теории упругости, пластичности [1-3, 5, 7] изложены во внушитель­ных объемах и в основном ориентированы на подробном изложе­нии теории. Это обстоятельство усложняет процесс самостоятель­ного изучения предмета и послужило побудительной причиной подготовки настоящего издания.

В книге в доступной, но достаточно строгой форме изложены основные разделы классического курса сопротивления материалов, теории упругости и пластичности, которые сопровождаются под­робными примерами расчетов, что несомненно должно облегчить процесс самостоятельного освоения предмета.

Учебник написан на основе использования опыта преподавания на кафедре «Сопротивление материалов и строительная механика» Российского государственного открытого технического университета путей сообщения.

При подготовке рукописи учебника автор с благодарностью учел замечания рецензентов книги д.т.н., проф., академика РААСН Александрова А.В. и д.ф.-м.н., проф. Власова Б.Ф.доц., а также доц., к.т.н. Кушнаренко Е.М., доц., к.т.н. Серги­енко В.Н

В настоящем издании книги по сравнению с [6] произведена некоторая перекомпоновка материала, устранены выявленные опечатки. В конце книги добавлен раздел где по тематике каждой главы изложены вопросы для самопроверки, а также семейства задач для самостоятельных и контрольных работ. В тексте наиболее важные определения выделены курсивом.

Все замечания и пожелания будут приняты автором с благодарностью. Письма просим направлять по адресу: 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., 29/14, издательство «Высшая школа» или

125808, Москва, ГСП-47, ул. Часовая, 22/2, РГОТУПС, кафедра «Сопротивление материалов и строительная механика».

1. ВВЕДЕНИЕ

1.1. Задачи и методы сопротивления материалов

Сопротивление материалов - наука о прочности, жесткости и устойчивости элементов инженерных конструкций. Методами со­противления материалов выполняются расчеты, на основании кото­рых определяются необходимые размеры деталей машин и конструкций инженерных сооружений.

В отличие от теоретической механики сопротивление материа­лов рассматривает задачи, в которых наиболее существенными яв­ляются свойства твердых деформируемых тел, а законами движения тела как жесткого целого здесь пренебрегают. В то же время, вслед­ствие общности основных положений, сопротивление материалов рассматривается как раздел механики твердых деформируемых тел.

В состав механики деформируемых тел входят также такие дис­циплины, как: теория упругости, теория пластичности, теория пол­зучести, теория разрушения и др., рассматривающие, по существу, те же вопросы, что и сопротивление материалов. Различие между сопротивлением материалов и другими теориями механики твердо­го деформируемого тела заключается в подходах к решению задач.

Строгие теории механики деформируемого тела базируются на более точной постановке проблем, в связи с чем, для решения задач приходится применять более сложный математический аппарат и проводить громоздкие вычислительные операции. Вследствие этого возможности применения таких методов в практических задачах ограничены.

В свою очередь, методы сопротивления материалов базируются на упрощенных гипотезах, которые, с одной стороны, позволяют решать широкий круг инженерных задач, а с другой, получать при­емлемые по точности результаты расчетов.

При этом главной задачей курса является формирование зна­ний для применения математического аппарата при решении при­кладных задач, осмысления полученных численных результатов и поиска выбора наиболее оптимальных конструктивных решений. То есть данный предмет является базовым для формирования ин­женерного мышления и подготовки кадров высшей квалификации по техническим специализациям.

1.2. Реальный объект и расчетная схема

В сопротивлении материалов, как и во всякой отрасли естест­вознания, исследование вопроса о прочности или жесткости ре­ального объекта начинается с выбора расчетной схемы. Расчетная схема конструкции - его упрощенная схема, освобожденная от не­существенных в данной задаче особенностей. Выбор расчетной схе­мы начинается со схематизации свойств материалов сооружения. В сопротивлении материалов принято рассматривать все материалы как однородную сплошную среду, независимо от их микроструктуры. Под однородностью материала понимают независимость его свойств от величины выделенного из тела объема. И хотя в действительности реальный материал, как правило, неоднороден (уже в силу его молекулярного строения), тем не менее указанная особенность не является существенной, поскольку в сопротивлении материалов рассматриваются конструкции, размеры которых суще­ственно превышают не только межатомные расстояния, но и раз­меры кристаллических зерен.

С понятием однородности тесно связано понятие сплошнос­ти среды, под которым подразумевают тот факт, что материал конструкции полностью заполняет весь отведенный ему объем, а значит в теле конструкции нет пустот .

Под действием внешних сил реальное тело меняет свои геомет­рические размеры. После снятия нагрузки геометрические размеры тела полностью или частично восстанавливаются. Свойство тела восстанавливать свои первоначальные размеры после разгрузки называется упругостью. При решении большинства задач в сопротивлении материалов принимается, что материал конструк­ций абсолютно упругий.

Обычно сплошная среда принимается изотропной, т.е. пред­полагается, что свойства тела, выделенного из нее, не зависят от его ориентации в пределах этой среды. Отдельно взятый кристалл материала анизотропен, но т.к. в объеме реального тела содержится бесконечно большое количество хаотично расположенных кристал­лов, принимается, что материал изотропен.

При выборе расчетной схемы вводятся упрощения и в геомет­рию реального объекта. Основным упрощающим приемом в сопро­тивлении материалов является приведение геометрической формы тела к схемам бруса (стержня) или оболочки. Как известно, любое тело в пространстве характеризуется тремя измерениями. Брусом называется геометрический объект, одно из измерений которого (длина) много больше двух других. Геометрически брус может быть образован путем перемеще­ния плоской фигуры вдоль некоторой кривой, как это показано на рис. 1.1.

Рис. 1.1

Для соединения отдельных частей конструкции между собой и передачи внешней нагрузки на основание на нее накладываются связи, ограничивающие перемещения тех точек сооружения, к ко­торым они приложены. Связи могут ограничивать либо повороты точек сооружения, либо их линейные смещения, либо и то и дру­гое.

1.3. Внешние и внутренние силы.

Метод сечений

Силы являются мерилом механического взаимодействия тел. Если конструкция рассматривается изолированно от окружающих тел, то действие последних на нее заменяется силами, которые на­зываются внешними. Внешние силы, действующие на тело, мож­но разделить на активные (независимые) и реактивные. Реак­тивные усилия возникают в связях, наложенных на тело, и опреде­ляются действующими на тело активными усилиями.

По способу приложения внешние силы делятся на объемные и поверхностные.

Объемные силы распределены по всему объему рассматривае­мого тела и приложены к каждой его частице. В частности, к объ­емным силам относятся собственный вес сооружения, магнитное притяжение или силы инерции. Единицей измерения объемных

сил является сила, отнесенная к единице объема - кН/м3 .

Поверхностные силы приложены к участкам поверхности и являются результатом непосредственного контактного взаимодействия рас­сматриваемого объекта с окружающими телами. В зависимости от соотношения площади приложения нагрузки и общей площади поверхности рассматриваемого тела, поверхностные нагрузки под­разделяются на сосредоточенные и распределенные. К первым от­носятся нагрузки, реальная площадь приложения которых несоиз­меримо меньше полной площади поверхности тела (например, воз­действие колонн на фундаментную плиту достаточно больших раз­меров можно рассматривать как действие на нее сосредоточенных усилий). Если же площадь приложения нагрузки сопоставима с площадью поверхности тела, то такая нагрузка рассматривается как распределенная. Сосредоточенные усилия измеряются в кН, а рас­пределенные - кН/м2.

Взаимодействие между частями рассматриваемого тела характе­ризуется внутренними силами, которые возникают внутри тела под действием внешних нагрузок и определяются силами межмоле­кулярного воздействия.

Величины внутренних усилий определяются с применением метода сечений, суть которого заключается в следующем. Если при действии внешних сил тело находится в состоянии равновесия, то любая отсеченная часть тела вместе с приходящимися на нее внешними и внутренними усилиями также находится в равновесии, следовательно, к ней применимы уравнения равновесия.

Рассмотрим тело, имеющее форму бруса (рис. 1.2, а).

Пусть к нему приложена некоторая система внешних сил Р1, Р2, Р3,..., Рn , удовлетворяющая условиям равновесия, т.е. при дейст­вии указанных внешних сил тело находится в состоянии равнове­сия.

Если рассечь брус сечением А на две части и правую отбросить, то, т.к. связи между частями тела устранены, необходимо действие правой (отброшенной) части на левую заменить некоей системой внутренних сил (PА ), действующей в сечении А (рис. 1.2, б).

Обозначая через Pлев и Рправ суммы внешних сил, приложен­ных соответственно, к левой и правой частям бруса (относительно сечения А), и учитывая, что

Pлев + Рправ = 0 (1.1)

для отсеченных частей бруса получим следующие очевидные соот­ношения:

Рлев + PA = 0; Рправ - PA = 0. (1.2)

Последние соотношения показывают, что равнодействующая внутренних сил РА в сечении А может определяться с равным успе­хом из условий равновесия либо левой, либо правой частей рассе­ченного тела. В этом суть метода сечений.

Внутренние усилия должны быть так распределены по сече­нию, чтобы деформированные поверхности сечения А при совме­щении правой и левой частей тела в точности совпадали. Это тре­бование в механике твердого деформируемого тела носит название условия неразрывности деформаций.

Воспользуемся правилами статики и приведем систему внут­ренних сил РА к центру тяжести сечения А в соответствии с прави­лами теоретической механики. В результате получим главный век­тор сил и главный вектор момента (рис. 1.3). Далее выбира­ем декартову систему координат xyz с началом координат, совпада­ющим с центром тяжести сечения А. Ось z направим по нормали к сечению, а оси x и y расположим в плоскости сечения. Спроекти­ровав главный вектор сил и главный момент на координат­ные оси x, y, z, получаем шесть составляющих: три силы Nz , Qx , Qy и три момента Mz , Mx , My , называемых внутренними силовы­ми факторами в сечении бруса.

Составляющая Nz называется нормальной, или продольной си­лой в сечении. Силы Qx и Qy называются поперечными усилиями. Момент Mz называется крутящим моментом, а моменты Mx и My -изгибающими моментами относительно осей x и y, соответственно.

При известных внешних силах все шесть внутренних силовых

факторов в сечении определяются из шести уравнений равновесия,

которые могут быть составлены для отсеченной части.

Пусть R*, M* - результирующая сила и результирующий момент действующие на отсеченной части тела. Если тело при действии полной системы внешних сил находится в равновесном состоянии, то условия равновесия отсеченной части тела имеет вид:

(1.3)

Последние два векторные уравнения равновесия дают шесть скалярных уравнений в проекциях на декартовых осях координат:

(1.4)

которые в общем случае составляют замкнутую систему алгебраических уравнений относительно шести неизвестных внутренних усилий: Qx, Qy, Nz, Mx, My, Mz.

Следовательно, если полная система внешних сил известна, то по методу сечений, всегда можно определить все внутренние усилия действующих в произвольно взятом сечении тела. Данное положение является основополагающим обстоятельством в механике твердого деформируемого тела.

В общем случае в сечении могут иметь место все шесть силовых факторов. Однако достаточно часто на практике встречаются случаи, когда некоторые внутренние усилия отсутствуют - такие виды нагружения бруса получили специальные названия (табл. 1).

Сопротивления, при которых в поперечном сечении бруса дей­ствует одно внутреннее усилие, условно называются простыми. При одновременном действии в сечении бруса двух и более усилий сопротивление бруса называется сложным.

В заключение заметим, что при выполнении практических рас­четов, для наглядности, как правило, определяются графики функ­ций внутренних силовых факторов относительно координатной оси, направленной вдоль продольной оси стержня. Графики изме­нения внутренних усилий вдоль продольной оси стержня называ­ются эпюрами.

Таблица 1

Простейшие случаи сопротивления

Примечание: + означает наличие усилия, 0 - его отсутствие.

1.4. Напряжения

В окрестности произвольной точки К, принадлежащей сечению А некоторого нагруженного тела, выделим элементарную площадку DF, в пределах которой действует внутреннее усилие D (рис. 1.4, а). Векторная величина

(1.5)

называется полным напряжением в точке К. Проекция вектора полного напряжения на нормаль к данной площадке обознача­ется через s и называется нормальным напряжением.

Проекции вектора на перпендикулярные оси в плоскости площадки (рис. 1.4, б) называются касательными напряже­ниями по направлению соответствующих осей и обозначаются tґ и tґґ. Если через ту же самую точку К провести другую площадку, то, в общем случае будем иметь другое полное напряжение. Совокуп­ность напряжений для множества площадок, проходящих через данную точку, образует напряженное состояние в этой точке.

1.5. Перемещения и деформации

Под действием внешних сил твердые тела изменяют свою гео­метрическую форму, а точки тела неодинаково перемещаются в пространстве. Вектор , имеющий свое начало в точке А недефор­мированного состояния, а конец в т. деформированного состоя­ния, называется вектором полного перемещения т. А (рис. 1.5, а). Его проекции на оси xyz называются осевыми перемещениями и обозначаются u, v и w, соответственно.

Для того, чтобы охарактеризовать интенсивность изменения формы и размеров тела, рассмотрим точки А и В его недеформиро­ванного состояния, расположенные на расстоянии S друг от друга (рис. 1.5, б).

Пусть в результате изменения формы тела эти точки перемес­тились в положение Аў и Вў, соответственно, а расстояние между ними увеличилось на величину DS и составило S + DS. Величина

(1.6)

называется линейной деформацией в точке А по направлению АВ. Если рассматривать деформации по направлениям координатных осей xyz, то в обозначения соответствующих проекций линейной деформации вводятся индексы ex , ey , ez .

Линейные деформации ex , ey , ez характеризуют изменения объема тела в процессе деформирования, а формоизменения тела - угловыми деформациями. Для их определения рассмотрим прямой угол, образованный в недеформированном состоянии двумя отрез­ками ОD и ОС (рис. 1.5, б). При действии внешних сил указанный угол DOC изменится и примет новое значение DўOўCў. Величина

(Р DOC - Р DўOўCў) = g (1.7)

называется угловой деформацией, или сдвигом в точке О в плос­кости СОD. Относительно координатных осей деформации сдвига обозначаются gxy , gxz , gyz .

Совокупность линейных и угловых деформаций по различным направлениям и плоскостям в данной точке образует деформиро­ванное состояние в точке.

1.6. Закон Гука и принцип независимости
действия сил

Многочисленные экспериментальные наблюдения за поведени­ем деформируемых тел показывают, что в определенных диапазо­нах перемещения точек тела пропорциональны действующим на него нагрузкам. Впервые указанная закономерность была высказана в 1776 году английским ученым Гуком и носит название закона Гука.

В соответствии с этим законом перемещение произвольно взя­той точки А (рис. 1.5, а) нагруженного тела по некоторому направ­лению, например, по оси x, а может быть выражено следующим образом:

u = dx P, (1.8)

где Р - сила, под действием которой происходит перемещение u; dxЧ-  коэффициент пропорциональности между силой и перемеще­нием.

Очевидно, что коэффициент dx зависит от физико-механиче­ских свойств материала, взаимного расположения точки А и точки приложения и направления силы Р, а также от геометрических особенностей си­стемы. Таким образом, последнее выражение следует рассматривать как закон Гука для данной системы.

В современной трактовке закон Гука определяет линейную за­висимость между напряжениями и деформациями, а не между си­лой и перемещением. Коэффициенты пропорциональности в этом случае представляют собой физико-механические характеристики материала и уже не связаны с геометрическими особенностями си­-

стемы в целом.

Системы, для которых соблюдается условие пропорционально­сти между перемещениями и внешними силами, подчиняются принципу суперпозиции, или принципу независимости действия сил.

В соответствии с этим принципом перемещения и внутренние силы, возникающие в упругом теле, считаются независящими от порядка приложения внешних сил. То есть, если к системе прило­жено несколько сил, то можно определить внутренние силы, на­пряжения, перемещения и деформации от каждой силы в отдель­ности, а затем результат действия всех сил получить как сумму действий каждой силы в отдельности. Принцип независимости действия сил является одним из основных способов при решении большинства задач механики линейных систем.

2. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ

2.1. Внутренние силы и напряжения

Под растяжением (сжатием) понимают такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают только нормальные силы, а прочие силовые факторы равны нулю.

Рассмотрим однородный прямолинейный стержень длиной l и площадью поперечного сечения F, на двух концах которого прило­жены две равные по величине и противоположно направленные центральные продольные силы Р (рис. 2.1, а). Поместим начало плоской системы координат yz в центре тяжести левого сечения, а ось z направим вдоль продольной оси стержня.

Для определения величин внутренних усилий воспользуемся методом сечений. Задавая некоторое сечение на расстояние z (0 Ј z Ј l) от начала системы координат и рассматривая равновесие левой относительно заданного сечения части стержня (рис. 2.1, б), приходим к следующему уравнению:

P + Nz = 0,

откуда следует, что

Nz = P = const.

Примем для Nz следующее правило знаков. Если Nz направлена от сечения, т.е. вызывает положительную деформацию (растяже­ние), то она считается положительной. В обратном случае - отри­цательной.

Нормальная сила Nz приложена в центре тяжести сечения, яв­ляется равнодействующей внутренних сил в сечении и, в соответст­вии с этим, определяется следующим образом:

.

Но из этой формулы нельзя найти закон распределения нор­мальных s напряжений в поперечных сечениях стержня. Для этого обратимся к анализу характера его деформирования.

Если на боковую поверхность этого стержня нанести прямо­угольную сетку (рис. 2.1, б), то после нагружения поперечные ли­нии а-а, b-b и т.д. переместятся параллельно самим себе, откуда следует, что все поверхностные продольные волокна удлинятся одинаково. Если предположить также, что и внутренние волокна работают таким же образом, то можно сделать вывод о том, что по­перечные сечения в центрально растянутом стержне смещаются параллельно начальным положениям, что соответствует гипотезе плоских сечений, введенной швейцарским ученым Д. Бернулли, гласящей, что плоские сечения до деформации остаются плоскими и после деформации.

Значит, все продольные волокна стержня находятся в одина­ковых условиях, а следовательно, нормальные напряжения во всех точках поперечного сечения должны быть также одинаковы и рав­ны

,

где F - площадь поперечного сечения стержня.

Высказанное предположение о равномерном распределении внутренних сил в поперечном сечении справедливо для участков, достаточно удаленных от мест: резкого изменения пло­щади поперечного сечения (рис. 2.1, в); скачкообразного изменения внешних нагрузок; скачкообразного изменения физико-механических характеристик конструкций. Основанием для такого утверждения служит принцип Сен-Венана, справедливый для любого типа напря­женного состояния и формулируемый следующим образом: осо­бенности приложения внешних нагрузок проявля­ются, как правило, на расстояниях, не превыша­ющих характерных размеров поперечного сечения стержня.

2.2. Удлинение стержня и закон Гука

Рассмотрим однородный стержень с одним концом, жестко за­деланным, и другим - свободным, к которому приложена централь­ная продольная сила Р (рис. 2.2). До нагружения стержня его длина равнялась l -после нагружения она стала равной l + Dl (рис. 2.2). Величину Dl называют абсолютным удлинением стержня.

Если в нагруженном стержне напряженное состояние является однородным, т.е. все участки стержня находятся в одинаковых ус­ловиях, деформация e остается одной и той же по длине стержня и равной

. (2.1)

Если же по длине стержня возникает неоднородное напряжен­ное состояние, то для определения его абсолютного удлинения не­обходимо рассмотреть бесконечно малый элемент длиной dz (рис. 2.2). При растяжении он увеличит свою длину на величину D dz и его деформация составит:

. (2.2)

В пределах малых деформаций при простом растяжении или сжатии закон Гука записывается в следующем виде:

s = E e . (2.3)

Величина Е представляет собой коэффициент пропорциональ­ности, называемый модулем упругости материала первого рода. Из совместного рассмотрения уравнений (2.2) и (2.3) получим:

,

откуда с учетом того, что

и ,

окончательно получим:

. (2.4)

Если стержень изготовлен из однородного изотропного мате­риала с Е = const, имеет постоянное поперечное сечение F = const и нагружен по концам силой Р, то из (2.4) получим

. (2.5)

При решении многих практических задач возникает необходи­мость, наряду с удлинениями, обусловленными действием механи­ческих нагрузок, учитывать также удлинения, вызванные темпера­турным воздействием. В этом случае пользуются принципом неза­висимости действия сил, и полные деформации рассматривают как сумму силовой и температурной деформаций:

, (2.6)

где a - коэффициент температурного расширения материала; t -пе­репад температуры тела. Для однородного стержня, нагруженного по концам продольными силами Р и равномерно нагретого по длине, получим:

. (2.7)

2.3. Пример расчета (задача № 1)

Для стального бруса квадратного сечения сжатого силой Р с учетом собственного веса при исходных данных приведенных ниже, требу­ется (рис. 2.3, а):

1. Определить количество расчетных участков;

2. Составить аналитические выражения для нормальных сил Nz , нормальных напряжений sz и вычислить их значения для каж­дого из участков с учетом их собственных весов;

3. Построить эпюры Nz и sz ;

4. Вычислить перемещение верхнего конца колонны от дейст­вия силы Р и собственного веса.

Исходные данные: Р = 20 кН; l1 = l2 = l3 = 0,4 м; модуль упругости стали Е = 2,1Ч108 кН/м2; F1 = 4Ч10-2 м2; F2 = 9Ч10-2 м2; F3 = 25Ч10-2 м2; g = 78 кН/м3 .

Решение

1. Определение количества участков. Так как нор­мальная сила Nz зависит от величин внешних сил, в данном случае включающих в себя и собственный вес колонны, а последний, в свою очередь, от размеров попе­речного сечения Fi и объемного веса g, то границами участков следует назначать те сечения, в которых приложены внешние сосредоточенные силы и где происходит скачкообразное изменение площади попе­речного сечения или объемного веса материалов конструкций.

Исходя из вышесказанного, учитывая g = const, брус будет иметь три участка:

1 участок - от 0 до сечения В (где приложена сила Р);

2 участок - от сечения В до сечения С;

3 участок - от сечения С до сечения D.

Следует заметить, что при определении нормальных напряже­ний используются те же участки.

Составить аналитические выражения для нор­мальных сил Nz, нормальных напряжений sz и вычис­лить их значения для каждого из участков, с учетом их собственных весов. Для этого воспользуемся методом сече­ний.

1 участок (0 - В) 0 Ј z1 Ј 0,4 м.

Проведя сечение 1 - 1 на расстоянии z1 от начала координат (точка 0), рассмотрим равновесие верхней части. При этом, к рас­сматриваемой части прикладываются в центре ее тяжести собствен­ный вес и нормальная сила , заменяющую действие отброшен­ной нижней части бруса на верхнюю рассматриваемую (рис. 2.3, б). Составив уравнение равновесия рассматриваемой верхней части ко­лонны по оси z , получим:

В свою очередь, собственный вес верхней части колонны оп­ределяется следующим образом:

 кН.

Тогда выражение для нормальной силы будет иметь вид:

 кН,

а для нормальных напряжений :

 кН/м2.

Так как, и линейно зависят от z1 , то для построения их графиков (эпюр) достаточно определить значения этих величин на границах участка, т.е.

при z1 = 0

при z1 = 0,4 м кН;

кН/м2.

Знаки минус при и указывают на то, что принятое на­правление для этих величин не совпадает с действительным, т. к. в принятой схеме продольная сила не растягивает, а сжимает первый участок.

2 участок (В - С) 0,4 м Ј z2 Ј 0,8 м.

Аналогично предыдущему проводим сечение 2-2 на расстоянии z2 (рис. 2.3, в). Для верхней части составляем уравнение равновесия еz = 0 .

В это уравнение войдут: собственный вес первого участка Р1 = = g F1 l1; собственный вес отсеченной части второго участка ; сосредоточенная сила Р = 20 кН, а также сила .

Тогда уравнение равновесия примет вид:

Р1 +  + P +  = 0,

отсюда

 = -P - g F1 l1 -  = -20 - 78Ч4Ч10-2Ч0,4 - 78Ч9Ч10-2 (z2 -0,4) = 
  = -7,02Ч(z2 + 2,62678) кН.

Учитывая постоянство площади поперечного сечения на втором участке, выражение для нормального напряжения может быть запи­сано таким образом:

кН/м2.

Вычислим значения ординат и в граничных сечениях второго участка:

при z2 = 0,4 м кН,

кН/м2;

при z2 = 0,8 м кН,

кН/м2.

3 участок (С - D) 0,8 м Ј z3 Ј 1,2 м.

Составив уравнение равновесия еz = 0 (рис. 2.3, г) для верхней части бруса, получим:

Р1 + Р2 +  + P +  = 0,

откуда

= -P - g F1 l1 - g F2 l2 - g F3 (z3 - l1 - l2)= -20 - 78Ч4Ч10-2Ч0,4 -
- 78Ч9Ч10-2 Ч0,4 - 78Ч25Ч10-2 (z3 - 0,8) = -19,5Ч(z3 + 0,43364) кН.

Выражение для напряжения:

кН/м2.

Вычислим значения ординат и в граничных сечениях третьего участка:

при z3 = 0,8 м (0,8) = -19,5 (0,8 + 0,43364) = -24,056 кН,

(0,8) = -78 (0,8 + 0,43364) = -96,224кН/м2;

при z3 = 1,2 м (1,2) = -19,5 (1,2 + 0,43364) = -31,856 кН,

кН/м2.

3. Построение эпюр Nz и sz По причине линейной зависимости нормальной силы и напряжений от координаты z для построения их эпюр достаточно значений Nz и sz в граничных сечениях каждого из участков (см. рис. 2.3, д, е). Необходимым условием правильности построения этих графиков является выпол­нение следующих требований:

- скачок в эпюре Nz должен находиться в точке приложения сосредоточенного усилия и быть равным по величине значению этой силы;

- скачки в эпюре sz должны совпадать с точками приложения внешней силы Р и изменения площади поперечного сечения ко­лонны.

После анализа полученных эпюр (рис. 2.3, д, е) легко можно убедиться, что построения выполнены правильно.

4. Вычисление перемещения верхнего конца ко­лонны от действия всех сил. Полное перемещение со­гласно закону Гука может быть вычислено по формуле

.

В данном случае это выражение принимает следующий вид:

Так как величины определенных интегралов равны площадям, очерченным соответствующими подынтегральными функциями, то для вычисления перемещений Dli достаточно вычислить площади эпюры Nz на каждом из этих участков и разделить их на Ei Fi . Следовательно,

м.

2.4. Потенциальная энергия деформации

Внешние силы, приложенные к упругому телу и вызывающие изменение геометрии тела, совершают работу А на соответству­ющих перемещениях. Одновременно с этим в упругом теле накап­ливается потенциальная энергия его деформирования U. При дей­ствии динамических внешних нагрузок часть работы внешних сил превращается в кинетическую энергию движения частиц тела К. Приняв энергетическое состояние системы до момента действия данных сил равным нулю, и в условиях отсутствия рассеивания энергии, уравнение баланса энергии можно записать в следующем виде:

А = U + K. (2.8)

При действии статических нагрузок К = 0, следовательно,

А = U. (2.9)

Это означает, что при статическом нагружении работа внешних сил полностью преобразуется в потенциальную энергию деформа­ции. При разгрузке тела производится работа за счет потенциаль­ной энергии деформации, накопленной телом. Таким образом, уп­ругое тело является аккумулятором энергии. Это свойство упругого тела широко используется в технике, например, в заводных пружи­нах часовых механизмов, в амортизирующих рессорах и др. В слу­чае простого растяжения (сжатия) для вывода необходимых расчет­ных зависимостей потенциальной энергии деформации рассмотрим решение следующей задачи.

На рис. 2.4, а изображен растягиваемый силой Р стержень, удлинение которого соответствует отрезку Dl, ниже показан график изменения величины удлинения стержня Dl в зависимости от силы Р (рис. 2.4, б). В соответствии с законом Гука этот график носит линейный характер.

dA = (P + d P)Чd (D l ) = PЧd (D l ) + d P Ч d (D l ) , (2.10)

вторым слагаемым, в силу его малости, можно пренебречь, и тогда

dA = PЧd (D l ). (2.11)

Полная работа равна сумме элементарных работ, тогда, при линейной зависимости “нагрузка - перемещение”, работа внешней силы Р на перемещении Dl будет равна площади треугольника ОСВ (рис. 2.4), т.е.

А = 0,5 РЧDl . (2.12)

В свою очередь, когда напряжения s и деформации e распреде­лены по объему тела V равномерно (как в рассматриваемом случае) потенциальную энергию деформирования стержня можно записать в виде:

. (2.13)

Поскольку, в данном случае имеем, что V = F l, P = s F и s = Е e, то

, (2.14)

т.е. подтверждена справедливость (2.9).

С учетом (2.5) для однородного стержня с постоянным попе­речным сечением и при Р = const из (2.14) получим:

. (2.15)

2.5. Статически определимые и статически
неопределимые системы

Если при рассмотрении заданной системы, находящейся в рав­новесном состоянии от действия заданных внешних нагрузок, все реакции в связях закрепления, а также внутренние усилия в ее эле­ментах, можно определить только по методу сечений, без использо­вания дополнительных условий, то такая система называется ста­тически определимой.

25

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие .............................................................................................

Введение .............................................................................................

Задачи и методы сопротивления материалов ...........................

Реальный объект и расчетная схема...........................................

Внешние и внутренние силы. Метод сечений............................

Напряжения...................................................................................

Перемещения и деформации........................................................

Закон Гука и принцип независимости действия сил................

Растяжение и сжатие ........................................................................

Внутренние силы и напряжения..................................................

Удлинение стержня и закон Гука................................................

Пример расчета (задача № 1)......................................................

Потенциальная энергия деформации.........................................

Статически определимые и статически

неопределимые системы............................................................... 2.6. Напряженное и деформированное состояние

при растяжении и сжатии............................................................

Основные механические характеристики материалов.............

Общие принципы расчета конструкции....................................

Пример расчета (задача № 2)......................................................

Геометрические характеристики поперечных сечений бруса........

Статические моменты сечения....................................................

Моменты инерции сечения..........................................................

Главные оси и главные моменты инерции................................

Пример расчета (задача № 3)......................................................

Кручение.............................................................................................

Кручение бруса с круглым поперечным сечением....................

Кручение бруса с некруглым поперечным сечением.................

Пример расчета (задача № 4)......................................................

Кручение тонкостенного бруса...................................................

Пример расчета (задача № 5)......................................................

Изгиб...................................................................................................

Внутренние усилия в поперечных сечениях бруса....................

Основные дифференциальные соотношения теории изгибе....

Напряжения при чистом изгибе..................................................

Примеры расчетов ......................................................................

5.4.1.Схема I. Консольная балка (задача № 6)..............................

Схема II. Двухопорная балка (задача № 7)..........................

Схема III. Плоская рама (задача № 8)...................................

Касательные напряжения при поперечном изгибе

Главные напряжения при изгибе...............................................

Пример расчета (задача № 9).....................................................

Перемещения при изгибе. Метод начальных параметров.......

Пример расчета (задача № 10)....................................................

Косой изгиб...................................................................................

Пример расчета (задача № 11)..................................................

Внецентренное растяжение и сжатие........................................

Пример расчета (задача № 12)..................................................

Теории прочности.......................................................................

Пример расчета (задача № 13)..................................................

Расчет статически неопределимых систем методом сил................

Стержневые системы. Степень статической

неопределимости...........................................................................

Определение перемещений методом Мора................................

Метод сил......................................................................................

Пример расчета (задача № 14)....................................................

Устойчивость прямых стержней.......................................................

Понятие об устойчивости. Задача Эйлера................................

Границы применимости решения Эйлера

Формула Ясинского.....................................................................

Расчет сжатых стержней на устойчивость.................................

Пример расчета (задача № 15)....................................................

Динамические задачи.........................................................................

Основные определения.................................................................

Колебания системы с одной степенью свободы........................

Пример расчета (задача № 16)....................................................

Соударение твердого тела и системы

с одной степень свободы..............................................................

Пример расчета (задача № 17)....................................................

Прочность при циклических нагрузках..........................................

Основные характеристики цикла и предел усталости.............

Влияние концентраций напряжений, состояния поверхности

и размеров детали на усталостную прочность..........................

Запас усталостной прочности и его определение.....................

Пример расчета (задача № 18)....................................................

Основы теории упругости и пластичности.....................................

Напряженное состояние в точке. Уравнения равновесия......

Определение напряжений на произвольной площадке.

Главные оси и главные напряжения.........................................

Деформированное состояние в точке. Геометрические

уравнения и уравнения неразрывности......................................

Физические уравнения теории упругости для

изотропного тела. Обобщенный закон Гука..........................

Возможные способы решения задач теории упругости.........

Теория предельных напряжений состояний............................

Плоская задача в декартовых координатах............................

Пример расчета (задача № 19)..................................................

Пример расчета (задача № 20)..................................................

Основы теории пластичности.................................................

Пример расчета (задача № 21)................................................

Пластины и оболочки.......................................................................

Теория тонких пластин..............................................................

Пример расчета (задача № 22)..................................................

Прочность толстостенной цилиндрической оболочки

при действии внутреннего и внешнего давлений....................

Пример расчета (задача № 23)..................................................

12. Вопросы для самопроверки, задачи для самостоятельной и

контрольных работ...........................................................................

Введение......................................................................................

Растяжение и сжатие..................................................................

Геометрические характеристики поперечных сечений бруса.

Кручение......................................................................................

Изгиб............................................................................................

Расчет статически неопределимых систем методом сил.........

Устойчивость прямых стержней................................................

Динамические задачи.................................................................

Прочность при цилиндрических нагрузках.............................

Основы теории упругости и пластичности............................

Пластины и оболочки...............................................................

Приложения..............................................................................................

Угольники равнобокие. Сталь прокатная. Сортамент.................

Балки двутавровые. Сталь прокатная. Сортамент.......................

Швеллеры. Сталь прокатная. Сортамент.......................................

3

УКАЗАНИЯ К ИСПОЛЬЗОВАНИЮ ЕДИНИЦ МЕЖДУНАРОДНОЙ СИСТЕМЫ СИ В ЗАДАЧАХ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ

Наиболее часто встречающиеся в Сопротивлении материалов единицы Международной системы, установленные Государ-ственным стандартном России, приведены в табл. А.

Таблица А

Некоторые основные и производные единицы, имеющие специальные названия (м, с, Гц, Н, Па, Дж, Вт), и окончательных результатах расчетов можно увеличивать или уменьшать, используя для этого приставки, указанные в табл. Б.

Таблица Б

Среди производных единиц с большой буквы пишутся те, которые образованы от фамилий ученых (Гц, Н, Па и т.д.).

Производные единицы связаны с основными, например:

1Н = 1кгЧ1м/1с2; 1Па=1Н/1м2; 1Дж=1НЧ1м; 1Вт=1Дж/1с.

Приведем пример использования указанных выше приставок. Модуль упругости для стали Е = 2,1Ч1011Па = 2,1Ч1010 даПа = =2,1Ч109 гПа =2,1Ч108 кПа = 2,1Ч105 МПа = 0,21Ч103 ГПа = 0,21 ТПа.

В некоторых задачах по сопротивлению материалов в исходных данных используются внесистемные единицы, например обороты в минуту или сантиметр в четвертой степени и т.д. Это связано с тем, что на многих работающих сейчас электродвигателях, создающих динамическую нагрузку, обозначено именно количество оборотов в минуту, а в действующих сортаментах на прокат даны геометрические характеристики пока еще в единицах, производных от сантиметра. Переход от этих единиц к системным очевиден. Например:

1см4 = 1(10-2 м)4 = 1Ч10-8 м4;

300 об/мин = 5 об/с = 5Ч2p Гц.

ЛИТЕРАТУРА

1. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивле­ние материалов. - М.: Высшая школа, 1995. - 560 с.

2. Варданян Г.С., Андреев В.И., Атаров Н.М., Горшков А.А. Со­противление материалов с основами теории упругости и пластич­ности. - М.: АСВ, 1995. - 572 с.

Дарков А.В., Шапиро Г.С. Сопротивление материалов. - М.: Высшая школа, 1975. - 654 с.

Минин Л.С., Окопный Ю.А., Радин В.П., Хроматов В.Е. Сборник задач по курсу «Механика материалов и конструкций».- М.: МЭИ, 1998. - 303 с.

5. Смирнов А.Ф. и др. Сопротивление материалов. - М.: Высшая школа, 1975. - 480 с.

6. Саргсян А.Е. Сопротивление материалов, теории упругости и пластичности. Основы теории с примерами расчетов. -  М.: АСВ, 1998. - 240с.

7. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. - М.: Наука, 1970. - 544с.

В реальной практике встречаются такие конструкции при рас­чете которых одних лишь уравнений равновесия оказывается не­достаточно, в связи с чем требуется формулирование дополнитель­ных уравнений, связанных с условиями деформирования конструк­ции.

Системы, в которых количество наложенных связей больше, нежели число независимых уравнений равновесия, называются статически неопределимыми.

По сравнению со статически определимыми системами, в ста­тически неопределимых системах имеются дополнительные связи, которые называются лишними.

Термин “лишние связи” является условным. Эти связи являют­ся лишними с точки зрения расчетных предпосылок. В действи­тельности эти связи создают дополнительные резервы для конст­рукций, как в плане обеспечения её жесткости, так и прочности.

На рис. 2.5, а изображен кронштейн, состоящий из двух стерж­ней, шарнирно скрепленных между собой. В связи с тем, что на конструкцию действует лишь вертикальное усилие Р, а система яв­ляется плоской (т.е. все элементы конструкции и вектор внешних сил лежат в одной плоскости), получается, что усилия в стержнях легко определяются из условий равновесия узла А, т.е.

еx = 0,     еy = 0. (2.16)

Раскрывая эти уравнения, получаем замкнутую систему линей­ных уравнений относительно неизвестных усилий N1 и N2 в кото­рой количество уравнений равно количеству неизвестных:

-N1 - N2 sin a = 0;     -N2 cos a - Р = 0.

Рис. 2.5

Если конструкцию крон­штейна усложнить, добавив еще один стержень (рис. 2.5, б), то усилия в стержнях N1, N2 и N3 прежним способом определить уже не удастся, т.к. при тех же двух уравнениях равновесия (2.16) имеются уже три неиз­вестных усилия в стержнях. В таких случаях говорят, что сис­тема один раз статически неопределима. Разность между числом неизвестных усилий и количеством независимых (значащих) урав­нений равновесия, связывающих эти усилия, называется сте­пенью статической неопределимости рассматриваемой системы.

В общем случае под n-раз статически неопределимой системой понимается система, в которой число неизвестных внешних опорных реакций и внутренних усилий превышает число не­зависимых и значащих уравнений равновесия на n единиц.

Напряженное и деформированное состояние
при растяжении и сжатии

Рассмотрим более подробно особенности напряженного состоя­ния, возникающего в однородном растянутом стержне. Определим напряжения, возникающие на некоторой наклонной площадке, со­ставляющей угол a с плоскостью нормального сечения (рис. 2.6, а).

Рис. 2.6

Из условия еz = 0, записанного для отсеченной части стержня (рис. 2.6, б), получим:

р Fa = s F, (2.17)

где F - площадь поперечного сечения стержня, Fa = F/cos a - пло­щадь наклонного сечения. Из (2.17) легко установить:

р = s сos a. (2.18)

Раскладывая напряжение р по нормали и касательной к на­клонной площадке (рис. 2.6, в), с учетом (2.18) получим:

sa = p cos a = s cos2 a;     ta = p sin a = s sin 2 a . (2.19)

Полученные выражения показывают, что для одной и той же точки тела величины напряжений, возникающих в сечениях, про­ходящих через эту точку, зависят от ориентации этой площадки, т.е. от угла a. При a = 0 из (2.19) следует, что sa = s, ta = 0. При a = , т.е. на продольных площадках, sa = ta = 0. Это означает, что продольные слои растянутого стержня не взаимодействуют друг с другом. Касательные напряжения ta принимают наибольшие зна­чения при a = , и их величина составляет tmax=. Важно отме­тить, как это следует из (2.19), что . Следовательно, в любой точке тела на двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряже­ния равны между собой по абсолютной величине. Это условие является общей закономерностью любого напряженного состояния и носит назва­ние закона парности касательных напряжений.

Теперь перейдем к анализу деформаций в растянутом стержне. Наблюдения показывают, что его удлинение в продольном направ­лении сопровождается пропорциональным уменьшением попереч­ных размеров стержня (рис. 2.7).

Рис. 2.7

Если обозначить:

eпрод = ; eпопер = -, m = -,

то, как показывают эксперименты, m = const для данного материала и является безразмерным коэффициентом Пуассона. Вели­чина m является важной характеристикой материала и определяется экспериментально. Для реальных материалов m принимает значе­ния 0,1 ё 0,45.

При растяжении стержня возникают не только линейные, но и угловые деформации.

Рассмотрим прямой угол АВС (рис. 2.8, а), образованный отрез­ками АВ и АС, в недеформированном состоянии.

Рис. 2.8

При растяжении стержня точки А, В и С займут положение А ў, B ў, C ў соответственно. Величина

ga = РВАС - РА ўB ўC ў

называется угловой деформацией или угловым сдвигом в точке А.

Совместим точки А и А ў и рассмотрим взаимное расположение отрезков АВ и А ўB ў (рис. 2.8, б). На этом рисунке отметим вспомо­гательные точки K и L и прямую n, перпендикулярную отрезку А ўB ў. Из рис. 2.8, б имеем:

eпрод = ; eпопер = ,

откуда с учетом eпрод = получим:

. (2.20)

Для определения wa спроектируем ломаную ВLB ўА ў на ось n DSЧsin wa = BL cos (a + wa) + LB ўsin(a + wa), откуда, учитывая ма­лость угла wa , т.е. sin wa » wa , cos wa » 1, получим:

wa = . (2.21)

В результате совместного рассмотрения (2.20) и (2.21) получим:

wa = .

Откуда

.

Следовательно,

. (2.22)

Сопоставляя выражение ga с выражением ta из (2.17) окон­чательно получим закон Гука для сдвига:

(2.23)

где величина называется модулем сдвига или модулем упругости материала второго рода.

Основные механические характеристики
материалов

Для количественной оценки основных свойств материалов, как

Рис. 2.9

Наибольшее напряже­ние, до которого материал следует закону Гука, назы­вается пределом про­порциональности sП . В пределах закона Гука тангенс угла наклона прямой s = f (e) к оси e определяется величиной Е.

Упругие свойства материала сохраняются до напряжения sУ , называемого пределом упругости. Под пределом упругости sУ  понимается такое наибольшее напряжение, до которого матери­ал не получает остаточных деформаций, т.е. после полной разгруз­ки последняя точка диаграммы совпадает с начальной точкой 0.

Величина sТ называется пределом текучести материала. Под пределом текучести понимается то напряжение, при котором происходит рост деформаций без заметного увеличения нагрузки. Если необходимо различать предел текучести при растяжении и сжатии sТ соответственно заменяется на sТР и sТС . При напряже­ниях больших sТ в теле конструкции развиваются пластические деформации eП , которые не исчезают при снятии нагрузки.

Отношение максимальной силы, которую способен выдержать образец, к его начальной площади поперечного сечения носит на­звание предела прочности, или временного сопротивления, и обоз­начается через, sВР (при сжатии sВС ).

В табл. 2 приводятся значения указанных характеристик (в кН/м2) наиболее распространенных конструкционных матери­алов.

Таблица 2

При выполнении практических расчетов реальную диаграмму (рис. 2.9) упрощают, и с этой целью применяются различные ап­проксимирующие диаграммы. Для решения задач с учетом упру­го-пластических свойств материалов конструкций чаще всего применяется диаграмма Прандтля. По этой диаграмме на­пряжение изменяется от нуля до предела текучести по закону Гука s = Е e, а далее при росте e, s = sТ (рис. 2.10).

Способность материалов получать остаточные деформации но­сит название пластичности. На рис. 2.9 была представлена ха­рактерная диаграмма для пластических материалов.

Рис. 2.10 Рис. 2.11

Противоположным свойству пластичности является свойство хрупкости, т.е. способность материала разрушаться без образова­ния заметных остаточных деформаций. Материал, обладающий этим свойством, называется хрупким. К хрупким материалам относятся чугун, высокоуглеродистая сталь, стекло, кирпич, бетон, природные камни. Характерная диаграмма деформации хрупких материалов изображена на рис. 2.11.

2.8. Общие принципы расчета конструкции

В результате расчета нужно получить ответ на вопрос, удовлет­воряет или нет конструкция тем требованиям прочности и жест­кости, которые к ней предъявляются. Для этого необходимо прежде всего сформулировать те принципы, которые должны быть положе­ны в основу оценки условий достаточной прочности и жесткости.

Наиболее распространенным методом расчета деталей машин и элементов сооружений на прочность является расчет по на­пряжениям. В основу этого метода положено предположение, что определяющим параметром надежности конструкции является напряжение или, точнее говоря, напряженное состояние в точке. Расчет выполняется в следующем порядке.

На основании анализа напряженного состояния конструкции выявляется та точка сооружения, где возникают наибольшие на­пряжения. Расчетная величина напряжений сопоставляется с пре­дельно допустимой величиной напряжений для данного материала, полученной на основе предварительных лабораторных испытаний. Из сопоставления найденных расчетных напряжений и предельных напряжений делается заключение о прочности конструкции.

Указанный метод является не единственным. Например, на практике в некоторых случаях используется метод расчета конст­рукций по разрушающим нагрузкам. В этом методе путем расчета определяется предельная нагрузка, которую может выдержать кон­струкция, не разрушаясь и не изменяя существенно свою форму. Предельная (разрушающая) нагрузка сопоставляется с проектной нагрузкой, и на этом основании делается вывод о несущей способ­ности конструкции в эксплуатационных условиях.

Методы расчета конструкций выбираются в зависимости от условий работы конструкций и требований, которые к ней предъ­являются. Если необходимо добиться наименьших изменений фор­мы конструкции, то производится расчет по допускаемым пе­ремещениям. Это не исключает и одновременной проверки сис­темы на прочность по напряжениям.

При расчете конструкций по напряжениям условие прочности записывается в виде:

smax Ј [s] , (2.24)

где smax - расчетное значение напряжения в точке, где возникают наибольшие напряжения, [s] - допускаемое напряжение.

Величина [s] определяется по формуле:

. (2.25)

Здесь n - число, большее единицы, называемое коэффициен­том запаса по прочности. Для особо ответственных конструкций, для которых требуется не допускать возникновения пластических деформаций, за величину sa принимается sa = sУ . В тех случаях, когда допустимо возникновение пластических деформаций, как правило, принимается sa = sТ. Для хрупких материалов, а в неко­торых случаях и умеренно пластических материалов, принимается sa = sВ . Здесь sВ  - временное сопротивление материала.

Критерий прочности, принятый в методе допускаемых напряжений, а именно, напряжения в точке, не всегда и не полностью характеризует условие наступления разрушения конструкции. В ряде случаев за такой критерий целесообразнее принимать предельную нагрузку, которую может выдержать заданная система, не разрушаясь и несущественно изменяя свою форму.

При определении разрушающей нагрузки для конструкций из пластичного материала применяется схематизированная диаграмма напряжений - диаграмма Прандтля (рис. 2.10). Схематиза­ция диаграммы заключается в предположении, что материал на на­чальном этапе деформирования находится в упругой стадии вплоть до предела текучести, а затем материал обладает неограниченной площадкой текучести. Материал, работающий по такой диаграмме, называется идеально упруго-пластическим. Такая схема­тизированная диаграмма деформирования в большей степени соот­ветствует действительной диаграмме деформирования материала, имеющего ярко выраженную площадку текучести, т.е. пластичным материалам (см. п. 2.7).

Если расчет конструкций ведется по предельной нагруз­ке, то определяющим является выполнение условия

Рmax Ј [P ], (2.26)

где [P ] - допускаемая сила, которая определяется по формуле:

, (2.27)

Здесь Рa - значение внешних нагрузок, при ко­торых происходит разрушение конструкции; n1 - коэффициент за­паса.

В случае расчета конструкции на жесткость необходимо удов­летворять условию

u Ј [u], (2.28)

где u и [u] - расчетное и предельно допустимое значения переме­щения.

Пример расчета (задача № 2)

Абсолютно жесткий брус АЕ (рис. 2.12, а), имеющий одну шар­нирно неподвижную опору С и прикрепленный в точках В, Д и Е тремя тягами из упруго-пластического материала, нагружен пере­менной по величине силой Р. Площадь поперечного сечения тяг F1, F2, F3, модуль упругости и предел текучести материала тяг Е = 2Ч105 МПа, sТ = 240 МПа. Допускаемое напряжение [s]=, где коэффициент запаса прочности n принят равным 1,5.

Требуется:

1. Найти усилия в тягах, реакцию опоры С и угловое смещение (поворот бруса вокруг точки С) как функции от величины силы Р;

2. Определить в процессе увеличения нагрузки Р такую ее вели­чину, при которой напряжение в одной из тяг достигает предела текучести;

3. Определить в процессе увеличения нагрузки Р ее предельную величину, при которой напряжения в трех тягах достигнут предела текучести, реакцию опоры С и соответствующий этому предель­ному состоянию угол;

4. Найти величины несущей способности конструкции из рас­четов по методам допускаемых напряжений и разрушающих нагру­зок при одном и том же коэффициенте запаса прочности. Сопо­ставить результаты и сделать вывод.

Дано: F1 = 2Ч10-4 м2; F2 = 1Ч10-4 м2; F3 = 2Ч10-4 м2; a = 2 м; b = 1 м; c = 1 м; d = 2 м; l1 = 1 м; l2 = 1 м; l3 = 1,2 м.

Решение

1. Найти усилия в тягах, реакции в опоре С и угловое смещение (поворот бруса вокруг т. С), как функции от величины силы Р. Для определения величин усилий в тягах в зависимости от Р применим метод сечений. Сделав сечение по всем тягам и приложив в местах сечений усилия N1, N2 и N3, возникающие в тягах, рассмотрим равновесие остав­шейся части, нагруженной продольными усилиями в тягах N1, N2 и N3 реакциями опоры С (RC и HC) и силой Р (рис. 2.12, б). Составив уравнения равновесия статики для оставшейся части, получим:

1) Sz = 0, НC = 0; (2.29)

2) Sy = 0, -Р + N1 + RC - N2 - N3 = 0; (2.30)

3) SMC = 0, -РЧ3 + N1Ч1 + N2Ч1 + N3Ч3 = 0. (2.31)

Рис. 2.12

Из уравнений равновесия видно, что система дважды стати­чески неопределима, т.к. два уравнения равновесия (2.30) и (2.31) содержат в своем составе четыре неизвестных. Поэтому для реше­ния задачи необходимо составить два дополнительных уравнения совместности деформаций, раскрывающих статическую неопреде­лимость системы.

Для составления дополнительных уравнений рассмотрим де­формированное состояние системы (рис. 2.12, в), имея в виду, что брус абсолютно жесткий и поэтому после деформации тяг останет­ся прямолинейным.

Эти дополнительные уравнения совместности деформаций по­лучим из подобия треугольников ВСВ1~DCD1 и BCB1~ECE1:

    и    .

Решая эти уравнения, получим:

(2.32)

. (2.33)

Выразив деформации тяг по формуле определения абсолютного удлинения:

и подставив эти значения в уравнения (2.32) и (2.33), получим:

(2.34)

. (2.35)

Подставив найденные значения N2 и N3 в уравнение (2.31) оп­ределяем величину N1 :

-PЧ3 + N1Ч1 + 0,5ЧN1Ч1 + 2,5ЧN1Ч3 = 0;     N1=0,3333P.

Зная N1, из уравнений (2.34) и (2.35), находим N2 и N3:

.

Опорную реакцию RC определяем из уравнения (2.30), подста­вив найденные значения N1, N2 и N3:

-P + 0,333P + RC - 0,167P - 0,833P = 0;     RC = 1,667P.

После определения величин усилий в тягах N1, N2, N3 и реак­ции RC необходимо проверить правильность их вычисления. Для этого составим уравнение равновесия статики SМA = 0:

-N1Чa - RC (a + b) + N2 (a + b + c) + N3 (a + b + c + d)  = 0;

     0 = 0.

Следовательно, N1, N2, N3 и RC определены правиль­но.

Угловое смещение бруса (угол j), ввиду его малости, находим как тангенс угла наклона бруса АЕ :

[рад].

2. Определить в процессе увеличения нагрузки Р такую ее величину, при которой напряжение в одной из тяг достигнет предела текучести. Для вы­числения величины Р, при которой напряжение в одной из тяг достигнет предела текучести sT , определим нормальные напряже­ния, возникающие в тягах, учитывая то, что тяги работают на рас­тяжение:

Полученные величины напряжений показывают, что в тяге 3 напряжение достигнет предела текучести раньше, чем в тягах 1 и 2, так как s3 > s1 и s3 > s2. Поэтому, приравняв напряжение s3  пре­делу текучести sT , определим величину Р, при которой нормальное напряжение в тяге 3 достигнет предела текучести sT :

кПа,

откуда

кН.

3. Определить в процессе увеличения нагрузки Р ее предельную величину, при которой напряжения в трех тягах достигнут предела текучести, ре­акцию опоры С и соответствующий этому пре­дельному состоянию угол. При исчерпании несущей спо­собности всех тяг напряжения в них достигнут предела текучести sT . В этом случае предельные усилия, которые возникнут в тягах, будут равны:

 = F1ЧsT  = 2Ч10-4Ч24Ч104 = 48 кH;

 = F2 sT  = 1Ч10-4Ч24Ч104 = 24 кH;

 = F3ЧsT  = 2Ч10-4Ч24Ч104 = 48 кH.

Предельную величину внешней нагрузки, соответствующую ис­черпанию несущей способности, найдем из уравнения (2.31), под­ставив в него предельные значения , , :

-PПР Ч3 + 48Ч1 + 24Ч1 + 48Ч3 = 0; PПР = кН.

Предельную величину реакции определяем из уравнения (2.30):

-72 + 48 +- 24 - 48 = 0;  = 96 кН.

При определении наименьшего угла поворота бруса, соответст­вующего предельному состоянию системы, необходимо знать, в какой из тяг текучесть наступит позже.

Полученные величины напряжений (см. п. 2) показывают, что в тягах 1 и 2 напряжения достигнут предела текучести одновремен­но, но позже, чем в тяге 3. Поэтому предельный угол поворота бруса определяем для момента перехода материала тяг 1 и 2 в плас­тическое состояние:

рад,

или

рад.

4. Найти несущую способность из расчетов по методам допускаемых напряжений и разруша­ющих нагрузок при одном и том же коэффициенте запаса прочности. Сопоставить результаты и сделать вывод. Из предыдущих расчетов (см. п. 2) видно, что текучесть материала раньше появится в тяге 3, т.к. s3 > s1 и s3 > > s2. Поэтому для определения величины грузоподъемности из расчета по методу допускаемых напряжений приравниваем напря­жение в этой тяге s3 = 0,417Ч104 Р к допускаемому напряжению:

кПа,     0,417Ч104 [P] = 16Ч104 кПа,

[P] = кH.

Несущая способность конструкции из расчета по методу раз­рушающих нагрузок получим путем деления ранее полученного значения PПР = 72 кН на коэффициент запаса n1 = 1,5:

кH.

Сравнивая полученные величины, видим, что несущая спо­собность из расчета по методу разрушающих нагрузок больше несу­щей способности из расчета по методу допускаемых напряжений на , что подтверждает известное положение о том, что метод допускаемых напряжений, в отличии от метода разрушающих нагрузок, не позволяет определить полную несущую способность системы. Это объясняется тем, что для статически неопределимых систем, переход одного элемента в пластическую стадию работы, как правило, не означает наступления предель­ного состояния. Переход системы в предельное состояние отождествляется с превращением ее из неизменяемой в геометри­чески изменяемую систему. Известно, что в статически неопреде­лимой системе разрушение “лишних связей” не превращает ее в геометрически изменяемую. Так как реальные сооружения чаще всего представляют собой многократно статически неопределимые системы, материал которых обладает свойством пластичности, по­этому метод предельного равновесия имеет важное значение для раскрытия истинных резервов их несущей способности.

3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ БРУСА

Статические моменты сечения

При решении практических задач возникает необходимость в использовании различных геометрических характеристик попереч­ных сечений бруса. Настоящий раздел посвящен методам их опре­деления. Рассмотрим некоторое поперечное сечение в системе ко­ординат x, y (рис. 3.1) и рассмотрим два следующих интегральных выражения:

(3.1)

где нижний индекс у знака интеграла указывает на то, что интегри­рование ведется по всей площади сечения F. Каждый из этих инте­гралов представляет собой сумму произведений элементарных пло­щадок dF на расстояние до соответствующей оси (x или y). Первый интеграл называется статическим моментом сечения относительно оси x, а второй - относительно оси y.

При выполнении практических расчетов важно знать, как меняются статические моменты сечения при параллельном переносе координатных осей (рис 3.2).

Очевидно, что

x = x1 + a; y = y1 + b. (3.2)

Подставляя (3.2) в (3.1) получим:

40

Рис. 3.1 Рис. 3.2

Величины а и b можно подобрать (причем единственным обра­зом) так, чтобы выполнялись следующие равенства:

bЧF = Sx ;     aЧF = Sy , (3.4)

тогда статические моменты .

Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной. Точка С (xC , yC) пересечения централь­ных осей называется центром тяжести сечения в системе координат (x, y) и определяется из (3.4):

. (3.5)

Далее предположим, что брус имеет составное сечение (рис. 3.3) с общей пло­щадью F. Обозначим через Fk (k = 1, 2, 3,..., n) площадь k-ой области, принадлежащей к составному сечению бруса. Тогда выраже­ние (3.1) можно преобразовать в следующем виде:

, (3.6)

где - статические моменты k-той области относительно осей x и y. Следовательно, статический момент составного сечения равен сумме статических моментов составляющих областей.

3.2. Моменты инерции сечения

Рис. 3.3

(3.7)

Первые два интегральных выраже­ния называются осевыми моментами инерции относительно осей x и y, а третье - центробежным моментом инерции сечения относительно осей x, y.

Для сечений, состоящих из n-числа областей (рис. 3.3), фор­мулы (3.7) по аналогии с (3.6) будут иметь вид:

Рассмотрим, как изменяются моменты инерции сечения при параллельном переносе координатных осей x и y (см. рис. 3.2). Преобразуя формулы (3.7) с учетом выражения (3.2), получим :

(3.8)

Если предположить, что оси x1 и y1 (см. рис. 3.2) являются цен­тральными, тогда и выражения (3.8) упрощаются и принимают вид:

(3.9)

Рис. 3.4

Аналогичным образом можно установить, что .

Для систем, рассматриваемых в полярной системе координат (рис. 3.5, а), вводится также полярный момент инерции:

.

где r - радиус-вектор точки тела в заданной полярной системе ко­ординат.

Вычислим полярный момент инерции круга радиуса R. На рис. 3.5, a показана элементарная площадка, очерченная двумя ра­диусами и двумя концентрическими поверхностями, площадью

dF = r dr dj .

Интегрирование по площади заменим двойным интегрировани­ем:

.

Hайдем зависимость между полярным и осевыми моментами инерции для круга. Из геометрии видно (рис. 3.5, б), что

r2 = x2 + y2,

следовательно,

.

Так как оси x и y для круга равнозначны, то Ix = Iy = .

Полярный момент инерции кольца может быть найден как разность моментов инерции двух кругов: наружного (радиусом R) и внутреннего (радиусом r):

.

3.3. Главные оси и главные моменты инерции

Рассмотрим, как изменяются моменты инерции плоского сече­ния при повороте осей координат из положения x и y к положению u и v. Из рис. 3.5, б легко установить, что

u = y sin a + x cos a;     v = y cos a - x sin a . (3.10)

Из выражений:

с учетом (3.10) после несложных преобразований получим:

(3.11)

Складывая первые два уравнения, получим:

Iu + Iv = Ix + Iy = Ir , (3.12)

где ; Ir - полярный момент инерции сечения, величи­на которого, как видно, не зависит от угла поворота координатных осей.

Дифференцируя в (3.11) выражение Iu по a и приравнивая его нулю, находим значение a = a0 , при котором функция Iu прини­мает экстремальное значение:

. (3.13)

С учетом (3.12) можно утверждать, что при a = a0  один из осе­вых моментов Iu или Iv будет наибольшим, а другой наименьшим. Одновременно при a = a0    Iuv обращается в нуль, что легко установить из третьей формулы (3.11).

Декартовы оси координат, относительно которых осевые мо­менты инерции принимают экстремальные значения, называются главными осями инерции. Осевые моменты инерции относи­тельно главных осей называются главными и определяются из (3.11) с учетом (3.13) и имеют вид:

. (3.14)

В заключение введем понятие радиуса инерции сечения относительно координатных осей x и y - ix и iy , соответственно, которые определяются по формулам:

. (3.15)

3.4. Пример расчета (задача № 3)

Для сечения, составленного из швеллера №20 а, равнобокого уголка (80ґ80ґ8)Ч10-9 м3 и полосы (180ґ10)Ч10-6 м2 (рис. 3.6) требу­ется:

1. Найти общую площадь сечения;

2. Определить центр тяжести составного сечения;

3. Определить осевые и центробежный моменты инерции сече­ния относительно осей, проходящих через его центр тяжести;

4. Найти положение главных центральных осей инерции;

5. Определить величины главных центральных моментов инер­ции сечения и проверить правильность их вычисления;

6. Вычислить величины главных радиусов инерции.

Решение

Из сортамента выписываем все необходимые геометрические характеристики для профилей, входящих в составное сечение. Швеллер № 20 а (ГОСТ 8240-72): hшв = 0,2 м, bшв = 0,08 м, Fшв = 25,2Ч10-4м2, = 1670Ч10-8м4, = 139Ч10-8м4, = 0,0228 м.

Уголок (80ґ80ґ8)Ч10-9 м3 (ГОСТ 8509-72): bуг = 0,08 м, Fуг =  = 12,3Ч10-4 м2, = 73,4Ч10-8 м4, = 116Ч10-8 м4, =30,3Ч10-8 м4, = 0,0227 м.

Полоса bПЧdП = 18Ч1Ч10-4 м2, FП = bПЧdП = 18Ч1Ч10-4 м2 = 18Ч10-4 м2;

м4, = 486Ч10-8 м4.

1. Определение общей площади составного сече­ния. Общая площадь составного сечения определяется по фор­муле:

F = Fшв + Fуг + FП,     F = (25,2 + 12,3+18)Ч10-4 = 55,5Ч10-4 м2.

2. Определить центр тяжести составного сече­ния. В качестве вспомогательных осей для определения положения центра тяжести примем горизонтальную и вертикальную оси xшв и yшв , проходящие через центр тяжести швеллера. Статические моменты площади всего сечения относительно этих осей будут равны:

Координаты центра тяжести вычисляем по формулам:

3. Определить осевые и центробежный моменты инерции сечения относительно осей, проходящих че­рез его центр тяжести. Для определения указанных момен­тов инерции составного сечения воспользуемся формулами, выра­жающими зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей:

(3.16)

(3.17)

(3.18)

В этих формулах расстояние между осями, проходящими через центр тяжести составного сечения, и осями, проходящими через центры тяжести каждой составной части фигуры, а и b (рис. 3.6), в рассматриваемом случае будут равны:

Подставив числовые значения величин в формулы (3.16) и (3.17), получим:

= [1670 + 25,2(-1,7)2 + 73,4 + 12,3(-9,43)2 + 1,5 + 18Ч(8,8)2]Ч10-8 =  = 4305,4Ч10-8 м4.

= [139 + 25,2(1,42)2 + 73,4 + 12,3(-3,13)2 + 486 +18(0,14)2)Ч10-8 =  = 870,1Ч10-8 м4.

При вычислении центробежного момента инерции составного сечения следует иметь в виду, что и равны 0, так как швеллер и полоса имеют оси симметрии, а

,

где a  - угол между осью x и главной осью x0 уголка. Этот угол может быть положительным или отрицатель­ным. В нашем примере a = +45°, поэтому:

Далее, подставив числовые значения в формулу (3.18), получим величину центробежного момента инерции составного сечения:

= [0 + 25,2 Ч (-1,7) Ч 1,42 + 42,85 + 12,3 Ч (-9,43) (-3,13)  + 0 +

   + 18 Ч 8,8 Ч 0,14] Ч10-8 = 367,2Ч10-8 м4.

4. Найти положение главных центральных осей инерции. Угол наклона главных осей инерции, проходящих через центр тяжести составного сечения, к центральным осям инерции xC и yC определим по формуле:

.

Так как угол a получился отрицательным, то для отыскания по­ложения главной оси максимального момента инерции u следует ось x0, осевой момент инерции относительно которой имеет наи­большее значение, повернуть на угол a по ходу часовой стрелки. Вторая ось минимального момента инерции v будет перпендику­лярна оси u.

5. Определить величины главных центральных мо­ментов инерции сечения и проверить правильность их вычисления. Величины главных центральных моментов инерции составного сечения вычисляем по формуле:

Для контроля правильности вычисления величины моментов инерции составного сечения производим проверки.

1-ая проверка: Imax + Imin == const;

Imax + Imin = (4344,55 + 830,95)Ч10-8 = (5175,5)Ч10-8 м4;

= (4305,4 + 870,1)Ч10-8 = (5175,5)Ч10-8 м4.

2-ая проверка: Imax >>> 0;

4344,55 Ч10-8 > 4305,4Ч10-8 > 870,1Ч10-8 > 830,95Ч10-8 м4.

Проверки удовлетворяются, что говорит о правильности вычис­ления моментов инерции составного сечения.

6. Вычислить величины главных радиусов инерции. Величины главных радиусов инерции вычисляем по известным формулам:

4. КРУЧЕНИЕ

4.1. Кручение бруса с круглым поперечным
сечением

Здесь под кручением понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникает только крутящий момент. Прочие силовые факторы, т.е. Nz , Qx , Qy , Mx , My   равны нулю.

Для крутящего момента, независимо от формы поперечного се­чения бруса, принято следующее правило знаков. Если наблюда­тель смотрит на поперечное сечение со стороны внешней нормали и видит момент Mz  направленным по часовой стрелке, то момент считается положительным. При противоположном направлении моменту приписывается отрицательный знак.

При расчете бруса на кручение (вала) требуется решить две ос­новные задачи. Во-первых, необходимо определить напряжения, возникающие в брусе, и, во-вторых, надо найти угловые перемеще­ния сечений бруса в зависимости от величин внешних моментов.

Наиболее просто можно получить решение для вала с круглым поперечным сечением (рис. 4.1 а). Механизм деформирования бруса с круглым поперечным сечением можно представить в виде. Предполагая, что каждое поперечное сечение бруса в результате действия внешних моментов поворачивается в своей плоскости на некоторый угол как жесткое целое. Данное предположение, зало­женное в основу теории кручения, носит название гипотезы пло­ских сечений.

Для построения эпюры крутящих моментов Mz  применим тра­диционный метод сечений - на расстоянии z от начала координат рассечем брус на две части и правую отбросим (рис. 4.1, б). Для оставшейся части бруса, изображенной на рис. 4.1, б, составляя уравнение равенства нулю суммы крутящих моментов SMz  = 0, получим:

Mz = M. (4.1)

Поскольку сечение было выбрано произвольно, то можно сде­лать вывод, что уравнение (4.1) верно для любого сечения вала -крутящий момент Mz  в данном случае постоянен по всей длине бруса.

Далее двумя поперечными сечениями, как это показано на рис. 4.1, а, из состава бруса выделим элемент длиной dz, а из него свою очередь двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами r и r + dr выделим элементарное кольцо, показанное на рис. 4.1, в. В результате кручения правое торцевое сечение кольца повернется на угол dj. При этом образующая цилиндра АВ повернется на угол g и займет положение АВ ў. Дуга BВ ў равна с одной стороны, r dj, а с другой стороны - g dz. Следовательно,

. (4.2)

Если разрезать образовавшуюся фигуру по образующей и раз­вернуть (рис. 4.1, г), то можно видеть, что угол g представляет со­бой не что иное, как угол сдвига данной цилиндрической поверх­ности под действием касательных напряжений t, вызванных дейст­вием крутящего момента. Обозначая

, (4.3)

где Q - относительный угол закручивания. Этот угол представляет собой угол взаимного поворота двух сечений, отнесенный к рас­стоянию между ними. Величина Q аналогична относительному уд­линению при простом растяжении или сжатии стержня.

Из совместного рассмотрения (4.2) и (4.3) и после некоторых преобразований, получим:

g = r Q. (4.4)

Подставляя выражение (4.4) в выражение закона Гука для сдвига (2.23), в данном случае выражение касательных напряжений принимает следующий вид:

t = G Q r, (4.5)

где t - касательные напряжения в поперечном сечении бруса. Пар­ные им напряжения возникают в продольных плоскостях - в осе­вых сечениях. Величину крутящего момента Mz можно определить через t с помощью следующих рассуждений. Момент относительно оси z от дей­ствия касательных напряжений t на элементарной площадке dF равен (рис. 4.2):

dM = t r dF.

Рис. 4.2

. (4.6)

Из совместного рассмотрения (4.5) и (4.6) получим:

. (4.7)

Откуда

. (4.8)

Величина G Ir называется жесткостью бруса при кручении.

Из (4.8), с учетом (4.3), интегрируя полученное выражение по параметру z, получим:

. (4.9)

Если крутящий момент Mz и жесткость G Ir по длине бруса пос­тоянны, то из (4.9) получим:

, (4.10)

где j (0) - угол закручивания сечения в начале системы отсчета.

Для определения выражения напряжений, возвращаясь к формуле (4.5) и исключая из него q, согласно (4.8), получим:

t (r)=. (4.11)

Величина называется полярным моментом сопротивления поперечного сечения бруса в форме сплошного круга радиусом R. Определяется эта величина из следующих соображений:

(4.12)

Если же в брусе имеется внутренняя центральная полость ра­диусом r = , то для кольца

, (4.13)

где с = .

4.2. Кручение бруса с некруглым
поперечным сечением

Определение напряжений в брусе с некруглым поперечным се­чением представляет собой сложную задачу, которая не может быть решена методами сопротивления материалов. Причина заключается в том, что для некруглого поперечного сечения упрощающая гипо­теза плоских сечений, оказывается неприемлимой. В данном случае поперечные сечения существенно искривляются, в результате чего заметно меняется картина распределения напряжений.

Таким образом, при определении углов сдвига, в данном слу­чае, необходимо учитывать не только взаимный поворот сечений, но и деформации сечений в своей плоскости, связанная с искрив­лением сечений.

Задача резко усложняется тем, что для некруглого сечения, на­пряжения должны определяться как функции уже не одного неза­висимого переменного r, а двух - x и y.

Отметим некоторые особенности законов распределения напря­жений в поперечных сече­ниях некруглой формы. Ес­ли поперечное сечение име­ет внешние углы, то в них касательные напряжения должны обращаться в нуль. Если наружная поверхность бруса при кручении свобод­на, то касательные напряже­ния в поперечном сечении, направленные по нормали к контуру также будут равны нулю.

Рис. 4.3

в точке А tA = tmax =, (4.14)

где WК = b b3 - аналог полярного момента сопротивления попереч­ного сечения прямоугольного бруса;

в точке В tB = h tmax , (4.15)

здесь необходимо учесть, что b - малая сторона прямоугольника.

Значения угла закручивания определяется по формуле:

, (4.16)

где IK = a b4 - аналог полярного момента инерции поперечного сечения бруса.

Коэффициенты a, b и h зависят от отношения сторон m = h/b, и их значения приведены в табл. 3.

Таблица 3

Геометрические характеристикинаиболее представительных форм сечений обобщены в табл. 4.

4.3. Пример расчета (задача № 4)

Стальной валик переменного сечения, испытывающего круче­ние, закручивается крутящими моментами, действующими в двух крайних и двух пролетных сечениях. Расчетная схема валика, ее геометрические размеры, величины и точки приложения внешних крутящих моментов указаны на рис. 4.4, а.

Требуется:

1. Построить эпюру крутящих моментов;

2. Найти допускаемую величину момента М;

3. Построить эпюры касательных напряжений по сечениям вала, отметив на сечениях опасные точки;

4. Построить эпюру углов закручивания;

Модуль упругости при сдвиге материала вала G = 8Ч107 кН/м2. Расчетное сопротивление материала вала срезу RC = 105 кН/м2.

Решение

Построить эпюру крутящих моментов. Для опре­деления величины крутящих моментов используется метод сечений. Согласно расчетной схемы (рис. 4.5, а) для I участка (0 Ј z Ј 0,5 м):

    откуда    .

Согласно расчетной схемы (рис. 4.5, б) для участка II (0,5 м Ј Ј z Ј 1,0 м):

    откуда    .

Согласно расчетной схемы (рис. 4.5, в) для участка III (1,0 м Ј Ј z Ј 1,8 м):

    откуда    .

По полученным данным строим эпюру крутящих моментов (рис. 4.4, б).

2. Найти допускаемую величину момента М. Допус­каемая величина момента МP  определяется из условия прочности:

.

Сначала определим моменты сопротивления сечения валика для каждого участка.

I участок (трубчатое сечение) согласно (4.13):

   где ;

м3.

Рис. 4.5

м3.

III участок (прямоугольное сечение):

,

где b - коэффициент, зависящий от отношения сторон прямоуголь­ного сечения h/b (h > b). В данном случае , тогда

м3.

Подсчитаем теперь напряжения по участкам в зависимости от момента М:

.

Из сравнения результатов видно, что наиболее напряженным является участок II, поэтому допускаемая величина момента [M] определяется из зависимости:

откуда

кНЧм.

4. Построить эпюры касательных напряжений по сечениям вала, отметив на сечениях опасные точки. Касательные напряжения в точках поперечного сечения валика определяются по формулам:

для круглого сечения при , t;

для трубчатого сечения при , t;

для прямоугольного сечения (в середине большей стороны) и t1 = g tmax (в середине меньшей стороны).

Подсчитаем моменты инерции сечений валика относительно центра их кручения.

Участок I (трубчатое сечение):

м4.

Участок II (круглое сечение):

м4.

Участок III (прямоугольное сечение):

м4,

где a = 0,243 при h/b = 1/33.

Определим значения напряжений в характерных точках сече­ний.

Участок I (0 Ј z Ј 0,5 м):

при кН/м2 = 77,5 МПа;

при кН/м2 =97,0МПа.

Участок II ( 0,5 м Ј z Ј 1,5 м):

при 

при кН/м2 = 100,0 Мпа.

Участок III (1,0 м Ј z Ј 1,8 м): в середине большей стороны

кН/м2 = 86,8 МПа,

в середине меньшей стороны

t3 = g tmax = 0,906Ч86,7 = 78,6 МПа.

где g = 0,906 при h/b = 1,33.

По полученным данным строятся эпюры напряжений, приведенные на рис. 4.6.

4. Построить эпюру углов закручивания. Угол за­кручивания на i-ом участке вала в соответствии с (4.10) опре­деляется:

,

где- угол закручивания на правом конце (i-1)-го участка (для первого участка - начальный угол закручивания вала); li - координата начала i-го участка.

Так как, в данном случае в пределах каждого из трех участков крутящие моменты и жесткости на кручение GIr постоянны, то эпюры углов закручивания на каждом из участков будут линейны. В связи с этим, достаточно подсчитать их значения лишь на границах участков. Приняв, что левый конец вала защемлен от поворота, т.е. j (0) = 0, получим:

рад;

рад;

рад.

По полученным данным строим эпюру углов закручивания j (рис. 4.4, в). Сравнивая эпюры t и j, можно отметить очевидную закономерность их изменения по оси z, вытекающую из расчетных формул.

65

Sy = -P - qЧ5 + RA + RB = 0;     -10 - 20Ч5 + 40 + 70 = 0;

-110 + 110 = 0;     0 = 0.

Удовлетворение этого уравнения говорит о правильности вы­числения величин и направления опорных реакций.

Определение количества участков

Учитывая, что границами участков являются точки приложения внешних сил и опорных реакций, а также сечения, где распределенная нагрузка меняется скачкообразно. Поэтому заданная балка имеет че­тыре участка: I участок - КА; II участок - АС; III участок - СВ и IV участок - ВD (рис. 5.13, б).

Составление аналитических выражений Qy, Mx и определение значений их в характерных сечениях каждого участка

Поместив начало системы координат в центре тяжести крайнего левого поперечного сече­ния балки, и рассекая ее в пределах участка I, рассмотрим равнове­сие левой части балки длиной z1 (рис. 5.14, а). Составив уравнения равновесия Sy = 0 и для этой части, найдем аналитиче­ские выражения изменения Qy и Mx на участке I, где z1 изменяется в пределах 0 Ј z1 Ј 1 м:

Sy = 0, -- P = 0,    = -P (постоянная величина);

, -- PЧz1 = 0,    = -PЧz1 (уравнение прямой линии).

Знак “минус” у говорит о том, что в этом сечении возни­кает поперечная сила, действующая в направлении, обратном показанному на рис. 5.14, а, а у - что в сечении будет возникать изгибающий момент, растягивающий верхние волокна, а не ниж­ние, как показано на рис. 5.14, а. Для определения величин и в характерных сечениях этого участка подставим значения z1 в полученные аналитические выражения:

при z1 = 0      = -10 кН, = -10Ч0 = 0;

при z1 = 1 м      = -10 кН, = -10Ч1 = -10кНЧм.

Проведя сечение в пределах участка II, рассмотрим равновесие левой отсеченной части балки (рис. 5.14, б) и из уравнений равно­весия Sy = 0 и найдем аналитические выражения для и на этом участке, где z2 изменяется в пределах 1 м Ј Ј z2 Ј 3 м:

Sy = 0,    -- P + RA = 0,   = RA - P (постоянная величина);

, -- PЧz2 + RA (z2 - 1) = 0,

= RA (z2 - 1) - PЧz2 (уравнение прямой линии).

Подставив в полученные выражения значения z2 , соответству­ющие граничным сечениям участка II, определим величины и , возникающие в этих сечениях:

при z2 = 1 м = 40 - 10 = 30 кН,

= 40Ч(1 - 1)-10Ч1 = -10 кНЧм;

при z2 = 3 м = 30 кН, = 40Ч(3 - 1) - 10Ч3 = 50 кНЧм.

Сделав сечение в пределах участка III, составив и решив урав­нения равновесия Sy = 0 и для левой отсеченной части (рис. 5.15), получим аналитические выражения изменения Qy и Mx на участке III, где z3 изменяется в пределах 3 Ј z3 Ј 7 м:

Sy = 0, -- P + RA - qЧ(z3 - 3) = 0,

= RA - P - qЧ(z3 - 3) -уравнение прямой;

, ,

- уравнение параболы.

Рис. 5.15

= 40Ч(3 - 1)-10Ч3 - = -50 кНЧм;

при z3 = 7 м = 40 - 10 - 20Ч(7 - 3) = -50 кН,

= 40Ч(7 - 1) - 10Ч7 -= 10 кНЧм.

Как видно, поперечная сила на этом участке принимает в некотором сечении нулевое значение и меняет знак при прохож­дении через него (рис. 5.13, в). Поэтому в сечении, где =
= 0, будет экстремальное значение изгибающего момента. Для его определения найдем величину z0 , при котором = 0. Приравняв выражение для к нулю, получим:

RA -P - qЧ(z0 - 3) = 0,     м.

Подставив найденное значение z0 = 4,5 м в выражение для , найдем величину экстремального значения изгибающего мо­мента на этом участке Mmax = 72,5 кНЧм.

Для получения аналитических выражений изменения Qy и Mx на участке IV целесообразно начало координат перенести в сечение в и рассматривать равновесие правой отсеченной части, т.к. в этом случае вследствие меньшего количества внешних сил, приложенных к правой части балки, аналитические выражения будут проще по своему виду, а вычисление ординат менее трудоемко.

Рис. 5.16

Sy = 0, -- qЧz4 = 0, = qЧz4 - (прямая линия);

,   ,    - (парабола).

В граничных сечениях в и В участка IV ординаты эпюр Qy и Mx :

при z4 = 0 = 0, = 20 кНЧм;

при z4 = 1 м = 20Ч1 =20 кН, кНЧм.

Так как величина на участке IV изменяется по закону квадратной параболы, то для уточнения ее очертания надо опреде­лить ординату эпюры Mx в каком-нибудь промежуточном сечении. Например, при z4 = 0,5 м, где ордината будет равна:

кНЧм.

Построение эпюр Qy и Mx для всей балки

Откладывая перпендикулярно от оси абсцисс в удобном для пользования масштабе значения Qy и Mx , возникающие в харак­терных и промежуточных сечениях каждого участка, и соединяя концы полученных ординат линиями, соответствующими законам изменения Qy и Mx на этих участках, строим эпюры Qy и Mx для всей балки (рис. 5.13, в, г).

2.1. Руководствуясь эпюрой Mx показать приблизи­тельный вид изогнутой оси балки. Анализируя эпюру Mx (рис. 5.13, г) видим, что на участке КО растянуты верхние волокна, и поэтому на этом участке изогнутая ось балки будет иметь вы­пуклость вверх. На участке ОD растянуты нижние волокна, и изо­гнутая ось балки будет иметь выпуклость вниз. Вследствие этого под т. О, где Mx = 0, будет точка перегиба. Учитывая все сказанное и то, что прогибы в опорных сечениях равны нулю, строим при­близительный вид изогнутой балки (рис. 5.13, д).

2.2. Подбор поперечного сечения балки. Опасным явля­ется сечение Е, где возникает наибольший по абсолютной величи­не Mmax = 72,5 кНЧм. Двутавровое сечение балки подбираем из ус­ловия прочности при изгибе при расчетном сопротивлении мате­риала RH = 200Ч103 кН/м2 (сталь):

.

Откуда требуемый момент сопротивления Wx равен:

м3 .

По сортаменту (ГОСТ 8239-72) принимаем двутавр № 27 с Wx = 37,1Ч10-5 м3. В этом случае при проверке прочности получа­ется недонапряжение, но оно будет меньше 5, что допускается СНиП при практических расчетах.

5.4.3. Схема III. Плоская рама (задача № 8)

Заданная плоская стержневая система (рис. 5.17, а), элементы которой представляют собой прямолинейные стержни, жестко сое­диненных между собой, называется рамой. При произвольном характере нагружения, в поперечных сечениях элементов заданной системы возникают следующие три силовых фактора: поперечная сила Q, изгибающий момент M и продольная сила N. Главной от­личительной особенностью рамной системы от других стержневых систем является то, что в деформированной состоянии угол сопря­жения между различными элементами равен углам сопряжения элементов до нагружения системы.

Правило знаков для Qy , Mx и Nz и порядок построения их эпюр для таких систем остаются прежними.

Так как заданная система имеет только три внешние связи (вертикальную и горизонтальную в т. D и горизонтальную в т. А), следовательно, при общем характере нагружения возникает всего три опорные реакции. Как нам уже известно, для плоских систем можно воспользоваться только тремя уравнениями равновесия ста­тики для определения опорных реакций, поэтому заданная система является статически определимой.

Построить эпюры Qy, Mx и Nz.

Определение опорных реакций. Составив уравнения равновесия для всей рамы и решив их, получим:

Sy = 0,     RD = 0;

SMD = 0,    -HA Ч8 + РЧ4 + qЧ4Ч2 = 0,    кН;

SMA = 0,      HD Ч8 - РЧ4 - qЧ4Ч6 = 0,    кН.

Проверка: Sx = 0; HA + HD - Р - qЧ4 = 0;

4 + 8 - 4 - 2Ч4 = 0;    12 - 12 = 0;    0 = 0.

Уравнение равновесия превращается в тождество, что говорит о правильности вычисления опорных реакций.

Определение количества участков

Так как, в рамах границами участков являются точки приложе­ния сил и точки изменения направления оси элементов системы, то заданная система имеет три участка: участок I - АВ, участок II -ВС, участок III - СD (рис. 5.13, б).

Составление аналитических выражений Qy, Mx и Nz и оп­ределение их значений в характерных сечениях каждого участка

Определение внутренних силовых факторов в сечениях рам производится также с помощью метода сечений. Однако при вы­полнении разрезов всегда следует выяснить, какую из частей рамы считать левой, а какую правой. Для этого предполагают, что обход рамы ведется слева направо, т.е. от А к В, от В к С, от С к D. При этом наблюдение ведут с нижней стороны участков, находясь ли­цом к оси участков.

Участок I (0 Ј z1 Ј 4 м) (рис. 5.18).

Рис. 5.18

Sy = 0,     -HA -=0,     = - HA - const;

,  - HAЧz1 - = 0,  = - HAЧz1 -уравнение прямой;

Sz = 0, = 0 - нормальная сила отсутствует.

Величины Qy , Mx и Nz  в граничных сечениях участка будут равны:

при z1 = 0 = -4 кН, = 0, = 0;

при z1 = 4 м = -4 кН, = -4Ч4 = -16кНЧм,    = 0.

Участок II (0 Ј z2 Ј 4 м) (рис. 5.19).

Рис. 5.19

Sy = 0, = 0;

,    -- HAЧ4 = 0,
= - HAЧ4 = -4Ч4 = -16 кНЧм;

Sz = 0, HA + = 0, = - HA = -4 кH.

Знак “минус” перед говорит о том, что элемент ВС сжат, а не растянут. Из полученных уравнений видно, что на участке II по­перечная сила равна нулю, а изгибающий момент и нормальная сила постоянны.

Участок III (0 Ј z3 Ј 4 м) (рис. 5.20). Приняв начало координат в сечении D и сделав разрез в пределах этого участка, рассмотрим равновесие правой отсеченной части длиной z3 . Составив урав­нения равновесия Sy = 0; = 0 и Sz = 0 и решив их, полу­чим:

Рис. 5.20

, + HD Чz3 - ,

= -HD Чz3 + - уравнение квадрат­ной параболы;

Sz = 0, Nz = 0.

Ординаты эпюр найдем из полученных выражений, подставив в них значения z3 , соответствующие граничным сечениям участка:

при z3 = 0 = 8 кН, = 0, = 0;

при z3 = 4 м     = 8 - 2Ч4 =0,     = -8Ч4 += -16 кНЧм, = 0.

Для уточнения очертания квадратной параболы определим величину при z3 = 2 м:

кНЧм.

Построение эпюр Qy , Mx и Nz для бруса с ломанной осью (рамы)

Отложив в масштабе перпендикулярно к оси каждого элемента рамы полученные значения Qy , Mx , Nz в граничных и проме­жуточных сечениях участка и соединяя концы ординат линиями, соответствующими выражениям Qy , Mx и Nz , строим их эпюры (рис. 5.17, в, г, д).

Правильность построения эпюр внутренних усилий подтверж­дается на основе статической проверки, заключающейся в том, что условия равновесия рамы (Sx є 0; Sy є 0; SM є 0;), как в целом, так и любой ее отсеченной части, под воздействием внешних нагрузок и усилий, возникающих в проведенных сечениях, соблюдаются тождественно.

88

5. ИЗГИБ

5.1. Внутренние усилия в поперечных сечениях бруса

Под изгибом понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникают изгибающие моменты Mx или My . Если изгибающий момент в сечении является единст­венным силовым фактором, то изгиб называется чистым (рис. 5.1, а).

В тех случаях, когда в поперечных сечениях бруса наряду с изгибающим моментом возникают и поперечные силы изгиб назы­вается поперечным. Брус, работающий в основном на изгиб, часто называют балкой. В дальнейшем будем рассматривать такие случаи изгиба балки, при которых, во-первых, поперечное сечение балки имеет хотя бы одну ось симметрии, и, во-вторых, вся нагруз­ка лежит в плоскости, совпадающей с осью симметрии балки. Та­ким образом, одна из главных осей инерции лежит в плоскости изгиба, а другая перпендикулярна ей.

Для того, чтобы правильно ориентироваться в вопросах, связан­ных с расчетом бруса на изгиб, необходимо прежде всего научиться определять законы изменения внутренних силовых факторов, т.е. научиться строить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил.

Предварительно рассмотрим три основных типа опорных связей балки с основанием:

1. Шарнирно-подвижная опора (рис. 5.1, б - левая опора бал­ки), ограничивающая лишь вертикальное перемещение опорного узла.

2. Шарнирно-неподвижная опора (рис. 5.1, б - правая опора балки), ограничивающая вертикальное и горизонтальное перемеще­ния опоры.

3. Жесткая заделка (рис. 5.1, а - опора балки на левом краю), не допускающая поворота и перемещений по вертикали и горизон­тали сечения балки, примыкающего к опоре.

По запрещенным направлениям во всех этих типах опор воз­никают соответствующие реакции.

Рассмотрим характерный пример (рис. 5.2, а) и установим не­обходимые правила. Решение задачи, как правило, начинается с определения полной системы внешних сил. Для этого отбросим опоры и заменим их соответствующими реакциями (рис. 5.2, б), выполняющими ту же роль, что и опорные закрепления.

Заданная система статически определима, следовательно, из ус­ловий равновесия системы, т.е. равенства нулю суммы моментов всех сил относительно шарнирных опор (в шарнирах нет ограниче­ний поворота сечений балки, поэтому изгибающих моментов не возникает) Sm (A) = 0 и Sm (В) = 0, определяем вертикальные реакции в опорах:

. (5.1)

Для определения НА имеем: откуда НА =0. Для проверки правильности вычислений воспользуемся усло­вием равенства нулю суммы всех вертикальных сил Sy = 0, откуда получим

,     0 = 0.

Для определения внутренних силовых факторов - изгибающего момента М (z) и поперечной силы Q (z) как функций от продоль­ной координаты z, воспользуемся методом сечений. Для полу­чения этих зависимостей балку разбивают на участки, границами которых являются следующие точки: начало и конец балки; точки приложения сосредоточенных усилий; начало и конец действия распределенных усилий; сечения, в которых скачкообразно изменя­ется жесткость балки; в точках, где происходит изменение ориен­тации элементов, если имеем дело с стержневой системой со сложной структурой.

Рис. 5.3

Для поперечных сил, независимо от направления координатных осей, устанавливается следующее правило знаков: если результиру­ющая поперечная сила Qy вращает рассматриваемую часть балки по ходу часовой стрелки, то она считается положительной, в обратном случае - отрицательной (рис. 5.3, б).

Из условия равновесия SMx = 0; Sy = 0 отсеченной части системы, расположенной левее от сечения z1 (первый участок), (см. рис. 5.2, в), получим:

Mx (z1) = Ra Чz1;     Qy = Ra . (5.2)

Для определения Mx и Qy на втором участке рассмотрим рав­новесие отсеченной части балки, расположенной правее от сечения z2 (см. рис. 5.2, б), т.е. SMx = 0; Sy = 0 откуда и определим:

Mx (z2) = Rb (a + b - z2);     Qy = - Rb . (5.3)

Эпюры Mx и Qy изображены на рис. 5.4. Заметим, что эпюры изгибающих моментов Mx , как и поперечных сил Qy строятся на оси бруса, однако в отличие от эпюры поперечных сил знак момента не указывается, а ординаты изгибающего момента откла­дываются co стороны растянутых волокон.

5.2. Основные дифференциальные соотношения
теории изгиба

Пусть брус нагружен произвольным образом распределенной нагрузкой q = f (z) (рис. 5.5, а).

Выделим из бруса элемент длиной dz и приложим по его краям положительные внутренние усилия (рис. 5.5, б). В пределах малого отрезка dz нагрузку q можно считать распределенной равномерно. Приравняем нулю сумму проекций всех сил на вертикальную ось y и сумму моментов всех сил относительно поперечной оси x, прохо­дящей через точку С (рис. 5.5, б), получим:

Qy + q dz - Qy - d Qy = 0 ;

Mx + Qy dz + q dzЧdz/2 - Mx - d Mx = 0.

Производя упрощения и отбрасывая величины высшего поряд­ка малости, получим:

(5.4)

откуда

. (5.5)

Из (5.4) следует, что при q = const функция Qy будет линей­ной, а функция Mx - квадратичной. Если на каких-то участках бруса распределенная нагрузка отсутствует, т.е. q = 0, то получим, что Qy = const, а Mx является линейной функцией от z.

В сечениях, где приложена сосредоточенная сила, эпюра Qy претерпевает скачок на величину внешней силы. И наконец, в тех сечениях, где Qy принимает нулевое значение и меняет знак, функция Mx достигает экстремальных значений.

5.3. Напряжения при чистом изгибе

Рассмотрим наиболее простой случай изгиба, называемый чис­тым изгибом. Как было отмечено выше, под чистым изгибом понимается такой вид сопротивления, при котором в поперечных сечениях бруса возникают только изгибающие моменты, а попе­речные силы равны нулю. Для тех участков бруса, где соблюдается данное условие, изгибающий момент, согласно второго выражения (5.4), вдоль продольной оси z принимает постоянное значение. Так как в любом сечении стержня при чистом изгибе Mx(z) = const, то для однородного бруса постоянного поперечного сечения изменение кривизны постоянно вдоль оси z. Под действием изгибающих мо­ментов ось бруса искривляется. Исходя из этого, ось бруса прини­мает форму дуги окружности с радиусом кривизны r (рис. 5.6). В данном случае с высокой степенью точности справедлива гипотеза плоских сечений. Следовательно, точки, расположенные до изгиба в плоскости поперечного сечения бруса, в результате изгиба пере­местятся в пространстве таким образом, что их совокупность снова образует плоскость.

Процесс формирования деформаций при чистом изгибе может рассматриваться как результат поворота плоских поперечных сече­ний друг относительно друга.

Рассмотрим два смежных сечения, отстоящих один от другого на расстоянии dz (рис. 5.6).

В результате изгиба эти сечения наклонятся, образуя между со­бой угол d Q, в связи с чем верхние волокна удлиняются, а ниж­ние - укоротятся. Очевидно, что при этом существует слой, длина которого не изменилась. Назовем его нейтральным слоем и обозначим отрезком СD. При этом CD = CўDў= dz = rdQ. Произвольный отрезок АВ, расположен­ный от СD на расстоянии y, в результате изгиба удлинится на величину A ўB ў - AB. С учетом построений, изображенных на рис. 5.6, легко определить величину его линейной деформации:

Если предположить, что продольные волокна не давят друг на друга, то каждое из них будет находиться в условиях простого растяжения - сжатия. Тогда переход от деформаций к нормальным напряжениям s можно осуществить посредством закона Гука:   (5.7)

Рис. 5.7

.

Как известно, последний интеграл представляет собой статиче­ский момент сечения относительно нейтральной линии (оси x). Статический момент равен нулю, значит, нейтральная линия про­ходит через центр тяжести сечения.

Выразим момент внутренних сил относительно нейтральной оси Mx через s. Очевидно, что

. (5.8)

C учетом выражения (5.7) получим:

.

Откуда

, (5.9)

где - кривизна нейтрального волокна; EIx - жесткость бруса.

Из формулы (5.7), исключая 1/r, окончательно получим:

. (5.10)

Откуда следует, что нормальные напряжения s в поперечном сече­нии бруса при его изгибе изменяются по линейному закону в зависимости от координаты y и принимают максимальное значение на уровне крайних волокон (при y = ymax):

,

где  - момент сопротивления сечения.

Энергия упругих деформаций бруса при изгибе V определяется работой момента Mx на соответствующем угловом перемещении d Q:

, с учетом и ,

окончательно получим

. (5.11)

5.4. Примеры расчетов

Для статически определимых систем: схемы I (консольная бал­ка, рис. 5.8, а), схемы II (двухопорная балка с консолями, рис. 5.13) и схемы III (плоской рамы в виде ломаного бруса, рис. 5.17) при последовательном их рассмотрении требуется:

1. Построить эпюры Mx и Qy для всех схем и эпюру Nz  для схемы III;

2. Руководствуясь эпюрой Mx , показать на схемах I и II приб­лизительный вид изогнутой оси балки. По опасному сечению подо­брать размеры поперечного сечения:

а) для схемы I - прямоугольное hґb при расчетном сопротив­лении RH = 16Ч103 кН/м2 (клееная древесина); h:b = 1,5;

б) для схемы II - двутавровое (ГОСТ 8239-72) при расчетном сопротивлении RH = 200Ч103 кН/м2 (сталь);

Решение

5.4.1. Схема I. Консольная балка (задача №6)

Учитывая особенности рассматриваемой системы (рис. 5.8, а), чтобы исключить необходимость определения опорных реакций, достаточно применяя метод сечений, последовательно рассмотреть те отсеченные части системы от заданного сечения, в котором отсутствует опорное сечение.

Построить эпюры Qy и Mx . Для построения эпюр Qy и Mx определяем количество участков, затем, используя метод сечений, составляем аналитические выражения изменения Qy и Mx в зависимости от текущей абсциссы z для каждого участка.

Определение количества участков балки

Границами между двумя смежными участками, как правило, являются места расположения тех сечений, где происходит скачкообразное изменение: физико-механических характеристик материала конструкций; геометрических характеристик поперечных сечений (формы и/или размеров), а также внешних нагрузок. В данном случае, рассматриваемая балка, имеющая постоянное поперечное сечение (рис. 5.8, б) имеет три участка: участок I - DС, участок II - СВ, участок III - ВА.

Составление аналитических выражений Qy и Mx и определение значений в характерных сечениях

Проведя сечение I-I, рассмотрим равновесие правой отсечен­ной части балки длиной z1, приложив к ней все действующие спра­ва от сечения заданные нагрузки и внутренние силовые факторы Qy и Mx , возникающие в сечении, которые заменяют действие от­брошенной части балки (рис. 5.9). При этом, предполагаем, что изображенные на рисунке внутренние силовые факторы положи­тельны.

Составив уравнения равновесия Sy = 0 и = 0 для этой части балки и решив их, найдем выражения для и в зави­симости от z1 на участке I (0 Ј z1 Ј 1 м):

Sy = 0,  = 0;

, + m = 0, = -m = -10 кНЧм.

Полученные выражения показывают, что на участке I и - const. Знак “минус” у говорит о том, что момент в сече­нии I-I вызывает растяжение верхних, а не нижних волокон, как это показано на рис. 5.9.

Участок II (1 м Ј z2 Ј 2 м).

Составим уравнения Sy = 0 и для отсеченной сече­нием II-II правой части балки (рис. 5.10) и определим из них и :

Sy = 0,  кН;

, + m - P (z2 - 1) = 0, = -m + P (z2 - 1) .

Из полученных выражений для и видно, что на уча­стке II величина постоянна, а величина изменяется в за­висимости от z2 по закону прямой линии. Знак “минус” у показывает, что в сечении II-II возникает поперечная сила, дейст­вующая в направлении, обратном показанному на рис. 5.10.

Теперь, подставляя значения z2 для характерных сечений участ­ка II в полученные аналитические выражения, определим величи­ны и , возникающие в этих сечениях, т.е. ординаты эпюр Mx и Qy в точках С и В (рис. 5.8, б).

при z2 = 1 м; = -30 кН;    = -10 + 30 (1 - 1) = -10 кНЧм;

при z2 = 2 м; = -30 кН;    = -10 + 30 (2 - 1) = 20 кНЧм.

Участок III (2 м Ј z2 Ј 4 м).

Составим уравнения равновесия Sy = 0 и для отсе­ченной сечением III-III правой части балки (рис. 5.11) и, решив их, получим,

Sy = 0, ;

, + m - P (z3 - 1) + 0,5 q (z2 - 2)2 = 0,

= -m + P (z3 - 1) - 0,5 q (z2 - 2)2 .

Таким образом, вели­чина на участке III изменяется по закону прямой линии, а вели­чина - по закону квадратной параболы.

Рис. 5.11

При z3 = 2 м = -30 + 20Ч(2 - 2) = - 30 кН;

= -10 + 30 (2 - 1) - 0,5Ч20Ч(2 - 2)2 = 20 кНЧм.

При z3 = 4 м = -30 + 20Ч(4 - 2) = 10 кН;

= -10 + 30 (4 - 1) - 0,5Ч20Ч(4 - 2)2 = 40 кНЧм.

Так как, поперечная сила в пределах участка меняет знак, т.е. имеет промежуточное нулевое значение (рис. 5.8, в), то в этом се­чении возникает экстремальное значение изгибающего момента. Для определения его величины вначале найдем значение z0 , при котором = 0. Для этого, приравняв выражение для нулю, получим:

-P + q (z0 - 2) = 0,    м.

Подставив найденное значение z0 = 3,5 м в аналитическое вы­ражение изменения , вычислим величину Mmax:

кНЧм.

Построение эпюр Qy и Mx для всей балки

Отложив перпендикулярно к оси абсцисс (линии, параллельной оси балки) в удобном для пользования масштабе вычисленные зна­чения Qy и Mx в характерных и промежуточных сечениях каждого участка и соединяя концы полученных ординат линиями, соответ­ствующими законам изменения Qy и Mx на каждом участке, по­строим эпюры Qy и Mx для всей балки (рис. 5.8, в, г). При этом положительные ординаты эпюры Qy откладываются вверх, а отри­цательные - вниз по оси абсцисс. Ординаты же эпюр Mx отклады­ваются со стороны растянутого волокна. На эпюрах Qy обязательно указываются знаки, а на эпюре Mx знаки можно не ставить.

Проверка правильности построения эпюр Qy и Mx

Рис. 5.12

кН.

При этом, знак поперечной силы будет положительным, если угол образован вращением оси балки или элемента системы по хо­ду часовой стрелки, и отрицательным, если угол образован враще­нием этой оси против часовой стрелки до совмещения с эпюрой Mx .

В рассматриваемом примере угол a образован вращением оси балки против часовой стрелки, поэтому поперечная сила на этом участке будет отрицательной. После указанной проверки полезно также проверить выполнение следующих положений:

1. Эпюра Mx на участке между сосредоточенными силами, а также между сосредоточенными силой и моментом, и между нача­лом или концом действия равномерно распределенной нагрузки и сосредоточенными силой и моментом всегда изменяется по закону прямой линии, наклонной к оси элемента, а в пределах действия равномерно распределенной нагрузки по закону квадратной пара­болы, имеющей выпуклость в сторону ее действия, если эпюра построена со стороны растянутого волокна;

2. Под точкой приложения сосредоточенной силы эпюра Mx имеет излом, острие которого направлено в сторону действия силы, если эпюра построена со стороны растянутого волокна;

3. На эпюре Mx в месте действия сосредоточенного момента m имеет место скачок, равный его величине;

4. Над шарнирными опорами двухшарнирной балки изгибаю­щий момент может быть только в тех случаях, когда в опорных се­чениях приложены сосредоточенные моменты или когда на консо­лях, расположенных за опорами, приложены нагрузки. Во всех других случаях изгибающие моменты в шарнирах равны нулю;

5. На участке действия равномерно распределенной нагрузки изгибающий момент достигает экстремального значения Mx =
= Mmax в том сечении, где поперечная сила , т.е. пере­ходит через нуль, меняя знак;

6. Поперечная сила Qy на участке равна нулю, если во всех се­чениях по длине этого участка Mx = const;

7. Эпюра Qy постоянна на участках между сосредоточенными нагрузками и изменяется по закону наклонной прямой лишь на участках, где действует равномерно распределенная нагрузка;

8. Эпюра Qy в точках приложения сосредоточенных вертикаль­ных сил (Р, RA , RB) имеет скачки, равные по величине приложен­ным в этих сечениях сосредоточенным силам, причем направление скачков всегда совпадает с направлением этих сил.

В нашем примере все эти положения выполняются.

2.1. Руководствуясь эпюрой Mx, показать приблизи­тельный вид изогнутой оси балки. При построении при­близительного вида изогнутой оси балки по эпюре Mx необходимо знать, что знак изгибающего момента связан с характером дефор­мации балки от действия заданной внешней нагрузки. Если на участке балки изгибающий момент положителен, то балка на этом участке изгибается выпуклостью вниз, а если отрицателен - выпук­лостью вверх. В тех же сечениях, где изгибающий момент равен нулю, кривизна балки меняет свой знак, т.е. ось балки в этих сече­ниях имеет точки перегиба. При этом всегда следует помнить, что прогибы балки на опорах равны нулю.

Анализируя эпюру Mx (рис. 5.8, г), видим, что на участке АО растянуты нижние волокна, значит, на этом участке изогнутая ось балки будет иметь выпуклость вниз. На участке ОД растянуты верхние волокна, поэтому изогнутая ось балки на этом участке будет иметь выпуклость вверх. Таким образом, под точкой О, где Mx = 0, кривизна изогнутой оси балки меняет знак, т.е. упругая линия имеет в этом сечении точку перегиба. Учитывая это, строим приблизительный вид изогнутой оси балки (рис. 5.8, д).

2.2. Подбор поперечного сечения балки. Опасным сече­нием является то, в котором возникает наибольший по абсолютной величине изгибающий момент. В нашем примере опасным является сечение Е, где Mmax = 42,5 кНЧм. Прямоугольное сечение балки из клееной древесины подбираем из условия прочности при рас­четном сопротивлении RH = 16Ч103 кН/м2 и соотношения h/b = 1,5:

,

откуда требуемый момент сопротивления сечения балки при изгибе будет равен:

= 2,66Ч10-3 м3.

Момент сопротивления прямоугольного сечения равен:

.

Приравняв его , получим =
= 0,288 м, тогда:

0,192 м.

     Округляя, принимаем брус поперечным сечением hґb = 0,29ґ ґ0,19 м2, (Wx = 2,663Ч10-3м3).

5.4.2. Схема II. Двухопорная балка (задача № 7)

1. Построить эпюры Qy и Mx. Существенное отличие этой схемы (рис. 5.13, а) от предыдущего примера расчета (рис. 5.8, а) заключается в том, что при рассмотрении однопролетной консоль­ной балки, для определения внутренних силовых факторов с при­менением метода сечений, мы последовательно рассматривали рав­новесие той части системы, где отсутствовало опорное сечение. Данное обстоятельство позволило без предварительного определе­ния опорных реакций, вычислить значения внутренних усилий. Так как этот прием, в данном случае, нереализуем, поэтому предвари­тельно необходимо определить полную систему внешних сил, кото­рая включает заданную систему и все опорные реакции.

Определение опорных реакций

При общем случае нагружения в заданной системе возникают три опорные реакции. Однако, учитывая особенности характера на­гружения, т.е. все внешние силы направлены по оси y, поэтому можно утверждать, что горизонтальная опорная реакция в опорном сечении А в данном случае равна нулю. Вертикальные опорные реакции могут быть определены из условий SMA = 0;  SMB = 0.

Необходимым и достаточным условием проверки правильности определения вертикальных опорных реакций является Sy = 0, т.к. это уравнение статики, применительно к рассматриваемой системе, которое содержит все искомые опорные реакции.

Из SMA = 0 получим:

SMA = -РЧ1 + qЧ5Ч4,5 - m - RBЧ6 = 0,

откуда

кН.

Из уравнения SMB = 0 будем иметь:

SMB = -PЧ7 - m - qЧ5Ч1,5 + RA Ч6 =0;       RA = 40 кН.

Опорные реакции RA и RB получились положительными. Это означает, что выбранные направления совпадают с их действитель­ными направлениями. После определения опорных реакций сле­дует провести проверку правильности их вычисления.

79

4.4. Кручение тонкостенного бруса

В машиностроении, авиастроении и вообще в технике широко применяются тонкостенные стержни с замкнутыми (рис. 4.7, а) и открытыми профилями (рис. 4.7, б) поперечных сечений. Поэтому расчеты на кручение таких тонкостенных стержней имеет большое практическое значение.

Рис. 4.7

Характер распре­деления напряжений по толщине тонкостенного стержня открытого профиля близок к равномерному (рис. 4.7, б), а замкнутого профиля меняется по ли­нейному закону, как это показано на рис. 4.7, а. Откуда следует, что напряжения в поперечных сечениях открытого профиля прак­тически не изменятся, если профиль сечения распрямить. Иначе говоря, напряжения в криволинейном открытом профиле будут примерно такими же, как и в прямом.

Обращаясь к формулам (4.14), (4.16) и при предельном пере­ходе , получим:

;     , (4.17)

где d - толщина профиля; s - длина контура профиля; l - длина стержня.

В случае, если тонкостенный незамкнутый профиль является составным (рис. 4.8) и не может быть развернут в вытянутый пря­моугольник, воспользовавшись почленной аналогией, легко опре­делить выражения напряжений на i-ом произвольном участке:

, (4.18)

где MK(i) - доля крутящего момента, соответствующего i-му участку:

,

где j - угловое перемещение, единое для всех участков:

. (4.19)

Изложенный подход к определению напряжений является при­ближенным, так как он не позволяет определить напряжения в зонах сопряжения элементов поперечного сечения профиля, кото­рые являются зонами концентрации напряжений.

Далее рассмотрим брус, имеющий поперечное сечение в форме замкнутого тонкостенного профиля (рис. 4.9). Выделим на контуре элементарный участок длиной ds и выразим крутящий момент че­рез напряжения t, выполняя операцию контурного интегрирования получим:

. (4.20)

Из условия равновесия сил по оси z выделенного элемента дли­ной dz (4.9) легко установить, что по контуру сечения произведение tЧd является постоянной величиной. С учетом данного обстоятель­ства, выражение (4.20) примет вид:

, (4.21)

где - представляет собой удвоенной площадь, ограни­ченную срединной линией контура сечения.

Из (4.21) наибольшее напряжение определяется по формуле:

. (4.22)

Для вывода выражения для угла закручивания воспользуемся энергетическими соображениями. Энергия, накопленная в элемен­тарном объеме с размерами d, dz, ds за счет деформаций чистого сдвига, равна:

.

С учетом (4.21), последнее выражение можно представить в виде:

.

С другой стороны, работу внешних сил можно представить в виде:

. (4.24)

Приравнивая оба выражения из (4.22) и (4.23), получим:

, (4.25)

Если в является постоянной по контуру, будем иметь:

, (4.26)

где s - длина замкнутого контура.

4.5. Пример расчета (задача 5)

Пусть задан тонкостенный стержень (рис. 4.10, а) при действии самоуравновешивающих крутящих моментов на двух противопо­ложных концах, требуется:

1. Определить выражения максимальных напряжений и углов закручивания в случаях, когда стержень имеет открытый (рис. 4.10, б) и замкнутый (рис. 4.10, в) профиль;

2. Сопоставить вычисленные значения напряжений и углов за­кручивания для двух различных профилей тонкостенного стержня.

Решение

1. Определение выражения максимальных напряже­ний и углов закручивания в случаях, когда стержень имеет открытый и замкнутый профиль. Для стержня с открытым профилем (рис. 4.10, б), согласно (4.17), получим:

;     .

Для стержня замкнутого профиля (рис. 4.10, в), воспользовав­шись выражениями (4.22) и (4.25), имеем:

;    .

2. Сопоставить вычисленные значения напряжений и углов за­кручивания для двух различных профилей тонкостенного стержня. Для наглядности составим отношения выражений напряжений и углов закручивания, т.е.:

;      .

Откуда следует, что отношение напряжений имеет величину порядка D/d, а отношение углов закручивания - порядка (D/d)2. Так как для тонкостенных стержней D>>d, следовательно, стер­жень с замкнутым профилем является существенно более прочным и жестким, нежели стержень с открытым профилем при идентич­ных исходных данных.

Заметим, что этот вывод является общим для тонкостенных стержней независимо от формы сечений.

63

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ,

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ

И КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТЫ

Для углубленного усвоения курса, ниже по тематике каждого вышеизложенного раздела, последовательно приводятся вопросы для самопроверки уровня полученных знаний и задач для самостоятельной и контрольных работ.

Чтобы обладать аппаратом настоящей дисциплины, студент должен после изучения соответствующего раздела курса самостоятельно решать множество задач и обязательно проверять правильность полученных результатов, аналогично тому как это было сделано в учебнике при выполнении методических примеров расчетов.

Исходные данные по каждому семейству задач изложены ниже в табличной форме по столбцам. Это представляет возможность путем вариации исходных величин по строкам формировать очень большое число задач по данному семейству.

Тем самым и преподавателям дисциплины представляется возможность использовать предложенный материал в качестве заданий для выполнения контрольных работ. Рекомендуется исходные данные для индивидуальных заданий на контрольные работы взять из приведенных далее таблиц исходных данных в строгом соответствии с шифром студента. При этом необходимо три последние цифры своего шифра студента написать дважды над буквами: а, б, в, г, д, е.

Например, при шифре 98-ПГС-7468 это будет выглядеть так:

4 6 8 4 6 8

а б в г д е

Тогда число над буквой а указывает номер строки, где расположено числовое значение соответствующей исходной данной из столбца а и т.д.

Введение - вопросы для самопроверки

Перечислите основные задачи предмета сопротивление материалов.

Что такое расчетная схема объекта?

1.3. Укажите геометрические признаки стержня, оболочки и массивного тела.

Что такое сосредоточенная сила, распределенная нагрузка и момент?

1.5. Какие усилия включают в себя полная система внешних сил?

Перечислите внутренние силовые факторы.

1.7. Поясните суть метода сечений.

1.8. Перечислите простые виды сопротивление стержня.

1.9. Дайте определение понятия «напряжения» и какие виды напряжения вы знаете.

1.10. Поясните, что такое линейная и угловая деформация.

1.11. Сформулируйте закон Гука и принцип независимости действия внешних сил.

1.12. Что такое упругое тело?

Растяжение и сжатие

а) Вопросы для самопроверки

Дайте определение равновесного состояния стержня называемого простым растяжением или сжатием.

Что такое принцип Сен-Венана? Дайте пояснение на конкретном примере.

Какое правило знаков принято для усилия и напряжения, возникающих при простом сжатии и растяжении?

Дайте определение статически определимых и неопределимых систем.

Поясните физический смысл модуля первого рода.

Сформулируйте закон парности касательных напряжений.

Что такое пластичность?

Что такое предел прямопропорциональности, предел упругости и предел текучести?

Что такое хрупкость и перечислите хрупкие материалы?

Перечислите основные принципы расчета инженерных конструкций.

б) Задачи для самостоятельной и контрольных работ

СЕМЕЙСТВО ЗАДАЧ № 1

Один конец вертикального стального бруса жестко защемлен, другой - свободен. Общая длина бруса L (рис.12.1). Одна часть бруса, длина которой l, имеет постоянную по длине площадь поперечного сечения F1, другая часть - постоянную площадь F2. В сечении, отстоящем от свободного конца бруса на расстоянии c, действует сила P. Вес единицы объема материала g = =78кН/м3, модуль упругости E = 2Ч105 МПа.

Рис. 12.1

Требуется:

1. Сделать схематический чертеж бруса по заданным размерам, соблюдая масштаб длин по вертикальной оси;

2. Составить для каждого участка бруса в сечении с текущей координатой z (0Ј z Ј L) аналитические выражения изменения продольного усилия Nz и нормального напряжения sz с учетом собственного веса бруса;

3. Построить эпюры продольных усилий Nz и напряжений sz;

4. Вычислить с учетом собственного веса бруса перемещение сечения, отстоящего от свободного конца бруса на расстоянии l.

Исходные данные взять из табл. 8.

Таблица 8

СЕМЕЙСТВО ЗАДАЧ № 2

Абсолютно жесткий брус (рис. 12.2), имеющий одну шарнирно-неподвижную опору и прикрепленный двумя тягами из упруго- пластического материала, нагружен переменной по значению силой P. Площадь поперечного сечения тяг F1 и F2, модуль упругости и предел текучести материала тяг E =2Ч105 МПа и sТ=240 МПа; допускаемое напряжение [s]=sТ / k, где коэффициент запаса прочности k = 1,5.

Рис.12.2.

Требуется:

1. Сделать чертеж всей конструкции по заданным размерам, соблюдая масштаб;

2. Найти в зависимости от силы P значения усилий в тягах;

3. Определить в процессе увеличения силы P ее значение, при котором напряжения в одной из тяг достигнет предела текучести;

4. В процессе дальнейшего увеличения силы P определить ее предельное значение в предположении, что несущая способность обеих тяг исчерпана;

5. Найти значения грузоподъемности из расчета по методам допускаемых напряжений и разрушающих нагрузок при одном и том же коэффициенте запаса прочности. Сопоставить результаты.

Исходные данные взять из табл. 9.

Таблица 9

Геометрические характеристики поперечных сечений бруса

а) Вопросы для самопроверки

Что такое статический момент сечения?

Дайте определение центральной оси сечения.

Дайте определение центра тяжести сечения.

Что такое осевые моменты инерции сечения?

Что такое центробежный момент инерции сечения?

Что такое полярный момент инерции сечения?

Что такое главные оси инерции сечения?

Дайте определение главных моментов инерции сечения.

Дайте определение радиусов инерции сечения.

Чему равен статический момент инерции составного сечения?

Чему равны моменты инерции составного сечения?

б) Задачи для самостоятельной и контрольных работ

СЕМЕЙСТВО ЗАДАЧ № 3

Поперечное сечение бруса (рис.12.3) состоит из двух частей, соединенных в одно целое.

Рис. 12.3

Требуется:

1. Вычертить схему сечения в масштабе 1:2, на которой указать положение всех осей и все размеры;

2. Найти общую площадь сечения;

3. Определить положение центра тяжести всего сечения;

4. Определить осевые и центробежный моменты инерции сечения относительно центральных осей;

5. Найти положение главных центральных осей, значения главных центральных моментов инерции, главных радиусов инерции и проверить правильность вычисления моментов инерции.

Исходные данные взять из табл.10.

Таблица 10

Примечание. При выполнении расчетов следует учесть, что центробежный момент инерции уголка может быть вычислен по формуле

где a - угол между горизонтальной осью х и осью наибольшего момента инерции; он положителен, когда поворот оси наибольшего момента инерции к горизонтальной оси х происходит против часовой стрелки:

Таким образом, центробежный момент инерции равнобокого уголка относительно центральных осей, параллельных полкам, равен по абсолютной величине полуразности главных моментов инерции, т.к. в формуле a = 45°.

Кручение

а) Вопросы для самопроверки

Какой вид сопротивления бруса называется кручением?

Какие усилия и напряжения возникают при кручении в поперечных сечениях стержня.

Почему аппарат сопротивления материалов неприемлем при расчете равновесного состояния бруса некруглого поперечного сечения при кручении?

Дайте геометрическую трактовку определению тонкостенного бруса.

Укажите характер распределения напряжения в тонкостенном брусе открытого и закрытого профиля по толщине стенки.

б) Задачи для самостоятельной и контрольных работ

СЕМЕЙСТВО ЗАДАЧ № 4

Стальной валик (рис.12.4) закручивается двумя парами сил, действующими в крайних сечениях. Момент каждой пары сил - М.

Рис.12.4

Требуется:

1. Построить эпюру крутящих моментов;

2. Определить моменты сопротивления при кручении для сечений I, II, III и по наиболее опасному сечению найти допускаемую величину момента М;

3. Построить эпюры распределения касательных напряжений в сечениях I, II, III, отметив на сечениях опасные точки;

4.Построить эпюру углов закручивания, приняв начало отсчета на левом торце валика.

Модуль упругости при сдвиге для материала валика G = =8Ч104 МПа.

Примечание. Сечение III можно приближенно считать квадратным со стороной 0,8D, т.к. срезы углов весьма незначительны.

Исходные данные взять из табл. 11

Таблица 11

СЕМЕЙСТВО ЗАДАЧ № 5

Заданы тонкостенные брусы длиной l и поперечным сечением открытого и замкнутого профиля (рис. 12.5) при действии самоуравновешивающих крутящих моментов величиной М, действующих на двух противоположных концах.

Требуется:

1. Определить выражения максимальных напряжений и углов закручивания стержней для двух видов сечения открытого и закрытого профиля;

2. Сопоставить численное значения напряжений и углов закручивания для двух различных профилей тонкостенного стержня. Модуль сдвига материалов принимать равным G = 8Ч107 кН/м2.

Рис.12.5.

Исходные данные взять из табл. 12.

Таблица 12

12.5. Изгиб

а) Вопросы для самопроверки

Какой вид равновесного состояния стержня называется изгибом.

Дайте определения чистого и поперечного изгиба соответственно.

Поясните физическую суть шарнирно-подвижного характера опирания.

Поясните физическую суть шарнирно-неподвижного характера опирания.

Поясните физическую суть жесткой заделки.

Поясните правило принятия знаков для изгибающего момента и поперечной силы.

Поясните суть основных дифференциальных соотношений теории изгиба.

Запишите формулу по определению нормальных напряжений, возникающих в поперечных сечениях при чистом и поперечном изгибе.

Запишите формулу Журавского Д.И.

Поясните суть и предназначения метода начальных параметров.

Поясните суть формы равновесного состояния называемой косым изгибом.

Дайте определение формы равновесного состояния называемой внецентренным сжатием или растяжением.

Что такое ядро сечения.

Дайте определение нейтральной линии.

Дайте определение первой, второй и третьей теории прочности соответственно.

Какая стержневая система называется рамой?

б) Задачи для самостоятельной и контрольных работ

СЕМЕЙСТВО ЗАДАЧ № 6, 7, 8

Для схем балок I (Задача № 6, рис. 12.6), II (Задача № 7, рис. 12.7) и рамы III (Задача № 8, рис.12.8)

требуется:

1. Вычертить расчетные схемы, указав числовые значения размеров и нагрузок;

2. Вычислить опорные реакции и проверить их;

3. Для всех схем составить аналитические выражения изменения изгибающего момента Мх и поперечной силы Qy, а для схемы III и продольной силы Nz - на всех участках;

4. Для всех схем построить эпюры изгибающих моментов Мх и поперечных сил Qy, а для схемы III - эпюру продольных сил Nz.

На всех эпюрах обязательно указать числовые значения ординат в характерных сечениях участков;

5. Руководствуясь эпюрой изгибающих моментов, показать для схем I и II приблизительный вид изогнутых осей балок;

6. По опасному сечению подобрать поперечные сечения:

а) для схемы I - прямоугольное h x b при расчетном сопротивлении Rи = 16 МПа (клееная древесина); h / b= 1,5;

б) для схемы II - двутавровое (ГОСТ 8239-72) при расчетном сопротивлении Rи = 200 МПа (сталь).

Рис. 12.6

Исходные данные взять из табл.13.

Таблица 13

СЕМЕЙСТВО ЗАДАЧ № 9

Для стальной балки, имеющей поперечное сечение. Показанное на рис. 12.9,

требуется:

1. Вычертить поперечное сечение в удобном для пользования масштабе и определить положение главных центральных осей инерции;

2. Построить эпюру нормальных напряжений s;

3. Принимая, что заданное сечение относится к левой отсеченной части баки (рис. 12.10), определить значения нормального s, касательного t и главных smax иsmin напряжений в сечении балки на уровне I-I (показать положение главных площадок) и направления главных напряжений.

Проверить прочность балки, имеющей поперечное сечение, показанное на рис.12.9, по первому предельному состоянию.

Принять Rн = 240 МПа. Расчетное сопротивление следует определить по формуле Rи= Rн m/k.

Рис. 12.9, 12.10

Исходные данные взять из табл. 14.

Таблица 14

СЕМЕЙСТВО ЗАДАЧА № 10

Для схем стальных балок I и II (рис.12.11) требуется определить методом начальных параметров углы поворота сечений и прогибы в точке В. Модуль упругости Е = 2Ч105 МПа. Поперечные сечения балок: схема I - трубчатое с внешним диаметром в и внутренним - d; схема II - двутавровое.

Рис. 12.11

Исходные данные взять из табл.15

Таблица 15

СЕМЕЙСТВО ЗАДАЧ № 11

Стальная балка АВ (рис. 12.12) нагружена силами Р1 и Р2, направленными по главным центральным осям поперечного сечения.

Требуется:

1. Вычертить в масштабе расчетную схему балки (рис. 12.12) и ее поперечного сечение (рис.12.13);

Рис. 12.12, 12.13

2. Построить эпюры изгибающих моментов Мх и Му в главных плоскостях инерции;

3. Найти для опасного (схемы 1-4) или для двух равноопасных сечений (схемы 5-0) положение нулевой линии, установить в сечениях опасные точки, вычислить наибольшие растягивающие и сжимающие нормальные напряжения в опасных точках, указать наиболее опасное сечение, сравнить напряжения в опасных точках этого сечения с расчетным сопротивлением Rи = 200 МПа и построить их эпюры;

4. Найти значение полного прогиба и указать его направление:

а) для консольных балок - в середине ее длины;

б) для балок на двух опорах - в середине пролета.

Исходные данные взять из табл. 16

Таблица 16

СЕМЕЙСТВО ЗАДАЧ № 12

На столб заданного поперечного сечения в точке в верхнего торца действует внецентренно приложения растягивающая или сжимающая сила Р = 100 кН (рис.12.14). Растягивающая сила обозначена точкой в кружке, а сжимающая - крестом.

Рис.12.14.

Требуется:

1. Показать положение главных центральных осей инерции и вычислить значения главных моментов и квадратов главных радиусов инерции сечения;

2. Найти положение нулевой линии и показать ее на схеме сечения с указанием отрезков, отсекаемых на осях координат;

3. Определить наибольшие (растягивающие и сжимающие) напряжения в поперечном сечении и построить эпюру напряжений;

4. Построить ядро сечения и указать координаты его характерных точек.

Все расчетные схемы необходимо выполнять, строго соблюдая масштаб.

Исходные данные взять из табл. 17

Таблица 17

СЕМЕЙСТВО ЗАДАЧ № 13

Пространственный консольный брус с ломаным очертанием осевой линии нагружен сосредоточенной силой Р=1 кН или равномерно распределенной нагрузкой q =1 кН/м. Вертикальные элементы бруса имеют круглое поперечное сечение диаметром d, горизонтальные элементы - прямоугольное сечение (bхc). Ширина сечения b = в +0.02 м, а высота сечения с = 0,5b. Размеры бруса, его поперечных сечений и внешняя нагрузка показана на рис.12.15.

Рис. 12.15.

Требуется:

1. Построить в аксонометрии шесть эпюр усилий: Mx, My, Mz, Qx, Qy, Nz;

2. Указать вид сопротивления для каждого участка бруса;

3. Определить на каждом участке нормальные напряжения от совокупности внутренних усилий Nz, Mx, My и касательные напряжения от крутящего момента Mz (напряжениями от Qx и Qy можно пренебречь);

4. Найти расчетное напряжение по III теории прочности на участке, где возникают одновременно нормальные и касательные напряжения.

Исходные данные взять из табл. 18

Таблица 18

Расчет статически неопределимых систем

методом сил

а) Вопросы для самопроверки

Какие стержневые системы называются фермами?

Какие стержневые системы называются рамами?

Дайте определение системы называемых плоскими.

Дайте определение систем называемых плоско-пространст-венными.

Дайте определение систем называемых пространственными.

Дайте определения статически определимых и статически неопределимых систем.

Какие функции выполняет метод Мора?

Поясните правило Верещагина.

Поясните суть метода сил.

Какие требования возлагаются к основной системе метода сил?

б) Задачи для самостоятельной и контрольных работ

СЕМЕЙСТВО ЗАДАЧ № 14

Для статически неопределимых балок (рис.12.16) с постоянными поперечными сечениями требуется построить эпюры изгибающих моментов Мх и поперечных сил Qy. Руководствуясь эпюрой изгибающих моментов Мх и условиями закрепления балки, изобразить вид упругой линии.

Исходные данные взять из табл. 19

Таблица 19

12.7. Устойчивость прямых стержней

а) Вопросы для самопроверки

Дайте определение понятия критическое состояние системы.

Дайте определение понятия потери устойчивости системы.

Какие величины внешних сил называются критическими?

В чем заключается суть задачи Эйлера?

Какие закономерности обнаруживаются между различными формами потери устойчивости систем?

Зависит ли величина критических значений внешних сил от характера закрепления стержня?

От каких факторов зависит гибкость стержней?

В зависимости от величины гибкости дайте квалификацию стержней.

б) Задачи для самостоятельной и контрольных работ

СЕМЕЙСТВО ЗАДАЧ № 15

Для стойки двутаврового поперечного сечения (ГОСТ 8239-72), одинаково закрепленной в обеих плоскостях центрально сжатой силой Р по заданной схеме (рис.12.17, а),

требуется:

1. Определить грузоподъемность Р, указать положительные и отрицательные стороны конструкции колонны из двутавра;

2. Для найденной грузоподъемности Р в целях лучшего использования материала заменить двутавр более рациональным сечением из двух двутавров или двух швеллеров, соединенных планками на сварке (рис.12.17, б), подобрать для нового варианта сечение, сравнить его по площади с первоначальным и вычертить в масштабе с указанием числовых размеров. Расчетное сопротивление материала R =190 МПа.

Рис. 12.17

Исходные данные взять из табл. 20.

Таблица 20

12.8. Динамические задачи

а) Вопросы для самопроверки

Дайте определения предмета статической и динамической теории механических систем.

Перечислите примеры динамических нагрузок.

Дайте определение понятия числа степеней свободы заданной системы.

Дайте определение свободного колебания системы.

Дайте определения вынужденного колебания системы.

Дайте определение периода собственных и вынужденных колебаний системы.

Поясните физическую суть фазовой и круговой частоты системы.

Поясните физический смысл коэффициента динамичности.

Какие системы называются системами с дискретными параметрами.

Укажите число свободы реальных систем и дайте соответствующие пояснения.

Дайте определение системы с одной степенью свободы.

Какие явления называются резонансом?

Какое явление называется ударом?

Какие процессы являются причиной формирования сил сопротивления?

б) Задачи для самостоятельной и контрольных работ

СЕМЕЙСТВО ЗАДАЧ № 16

Электромотор весом G установлен на балке KD, состоящей их двух двутавров. Балка АВ также состоит из двух двутавров. Частота вращения ротора мотора - n, вес неуравновешенных частей - Р, эксцентриситет их - е (рис. 12.18).

Рис. 12.18

Пренебрегая массой балки, требуется определить:

1. Статические прогибы, а также статические напряжения в опасных сечениях всех балок системы;

2. Основную частоту собственных колебаний системы;

Частоту вынужденных колебаний системы;

Коэффициент динамичности;

Наибольшие динамические прогибы, а также динамические напряжения в опасных сечениях всех балок системы.

Исходные данные взять из табл. 21.

Таблица 21

СЕМЕЙСТВО ЗАДАЧ № 17

Груз Р падает с высоты h в точку С балки KD. Состоящей из двух двутавров и опирающейся на упругое сооружение, состоящее из одной балки, которая также состоит из двух двутавров (рис. 12.19). Длина всех балок - l.

Рис. 12.19

Требуется определить наибольшие динамические прогибы, а также динамические напряжения в опасных сечениях всех балок. Затем сравнить полученное напряжение и прогиб в балке KD с теми динамическим напряжением и прогибом, которые возникли бы в ней при условии, что эта балка своими концами опирается на абсолютно жесткое основание.

Исходные данные взять из табл. 22.

Таблица 22

12.9. Прочность при цилиндрических нагрузках

а) Вопросы для самопроверки

Какие процессы называются усталостью?

Поясните свойство материалов называемое выносливостью.

Поясните суть коэффициента асимметрии цикла.

Какие нагрузки называются циклическими?

Перечислите основные факторы оказывающие влияние на усталостную прочность образцов.

Дайте определение коэффициента запаса усталостной прочности.

Зависит ли диаграмма усталостной прочности от вида напряженного состояния изделия?

Что вы понимаете под термином «коэффициент концентрации напряжений»?

Что вы понимаете под термином «коэффициент качества обработки поверхности изделия»?

Что Вы понимаете под термином «коэффициент масштабного фактора»?

б) Задачи для самостоятельной и контрольных работ

СЕМЕЙСТВО ЗАДАЧ № 18,а

Клапанная пружина имеет размеры: средний диаметр витка -D, диаметр проволоки пружины - в (рис.12.20). Сила, сжимающая пружину при закрытии клапана - Pmin; сила, сжимающая пружину в момент полного открытия клапана - Pmax. Материал проволоки пружины - хромованадиевая сталь, имеющая следующие механические характеристики: предел текучести - tт, предел выносливости при симметричном цикле - t-1, предел выносливости при пульсирующем цикле - t0.

Пружина имеет эффективный коэффициент концентрации напряжений kt, коэффициент влияния качества обработки поверхности b и масштабный коэффициент et.

Рис. 12.20.

Требуется:

Определить максимальноеtmax и минимальное tmin напряжения в проволоке пружины и вычислить коэффициент асимметрии цикла R;

Найти среднее tm и амплитудное ta напряжения цикла.

Построить в масштабе схематизированную диаграмму предельных амплитуд ( в осях ta,tm ), используя механические характеристики стали t-1, t0, tт.

4. Вычислить коэффициент запаса прочности и сравнить его с коэффициентом, полученным по диаграмме предельных амплитуд (графически).

Исходные данные взять из табл. 23.

Таблица 23

СЕМЕЙСТВО ЗАДАЧ № 18,б

Тележка весом Р (размерами тележки пренебречь), периодически движется по балке BD от точки В к точке С и обратно (рис. 12.21). Наибольший прогиб в точке В балки АВ не должен превышать 0,02 м (yBmax = 0,02 м). Материал балки АВ - сталь, имеющая следующие механические характеристики: модуль упругости Е = =2Ч108 кН/м2; предел текучести sт; предел выносливости при симметричном цикле s-1; предел выносливости при пульсационном цикле s0.

Сечение А балки АВ имеет эффективный коэффициент концентрации напряжений ks, коэффициент качества обработки поверхности b и масштабный коэффициент es.

Рис. 12.21

Требуется:

1. Вычертить поперечное сечение с указание числовых размеров, найти момент инерции Jx и определить значение силы Р;

2. Написать аналитическое выражение изгибающего момента в сечении А при произвольном положении тележки (силы Р) на участке ВС (функции от z), найти по этому выражению значения z, соответствующие положениям тележки для МAmax и MАmin и, установив последовательно в эти положения тележку, построить со стороны растянутых волокон эпюры максимального МАmax и минимального MАmin изгибающего моментов для системы балок;

3. Найти максимальное smax и минимальное smin напряжения в верхних волокнах сечения А балки АВ;

4. Подсчитать для сечения А характеристики цикла: среднее напряжение sm, амплитудное напряжение sа и коэффициент асимметрии R;

5. Построить строго в масштабе схематизированную диаграмму предельных амплитуд (в осях sm, sа), используя механические характеристики металла балки АВ: s-1, s0 и sт;

6. Вычислить коэффициент запаса усталостной прочности аналитически и проверить его по диаграмме предельных амплитуд;

7. Подсчитать минимальный прогиб в точке В балки АВ yBmin и определить амплитуду перемещений точки В.

Исходные данные взять из табл. 24.

Таблица 24

Примечание. При выполнении п.2 задания следует руководствоваться следующим. Изгибающий момент в сечении А зависит от величины реакции в точке В балки BD. Реакция в точке В является функцией абсциссы z расположения тележки (силы Р). Следовательно, изгибающий момент в сечении А МА тоже является функцией абсциссы расположения силы Р. Используя аналитическое выражение реакции RB, определить ее наибольшее и наименьшее значение, а также экстремальные значения момента МА, т.е. МAmax и МAmin соответственно.

Установить силу Р последовательно в положения при которых формируются RBmax и RBmin со стороны растянутых волокон построить эпюры экстремальных моментов, позволяющих определить МAmax и МАmin .

Минимальный прогиб в точке В возникает при приложении силы Р в точке В.

12.10. Основы теории упругости и пластичности

а) Вопросы для самопроверки

Дайте определения тензора напряжений и тензора деформаций соответственно.

Сформулируйте закон парности касательных напряжений.

Дайте определение относительно знаков компонента тензора напряжений.

Дайте определение главным площадкам, главным осям и главным напряжениям.

Что собой представляет эллипсоида напряжений?

Какие величины называются инвариантами напряжений и почему?

Перечислите все три группы уравнения теории упругости.

Поясните физический смысл уравнений неразрывности.

Сформулируйте обобщенный закон Гука через интенсивность напряжений и деформаций.

Перечислите возможные способы решения задач теории упругости.

Дайте определения прямой и обратной задач теории упругости.

Дайте определение теории предельных напряженных состояний.

Дайте определение эквивалентного или эффективного напряжения.

Перечислите виды плоской задачи.

Перечислите теории пластичности и дайте соответствующие пояснения.

Перечислите основные гипотезы взятые за основу деформационной теории пластичности.

б) Задачи для самостоятельной и контрольных работ

СЕМЕЙСТВО ЗАДАЧ № 19

Определить главные напряжения и направления главных напряжений, если напряженное состояние в точке нагруженного тела задана тензором напряжений.

Исходные данные взять из табл. 25.

Таблица 25

СЕМЕЙСТВО ЗАДАЧ № 20

На прямоугольную пластину шириной b, длиной l = 2b и толщиной в единицу (рис.12.22) действуют по кромкам внешние силы, распределенные по ее толщине. Эти силы создают в пластине обобщенное плоское напряженное состояние.

Указаны оси координат и задано выражение функции напряжений

Рис. 12.22.

Требуется:

1. Проверить возможность существования такой функции напряжений;

2. По функции напряжений найти выражения компонентов напряжений;

3. Выяснить характер распределенных по кромкам внешних сил, при действии которых имеет место найденная система напряжений, и построить эпюры напряжений;

4. По полученным эпюрам напряжений произвести проверку равновесия пластины.

Исходные данные взять из табл.26.

Таблица 26

СЕМЕЙСТВО ЗАДАЧ № 21

Для трехстержневой системы (рис. 12.23) при условии, что диаграмма растяжения для стержней идентична и имеет участок упрочнения (рис.10.10, в) с характеристиками (Е = 2Ч108 кН/м2; sт= =2Ч105 кН/м2; sВ= =4Ч105 кН/м2; eВ = 0.02), принимаемая горизонтальный брус абсолютно жестким, при исходных данных (табл.27)

Рис. 12.23

требуется:

1. Определить абсолютные и относительные удлинения стержней и значения внешних нагрузок (P1, q1, M1) при котором в наиболее напряженном стержне напряжения достигают предела упругости;

2. Определить абсолютные и относительные удлинения стержней и значения внешних нагрузок (P2, q2, M2) при котором все элементы заданной системы переходят в пластическую стадию деформирования;

Определить абсолютные и относительные удлинения стержней и значения внешних нагрузок (P3, q3, M3) при котором в наиболее нагруженном стержне напряжения достигают значения, равные sВ, т.е. когда происходит разрушение элемента системы;

4. Определить значения внешних нагрузок (P4, q4, M4) при которых происходит разрушение заданной системы.

Таблица 27

12.11. Пластины и оболочки

а) Вопросы для самопроверки

Какие геометрические формы называются пластинами и оболочками?

Перечислите основные гипотезы взятые за основу тонких пластин.

Сформулируйте уравнения Софи Жермена.

Укажите направления главных площадок цилиндрического тела при осесимметричном и постоянном вдоль оси характере напряжения.

Сформулируйте задачу Ляме.

Укажите положения опасных площадок, принадлежащих цилиндрическому телу при действии внутреннего и внешнего давления соответственно.

б) Задачи для самостоятельной и контрольных работ

СЕМЕЙСТВО ЗАДАЧ № 22

Пластинка постоянной толщины h жестко заделана по контуру эллиптического очертания и нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q (рис. 12.24). Модуль упругости материала пластинки Е = 2Ч105 МПа; коэффициент Пуассона m = 1/6.

Рис. 12.24

Требуется:

1. Построить прогиб пластинки в середине;

2. Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных усилий в пластинке по направлению главных диаметров контура;

3. В точке С с координатами (a/2; b/2) определить изгибающие моменты Мх и Му, крутящий момент Мх,у, положение главных площадок и главные изгибающие моменты Mmax и Mmin.

Исходные данные взять из табл. 28.

Таблица 28

СЕМЕЙСТВО ЗАДАЧ № 23

Для толстостенной трубы, имеющей внутренний диметр в и наружных диаметр D, требуется:

1. Определить давление РТ внутри трубы, при котором в материале трубы начнется переход в пластическое состояние;

2. Определить предельное внутреннее давление РПРЕД, при котором материал трубы по всей толщине будет находиться в пластическом состоянии;

3. Построить эпюры распределения напряжений по толщине стенки трубы для п.п. 1 и 2;

4. Определить допускаемое давление РДОП при коэффициенте запаса прочности 1,5.

Материал трубы - пластическая сталь, не обладающая упрочнением; sТ =250 МПа; Е= 2Ч105 МПа; m = 0.5.

Исходные данные взять из табл. 29.

Таблица 29

Анализируя полученные результаты, можно сделать следующие выводы.

Как и для трехстержневой статически неопределимой системы, так и для двухстержневой статически определимой системы, учет пластических деформаций позволил выявить дополнительные ре­зервы систем по несущей способности. Если бы мы ограничились только упругим расчетом, расчетная несущая способность двух­стержневой системы была бы равна P = P1 = 86,6 кН. А за счет учета упруго-пластической работы элементов системы, как было показано, несущая способность будет исчерпана при P = P2 = = 135,1 кН, т.е. при нагрузке в 1,56 раза больше, чем при упругом расчете.

Далее заметим, что за счет удаления одного среднего элемента из исходной системы, несущая способность и жесткость системы, соответственно, уменьшилась в и в = 16 раз.

11. ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ

1.1. Теория тонких пластин

Под оболочкой понимается тело, одно из измерений которого, называемое толщиной, значительно меньше двух других. Геометри­ческое место точек, равностоящих от обеих поверхностей оболочки, носит название срединной поверхности. Если срединная по­верхность оболочки является плоскостью, то такую оболочку назы­вают пластиной (рис. 11.1.).

Предполагаем, что на поверхности пластины действует распределенная нагрузка интен­сивностью q = q (x, y). Для вывода диф-ференциального уравнения изогнутой поверх­ности пластинки выделим из ее состава бесконечно малый элемент с раз­мерами dx, dy, h, где h - толщина пластины. Выделенный элемент с указанными внутрен­ними усилиями изображен на рис. 11.2. Определим внутренние усилия в пластине следующим образом.

Рис. 11.2

;

Проецируя все силы, приложен­ные к элементу пластинки на вертикальную ось z, из условия равновесия получим:

,

откуда

(11.1)

Далее, составляя условия равновесия в форме суммы моментов относительно координатных осей x и y, и пренебрегая малыми ве­личинами второго порядка, получим:

(11.2)

Подставляя выражения Qx и Qy из (11.2) в (11.1), получим:

. (11.3)

Очевидно, что для определения трех величин Мx , Мy и Мxy од­ного уравнения (11.3) недостаточно. Для решения задачи необхо­димо выразить моменты через прогибы пластинки. С этой целью для тонких пластинок вводится следующие допущения:

1. Отрезок нормали к срединной поверхности при изгибе ос­тается прямым и перпендикулярным к срединной поверхности. Это допущение носит название гипотезы прямых нормалей.

2. Величины sz и ez пренебрежимо малы и в расчете не учиты­ваются.

Поскольку, мы предположили, что ez = 0, то

ez = ,

следовательно, прогиб пластины w не зависит от координаты z, то есть w = w (x, y).

Пользуясь сделанными предположениями, выразим перемеще­ние точек пластины вдоль осей x и y, соответственно, u и v через их прогиб w.

Согласно рис. 11.3. можно записать:

. (11.4)

Рис. 11.3

. (11.5)

Закон Гука в данном случае преобразуется к виду:

(11.6)

Выражения для изгибающих моментов с учетом (11.6) принима­ют вид:

(11.7)

где - цилиндрическая жесткость пластины.

Пользуясь соотношениями (11.2) и (11.7), выражения для попе­речных сил можно записать следующим образом:

(11.8)

где - оператор Лапласа.

Согласно (11.7) величины моментов определяются через один искомый параметр - прогиб пластины w (x, y). Следовательно, под­ставляя выражение (11.7) в (11.3), окончательно получим

. (11.9)

Выражение (11.9) - известное дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластины, полученное Софи Жермен и опубликованное Лагранжом в 1811 году.

11.2. Пример расчета (задача № 22)

В рассмотрим эллиптическую пластинку, жестко заделанную по контуру и нагруженную равномерно распределенной нагрузкой ин­тенсивностью q (рис. 11.4). При a = 1,3 м, b = 1,0 м, h = 0,18 м, q = 300 кН/м2, g = 1/6, Е = 2Ч108 кН/м2, требуется:

1. Определить прогиб пластины в ее середине;

2. Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил в пласти­не по направлениям глав­ных диаметров контура;

3. В точке С с коор­динатами (а/2, b/2) опре­делить изгибающие мо­менты Мx , My и крутя­щий момент Mxy .

Решение

Выберем начало коор­динат в центре пластинки и запишем уравнение контура (в нашем случае - уравнение эллипса):

. (11.10)

При жесткой заделке во всех контурных точках (11.10) должны выполняться следующие граничные условия: ,

Рис. 11.4

, (11.11)

где с - прогиб в центре пластинки.

Действительно в результате дифференцирования функции w по n получим:

. (11.12)

Но поскольку, на основании (11.10) в контурных точках

,

то выражения (11.11) и (11.12) на контуре обращаются в нуль. Ана­логично можно доказать, что условие также выполняется на контуре.

Проверим, удовлетворяет ли выбранная функция w основному дифференциальному уравнению (11.9). Вычислим частные произ­водные

.

и подставим их в (11.9). Результатом будет выражение

.

Очевидно, что оно справедливо в случае, если q = const, а прогиб в центре будет равен

. (11.13)

Выражения изгибающих моментов Mx и My и крутящего мо­мента Мxy в произвольной точке пластинки в соответствии с (11.7) будут иметь вид:

(11.14)

Моменты на концах малой полуоси (x = 0, y = ±b) согласно (11.14) будут равны:

(11.15)

В точках, расположенных на концах большой полуоси (x = ±a, y = 0) моменты равны:

(11.16)

И, наконец, в центре пластины (x = y = 0) моменты равны:

(11.17)

В данном случае имеем:

кНЧм;

м.

Для точки C(0,5a; 0,5b) выражения и равны нулю, следовательно:

.

Для построения эпюр Mx и My достаточно найти их значения в трех точках по осям эллипса, так как вдоль них эти функции имеют параболический характер изменения, для этого воспользуемся фор­мулами (11.15) ё (11.17):

При построении эпюр следует помнить, что Ве­личины поперечных сил вдоль координатных осей могут быть вы­числены по формуле (11.8)

.

В данном случае Аналогично

По данным вычислений построены эпюры Mx , My , Qx и Qy (рис. 11.5). Поскольку из условий равновесия пластинки следует, что

,

то в данном случае легко сделать проверку графически. Действи­тельно,

где = -122,28 кН/м (с эпюры Qx ), = -205,74 кН/м (с эпюры Qy ), q = 300,0 кН/м (по условию), тогда:

.

Таким образом, задача решена правильно.

Рассмотрим однородное тело цилиндрической формы в цилин­дрической системе координат r, j, z (рис. 11.6, а) при действии внутреннего pa и внешнего давления pb , которые являются осе­симметричными нагрузками и вдоль оси z являются постоянными величинами (рис. 11.6, б).

Радиальное перемещение произвольно взятой точки обозначим через u. Величина u в данном случае является функцией только от текущего радиуса r.

Обозначим er и ej относительное удлинение в цилиндре в радиальном и окружном направлении и выразим их через переме­щение u. Рассмотрим элементарный отрезок АВ = dr, выделенный в радиальном направлении до и после нагружения цилиндра (рис. 11.7, а). Для определения ej достаточно рассмотрения рис. 11.7, б.

С учетом принятых обозначений и формы деформирования ци­линдра получим:

. (11.18)

Для изучения напряженного состояния выделим из цилиндра элемент в форме криволинейного шестигранника (рис. 11.8). В осе­вых сечениях цилиндра из условий симметрии касательные напря­жения отсутствуют и сохраняются только нормальные окружные напряжения sj .

Поскольку в поперечных и радиальных сечениях касательные напряжения также отсутствуют, следовательно, площадки в попе­речном, радиальном и тангенциальном направлениях являются главными площадками, а напряжения sz , sr , sj  являются глав­ными напряжениями.

Проецируя силы, действующие на выделенный элемент (рис. 11.8), на радиальное направление, получим следующее усло­вие равновесия:

,

откуда

. (11.19)

Остальные уравнения равновесия для элемента выполняются тождественно.

Закон Гука в данном случае принимает вид:

(11.20)

Деформация по направлению z отсутствует, из предположения, что цилиндр бесконечно длинный, т.е. ez = 0

Выражение напряжений в осевом направлении определяется самостоятельно, если учесть, что в поперечных сечениях цилиндра с площадью действует продольная сила:

Nz = -(pв D 2 - pa d 2).

Следовательно,

. (11.21)

Из (11.20) с учетом (11.18) выражения для напряжений sj  и sr  принимают вид:

(11.22)

Тогда уравнение равновесия (11.19) с учетом (11.22) примет окончательный вид:

. (11.23)

Решение (11.23) записывается в виде:

, (11.24)

где с1 и с2 - постоянные интегрирования, которые определяются из граничных условий задачи:

при . (11.25)

Подставляя выражение u из (11.24) в выражение sr  из (11.22) с учетом граничных условий (11.25) получим:

(11.26)

В результате совместного рассмотрения (11.22), (11.24) и (11.26) выражения для напряжения примут окончательный вид:

(11.27)

Рассмотрим случай нагружения цилиндра только внутренним давлением, тогда принимая pв = 0, из (11.21) и (11.27) получим:

;

; (11.28)

.

Анализ выражений (11.28) показывает, что sj > sz > sr Следо­вательно sj = s1; sz = s2; sr = s3 . Выражение интенсивности напряжения в данном случае принимает вид:

.

Из (11.28), учитывая, что

. (11.28ў)

получим

. (11.29)

Предположим, что цилиндр изготовлен из неупрочняющегося материала для которого условие пластичности выражается в следующем виде:

si = sT , (11.30)

где sT - предел текучести материала цилиндра.

Подставляя (11.29) в (11.30) получим условия пластичности для данного случая:

sj - sr  = 2 K, (11.31)

где .

Из анализа выражений напряжений (11.28) следует вывод, что наибольшее значение напряжение sj принимает при r = d/2, т.е. на внутренней границе цилиндра. Следовательно, по мере увеличе­ния внутреннего давления в пластическое состояние будут сначала переходить внутренние, а затем и более близкие к внешней границе слои материала.

Для определения значения давления, при котором слои на вну­тренней границе цилиндра, т.е. при r = d/2, переходят в пластиче­ское состояние, воспользуемся условием пластичности (11.31), под­ставляя в него выражение напряжений из (11.28):

. (11.32)

По мере дальнейшего роста внутреннего давления зона плас­тичных деформаций от внутренней поверхности распространяется в сторону наружной поверхности.

Для случая когда все поперечное сечение оболочки находится в пластическом состоянии рассматривается условие равновесия (11.18) и условие пластичности (11.31) и тогда:

. (11.33)

Проинтегрировав последнее уравнение, получим:

. (11.34)

Постоянная интегрирования C определяется из граничных ус­ловий задачи:

r = D/2; sr = 0. (11.35)

Подставляя (11.34) в (11.35), определим: . Следователь­но, из (11.34) окончательно получим:

. (11.36)

Из условия пластичности (11.31) будем иметь

. (11.37)

Выражение для sz принимает вид:

. (11.38)

Величину внутреннего давления, при действии которого вся оболочка переходит в пластическое состояние, обозначим pа = РПР и получим из граничных условий задачи при r = d/2 РПР = sr Следовательно, из (11.36) получим:

РПР = 2 K ln.

11.4. Пример расчета (задача №23)

Для толстостенной стальной трубы, имеющей внутренний диа­метр d = 0,03 м и наружный диаметр D = 0,18 м, и изготовленной из пластичного материала с sT = 250 МПа и с коэффициентом Пуассона m = 0,5, требуется:

1. Определить давление pT, при котором в материале трубы нач­нется пластическое деформирование;

2. Определить предельное внутреннее давление pПР , при кото­ром весь материал будет находиться в пластическом состоянии;

3. Построить эпюры распределения напряжений sr , sj , sz по толщине стенки для двух состояний трубы, рассмотрены в п. 1 и 2;

4. Определить допускаемое значение давления pa = pДОП при коэффициенте запаса прочности n = 1,5.

Решение

1. По формуле (11.32) определяем давление, при котором на внутренней поверхности трубы появятся пластические деформации:

МПа.

2. С учетом того, что pa = pT , из (11.28) определяем напряже­ния, соответствующие началу пластического течения:

МПа;

;

.

Данные для числовых расчетов сводим в табл. 6.

Таблица 6

Эпюры напряжений sr , sj , sz для упругого состояния мате­риала трубы приведены на рис. 11.9, а.

Рассмотрим теперь предельное состояние трубы, когда весь ма­териал трубы находится в пластическом состоянии. Предельное давление в этом случае определяется по формуле pПР  МПа.

3. Для определения напряжений sr , sj , sz воспользуемся фор­мулами (11.36), (11.37), (11.38):

.

Данные для числовых расчетов сводим в табл. 7

Таблица 7

Для более точного построения эпюр sj и sz определим точки, в которых указанные напряжения равны нулю:

для эпюры sj

Ч10-2 м.

для эпюры sz

Ч10-2 м.

4. Эпюры напряжений sr , sj , sz приведены на рис. 11.9, б. Допускаемое значение внутреннего давления определяется из условия pДОП = pПР/n :  pДОП = 517,8/1,5 = 345,2 МПа.

235

6. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ
СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ

6.1. Стержневые системы.
Степень статической неопределимости

Под стержневой системой понимается всякая конструк­ция, состоящая из элементов, имеющих форму бруса. Если эле­менты конструкции работают только на растяжение или сжатие си­стема называется фермой (рис. 6.1). Ферма состоит из шарнирно опертых между собой прямых стержней, образующих треугольники и для нее характерно приложение внешних сил в узлах заданной системы.

Если элементы стержней системы работают в основном на изгиб или кручение, то такая система называется рамой (рис. 6.2).

Если все элементы заданной системы расположены в одной плоскости, а внешние силы действуют в перпендикулярной плос­кости, то система называется плоскопространственной (рис. 6.3). Стержневые системы, не относящиеся к двум указанным категориям, называются пространственными (рис. 6.4).

Все стержневые системы принято разделять на статически определимые и статически неопределимые. Под статически определимой понимается такая система, для которой усилия во всех ее элементах могут быть определены по методу сечений с применением лишь урав­нений равновесия. Если этого сделать нельзя, то такая система на­зывается статически неопределимой.

Разность между числом неизвестных усилий (реакций опор и внутренних силовых факторов) и числом независимых уравнений равновесий, которые могут быть составлены для рассматриваемой сис­темы, называется степенью статической неопредели­мости системы.

Связи, наложенные на систему, бывают внешними и внутрен­ними. Под внешними понимают ограничения, накладываемые на абсолютные перемещения точек системы, как единое целое. Внутренние же связи ограничивают взаимные (относительные) перемещения элементов системы. Следовательно, статическая неопределимость системы мо­жет быть вызвана как внешними, так и внутренними связями.

Если рассматривать внешние связи, то можно отметить, что по­ложение жесткого тела на плоскости x,y характеризуется тремя незави­симыми параметрами - координатами x, y и углом поворота рассматриваемой плоскости. Таким образом, необходимое для равновесия число наложен­ных внешних связей должно быть равно трем (по количеству уравнений равновесия - еx = 0, еy = 0, еm = 0). Если плоская система состоит из в частей, каждую из которых можно рассмат­ривать как жесткое тело, то количество параметров, определяющих положение этой системы будет равно 3 D. Каждый шарнир, соеди­няющий две части системы, разрешает лишь их взаимный поворот, устраняя возможность их взаимных смещений - следовательно он уменьшает количество возможных перемещений системы на две единицы. Кроме этого, каждый опорный стержень устраняет воз­можность перемещения системы в соответствующем направлении. Таким образом, подсчитать степень статической неопределимости системы, определяемую внешними связями, можно по следующей формуле:

W = 3 D - 2 Ш - С,

где D - число частей (“дисков”) системы, каждая из которых может рассматриваться как абсолютно жесткое тело, Ш - количество шар­ниров в системе, соединяющих “диски”, С - число опорных стерж­ней. Для статически определимых систем W =0. При W<0 система является статически неопределимой.

Наиболее характерные типы внешних связей и их схематичные изображения рассмотрены в п. 5.1.

На рис. 6.5 показана плоская рама, имеющая в первом (а) случае три внешние связи, а во втором случае (б) - пять. Значит, в первом случае рама имеет необходимое для статической определи­мости количество внешних связей, а во втором же - две дополни­тельные внешние связи. Однако в обеих ситуациях рама статически неопределима, т.к. конфигурация ее такова, что не позволяет опре­делить усилия во всех ее элементах, используя только уравнения равновесия. Следовательно, для окончательного ответа на вопрос о статической определимости системы необходимо проведение сов­местного анализа наложенных на систему внешних и внутренних связей (более подробно этот вопрос рассматривается в курсе строи­тельной механики).

Методы расчета статически неопределимых систем основаны на определении перемещений в ее точках. Выше мы рассматривали метод начальных параметров для вычисления перемещений в бал­ках. При всех достоинствах этого метода он обладает одним суще­ственным недостатком - при большом количестве участков вычис­лительные формулы становятся весьма громоздкими. Особенно это существенно в случае криволинейной оси стержневой системы.

В связи с этим, рассмотрим более универсальный метод опре­деления перемещений - метод Мора, названный так по имени немецкого ученого, предложившего его.

6.2. Определение перемещений методом Мора

Суть метод Мора в следующем. Если необходимо определить перемещение в заданной точке по заданному направлению, то на­ряду с заданной системой внешних сил в этой точке прикладыва­ется внешнее усилие Ф = 1 в интересующим нас направлении.

Далее составляется выражение потенциальной энергии систе­мы, состоящей из n участков с учетом одновременного действия заданной системы внешних сил и силы Ф :

(6.1)

,

где Кх , Ку - безразмерные величины, зависящие от геометрической формы сечения и учитывают неравномерность распределения каса­тельных напряжений в сечении при поперечном изгибе. Так, на­пример, для прямоугольника Кх = Ку = 1,2, а для двутавра при из­гибе в плоскости его стенки K = F/FCT , где F - площадь всего сечения двутавра, FCT - площадь стенки; Nz , Qx  , Qy  , Mz , Mx , My  - внутренние силовые факторы, возникающие в поперечных сечениях заданной стержневой системы; -внутренние силовые факторы, возникающие в поперечных сечени­ях заданной системы, от действия усилия Ф = 1.

Дифференцируя выражение (6.1) по Ф, и полагая после этого Ф = 0, находим искомое перемещение в искомой точке в нужном направлении.

. (6.2)

Полученные интегралы называются интегралами Мора и ши­роко применяются при вычислении перемещений стержневых сис­тем.

Для систем, элементы которых работают на растяжение или сжатие (например, шарнирно-стержневые системы - фермы), в формуле Мора (6.2) отличен от нуля будет только слагаемое, содер­жащее продольные силы. При расчете балок или рамных систем, работающих в основном на изгиб, влияние поперечной и продоль­ной силы на перемещение несущественно и в большинстве случаев их влияние не учитывается. В случае пространственной работы стержня или стержневой системы, элементы которой работают, в основном, на изгиб и кручение, в формуле Мора обычно ограничи­ваются рассмотрением слагаемых, содержащих изгибающие и кру­тящие моменты.

Подробно рассмотрим случай, когда брус работает только на изгиб (Mx № 0, Nz = Mz = My = Qx = Qy = 0). В этой ситуации вы­ражение (6.2) принимает вид:

. (6.3)

Согласно (6.3) для определения перемещения произвольной точки в произвольном направлении, последовательно необходимо выполнять следующее:

1. Построить эпюру моментов Мx  от заданной системы внеш­них сил;

2. Исключая внешние силы и в точке, где необходимо опре­делить перемещение по заданному направлению, прикладывается единичное усилие (сила - если требуется определить линейное пе­ремещение; момент - если требуется определить угловое перемеще­ние), и от действия единичного усилия строится эпюра моментов ;

3. По формуле Мора (6.3) вычисляется искомое перемещение.

Рис. 6.6

.   (6.4)

Часто встречаются случаи, когда на участке стержня дли­ной l необходимо вычислить интеграл Мора при условии, что по крайней мере одна из функций - линейная (рис. 6.6). Пусть f2 = b + k z, тогда из (6.4) получим :

(6.5)

где W1 - площадь эпюры f1 ; f2 (zC) - ордината линейной эпюры под центром тяжести криволинейной эпюры (рис. 6.6).

Приведенное решение носит имя русского ученого Верещагина, впервые его получившего. Таким образом, по способу Вереща­гина операция интегрирования выражения (6.4) в случае линей­ности хотя бы одной из подынтегральных функций существенно упрощается и сводится к перемножению площади криволинейной эпюры на ординату второй (линейной) функции под центром тя­жести криволинейной.

Используя способ Верещагина, приведем результаты вычисле­ния интегралов Мора для двух наиболее часто встречающихся слу­чаев:

1. Обе функции f1  и f2 - линейные (рис. 6.7), тогда

; (6.6)

2. Функция f1 - квадратная парабола, f2 - линейная функция (рис. 6.8). Такая ситуация встречается, когда на участке длиной l приложена равномерно распределенная нагрузка q, тогда

, (6.7)

где f - “стрелка” квадратной параболы (рис. 6.8), .

. (6.8)

Для расчета усилий в статически неопределимых стержневых системах существуют различные методы. Здесь рассмотрим метод сил.

6.3. Метод сил

Суть этого метода заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от дополнительных связей как внешних, так и внутренних, а их действие заменяется соответ­ствующими силами и моментами. Их величины, в дальнейшем, подбираются так, чтобы перемещения системы соответствовали тем бы ограничениям, которые на нее накладываются отброшенными связями.

Система, освобожденная от дополнительных связей, становится статически определимой. Она носит название основной систе­мы. Для каждой статически неопределимой заданной системы (рис. 6.9, а) можно подобрать, как правило, различные основные системы (рис. 6.9, б, в), однако их должно объединять следующее условие - основная система должна быть статически определимой и геометрически неизменяемой (т.е. не должна менять свою гео­метрию без деформаций элементов).

Рассмотрим систему, которая дважды статически неопределима (рис. 6.10, а). Заменим в основной системе действие отброшенных связей неизвестными усилиями X1 и X2 (рис. 6.10, б). Принятая основная система будет работать также, как и заданная, если на нее наложить условие отсутствия вертикальных перемещений в точках A и B (т.е. в тех местах, где в заданной системе стоят опоры):

(6.9)

Рис. 6.10

(6.10)

где yA(P), yB(P), yA(X1), yB(X1), yA(X2), yB(X2) - вертикальные пере­мещения точек А и В основной системы соответственно от дейст­вия сил Р, Х1, Х2.

Вводя обозначения d11, d12, D1P - вертикальные перемещения точки А основной системы, соответственно, от последовательного действия сил X1 = 1, X2 = 1, от внешней силы Р; d21, d22, D2P -вертикальные перемещения точки B основной системы, соответст­венно, от последовательного действия сил X1 = 1, X2 = 1, от внеш­ней силы Р, и учитывая существование линейности связи между силой и перемещением, систему уравнений (6.3) можно преобразо­вать в канонической форме:

(6.11)

Последние уравнения носят названия канонических урав­нений метода сил.

Для вычисления коэффициентов при неизвестных X1 и X2 ис­пользуют формулу Мора:

, (i, j = 1,2). (6.12)

Легко видеть, что , это свойство называется законом парности коэффициентов при неизвестных. Свободные же коэффициенты определяются по формуле:

. (6.13)

После решения системы (6.11) определяются величины неизве­стных усилий X1 и X2 . Если их значения получились отрицатель­ными, это означает, что реально они действуют в направлении про­тивоположном принятому. Окончательная эпюра моментов опреде­ляется по зависимости

. (6.14)

Эпюра поперечных сил QOK может быть построена по эпюре моментов МОК с использованием зависимости и величин приложенных к системе усилий.

6.4. Пример расчета (задача № 14)

Для балки (рис. 6.11) задано: l1 = 2 l2 , P = q l1, m = q.

Рис. 6.11

1. Определить сте­пень статической неоп­ределимости системы и составить уравнение сов­местности деформаций;

2. Определить коэф­фициенты и решить ка­ноническое уравнение метода сил;

3. Построить эпюры моментов М и поперечных сил Q.

Решение

1. Определить степень статической неопредели­мости системы и составить уравнение совместности деформаций. Используя зависимость W из пункта 6.1, подсчита­ем степень статической неопределимости системы. D = 1, Ш = 0, С = 4 ® W = 3Ч1 - 2Ч0 - 4= -1, следовательно система один раз ста­тически неопределима. Основную систему получим путем отбрасы­вания опоры в точке А и замены ее действия неизвестным усилием X1 (рис. 6.12). Каноническое уравнение метода сил в данном случае запишется в следующем виде:

d11 Ч X1 + D1P = 0.

2. Определить коэффициенты и решить канониче­ское уравнение метода сил. От силы X1 строим эпюру M1 (рис. 6.13). Для определения величины d11 воспользуемся выраже­нием (6.12). Фактически эпюру M1 нужно умножить саму на себя и проинтегрировать это произведение:

При вычислении D1P было учтено, что эпюры М1 и МP имеют разный знак, т.к. вызывают растяжение разных волокон - об этом говорит отрицательный знак при D1P . Кроме этого, криволиней­ный участок в эпюре МP был представлен как разность трапеции и параболического сегмента.

Напишем уравнение совместности деформаций в виде

E I d11 Ч X1 + E I D1P = 0,

и, подставляя найденные величины перемещений, получим:

, откуда X1 =.

3. Построить эпюры изгибающих моментов и попе­речных сил. Окончательную эпюру изгибающих моментов полу­чим по формуле:

.

Рис. 6.15

7. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМЫХ СТЕРЖНЕЙ

7.1. Понятие об устойчивости. Задача Эйлера

До сих пор мы рассматривали методы определения напряжений и перемещений, возникающих в стержнях и соответственно, зани­мались оценкой их прочности и жесткости. Однако оказывается, что соблюдение условий прочности и жесткости еще не гаранти­рует способности конструкций выполнять, предназначенные им функции в эксплуатационных режимах. Наряду с выполнением ус­ловий прочности и жесткости, необходимо обеспечить и устой­чивость конструкций.

При неизменной схеме нагружения, под устойчивостью пони­мается свойство способности системы сохранять свое первоначаль­ное равновесное состояние. Если рассматриваемая система таким свойством не обладает, то она называется неустойчивой, а ее равновесное состояние - неустойчивым состоянием.

При неизменной схеме нагружения, в процессе роста интен­сивности нагрузок, явление перехода системы от одного равновес­ного состояния к другому равновесному состоянию, называется потерей устойчивости системы. Значения внешних сил, при которых происходит потеря устойчивости, называются кри­тическими.

В некоторых случаях при потере устойчивости, система, пере­ходя в новое устойчивое равновесное состояние, продолжает вы­полнять свои функции. Однако в подавляющем большинстве случа­ев, потеря устойчивости системы сопровождается возникновением больших перемещений, пластических деформаций или ее полным разрушением. Поэтому сохранение исходного (расчетного) равно­весного состояния системы является важной задачей и одной из основных проблем сопротивления материалов.

Рис. 7.1

Пусть вертикальный стержень закреплен ниж­ним концом, а на свободном верхнем конце цент­рально приложена продольная сила Р (рис. 7.1). На начальном этапе нагружения равновесное состояние системы определяется как простое продольное сжатие, так как на данном этапе нагружения в поперечных сечениях стержня, за иск­лючением продольной силы, остальные силовые факторы равны нулю. При дальнейшем росте внешней силы Р, обнаруживается, что при некотором ее значении P = PKP , стержень изогнется. Так как явление изгиба тесно связано с действием изгибающих момен­тов, возникающих в поперечных сечениях стержня, можем утверж­дать, что при P = PKP происходила смена формы равновесного сос­тояния системы. Если на начальном этапе нагружения P < PKP , равновесное состояние вертикального стержня определялось как простое сжатие, то при P > PKP сжатие сопровождается изгибом. Это означает, что при P = PKP  происходила потеря устойчивости системы.

Заметим, что в данном случае, смена формы равновесного сос­тояния сопровождается и сменой формы деформирования: в докри­тическом - прямолинейная форма деформирования, в закритиче­ском - криволинейная, а в критическом - смешанная форма.

Заметим также, что для гибких стержней потеря устойчивости может наступить при напряжениях, значительно меньших предела прочности материалов. Поэтому расчет стержней должен выпол­няться при условии, что сжимающие напряжения не превышают критического значения с точки зрения потери их устойчивости:

, (7.1)

где РKP - значение сжимающей силы, при котором стержень пере­ходит из прямолинейного состояния равновесия к криволинейно­му; F - площадь сечения стержня.

Рис. 7.2

Впервые эта задача была поставлена и решена Л.Эйлером в середине ХVIII века и носит его имя.

Рассмотрим условия, при которых происходит переход от цен­трально сжатого состояния к изогнутому, т.е. становится возмож­ной криволинейная форма оси стержня при центрально приложен­ной сжимающей силе Р. Предполагая, что изгиб стержня будет происходить в плоскости минимальной жесткости, записывая диф­ференциальное уравнение упругой линии балки и ограничиваясь рассмотрением только малых перемещений, имеем:

(7.2)

144

Следует отметить, что при определении опорных реакций их направление можно указать произвольно, а затем из решения урав­нения равновесия будет ясно, как в действительности действует ре­акция: если результат положительный, то реакция действует имен­но так, как мы предварительно указали, если отрицательный - то наоборот.

При построении эпюр будем руководствоваться следующими правилами:

- нормальная сила Nz считается положительной, если она вызы­вает растяжение бруса;

- крутящий момент Mz  считается положительным, если при взгляде на сечение со стороны внешней нормали он виден враща­ющим брус по ходу часовой стрелки;

- поперечная сила Qx считается положительной, если при взгляде со стороны положительного направления оси y она стре­мится вращать оставшуюся часть бруса по ходу часовой стрелки от­носительно ближайшей точки на оси бруса (для поперечной силы Qy - то же, по отношению к x);

- ординаты эпюр Qx и Qy следует откладывать перпендикуляр­но оси бруса в плоскости действия этих сил и указывать знак;

- ординаты эпюр Мx и Мy будем откладывать перпендикулярно оси бруса со стороны растянутого волокна.

Участок АВ (0 Ј z1 Ј a).

Оставшаяся часть изображена на рис. 5.34, д. В центре сечения помещаем систему координат. Оси x и y совпадают с направлением главных осей инерции сечения, показанных на рис. 5.34, г. Коор­дината z1 увеличивается от точки А к точке В. Для определения N покажем ее в направлении от сечения, т.е. растягивающей, и соста­вим уравнения равновесия: Sz = 0;    Nz = 0. Из еМx = 0 следует Мx = 0 (рис. 5.35, а).

Для определения Мz покажем его так, чтобы при взгляде на сечение он был виден вращающим брус по часовой стрелке, и составим уравнения равновесия (рис. 5.35,б):

Smz = 0; Мz = 0.

Для определения Qx и Qy покажем их положительными в соот­ветствии с выбранным правилом знаков и составим уравнения рав­новесия:

Sx = 0, Qx - P = 0, Qx = P = 1 кН;

Sy = 0, Qy = 0.

Эпюра Qx представляет собой прямоугольник (рис. 5.35, в) с ординатой, равной 1, лежащей в плоскости действия этого силово­го фактора. Составляем уравнение равновесия:

SMy = 0, Мy + РЧz = 0, Мy = -PЧz.

Ординаты эпюры My линейно зависят от z:

z = 0,  My = 0;      z = a,  My = -PЧa = -1Ч0,3 = -0,3 кНЧм.

Знак минус указывает на то, что в действительности изгибаю­щий момент My вызывает растягивающее напряжение в правой части поперечного сечения, поэтому ординаты эпюры My отклады­ваются в правую сторону.

Участок ВC (0 Ј z2 Ј b).

Оставшаяся часть изображена на рис. 5.34, e. В центре сечения помещаем систему координат. Оси x и y совпадают с направлением главных осей инерции сечения, показанных на рис. 5.34, г. Коор­дината z2 увеличивается от точки В к точке С. Процесс опреде­ления внутренних силовых факторов на этом участке такой же, как и на предыдущем. Важно отметить, что на оставшейся части соот­ветствующий внутренний силовой фактор удобно показывать непо­средственно перед его определением - для того, чтобы не затем­нить чертеж. При этом Nz, Mz , Qx , Qy  показывают в положи­тельном направлении в соответствии с принятым правилом знаков, а изгибающие моменты Mx и My - наугад из двух возможных направлений (рис. 5.34, e):

Sz = 0,  Nz = 0;     SMz = 0,  Mz + PЧa = 0,  Mz = -PЧa = -0,3 кНЧм.

Плоскость прямоугольной эпюры произвольна (рис. 5.35, б).

Sx = 0,   Qx  - P = 0, Qx  = P = 1 кН.

Эпюра Qx в виде прямоугольника показана на рис. 5.35, в.

Sy = 0, Qy  - q z = 0; Qy  = q z ;

z = 0,    Qy  = 0; z = 0,6 м,    Qy  = 2Ч0,6 = 1,2 кН.

Эпюра Qy в виде треугольника показана на рис. 5.35 е.

Ординаты Mx изменяются по закону квадратной параболы.

z = 0,    Mx = 0; z = 0,6 м,    Mx = -0,36 кНЧм;

= 2 z = 0; z = 0- точка экстремума в эпюре Mx в сечении z = 0.

Знак минус указывает, что растягивающие напряжения возни­кают не в ближней части сечения, а в дальней. При этом наблюда­тель ориентирован относительно глобальной системы координат xy, показанной на рис. 5.34, а следующим образом: ось x направле­на к наблюдателю, поэтому ординаты Mx откладываем в дальнюю сторону (рис. 5.35, а).

SMy = 0,    My + P z = 0,    My = -P z;

z = 0,    My = 0; z = 0,6 м,    My = -0,6 кНЧм.

Эпюра My - треугольная. Растягивающие напряжения возника­ют в правой части сечения - ординаты откладываем вправо.

Участок CD (0 Ј z3 Ј c1).

Оставшаяся часть изображена на рис. 5.34, ж. В центре сечения помещаем систему координат. Оси x и y совпадают с направлением главных осей инерции сечения, показанных на рис. 5.34, г. Коор­динаты z3 увеличиваются от точки С к точке D. Повторяя все рас­суждения, проведенные на предыдущих участках, будем иметь следующее (рис. 5.34, д):

Sz = 0,    N - P = 0,    N = P = 1 кН;

SMz = 0,    кНЧм.

Эпюра Mz - в виде прямоугольника. Плоскость изображения произвольная:

Sx = 0,    Qx + q b1 = 0,    Qx = -q b1 = -2Ч0,6=-1,2 кН.

Эпюра Qx - в виде прямоугольника в плоскости действия Qx.

Sy = 0,    Qy = 0; SMx = 0, Mx + P b1 = 0, Mx = -P b1 = -0,6 кНЧм.

Эпюра Mx - в виде прямоугольника. Растягивающие напряже­ния при изгибе возникают в нижней части поперечного сечения -ординаты эпюры откладываем вниз.

SMy = 0, My + P a - q b1 z3 = 0, My = q b1 z3 -P a = 1,2 z3 - 0,3.

Величина My определяется как линейная функция от z3. При z3 = 0; My = -0,3 кНЧм. В этом сечении растягивающие напряжения возникают не в дальней части сечений, а в ближней - ординату откладываем к наблюдателю.

При z3 = 0,5м My = 1,2Ч0,5 - 0,3 = 0,6-0,3 = 0,3 кНЧм.

В этом сечении My откладываем от наблюдателя (рис. 5.35, г).

2. Установить вид сопротивления для каждого участка бруса. По эпюрам устанавливаем вид сопротивления на каждом участке бруса. На участке АВ возникают изгибающий момент My  и поперечная сила Qx , что свидетельствует о наличии поперечного изгиба. На участке ВС возникают изгибающие момен­ты Mx, My , поперечные силы Qx , Qy  и крутящий момент Mx , что свидетельствует о наличии косого изгиба и кручения. На участке СD действуют изгибающие моменты Mx  и My , поперечная сила Qx , растягивающая сила N и крутящий момент Mz , что свиде­тельствует о наличии косого изгиба с растяжением и кручением.

3. Определить максимальные напряжения в опасном сечении каждого участка от внутренних усилий N, Mx, My  и Mz  (касательными напряжениями от Qx  и Qy  можно пренебречь). Участок АВ. Наибольшая величина изгибающего момента My , судя по эпюре (рис. 5.35, г) возникает в сечении, бесконечно близком к точке В. Максимальные нормаль­ные напряжения при изгибе определяются по формуле:

16,7Ч103 кН/м2,

где момент сопротивления Wy  ==1,8Ч10-5 м3.

Участок ВС. По эпюрам Mx  и My  устанавливаем, что опасным является сечение, бесконечно близкое к точке С. Для круглого сечения суммарный изгибающий момент:

кНЧм,

а наибольшие нормальные напряжения равны:

кН/м2=33,32 МПа,

где момент сопротивления круглого сечения при изгибе:

м3 .

При кручении круглого сечения возникают касательные на­пряжения, максимальные значения которых определяются по фор­муле:

,

где Wp  - момент сопротивления при кручении. Известно, что

Wp = 2 WИ = 2Ч2,1Ч105 м3 = 4,2Ч105 м3,

тогда

кПа=7,143 МПа.

Участок СD. По эпюрам Mx  и My  видим, что равными по опасности будут сечения, бесконечно близкие к точкам С и D. При действии растягивающей силы N во всех точках поперечного сече­ния возникают одинаковые нормальные напряжения:

кН/м2 = 0,555 МПа,

где F = bЧc = 0,06Ч0,03=0,0018 м2 - площадь поперечного сечения;

66666 кН/м2 = 66,67 МПа,

где

м3.

При действии изгибающего момента My  наибольшие нормаль­ные напряжения будут равны:

кН/м2 = 16,67 МПа.

При кручении бруса прямоугольного сечения возникают каса­тельные напряжения, максимальные значения которых определятся по формуле:

кН/м2 = 27,07 МПа,

где WK = bЧc3 = 0,493Ч0,033 = 13,3Ч10-6 м3 - геометрическая величи­на, играющая роль момента сопротивления при кручении стержней прямоугольного сечения. Здесь b - коэффициент, зависящий от от­ношения большей стороны прямоугольника к меньшей (в данном случае при b/c = 2, b = 0,493).

4. Проверка прочности при расчетным сопротивле­нии R = 180 МПа. Расчетное напряжение по третьей теории прочности для плоского напряженного состояния определяется по формуле:

.

Участок АВ. Линейное напряженное состояние является част­ным случаем плоского (t = 0), поэтому в нашем случае:

, где R = 180 МПа.

Участок ВС. Проверка прочности по третьей теории:

36,25 МПа < 180 МПа.

Участок СD. Сначала найдем максимальное нормальное напря­жение от внутренних силовых факторов N, Mx  и My :

МПа.

Касательные напряжения в угловой точке от кручения равны 0. Имеет место линейное напряженное состояние:

МПа < 180 МПа.

Далее рассмотрим напряженное состояние в окрестности точки, где действует максимальное касательное напряжение t = 27,7 МПа. Имеет место плоское напряженное состояние:

МПа;

МПа < 180 МПа.

Следовательно, так как условие обеспечения прочности во всех опасных точках участков ломанного бруса выполняются, то проч­ность конструкции в целом следует считать обеспеченной.

130

5.10. Пример расчета (задача № 11)

Стальная балка АВ, расчетная схема и поперечное сечение ко­торой показаны на рис. 5.28, а, (c = 0,03 м) нагружена силами Р1 и Р2. Требуется:

2. Установить по эпюрам изгибающих моментов опасное сече­ние балки. Найти для опасного сечения положение нулевой линии;

3. Вычислить наибольшие растягивающие и сжимающие нор­мальные напряжения;

4. Определить значение полного прогиба в середине пролета балки и указать его направление.

Решение

1. Построить эпюры изгибающих моментов в глав­ных плоскостях инерции. Ввиду симметричности сечения бал­ки относительно осей x и y (рис. 5.28, а), можно сделать вывод, что эти оси - главные. Для построения эпюр изгибающих моментов, используя принцип независимости действия сил, представим косой изгиб как изгиб в двух главных плоскостях инерции бруса (рис. 5.28, б, г). Определив опорные реакции, составим аналитиче­ские выражения изгибающих моментов и вычислим их значения в характерных сечениях. Построим эпюры изгибающих моментов Mx и My  (рис. 5.28, в, г), откладывая ординаты со стороны растянутых волокон. В соответствии с принятым правилом знаков (п. 5.9), Mx < 0, My > 0.

2. Установить по эпюрам изгибающих моментов опасное сечение балки. Найти для опасного сечения положение нулевой линии. Сравнивая ординаты эпюр Mx и My , делаем вывод, что опасными могут быть сечения в или С, т.к. в них предположительно возникают наибольшие по величине изгибающие моменты. Для того, чтобы установить, какое из них является наиболее опас­ным, нужно вычислить возникающие в сечениях C и в наибольшие нормальные напряжения и сравнить их. Теоретически доказано, что если контур поперечного сечения так вписывается в прямо­угольник, что четыре крайние точки сечения совпадают с углами прямоугольника, то максимальное нормальное напряжение будет в одном из углов прямоугольника и определится по формуле:

,

где все величины берутся по абсолютной величине. У нас именно такой случай. Осевые моменты инерции сечения вычислим по следующим зависимостям:

=

м4;

м4.

Моменты сопротивления сечения Wx и Wy определятся следу­ющим образом:

м3;

м3.

Таким образом, наибольшие напряжения в сечениях С и в рав­ны:

сечение С

кПа = 10,29 МПа;

сечение D

кПа = 10,38 МПа.

Рис. 5.29

= 0,535,  откуда j » 28,17°.

Нулевая линия пройдет в тех четвертях поперечного сечения, в которых изгиба­ющие моменты будут вызы­вать нормальные напряже­ния разных знаков. В на­шем случае это будут пер­вая и третья четверти. По­этому, отложив угол j » »28,17° от оси x против хода часовой стрелки, проведем нулевую линию (рис. 5.29).

3. Вычислить наибольшие растягивающие и сжима­ющие нормальные напряжения. Вершины стрелок нормаль­ных напряжений, определяемых по формуле (5.26) будут лежать на плоскости, пересекающей плоскость поперечного сечения по нуле­вой линии. При взгляде на плоскость напряжений вдоль нулевой линии мы увидим ее в виде прямой, ординаты которой показаны в виде эпюры s на рис. 5.29. Наибольшие нормальные напряжения будут иметь место в точках 2 и 4 и различаться только знаком. Дей­ствительно, подставляя в формулу (5.26) координаты точек 2 и 4, получаем:

точка 2

 » -10385 кН/м2 »
» -10,38 МПа;

точка 4

 » -10385 кН/м2 »
» 10,38МПа.

Отложив в удобном масштабе полученные величины напряже­ний, построим эпюру напряжений s (рис. 5.29).

4. Определить значение полного прогиба в середине пролета балки и указать его направление. Полный про­гиб (перемещение центра тяжести сечения С) вычисляем по фор­муле:

,

где - проекции полного прогиба на главные оси. Эти ве­личины можно определить методом начальных параметров. Начало координат поместим на левом конце балки в точке А.

Прогиб в плоскости x0z. Начальные параметры:

кН.

Составим выражение прогибов fx (z) с помощью универсального уравнения упругой линии балки:

. (5.30)

Величину j0 определим из условия, что при fx (l) = 0. Под­ставляя в выражение (5.30) z = l = 4 м, получим:

;

.

Окончательно выражение прогибов fx (z) будет иметь вид:

. (5.31)

Для определения прогиба в середине пролета подставим z =
= 0,5Чl = 2 м в выражение (5.31):

кНЧм3.

Учитывая, что Е = 2Ч108 кН/м2 и Iy = 891Ч10-8 м4, получаем:

м = 7,45Ч10-4 м.

Прогиб в плоскости y0z. Начальные параметры:

кН.

Выражение для прогибов fy (z) получаем с помощью метода на­чальных параметров:

. (5.32)

Подставляя z = l = 4 м в выражение (5.32) и учитывая, что в т. В прогиб равен нулю, получаем уравнение для определения j0 :

,

откуда

.

Окончательно выражение для прогибов fy (z) будет иметь вид:

. (5.33)

Для определения прогиба в середине пролета подставим z = = 0,5 l = 2 м в выражение (5.33):

кНЧм3;

м = -0,64Ч10-4 м.

Определим величину модуля вектора полного прогиба

м.

Направление вектора полного прогиба показано на рис. 5.30. При этом, угол b определим по формуле:

;    b = -40,5°.

Внецентренное сжатие и растяжение как и косой изгиб отно­сится к сложному виду сопротивления бруса. При внецентренном растяжении (сжатии) равнодействующая внешних сил не совпадает с осью бруса, как при простом растяжении, а смещена относи­тельно оси z и параллельна ей (рис. 5.31).

Пусть в точке А(xA , yA ) приложена равнодействующая внешних сил Р. Тогда относительно главных осей x и y равнодействующая сила Р вызывает моменты:

Mx = PЧyA ;     My = PЧxA . (5.34)

Таким образом, при внецентренном растяжении (сжатии) в по­перечном сечении бруса возникает нормальная сила Nz= P и изги­бающие моменты Mx и My . Следовательно, на основании принци­па независимости действия сил в произвольной точке В с коорди­натами x, y нормальное напряжение s определяется следующим выражением:

. (5.35)

Используя выражения для квадратов радиусов инерции сече­ния:

можно (5.35) преобразовать к следующему виду:

Уравнение нейтральной линии получим, приравнивая нулю вы­ражение для нормальных напряжений s:

. (5.36)

Из (5.36) можно легко определить отрезки, которые отсекает нейтральная линия на координатных осях. Если приравнять x = 0, то получим:

.

где ay  - координата точки пересечения нейтральной линии и оси y.

Решая это уравнение, получим:

.

Аналогичным образом можно определить координату пересече­ния нейтральной линии и оси x:

.

Можно решить и обратную задачу - определить координаты приложения силы Р при заданных отрезках аx и аy . Опуская про­стейшие выкладки, приведем окончательные выражения:

.

Наибольшее напряжения, как и при косом изгибе, имеют место в точке наиболее удаленной от нейтральной линии. При внецент­ренном растяжении (сжатии) в отличие от косого изгиба нейтраль­ная линия не проходит через центр тяжести сечения. Расстояние от начала координат x0y до прямой a y + b x + c = 0, как известно из курса аналитической геометрии, определяется по фор­муле:

.

Следовательно, в данном случае (рис. 5.32):

Рис. 5.32

Тогда, как это следует из (5.37), по мере того, как точка приложения силы приближается к центру тяжести сечения, нейтральная линия удаляется от него.

При xA ® 0, yA ® 0, получаем 0 C ® Ґ. Сила в данном случае стано­вится центральной, а напряжения в этом случае распределены по сечению равно­мерно. В тех случаях, когда нейтральная линия пересекает сечение, в нем возникают напряжения разного знака. В противном случае в сечении во всех точках возникают напряжения одного знака. Следовательно, в окрестности центра тяжести всегда существует некая область, называемая ядром сечения, такая, что если точка приложения силы Р расположена в пределах указанной области, то в поперечном сечении возникают напряжения лишь одного знака. При этом если сила приложена по границе ядра сечения, то нейтральная линия касается контура сечения.

Данный факт имеет большое значение при проектировании колонн из хрупких материалов, (например, бетона, кирпича и т.д.), которые, как пра­вило, имеют существенно меньшую прочность на растяжение, не­жели на сжатие. Поэтому при проектировании таких конструкций необходимо предусмотреть, чтобы равнодействующая сжимающая сила была расположена в пределах ядра сечения.

5.12. Пример расчета (задача № 12)

На брус заданного поперечного сечения (a = 1,05 м, b = 1 м, с = 0,15 м, d = 0,2 м) в точке D верхнего торца действует продоль­ная сила Р = 150 кН (рис. 5.33). Требуется:

1. Найти положение нулевой линии;

2. Определить наибольшие (растягивающие и сжимающие) на­пряжения;

3. Построить ядро сечения.

Решение

1. Найти положение нулевой линии.

1.1. Нахождение положения главных центральных осей. Так как поперечное сечение бруса (рис. 5.33) имеет две оси симметрии xС и yС , то они и будут главными центральными осями инерции. Площадь поперечного сечения бруса равна:

м2.

= 521,6Ч10-4 м;

м4 .

Вычисляем квадраты главных радиусов инерции:

м2 ;

м2 .

1.3. Определение положения нулевой линии. Отрезки, отсекаемые нулевой линией на главных центральных осях инерции, определяем по формулам:

м;

м,

где xP = 0,525 м и yP = 0,5 м - координаты точки приложения силы Р (точка в на рис. 5.33). Отложив отрезки и , соответст­венно, на осях xC и yC , и проведя через их концы прямую, получим нулевую линию сечения, т.е. геометрическое место точек, где нормальные напряжения равны нулю (s = 0). На рис. 5.33 эта линия обозначена n-n.

2. Определить наибольшие (растягивающие и сжи­мающие) напряжения. Точка D, координаты которой xD =  = 0,525 м и yD = 0,5 м , наиболее удалена от нулевой линии в сжа­той зоне сечения, поэтому наибольшие сжимающие напряжения возникают в ней и определяются по формуле:

=-1,436 кН/м2 .

Наибольшие растягивающие напряжения возникают в точке К, имеющей координаты xK = -0,525 м и yK = -0,5 м :

=0,996 кН/м2.

По полученным значениям sD и sК строим эпюру нормальных напряжений (рис. 5.33).

3. Построить ядро сечения. Для построения ядра симмет­ричного сечения рассмотрим два положения касательной к контуру сечения I-I и II-II (рис. 5.33). Отрезки, отсекаемые касательной I-I на осях координат, равны:

= Ґ;     = 0,5 м.

Координаты граничной точки I ядра сечения определяются по формулам:

м.

Касательная II-II отсекает отрезки = 0,525 м, = Ґ.

Соответственно, координаты граничной точки 2:

.

Координаты граничных точек второй половины ядра сечения можно не определять, т.к. сечение бруса симметричное. Учитывая это, для касательных III-III, IV-IV координаты граничных точек 3 и 4 будут:

 м;  .

Соединив последовательно точки 1, 2, 3 и 4 прямыми, получим ядро рассматриваемого сечения (рис. 5.33).

5.13. Теории прочности

Как показывают экспериментальные исследования, прочность материалов существенно зависит от вида напряженного состояния. В общем случае нагруженного тела напряженное состояние в ка­кой-либо точке вполне может быть определено величиной напря­жений в трех координатных плоскостях, проходящих через эту точку. При произвольном выборе положения координатных плос­костей, в каждой из них, вообще говоря, имеются и нормальные, и касательные напряжения. Для них вводятся соответствующие обо­значения в плоскости xy: szz , tzx , tzy ; в плоскости xz: syy , tyx , tyz; в плоскости yz: sxx , txy , txz . Здесь первый индекс показывает ориентацию площадки, в которой действует напряжение, т.е. какой из координатных осей она перпендикулярна. Второй индекс ука­зывает направление напряжения по координатной оси.

В каждой точке тела существуют три взаимно перпендикуляр­ные плоскости, свободные от касательных напряжений, носящие название главных площадок. Нормальные напряжения в этих пло­щадках называются главными напряжениями и обозначаются s1, s2, s3. При этом всегда s1 > s2 > s3. Заметим, что более подробно вопросы теории напряженного состояния в точке обсуждены в десятом разделе настоящей книги, и по данному вопросу имеется обширная литература.

Напряженные состояния разделяются на три группы. Напря­женное состояние называется: а) объемным или трехосным, если все главные напряжения s1, s2, s3 не равны нулю; б) плос­ким или двухосным, если одно из трех главных напряжений равно нулю; в) одномерным или одноосным, если два из трех главных напряжений равны нулю.

Основной задачей теории прочности является установление критерия прочности, позволяющего сравнить между собой опас­ность различных напряженных состояний материала.

Выбранный критерий прочности должен быть обоснован на основе экспериментальных данных путем проведения испытаний различных материалов в зависимости от вида напряженного сос­тояния, как функция от соотношений между значениями главных напряжений.

Заметим, что, так как в настоящее время строгой единой тео­рии прочности материалов, в зависимости от вида напряженного состояния, не существует, поэтому при выполнении практических расчетов применяются упрощенные критерии.

Как отмечалось в п. 2.8, наиболее распространенным и наглядным критерием проверки конструкций на прочность, при простейших случаях напряженного состояния (сжатие-растяжение, кручение, чистый изгиб), является выполнение условия:

smax Ј [s], (5.38)

где smax - максимальное расчетное значение напряжения, возника­ющее в наиболее опасной точке конструкции; [s] - допускаемое значение напряжения для материала конструкции.

В настоящее время при выполнении расчетов конструкций на прочность, при произвольных напряженных состояниях, широко используются три теории прочности.

Согласно первой теории критерием прочности является ограничение главного максимального напряжения:

smax = s1 Ј [s], (5.39)

где [s] - предельное напряжение, полученное из опытов на одно­осное растяжение.

Основным недостатком этой теории является не учет двух других главных напряжений.

В основу второй теории прочности заложена гипотеза о том, что критерием оценки работы конструкции является ограни­чение наибольшего удлинения. В формулировке данного положе­ния через главные напряжения (s1 и s2 ) это условие для плоского на­пряженного состояния записывается следующим образом:

s1 - m s2 Ј [s] ,

где [s] - напряжение, при котором было вызвано предельное уд­линение образца в опытах на одноосное растяжение; m - коэф­фициент бокового расширения.

При объемном напряженном состоянии вторая теория проч­ности записывается в виде:

s1 - m (s2 -s3) Ј [s] , (5.40)

Экспериментальная проверка не всегда подтверждает правиль­ность теории прочности наибольших линейных деформаций при простых нагружениях, т.е. при чистом растяжении или чистом сдвиге. Однако до настоящего времени эта теория имела широкое применение при выполнении инженерных расчетов..

В основу третьей теории прочности заложена гипотеза о том, что причиной разрушения материалов являются сдвиговые деформации, происходящие на площадках максимальных касатель­ных напряжений, т.е.

tmax < [t], (5.41)

где tmax - расчетное максимальное касательное напряжение, возни­кающее в опасной точке нагруженного тела; [t] - предельное зна­чение касательного напряжения, полученное из опытов.

Для плоского напряженного состояния по третьей теории усло­вие прочности записывается в виде:

s1 - s2 < [s] . (5.42)

В случае поперечного изгиба балки (s2 = 0), если выразить главные напряжения s1 и s3 через s и t, то условие прочности (5.42) преобразуется в виде:

, (5.43)

где R - расчетное сопротивление материала балки при изгибе.

5.14. Пример расчета (задача № 13)

Дан пространственный консольный брус с ломаным очертани­ем осевой линии, нагруженный сосредоточенной силой Р = 1 кН и равномерно распределенной нагрузкой q = 2 кН/м. На рис. 5.34, а этот брус показан в аксонометрии в соответствии с прямоугольной системой координат xyz . Вертикальный элемент бруса имеет попе­речное сечение в виде круга диаметром d = 0,06 м (рис. 5.34, в), горизонтальные элементы бруса имеют поперечные сечения в виде прямоугольника (рис. 5.34, б). Ширина сечения b = d = 0,06 м, а высота сечения c = 0,5 d = 0,03 м. Ориентация главных осей попе­речных сечений на каждом участке показана на рис. 5.34, г.

Требуется:

1. Построить в аксонометрии эпюры Mx , My , Mz , Nz, Qx , Qy ;

2. Указать вид сопротивления для каждого участка бруса;

3. Определить максимальные напряжения в опасном сечении каждого участка от внутренних усилий Nz, Mx , My и Mz  (касатель­ными напряжениями от Qx  и Qy  можно пренебречь);

4. Проверить прочность при расчетном сопротивлении R = = 180 МПа.

Решение

1. Построить в аксонометрии эпюры Mx , My , Mz , Nz, Qx , Qy . Заметим, что так как заданная система пространственная, при произвольном характере нагружения, в опорном сечении, где установлена заделка, возникает шесть опорных реакций (три опор­ные силы и три момента). Для определения опорных реакций, в данном случае, можем применить шесть уравнений равновесия ста­тики. Так как число независимых уравнений равновесия равно чис­лу опорных реакций, то можно сделать вывод, что рассматриваемая система в виде ломаного бруса, с заделанным одним концом, явля­ется статически определимой. Поэтому рассматриваемая система разрешима по методу сечений. Далее, учитывая особенности конст­рукции, определение величин внутренних усилий можно осущест­вить без предварительного вычисления величин опорных реакций.

123

Если балка имеет n - конечное число участков, из 2n числа граничных условий получим 2n алгебраических уравнений относительно 2n постоянных ин­тегрирования.

Если момент и жесткость являются непрерывными по всей длине балки функциями Mx (z) и E Ix (z), то решение может быть получено, как результат последовательного интегрирования урав­нения (5.19) по всей длине балки:

интегрируя один раз, получаем закон изменения углов поворота

,

интегрируя еще раз, получаем функцию прогибов

.

Здесь C1 и С2 произвольные постоянные интегрирования долж­ны быть определены из граничных условий.

Если балка имеет постоянное поперечное сечение по длине, то для определения функций прогибов и углов поворота удобно при­менить метод начальных параметров, суть которого в сле­дующем.

Рис. 5.24

Задача заключается в том, чтобы выявить особенности, вноси­мые в уравнение упругой линии, различными типами внешних си­ловых факторов. Для этого составим выражение изгибающих мо­ментов для каждого из пяти участков заданной системы.

Участок I ( 0Ј z Ј l1 )  Mx (z) = 0.

Участок II (l1 Ј z Ј l2 )  Mx (z) = M.

Участок III (l2 Ј z Ј l3 )  Mx (z) = M + P (z - l2).

Участок IV (l3Ј z Ј l4)  Mx (z) = M + P (z - l2) + .

Уч-ток V(l4 Ј z Ј l5) Mx (z) = M + P (z - l2) + .

На участке V, где распределенная нагрузка отсутствует, при выводе выражения для изгибающего момента, с целью сохранения рекуррентности формул для разных участков была приложена взаимоуравновешенная распределенная нагрузка.

Для вывода обобщенного выражения изгибающего мо­мента введем следующий оператор , означающий, что члены выражения, стоящее перед ним следует учитывать при z > li и иг­норировать при z Ј li . На основании этого, обобщенное выражение момента Mx (z) для произвольного сечения z может быть записано единой формулой:

Mx (z) = M+ P (z - l2) +-

. (5.20)

Подставляя (5.20) в (5.19) и дважды интегрируя, получим выра­жение для прогибов:

E Ix y (z) = C0 + C1 z ++

+-. (5.21)

Постоянные интегрирования C0 и C1 по своей сути означают:

C0 = E Ix y (0) , C1 = (5.22)

и определяются из граничных условий на левом конце балки. Тогда формула для прогибов примет следующий оконча­тельный вид:

E Ix y (z) = E Ix y0 + z +++

+-. (5.23)

Соответственно, формула для углов поворотов сечений балки определяется из (5.23) простым дифференцированием:

E Ix j (z) = ++

+-. (5.24)

Как видно, для определения прогибов и углов поворота балок данным методом начальных параметров достаточно знание лишь значений прогиба y0 , угла поворота j0 в начале системы коорди­нат, т.е. так называемых начальных параметров. Поэтому дан­ный метод и называется методом начальных параметров.

5.8. Пример расчета (задача № 10)

Для схем стальных балок I и II, изображенных на рис. 5.25 и 5.26, определить методом начальных параметров углы поворота се­чения и прогиб в точке D. Модуль упругости Е = 2Ч108 кН/м2. По­перечные сечения балок: схема I - круглое диаметром d = 0,24 м, схема II - квадратное со стороной a = 0,2 м.

Решение

Схема I.

1. Определение опорных реакций балки (рис. 5.25)

Sy = 0, R0 + qЧc - P = 0, R0 = -qЧc + P = -10Ч1,4 + 12 = -2 кН;

SM0 =0, ,

M0 = q c (b + 0,5 c) - M - P (b + c + e) = 10Ч1,4Ч(1,8 + 0,5Ч1,4) -

- 20 - 12Ч(1,8 + 1,4 + 1,2) = -37,8 кНЧм.

Для проверки правильности определения опорных реакций сос­тавим уравнения равновесия:

еMD = 0, M0 + R0Ч4,4 + qЧcЧ(0,5Чc + e) + M = -37,8 - 2Ч4,4 +

+ 10Ч1,44Ч(0,5 1,4 + 1,2) + 20 = 46,6 - 46,6 = 0.

Реакции найдены верно.

2. Применение метода начальных параметров. Исполь­зуя уравнение (5.23), для нашего случая запишем:

E Ix y (z) = E Ix y0 + z +-

-+.

Здесь M0 и Q0 - момент и реакция в заделке (т.е. в начале коор­динат). Знак Ѕz > a означает, что слагаемое, после которого он сто­ит, нужно учитывать при z > a и не надо - при z Ј a. Начальные параметры имеют значения: y0 = 0; j0 = 0; M0 = -37,8 кНЧм, R0 = 
= -2 кН (знак реакций определяется по знаку перемещения выз­ванного этими усилиями). Тогда выражение для определения про­гибов будет иметь вид:

E I y (z) = --+
+.

Соответственно выражение для определения углов поворота бу­дет:

=-37,8Чz - z2 +-+
 + 20Ч(z - 3,2).

С помощью этих выражений определяем yD и jD:

кНЧм3.

кНЧм2.

Жесткость сечения при Е = 2Ч108 кН/м2 равна:

кНЧм2.

Тогда, окончательно:

Прогиб точки в происходит вниз, а сечение поворачивается по часовой стрелке.

Схема II.

1. Определение опорных реакций балки (рис. 5.26).

SM0 =0,    RB (b + c + e) - qЧ(c + e)Ч[b + 0,5Ч(c + e)] + M + P b = 0,

=кН;

SMB =0,    R0 (b + c + e) - 0,5ЧqЧ(c + e)2 - M + PЧ(c + e) = 0,

кН.

Для проверки правильности определения опорных реакций сос­тавим уравнение равновесия сил по оси y:

Sy =0; R0 + RB + P - q (c + e) = 7,86 + 14,14 + 8 - 10Ч3 = 30 - 30 = 0.

Реакции найдены верно.

2. Применение метода начальных параметров. Исполь­зуя метод начальных параметров, для рассматриваемой балки запи­шем:

Из условий закрепления балки при z = 0 имеем: y0 = 0; М0=0.

Подставляя числовые значения, получим:

.

В данном выражении неизвестно j0. Из условия закрепления балки при z = b + c + e имеем, что y = 0. Вычисляя прогиб на правом конце балки и приравнивая его к нулю, получим уравнение для определения j0:

.

Отсюда E I j0 = -20,84 кНЧм2. Теперь выражение для определе­ния прогибов будет иметь вид:

.

Соответственно, выражение для определения углов поворота будет:

.

С помощью этих выражений определяем yD и jD:

кHЧм3.

кНЧм2.

Вычисляем жесткость сечения (Е = 2Ч108 кН/м2):

кНЧм2.

Тогда, окончательно,

рад.

Перемещение точки в происходит вниз, а сечение поворачива­ется по часовой стрелке.

5.9. Косой изгиб

Под косым изгибом понимается такой случай изгиба, при котором плоскость изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных осей поперечного сечения (рис. 5.27, а). Косой изгиб удобнее всего рассмотреть как одновременный изгиб бруса относи­тельно главных осей x и y поперечного сечения бруса. Для этого общий вектор изгибающего момента М, действующего в попереч­ном сечении бруса, раскладывается на составляющие момента от­носительно этих осей (рис. 5.27, б):

Mx = MЧsina;     My = MЧcosa . (5.25)

Введем следующее правило знаков для моментов Mx и My -
момент считается положительным, если в первой четверти коорди­натной плоскости (там, где координаты x и y обе положительны) он вызывает сжимающие напряжения.

На основании принципа независимости действия сил нормаль­ное напряжение в произвольной точке, принадлежащей к попереч­ному сечению бруса и имеющей координаты x, y, определяется суммой напряжений, обусловленных моментами Mx и My , т.е.

. (5.26)

Подставляя выражения Mx и My  из (5.25) в (5.26), получим:

.

Из курса аналитической геометрии известно, что последнее вы­ражение представляет собой уравнение плоскости. Следовательно, если в каждой точке сечения отложить по нормали вектор напря­жения s, то концы векторов образуют геометрическое место точек, принадлежащих одной плоскости, как и при поперечном изгибе.

Уравнение нейтральной линии, т.е. геометрического места точек, где нормальное напряжение принимает нулевые значения, найдем, полагая в (5.26) s = 0:

.

Откуда определяется:

. (5.27)

Поскольку свободный член в (5.27) равен нулю нейтральная линия всегда проходит через начало координат. Как видно из выражения (5.26), эпюра напряжений в поперечных сечениях бруса линейна, следовательно, максимальные напряжения в сечении воз­никают в точках наиболее удаленных от нейтральной линии. В том случае, когда сечение имеет простую форму (прямоугольник, круг), положение наиболее опасных точек легко определяется визуально. Для сечений, имеющих сложную форму, необходимо применить графический подход.

Далее покажем, что при косом изгибе нейтральная линия не перпендикулярна к плоскости действия изгибающего момента, как это всегда выполнялось при поперечном изгибе. Действительно угловой коэффициент K1 следа момента (рис. 5.27, б) равен:

K1 = tg a . (5.28)

Угловой же коэффициент нейтральной линии, как это следует из (5.27), определяется выражением:

tg j  = K2 . (5.29)

Так как в общем случае Ix № Iy, то условие перпендикулярности прямых, известное из аналитической геометрии, не соблюдается, поскольку K1 № . Брус, образно выражаясь, предпочитает изги­баться не в плоскости изгибающего момента, а в некоторой другой плоскости, где жесткость на изгиб будет минимальной.

108

где Ix - минимальный момент инерции сечения.

Для определения выражения изгибающего момента Mx (z), дей­ствующего в поперечном сечении стержня, расположенном на рас­стоянии z от начала системы координат, применяя метод сечений к системе, изображенной на рис. 7.2 и рассматривая равновесие отсе­ченной части системы, расположенной левее от заданного сечения, получим:

. (7.3)

При положительном прогибе в выбранной системе координат знак “минус” означает, что момент является отрицательным

Введем следующее обозначение:

. (7.4)

Тогда уравнение (7.2) преобразуется к виду:

. (7.5)

Решение (7.5) записывается в виде:

. (7.6)

Постоянные С1 и С2 определяются из граничных условий зада­чи:

y (0) = 0;      y (l) = 0.

Из первого условия вытекает, что С2 = 0, а из второго полу­чается, что либо С1 = 0 (что нам неинтересно, т.к. в этом случае y (z) є 0), либо

sin kl = 0. (7.7)

Из (7.7) следует, что kl = pn, где n - произвольное целое число. Учитывая (7.4), получаем:

. (7.8)

Это означает, что для того, чтобы центрально сжатый стержень принял криволинейную форму, необходимо, чтобы сжимающая си­ла была равна какому-либо значению из множества Рn по (7.8). Наименьшее из этих значений называется критической силой РKP и будет иметь место при n = 1:

РKP =. (7.9)

Эта сила носит название первой критической эйлеровой силы.

Следовательно, согласно (7.6) при Р = РKP выражение прогибов можно запи­сать в следующем виде:

. (7.10)

Из (7.10) видно, что прогибаться стержень будет по синусоиде. Графики функций прогибов y (z) при различных n изображены на рис. 7.3.

Рис. 7.3

При изменении условий закрепления концов стержня необхо­димо решение дифференциального уравнения его изгиба, но уже в виде:

. (7.11)

Анализ этих решений говорит о том, что все они могут быть представлены в следующем виде:

. (7.12)

где m - коэффициент приведения длины. Он показывает, во сколь­ко раз следует изменить длину шарнирно опертого стержня, чтобы критическая сила для него равнялась бы критической силе стержня длиной l в рассматриваемых условиях закрепления. На рис. 7.4 по­казано несколько видов закрепления стержня и указаны соответст­вующие значения коэффициента m.

7.2. Границы применимости решения Эйлера.
Формула Ясинского

Как показали опыты, решение Эйлера подтверждалось не во всех случаях. Причина состоит в том, что формула Эйлера была получена в предположении, что при любой нагрузке стержень ра­ботает в пределах упругих деформаций по закону Гука. Следова­тельно, его нельзя применять в тех ситуациях, когда напряжения превосходят предел пропорциональности. В связи с этим найдем границы применимости решения Эйлера:

, (7.13)

где  - радиус инерции сечения. Если стержень имеет оди­наковые опорные закрепления в двух взаимно перпендикулярных плоскостях инерции, то при определении значения критической силы и критического напряжения, необходимо брать наименьшее значение момента инерции и, соответственно, радиуса инерции поперечного сечения.

Введем понятие гибкости стержня:

.

Тогда (7.13) принимает вид:

. (7.14)

Из (7.14) следует, что напряжение sКР возрастает по мере уменьшения гибкости стержня. Заметим, что стержень, имеющий неодинаковые опорные закрепления в главных плоскостях и, сле­довательно, неодинаковые приведенные длины, теряет устойчи­вость в той главной плоскости, в которой гибкость стержня имеет наибольшее значение.

Формула Эйлера неприемлема, если напряжения sКР > sП, где sП - предел пропорциональности. Приравнивая (7.14) к пределу пропорциональности, получим предельное значение гибкости:

. (7.15)

Если l > lПРЕД , то формулу Эйлера можно применять. В противном случае ею пользоваться нельзя. Для стали Ст.3 lПРЕД  = 100.

В ситуациях, когда напряжения превышают предел пропорциональности, получение теоретического решения осложняется, т.к. зависимость между напряжениями и деформациями становится не­линейной. В связи с этим, в этих случаях пользуются эмпириче­скими зависимостями. В частности, Ф.С. Ясинский предложил сле­дующую формулу для критических по устойчивости напряжений:

, (7.16)

где a, b - постоянные, зависящие от материала, так для стали Ст.3 a = 3,1Ч105 кН/м2 , b = 11,4Ч102 кН/м2.

При гибкостях стер­жня, находящихся в диа­пазоне 0< l< 40ё50, стер­жень настолько “коро­ток”, что его разрушение происходит по схеме сжа­тия, следовательно, кри­тические напряжения можно приравнять в этом случае к пределу пропор­циональности. Обобщая вышесказанное, зависи­мость критических на­пряжений sКР от гибко­сти стержня l можно представить, как это сделано на рис. 7.5.

Рис. 7.5

7.3. Расчет сжатых стержней на устойчивость

Как правило, основная проблема при расчете сжатых стержней состоит в том, чтобы сжимающие напряжения s не превышали бы критических значений по устойчивости sКР , т.е.

. (7.17)

При продольном изгибе центрально сжатый стержень теряет несущую способность, когда напряжения в его поперечных сечени­ях достигают критических значений. Поэтому необходимо ввести в расчет коэффициент запаса устойчивости n по отноше­нию к критическим напряжениям, с помощью которого и опре­деляется допускаемое напряжение при расчете на устойчивость:

.

При расчете же стержней на растяжение применяют условие s < R, где R - расчетное сопротивление на растяжение.

Для унификации расчетов на растяжение и сжатие введем соот­ношение правых частей двух последних неравенств:

, (7.18)

откуда . И тогда (7.17) можно записать так: s < jR.

Величина j носит название коэффициента уменьшения расчетного сопротивления при расчете на сжатие и явля­ется функцией от гибкости стержня l (табл. 5).

Таким образом, окончательно формула для расчета стержней на устойчивость принимает следующий вид:

. (7.19)

Несмотря на простоту выражения (7.19) расчет сжатых стерж­ней производится, как правило, в несколько этапов. Это связано с тем, что величина j зависит от формы и размеров сечения, поэтому не может быть назначена заранее. В связи с этим, подбор сечения осуществляют итеративно, постепенно приближаясь к тому, чтобы разница между напряжением сжатия s и расчетным сопротивле­нием на растяжение R не превышала бы 3-5.

Таблица 5

7.4. Пример расчета (задача № 15)

Рис. 7.6

Решение

1. Расчет на устойчивость стойки из двутавра. Проверка устойчивости сжатых стержней производится по формуле (7.19). Из сортамента ГОСТ 8239-72 выписываем необходимые дан­ные для двутавра №30: F = 46,5Ч10-4 м2; ix = 0,123 м; iy = 0,0269 м.

Тогда из формулы (7.19) имеем:

Р = j F R . (7.20)

Для нахождения величины j нужно знать максимальную гиб­кость стойки, которая определится из формулы

,

где l0 - приведенная (свободная) длина стойки, l0 = m l. Здесь m -коэффициент приведенной длины, зависящий от способа закрепле­ния концов стойки (для нашего примера m = 0,5), l - длина стойки; imin - минимальный радиус инерции сечения стойки (в данном слу­чае - радиус инерции относительно оси y). Таким образом,

.

По табл. 5 находим j при l = 55,76, интерполируя до третьего знака после запятой:

при l = 50 j = 0,89;

при l = 60 j = 0,86.

Поэтому при l = 55,76

Подставляя значения F, j и R в формулу (7.20), получим допус­тимое значение сжимающей силы с точки зрения устойчивости рассматриваемой стойки:

Р = 0,873Ч46,5Ч10-4Ч1,9Ч105 = 771 кН.

Преимуществом стойки из двутавра является простота конст­рукции и малая трудоемкость изготовления и монтажа, недостат­ком - неравная устойчивость в разных плоскостях.

2. Подбор сечения стойки из двух швеллеров. При рассмотрении этого вопроса составное сечение стойки следует рас­сматривать как цельное, и поэтому расчет приведенной гибкости можно не выполнять. Подбор составного сечения стойки будем производить путем последовательного приближения. Для этого за­даемся произвольным значением j, подбираем сечение и сопостав­ляем возникающие в нем напряжения с расчетным сопротивлени­ем. Эта операция производится до тех пор, пока напряжение, возникающее в стойке, будет достаточно близким к расчетному сопротивлению (отклонение не должно превышать ± 5).

Примем j = 0,6. Из (7.20) определим требуемую площадь F сечения двух швеллеров:

По ГОСТ 8240-72 принимаем швеллер № 24а, для которого

.

Для обеспечения равноустойчивости стойки из двух швеллеров нужно, чтобы гибкость ее была примерно одинаковой в обеих плоскостях. Для принятого сечения из двух швеллеров определим максималь­ную гибкость:

.

По табл. 5 находим значение j для полученной гибкости:

при l = 10 j = 0,99;

при l = 20 j = 0,97.

Для l = 15,24:

;      F = 2 Fшв = 0,00658 м2.

Определяем напряжение в стойке:

кПа Ј R .

Недонапряжение составляет

Необходимо уменьшить сечение стойки. Принимаем стойку из швеллеров № 20 (Fшв = 0,00234 м2; ix = 0,0807 м). Определим гибкость:

По табл. 5 для l = 18,59 находим: j = 0,973, и учитывая, что F = 2Fшв = 0,00468 м2, получим:

кПа Ј R.

Недонапряжение составляет

Принимаем стойку из швеллеров №18 (F = 0,00207 м2; ix =
= 0,0724 м), гибкость которой принимает значение:

По табл. 5 для l = 20,72 находим: j = 0,973; F = 0,0414 м2:

кПа.

Перенапряжение составляет

,что допустимо.

Окончательно принимаем стойку из двух швеллеров №18. Из сортамента ГОСТ 8240-72 выписываем необходимые данные:

Ix = 1090Ч10-8 м4, Iy = 86Ч10-8 м4, z0 = 0,0194 м, h = 0,18 м, b = 0,07 м.

Момент инерции поперечного сечения стойки из двух швелле­ров относительно оси x: Момент инерции составного сечения относительно оси y можно изменять, сближая или удаляя швеллеры один относительно другого. Определим расстояние между швел­лерами из условия, что Iy = 1,2ЧIx . Из рис. 7.6, б имеем с = а +2Чz0 , где а - расстояние между собственными осями y каждого из швеллеров. Тогда:

,

отсюда

м.

Монтажное расстояние между швеллерами будет с = а + 2Чz0  = = 0,1537 + 2Ч0,0194 = 0,1925 м, принимаем c = 0,192 м. Сравнивая сечение из двух швеллеров с заданным двутавровым, видим, что площадь заданного сечения составляет 46,5Ч10-4 м2, а полученного из двух швеллеров - 41,4Ч10-4 м2. Таким образом, расход металла на стойку из двух швеллеров (без учета металла на соединительные планки) будет меньше в 46,5/ 41,4 = 1,12 раза, или на 12, чем на стойку из одного двутавра.

Однако конструкция стойки из двух швеллеров трудоемка в изготовлении по сравнению со стойкой из двутавра. Экономиче­ское преимущество подобранного сечения стойки, состоящего из двух швеллеров, по сравнению с двутавром, объясняется более ра­циональным распределением ее изгибных жесткостей в различных направлениях. Это приводит к выравниванию значений моментов инерции относительно главных центральных осей инерции сечения и тем самым, к равноустойчивости стойки в указанных направле­ниях.

Это положение является важным обстоятельством для разработ­ки оптимальных конструктивных решений с позиции устойчивос­ти.

8. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

8.1. Основные определения

В предыдущих разделах рассматривалось такое нагружение кон­струкций, когда прикладываемые усилия изменялись настолько медленно, что возможно было считать их статическими. В ин­женерной практике же часто встречаются случаи когда нагрузка достаточно быстро изменяет свое направление или величину. Такое нагружение называется динамическим и вызывает значительные силы инерции в сооружении, которые приводят к появлению до­полнительных (к статическим) напряжений и деформаций.

Известны случаи, когда инженерные конструкции, рассчитан­ные с большим запасом прочности на статическую нагрузку, разру­шались под действием сравнительно небольших динамических сил.

155

При изучении динамики упругих систем последние принято классифицировать, прежде всего, по числу их степеней свободы. Под числом степеней свободы понимается число независи­мых координат, определяющих положение материальных точек системы в произволь­ный момент времени.

Рис. 8.1

При исследовании колебаний упругих систем различают собственные (свободные) и вынужденные колебания. Под собствен­ными колебаниями понимается движение системы при отсутствии внешних воздействий. Если колебание системы сопровождается действием внешних сил, то движение называется вынужденным.

Промежуток времени за который совершается полный цикл ко­лебаний, носит название периода собственных или вынужденных колебаний, смотря по тому, о каких колебаниях идет речь. Период колебаний обозначается через Т. Величина обратная Т, называется частотой колебаний:

,

и представляет собой число колебаний в течение одной секунды. В технике в большинстве случаев используется понятие круговой частоты w, представляющей собой число колебаний за 2 p секунд.

8.2. Колебания системы с одной степенью свободы

Рассмотрим систему, изображенную на рис. 8.2. Пренебрегая массой и продольными деформациями консольного бруса, рассмот­рим колебания массы m, закрепленной на свободном конце бруса, при действии силы Р (t), изменяющейся по гармоничному закону по времени t :

Р (t) = Р0Чsin w t, (8.1)

Рис. 8.2

При составлении уравнения движения массы m введем в рас­смот-рение силу инерции PИН =-m, силу сопротивления РC=-a, всегда направленную про­тив движения системы (где a -коэффициент затухания) и внеш­нюю силу Р (t). Перемещение y (t) в любой момент времени можно определить из уравнения:

. (8.2)

где d11 - перемещение массы m по вертикали под действием верти­кальной единичной силы.

Отметим, что природа сил сопротивления может быть резуль­татом сопротивления внешней среды или внутреннего трения, воз­никающего в частицах материала конструкции при деформации системы. Принимаем обозначения:

, (8.3)

где j - частота собственных колебаний конструкции, n - коэффи­циент затухания. Тогда уравнения движения (8.2) принимает следу­ющий вид:

. (8.4)

Решение (8.4) при начальных условиях t = 0, y = y0, , с учетом n < j, принимает вид:

. (8.5)

Здесь приняты следующие обозначения:

 - амплитуда собственных колебаний системы;

 - собственная частота колебаний системы с учетом сил затухания; - сдвиг фазы по времени, возникающий при собственных и вынужденных колеба­ниях, соответственно;

(8.6)

- называется коэффициентом динамичности, он показывает во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний больше статиче­ского перемещения, вызванного максимальным значением возму­щающей статической силы.

График b в зависимости от отношения частот и параметра зату­хания n приведен на рис. 8.3. Откуда следует, что при w ® j Р0Чd11Чb, т.е. амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает, а при n ® 0, w ® j, получаем Р0Чd11Чb ® Ґ. Это явление носит назва­ние резонанса. При n = 0 выражение для b упрощается и прини­мает вид:

.

При больших t первое слагаемое из (8.5), описывающее свобод­ные колебания системы, затухает и колебания системы описыва­ются выражением:

. (8.7)

Заметим, что решение (8.5) при нулевых начальных условиях (), при любых значениях t описывается выражением (8.7).

При выполнении практических расчетов, при известном коэф­фициент b, легко определяется величина максимальных динамических напряже­ний и перемещений в упругих элементах заданной системы:

sДИН = sСТ Ч b; yДИН = yСТ Ч b;

yДИН = P0 Ч d11Ч b; yCT = P0 Ч d11,

где под sСТ, yCT понимается то напряжение и перемещение соответственно, которые возникали бы в сис­теме при статическом приложении максимального значения возму­щающей силы величиной P0.

В случае, если сопоставление частот w и j указывает на их опасную близость w » j, т.е. опасность возникновения резонанса, путем конструктивных мероприятий добиваются изменения той или иной частоты. При этом, наиболее целесообразным является изменение частот в сторону увеличения отношения с тем условием, чтобы добиться наиболее заметного снижения коэффи­циента b.

8.3. Пример расчета (задача № 16)

Определить динамический прогиб и напряжения в опасных се­чениях балок КD и АВ, возникающих под действием работающего электромотора весом G = 10 кН (рис. 8.4, а). Вес неуравновешан­ных частей ротора Р = 1 кН. Эксцентриситет вращающихся масс е = 0,02 м. Число оборотов ротора n = 600 об/мин. Массой балок в расчетах пренебречь. Поперечное сечение балок КD и АВ состоит из двух двутавров №20 (Ix = 1840Ч10-8 м4; Wx = 184Ч10-6 м3). Модуль упругости стали Е = 2Ч108 кН/м2.

Решение

1. Определение статического прогиба в сечении С балки КD и статического напряжения в сечении у задел­ки А. Из уравнений равновесия статики SmD = 0 и SmK = 0 найдем опорные реакции в балке КD (рис. 8.4, б):

кН.

На балку АВ в точке В (К) опоры на консоль передается нагруз­ка Р = 5 кН, равная по величине опорной реакции RK , но обратная по направлению. Из уравнений SmA = 0 и еy = 0 определяем реак­тивные усилия в заделке А балки АВ: МA = 10 кНЧм; RА = 5 кН. Оп­ределив опорные реакции в балках, строим эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М для балок КD и АВ (рис. 8.4, в, г, е, ж). Зная величины изгибающих моментов, возникающих в опас­ных сечениях балок, определяем статические напряжения в сечени­ях С и А:

кН/м2;

кН/м2.

Для определения статического прогиба в точке С балки КD вна­чале предполагаем, что эта балка опирается на абсолютно жесткое основание. Используя метод начальных параметров, составляем уравнение прогибов, приняв начало координат в сечении D.

,

где y0 = 0, М0 = 0, j0 № 0, .

Для нахождения j0 составим уравнение прогиба для сечения К в котором прогиб равен нулю из условий закрепления:

Так как y0 = 0, то, решая это уравнение, получим:

.

Подставив найденное значение j0 в уравнение прогиба для се­чения С, получим формулу для определения :

м.

Для вычисления полного перемещения сечения С с учетом характера опирания балки КD на консольную балку необходимо найти прогиб консольной балки  АВ от действия на нее силы РK = -RK = 5 кН. Для этого, приняв начало координат в сечении В балки АВ, соста­вим уравнение метода начальных параметров для определения прогиба на конце консоли. При начале координат в точке В консоли известными параметрами будут: М0 = МB = 0; Q0 = QB = -РK = -5 кН, а неизве­стными y0 = yB № 0; j0 = jB № 0. Неизвестные начальные параметры y0 и j0 определим из уравнений прогиба и угла поворота для сечения А. Из условия закрепления балки АВ имеем при z = l = 2 м yA = jА = 0.

Составим уравнения метода начальных параметров:

(а)

. (б)

Приравняв к нулю уравнение (а) при z = l м, определяем j0:

.

Подставив найденное значение j0 в уравнение (б) и принимая y = 0 при z = l , получим выражение второго неизвестного на­чального параметра y0 , определяющего прогиб сечения В консоль­ной балки АВ:

;

;

м.

Знак “минус” говорит о том, что конец консольной балки пере­местится вниз.

Определив прогиб и изобразив эпюру перемещений систе­мы (рис. 8.4, з), вычислим величину полного перемещения сече­ния С по формуле:

м.

2. Определение динамического коэффициента и коэффициента эквивалентности. Макси­мальное значение системы внешних сил принимает значение G + bЧP0. Далее определяем коэффициент эквивалентности:

,

где  - амплитудное значение инерционной силы; b =  - коэффициент динамичности. Здесь -частота собственных колебаний;  - частота возмущающей силы.

В рассматриваемом примере:

кН;

.

3. Определение прогиба и напряжений. Максимальное значение напряжения и прогиб, возникающие от совместного действия статических и дина­мических нагрузок, определяем по формулам:

кН/м2,

м.

При коэффициенте КД = 1,145 найдем также напряжение в се­чении А балки АВ:

кН/м2.

Следовательно, полученное значение напряжения больше, чем напряжение в сечении С, где установлен электромотор. Итак, сече­ние в заделке в данном примере является наиболее опасным , и, следовательно, это обстоятельство необходимо учитывать при проверке прочности составных конструкций.

С увеличением числа оборотов двигателя возрастают динамиче­ские напряжения и прогибы балок. Поэтому при проектировании конструкций не следует допускать наступления резонанса (w = j), при котором может наступить разрушение конструкции.

8.4. Соударение твердого тела и системы
с одной степенью свободы

Задача соударения различных механических систем часто встре­чается в инженерной деятельности в различных сферах, поэтому имеет большое практическое значение.

Взаимодействие тел, при котором за очень малый промежуток времени скачкообразно изменяются скорости взаимодействующих тел, называется ударом. В период взаимодействия соударяемых тел между ними развивается результирующая контактная сила. Хотя время действия контактной силы обычно очень мало и измеряется микро- или миллисекундами, она развивается очень быстро и принимает большие значения.

Задача соударения твердых деформируемых тел в механике, как правило, относится к классу динамических контактных задач со смешанными граничными условиями, содер­жащими в себе многие трудности математического порядка при их решении, которые не всегда могут быть преодолены простыми инженерными способами. Эти трудности в первую очередь связаны с определением с определением характера изменения функции напряжения в зоне контакта соударяемых тел по пространственным координатам и во времени. Большие сложности возникают и при учете волновых процессов, возникающих, как в зоне контакта, так и внутри соударяемых тел. Например, дифракционных волно­вых процессов по контуру в зоне контакта, и интерферен­ционных явлений внутри соударяемых тел. Здесь существенное значение приобретает и учет фактора рассеяния энергии, трудно поддающийся анализу в данном случае.

Исходя из вышеизложенного, ниже при решении задач, приме­няется упрощенный инженерный подход, основанный на следую­щих упрощающих предпосылках.

При взаимодействии соударяемых тел они принимаются или идеально упругими, или абсолютно твердыми. Деформации в упругих соударяемых телах происходят мгновенно.

С применением энергетического подхода рассмотрим соударе­ние падающего груза массой М с высоты h на систему с одной сте­пенью свободы (рис. 8.5). Считаем, что масса балки m сосредо­точена в месте соударения.

Рис. 8.5

Составим энергетический баланс заданной системы в момент возникновения максимальных прогибов балки:

К0 + П = U + К, (8.8)

где - кинетическая энергия пада­ющего груза в момент соударения с балкой; П = (М + m)ЧgЧymax -работа внешних сил на перемещение ymax; - потен­циальная энергия деформации балки; К - кинетическая энергия системы при y = ymax.

Так как в состоянии наибольшего отклонения балки, y = ymax, , то для указанного момента времени К = 0. С учетом вышеизложенного (8.8) принимает вид:

, (8.9)

или

. (8.10)

Величина d11 - прогиб, который получила бы балка под дейст­вием единичной статической силы, приложенной в месте удара. Следовательно, yCТ = M g d11 представляет собой прогиб который получила бы балка под действием статически прикладываемой си­лы, равной весу падающего груза G = M g . Тогда уравнение (8.10) можно представить в виде:

.

Из решения последнего уравнения получаем:

. (8.11)

Отсюда, учитывая, что коэффициент динамичности определяет во сколько раз максимальный прогиб при динамическом нагру­жении больше прогиба, возникающего при статическом характере приложения нагрузки, получим:

. (8.12)

Величина коэффициента динамичности b, как показывает вы­ражение (8.12), зависит главным образом от жесткости рассмат­риваемой системы в направлении удара и от кинетической энергии падающего груза в момент соударения.

Для упругих систем динамические напряжения и остальные внутренние силовые факторы определяются по той же схеме, как и прогибы. Например, для напряжений, имеем:

sДИН = b Ч sCТ . (8.13)

В тех случаях, когда масса балки m мала, по сравнению с мас­сой груза M, из (8.12), принимая m = 0, получим:

. (8.14)

В частности, если груз прикладывается на упругую систему мгновенно, тогда задавая h = 0 из (8.14), коэффициент динамичности принимает значение b = 2.

8.5. Пример расчета (задача № 17)

Груз G = 1,2 кН падает с высоты h = 0,12 м в точку С двутав­ровой балки КD, опирающейся на упругое сооружение, состоящее из двух балок АК и DМ (рис. 8.6, а). Сечение балки КD-двутавр №18 (Ix = 1290Ч10-8 м4 ; Wx = 143Ч10-6 м3). Сечение балок АК и DМ - двутавр №30 (Ix = 7080Ч10-8 м4; Wx = 472Ч10-6 м3). Длина ба­лок l = 1,2 м. Модуль упругости Е = 2Ч108 кН/м2.

Определить динамические напряжения в опасных сечениях ба­лок. Сравнить полученные напряжения с теми, которые появятся в балках, если балка КD будет опираться на абсолютно жесткое осно­вание.

Решение

Из уравнений равновесия балки SmK = 0 и SmD = 0 находим опорные реакции RK , RD :

 кН.

Для проверки правильности найденных опорных реакций сос­тавляем уравнение равновесия Sy = 0:   0,8 + 0,4 - 1,2 = 0;    0 = 0.

Затем строим эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для рассматриваемой балки КD и двух консольных балок АК и DМ (рис. 8.6, б, в, г, д, е).

1. Определение полного статического прогиба сече­ния С балки КD. С начала определим статический прогиб сече­ния С балки КD при опирании ее на абсолютно жесткое основание. Составим уравнение прогиба методом начальных параметров, при­няв начало координат в сечении К:

. (8.15)

При этом, y0 = 0; M0 = 0; j0 № 0; Q0 = RK . Для нахождения j0 используем условие отсутствия прогиба в сечении D yD = 0. При
z = l м имеем:

;     .

Теперь, подставив найденное значение j0 в уравнение (8.15), получим формулу для определения прогиба сечения С:

м.

Для определения полного прогиба сечения С с учетом упругого характера опирания балки КD (рис. 8.6, ж) необходимо предварительно найти прогибы концов консольных балок АК и DМ. Для этого воспользуемся фор­мулой, полученной в задаче № 16:

м;

м.

Эпюра перемещений для составной конструкции из балок изо­бражена на рис. 8.6, ж. Величину полного перемещения сечения С балки с учетом перемещения его в результате смещения опор балки КD, опирающейся на консольные балки, определяем по формуле:

.

2. Определение динамических коэффициентов и на­пряжений. Динамический коэффициент при падении груза G на балку КD, опирающуюся на консольные балки АК и DМ, опреде­ляем по формуле:

а при опирании балки КD на абсолютно жесткое основание -

.

Для вычисления динамических напряжений необходимо внача­ле определить статические напряжения, возникающие в сечении С:

кН/м2,

а затем динамические напряжения:

.

Динамические напряжения, возникающие в сечении С балки КD, опирающейся на консольные балки,

кН/м2,

и динамические напряжения, возникающие в сечении С балки КD, опирающейся на абсолютно жесткое основание:

кН/м2.

Таким образом, если опоры лежат на абсолютно жестком осно­вание, то в сечении С возникают динамические напряжения в раза большие по величине. Статические напряжения, возникающие в сечении А:

кН/м2.

При динамическом коэффициенте КД = 78,1, полученном в предположении упругого опирания балки КD в точках К и D, нахо­дим динамические напряжения в сечении А:

кН/м2.

Статическое и динамическое напряжения в сечении М балки DМ:

кН/м2.

кН/м2.

Следовательно, вне зависимости от того, на какое основание опирается балка KD, опасное сечение находится в точке удара.

171

Для пластичного материала предельным обычно считается, на­пряженное состояние, которое соответствует возникновению замет­ных остаточных деформаций, а для хрупкого - такое, при котором начинается разрушение материала.

Для выполнения расчетов на прочность вводятся понятия ко­эффициента запаса прочности и эффективное напряже­ние.

Коэффициент запаса при данном напряженном состоянии это число, показывающее во сколько раз следует одновременно увели­чить все компоненты тензора напряжений, чтобы оно стало предельным.

Эквивалентное напряжение sЭКВ - это такое напряжение, кото­рое следует создать в растянутом образце, чтобы его напряженное состояние было равно опасно с заданным.

Для пластичных материалов критерием наступления предельно­го состояния принимается состояние, при котором максимальные касательные напряжения достигают некоторого предельного значе­ния:

sЭКВ = 2 tmax = s1 - s3 . (10.24)

Гипотеза максимальных касательных напряжений, приемлемая для пластичных материалов, обнаруживает заметные погрешности для материалов, имеющих различные механические характеристики при сжатии и растяжении.

В таких случаях применяется энергетическая гипотеза, согласно которой предельное состояние в точке наступает тогда, когда выра­жение

(10.25)

принимает некоторое заранее заданное значение. Это предельное значение для UОФ определяется следующим образом. Для простого растяжения выражение (10.25) принимает вид:

.

В сложном напряженном состоянии UОФ принимает значение

. (10.26)

При совместном рассмотрении (10.25) и (10.26) получим:

sЭКВ или

sЭКВ .

10.7. Плоская задача в декартовых координатах

На практике различают два вида плоской задачи - плоскую де­формацию и обобщенное плоское напряженное состояние.

В случае плоской деформации линейные деформации вдоль од­ной из координатных осей, например, оси z отсутствуют, а напря­жения имеются ezz = 0; szz № 0. Примером плоской деформации может служить деформация длинной стенки постоянного сечения, в случаях когда внешние нагрузки расположены в плоскостях, перпендикулярных оси z, где ось z направлена вдоль стенки.

Примером обобщенного плоского напряженного состояния мо­жет служить напряженно-деформированное состояние тонкой пла­стины, в случае, когда внешние нагрузки приложены по ее контуру и равномерно распределены по толщине пластины рис. 10.5.

Расположим начало системы координат x, y, z в серединной плоскости пластины, а ось z направим перпендикулярно к ней, тогда будем иметь: ezz № 0; szz = 0.

Плоская задача теории упругости, как и объемная задача, может быть решена как в перемещениях, так и в напряжениях.

Здесь рассмотрим решение плоской задачи обобщенного на­пряженного состояния в напряжениях допуская, что объемной си­лой является собственный вес, постоянный для всех точек тела. Пусть gy - вес единицы объема тела. В данном случае искомыми величинами являются следующие три компонента вектора напря­жений sxx , syy , txy . Предполагая, что szz = 0 и все производные по оси z равны нулю, основные уравнения теории упругости значи­тельно упростятся и примут вид:

уравнения равновесия

(10.27)

уравнения неразрывности деформации

; (10.28)

физические уравнения, т.е. закон Гука:

(10.29)

В результате совместного рассмотрения этих выражений полу­чим:

С2 (sxx + syy ) = 0, (10.30)

где - оператор Лапласа.

Следовательно, решение краевой задачи теории упругости в напряжениях, в случае обобщенного плоского напряженного сос­тояния, упрощается и сводится к решению уравнения (10.30) с учетом граничных условий, заданных на контуре тела:

,

где v  - внешняя нормаль к площадке; X, Y - компоненты полного напряжения на границе по осям x и y.

Решение плоской задачи теории упругости значительно упро­щаются с использованием функции напряжений Эри j (x, y), вы­бранной таким образом, чтобы уравнения равновесия (10.27) пре­вращались бы в тождества, т.е.:

. (10.31)

Подставляя первые два выражения (10.31) в (10.30) получим:

. (10.32)

Таким образом, решение плоской задачи в напряжениях сво­дится к решению уравнения (10.32) с учетом заданных в напряже­ниях граничных условий.

10.8. Пример расчета (задача № 19)

Определить главные напряжения и направления главных пло­щадок, если напряженное состояние в точке задано следующими компонентами: sxx = 50 МПа, syy = -20 МПа, szz = 30 МПа, txy = 
= -10 МПа, tyz = 10 МПа, tzx = 10 МПа.

Решение

1. В соответствии с (10.14) определяем инварианты заданного напряженного состояния:

I 1 = sxx + syy + szz = 50 - 20 + 30 = 60 МПа;

I 2= sxx  syy  + syy  szz +sxx  szz -= 50Ч(-20) + 
+ (-20)Ч30 + 30Ч50 - 102 - 102 - 102 = -400 МПа.

I 3=sxx  syy szz -=
= 50Ч(-20)Ч30 -50Ч102 -(-20)Ч102 -30 -102 + 2Ч(-10)Ч10Ч10 =-38000 МПа.

Определяем коэффициенты уравнения (10.13). Если сделать

замену неизвестного S =s = x +, то из (10.13) получаем приве­денное уравнение:

,

где

p = -400- =-1600,    q =.

Определим дискриминант приведенного уравнения:

.

Так как дискриминант отрицателен, значит все корни приве­денного уравнения вещественные.

3. Вычисление величин главных напряжений. Для решения приведенного уравнения применим формулу Кардано:

,

где

cos j ®j = 124,63°;

cos (j/3) = cos (41,54°) = 0,7484; cos (j/3+2 p/3)=-0,9486; cos (j/3 + + 4 p/3) = 0,2;

;

.

Окончательно получим:

s1 = 34,57 + 60/3 = 54,57 МПа;

s2 = -43,81 + 60/3 = -23,8 МПа;

s3 = 9,22 + 60/3 = 29,22 МПа.

Проверка правильности вычисления главных напряжений: так как I1, I2 и I3 - инварианты, значит их значения постоянны. Ранее были получены их значения в заданной системе координат. Сейчас же найдем их значения в главной системе координат:

I1 = s1 + s2 + s3 = 54,57 - 23,8 + 29,22 = 59,99 МПа;

I2= s1 s2 + s1 s3 + s2 s3 = 54,57Ч(-23,8) - 23,8Ч29,22 + 29,22Ч54,57 =
= -400,2 МПа;

I3 = s1 s2 s3 = 54,57Ч(-23,8)Ч29,22 = -37950 МПа.

Результаты вычислений I1, I2 и I3 в рамках допустимых откло­нений совпадают с результатами, полученными в п. 1 решения.

4. Определяем направляющие косинусы главных площадок. Си­стема уравнений для определения l1, m1, n1 имеет следующий вид:

(50 - 54,57) l1 - 10 m1 + 10 n1 = 0;

-10 l1 - (20 + 54,57) m1 + 10 n1 =0;

.

Решение этой системы: l1 = -0,9334; m1 = 0,0785; n1 = -0,3486. Условия проверки выполняются: (-0,9334)2 +(-0,3486)2 + 0,07852 @1.

Система уравнений для определения l2, m2, n2 имеет следую­щий вид:

(50 + 23,81) l2 -10 m2 + 10 n2 = 0;

-10 l2 + (-20 + 23,81) m2 + 10 n2 =0;

.

Решение этой системы: l2 = -0,159; m2 = 0,965; n2 = -0,2086. Условия проверки выполняются: 0,1592 + 0,9652 + (-0,2086)2 @ 1.

Система уравнений для определения l3, m3, n3 имеет следую­щий вид:

(50 - 29,22) l3 - 10 m3 + 10 n3 = 0;

-10 l3 + (-20 - 29,22) m3 + 10 n3 =0;

.

Решение этой системы: l3 = 0,5515; m3 = 0,4328; n3 = -0,7132. Условия проверки выполняются: 0,55152 + 0,43282 + (-0,7132)2 @ 1.

10.9. Пример расчета (задача № 20)

Рис. 10.6

j = 2 b x3 - 3 x2 y2 + y4.

Требуется:

1. Проверить возможность существования такой функции на­пряжений;

2. По функции напряжений найти выражения компонентов на­пряжений;

3. Выяснить характер распределенных по кромкам пластины внешних сил, под действием которых имеет место данная система напряжений, и построить эпюры напряжений;

4. По полученным эпюрам напряжений, принимая их за эпюры распределенной внешней нагрузки, произвести проверку равнове­сия пластины.

Решение

1. Проверить возможность существования такой функ­ции напряжений. Для выполнения проверки существования за­данной функции напряжений выполним ее дифференцирование:

;

;

.

Подставив четвертые производные в бигармоническое уравне­ние (10.32), видим, что оно удовлетворяется: 0 + 2 (-12) + 24 = 0. Следовательно, напряженное состояние пластины, выраженное за­аной функцией напряжений, возможно.

2. По функции напряжений найти выражения ком­понентов напряжений. Компоненты напряжений, действую­щих по кромкам пластины, равны:

3. Выяснить характер распределенных по кромкам пластины внешних сил, под действием которых имеет место данная система напряжений, и построить эпюры напряжений. Используя функциональные компоненты напряже­ний в пластине, построим соответствующие эпюры напряжений по контуру пластины на каждой ее боковой стороне.

Сторона 0-1-2 (x = 0, 0 Ј y Ј b). На этой грани действуют напряжения sxx = 12 y2 ; txy = 0:

y = 0 (точка 0) sxx = 0, txy = 0,

y = b/2 (точка 1) sxx = 3 b2, txy = 0,

y = b (точка 2) sxx = 12 b2, txy = 0.

Сторона 2-3 (0 Ј x Ј 2 b, y = b). На этой грани действуют напряжения syy = 12 b x - 6 b2 ; txy = 12 b x:

x = 0 (точка 2) syy = -6 b2, txy = 0,

x = 2 b (точка 3) syy = 18 b2, txy = 24 b2.

Сторона 3-4-5 (x = 2 b, 0 Ј y Ј b). На этой грани действуют напряжения sxx = -24 b2 + 12 y2; txy = 24 b y:

y = 0 (точка 5) sxx = -24 b2, txy = 0,

y = b/2 (точка 4) sxx = -21 b2, txy = 12 b2,

y = b (точка 3) sxx = -12 b2, txy = 24 b2.

Сторона 0-5 (0 Ј x Ј 2 b, y = 0). На этой грани действуют напряжения syy = 12 b x ; txy = 0:

x = 0 (точка 0) syy = 0, txy = 0,

x = 2 b (точка 5) syy = 24 b2, txy = 0.

По полученным результатам строим эпюры sxx , syy и txy , ко­торые приведены на рис. 10.7.

4. По полученным эпюрам напряжений, принимая их за эпюры распределенной внешней нагрузки, произвести про­верку равновесия пластины. Выполним проверку равновесия пластины. Для этой цели найдем равнодействующие внешних сил, действующих по кромкам пластины (рис. 10.8):

Подсчет значений равнодействующих сил (рис. 10.8):

Далее определяются статические моменты площадей эпюры нормальных напряжений, действующих по кромкам пластины, от­носительно координатных осей x и y, с целью вычисления коорди­нат точек приложения равнодействующих сил от нормальных на­пряжений:

Расстояния от точек действия результирующих нормальных сил до соответствующих координатных осей принимают следующие значения (рис. 10.8):

В заключении, проверим условия нахождения пластины в рав­новесном состоянии:

Уравнения равновесия удовлетворяются, следовательно, пласти­на находится в равновесном состоянии.

10.10. Основы теории пластичности

При испытании образцов обнаруживаются следующие основ­ные особенности характера деформирования материалов при их нагружении. Упругость - после разгрузки образец полностью восстанавливает свои первоначальные размеры. При этом, если в процессе нагружения связь между напряжениями и деформациями является линейной, то материал называется линейно-упругим или идеально упругим. В противном случае, то есть, если между напряжениями и деформациями связь обнаруживается нелинейной, то материал называется нелинейно упругим.

Теория, в которой в качестве физических соотношений приме­няются линейные соотношения между напряжениями и деформа­циями, т.е. закон Гука, называется теорией идеальной упру­гости. Теория, в которой закон Гука заменяется некоторыми не­линейными соотношениями (ввиду их многообразия), называется нелинейной теорией упругости.

Физические соотношения теории упругости позволяют описать напряженно-деформированное состояние нагруженного тела до оп­ределенных пределов их нагружения, называемой пределом упругости. При напряжениях, превышающих предел упругости, после разрузки наблюдаются заметные остаточные деформации. Свойство материалов относительно неспособности восстанавливать первоначальные размеры образцов после их разгрузки за счет возникновения остаточных деформаций, называется пластич­ностью.

Физические соотношения, взятые в основу теории, позволя­ющие определить переход напряженно-деформированного сос­тояния от упругой стадии к упруго-пластической и описать про­цесс деформирования тела с учетом пластических свойств мате­риалов, называются теорией пластичности.

Учет пластических свойств материалов является чрезвычайно важным этапом в плане совершенствования методов расчета конст­рукций. Если конструкции из хрупких материалов вплоть до стадии разрушения при действии внешних сил не развивают заметных пластических деформаций, то для конструкций из пластических материалов основные деформации формируются именно за счет возникновения пластических деформаций. Так например, полные деформации, соответствующие концу площадки текучести на ре­альной диаграмме, для многих материалов в 30 - 40 раз превышают деформации, соответствующие концу линейного участка.

В настоящее время существуют две теории пластичности. Их различие заключается в конкретной записи физических соотноше­ний. Что же касается двух других основных соотношений механики сплошной среды - уравнений равновесия (10.1), (10.2), и соотно­шений, устанавливающих взаимосвязь между перемещениями и де­формациями (10.16), то они идентичны в обеих теориях пластич­ности и имеют тот же вид, что и в теории упругости.

В деформационной теории пластичности, разработан­ной А.А. Ильюшиным, взамен закона Гука устанавливаются новые соотношения между напряжениями и деформациями.

Во второй теории - теории течения, физические соотноше­ния связывают напряжения с приращениями деформаций или ско­ростями деформаций.

Как показывают экспериментальные исследования, деформаци­онная теория пластичности справедлива при относительно неболь­ших пластических деформациях для простого нагружения, т.е. ког­да все внешние нагрузки изменяются пропорционально во време­ни.

Теория течения является эффективным при изучении процес­сов, связанных с возникновением больших деформаций и при сложном нагружении, т.е. когда нагрузки, прикладываемые к телу, изменяются во времени независимо друг от друга.

Здесь ограничимся рассмотрением только деформационной теории пластичности.

Процесс деформирования материалов можно условно разделить на две стадии. Начальная стадия - упругое деформирование. Компоненты тензоров напряжений и деформаций при этом связа­ны законом Гука. (10.18)-(10.19). Для реальных инженерных задач, связанных с определением напряженно-деформированного состоя­ния тела, как в упругой, так и в упруго-пластической ста­дии деформирования, предварительно необходимо установить: во-первых, условие перехода от упругой стадии деформирования к пластической стадии и, во-вторых, установить физические зависи­мости во второй стадии деформирования.

Условия перехода от упругого состояния к пластическому могут быть определены по формулам одной из гипотез предельного сос­тояния.

Как это было изложено в п. 10.6, наиболее приемлемыми являются гипотезы максимальных касательных напряже­ний и энергии формоизменения. При этом, для построения соотношений пластичности гипотеза энергии формоизменения яв­ляется наиболее приемлемой, согласно которой переход из упруго­го состояния в пластическое происходит тогда, когда величина

(10.30)

называемая интенсивностью напряжений, достигает определенной величины, равной пределу текучести материала sT при одноосном напряженном состоянии, т.е.

si = sT. (10.31)

С учетом физических соотношений (10.18) и (10.19) выражение (10.30) принмает вид:

si = E ei , (10.32)

где принято обозначение:

(10.33)

называемое интенсивностью деформаций.

Следовательно, соотношение (10.32), следует рассматривать как одну из форм выражения обобщенного закона Гука.

Выражения интенсивности напряжений и интенсивности де­формаций, записанные через главные напряжения и деформации можно представить в виде:

(10.34)

В основу деформационной теории пластичности заложены сле­дующие гипотезы.

Рис. 10.9

, (10.35)

где E(ei) - является переменной величиной и зависит от значе­ния ei. Соотношения (10.35) яв­ляются едиными для всех видов напряженного состояния.

Согласно второй гипотезе - изменение объема является чисто упругой. Это положение хорошо согласуется с экспериментальными данными, так как при всестороннем сжатии в материалах заметных плас­тических деформаций не обнаруживается.

При деформировании материалов пластические деформации, как правило, существенно больше упругих и, учитывая, что объ­емная деформация e является величиной порядка упругих удлине­ний, поэтому принимается, что при пластическом деформи-ровании изменение объема пренебрежительно мало. На основании этого по­ложения вводится гипотеза, что в пластической стадии деформи­рования материал считается несжимаемым. Откуда следует, что в пластической стадии деформирования можно коэффициент Пуас­сона принимать равным m = 0,5.

Сначала определим физические соотношения при одноосном растяжении, когда

Из (10.30) и (10.33), соответственно получим ei = e и si = s, что подтверждает первое положение теории, что аналитическое вы­ражение (10.35) едино для всех видов напряженного состояния. Данное обстоятельство позволяет определить переменный модуль деформирования по диаграмме s ~ e, т.е. .

В заключение, аналогично соотношениям (10.18)-(10.19) запи­шем физические соотношения между напряжениями и деформа­циями при пластической стадии деформирования тела:

здесь является модулем деформации при сдвиге, кото­рый определяется следующим образом:

. (10.37)

Приведенные физические соотношения деформационной тео­рии пластичности являются справедливыми при простых нагруже­ниях, т.е. только в тех случаях, когда все внешние силы на всех этапах нагружения во времени изменяются пропорционально. В данном случае заметим, что главные оси напряженного состояния при изменении внешних сил сохраняют свое направление незави­симо от стадии деформирования.

10.11. Пример расчета (задача № 21)

Для трехстержневой системы (рис. 10.10, а) при условии, что диаграмма растяжения для стержней имеет участок упрочнения (рис. 10.10, б), при следующих исходных данных: a = 30°; l = 1,0 м; F = 2Ч10-4 м2 - площади поперечных сечений стержней; E =  2Ч108 кН/м2 - модуль упругости материалов стержней; sT = = 2,5Ч105 кН/м2 - предел упругости материала; sB = 3,9Ч105 кН/м2 - временное сопротивление; eB = 0,02 - значение деформации, соот­ветствующее напряжению sB , требуется:

1. Определить абсолютные и относительные удлинения стерж­ней и значение силы P = P1, при котором в наиболее напряженном стержне напряжения достигают предела упругости;

2. Определить абсолютные и относительные удлинения стерж­ней и значение силы P = P2, при котором все элементы заданной системы переходят в пластическую стадию деформирования;

3. Определить абсолютные и относительные удлинения стерж­ней и значение силы P = P3, при котором в наиболее напряженном стержне напряжения достигают значения, равного временному со­противлению sB , т.е. при дальнейшем увеличении силы P проис­ходит разрушение заданной системы;

4. Рассматривая систему (рис. 10.10, а) при отсуствии среднего стержня в процессе ее нагружения, определить абсолютные и отно­сительные удлинения элементов системы, и внешней силы P = P4, при котором в ее элементах напряжения достигают значения, рав­ного временному сопротивлению sB .

Решение

1. Определить абсолютные и относительные удлине­ния стержней и значение силы P = P1, при котором в наиболее напряженном стержне напряжения достигают предела упругости. Заданная система (рис. 10.10, а) один раз статически неопределима. Применяя метод сечений (рис. 10.10, б) и составляя уравнения равновесия статики, последовательно можем определить:

или

. (10.38)

Согласно деформированной схеме, изображенной на рис. 10.10, а, из геометрических соображений, уравнения для опре­деления относительных деформаций записываются в виде:

. (10.39)

С учетом , и принимая во внимание, что на первом этапе нагружения все элементы заданной системы деформируются согласно закону Гука, т.е. , получим:

. (10.40)

С учетом (10.40) из (10.38) и (10.39) можно получить следу­ющую замкнутую систему уравнений относительно усилий N1 и N2:

Откуда определяются:

. (10.41)

Для выражения напряжения в среднем в элементах заданной системы имеем:

(10.42)

Откуда следует, что s(2) > s(1). Следовательно, в процессе на­гружения сначала средний стержень переходит в пластическую ста­дию деформирования, а затем боковые стержни, т.е. при всех на­гружения средний стержень, вплоть до стадии разрушения задан­ной системы, будет наиболее напряженным.

Принимая в (10.42), что s(2) = sT и P = P1, окончательно полу­чим:

кН.

Абсолютные удлинения стержней принимают значения:

Относительные удлинения стержней принимают значения:

2. Определить абсолютные и относительные удлине­ния стержней и значение силы P = P2, при котором все элементы заданной системы переходят в пластическую стадию деформирования. Физические уравнения взамен закона Гука в случае, когда стержни переходят в пластическую стадию деформирования, т.е. при sT Ј s Ј sB , eT Ј e Ј eB , в данном случае записываются в виде:

, (10.43)

которое представляет собой уравнение прямой линии, описыва­ющей диаграмму деформирования в области пластических дефор­маций (рис. 10.10, в).

В начале по очевидным соотношениям определяется значение деформаций eT , соответствующее началу пластической стадии де­формирования стержней и модуля деформаций в пластической ста­дии их деформирования:

кН/м2.

Заметим, что на данном этапе нагружения, т.е. когда P1 Ј P Ј  Ј P2, боковые элементы заданной системы деформируются упруго, а средний элемент - будет находиться в пластическом состоянии.

Учитывая, что при P = P2 будем иметь s(2)= sT , e(2)= eT , по­следовательно определим значения усилий и абсолютное удлинение в боковых стержнях при их переходе в пластическую стадию де­формирования:

кН;

м.

Учитывая выражения (10.39) и (10.43) определяется значение абсолютного и абсолютного удлинения, а также усилия в среднем стержне, в момент перехода боковых стержней в пластическую стадию их деформирования:

м;

м;

кН.

Далее из уравнения равновесия (10.38) вычисляется величина внешней силы P = P2:

кН.

3. Определить абсолютные и относительные удлине­ния стержней и значение силы P = P3, при котором в наиболее напряженном стержне напряжения достигают значения, равного временному сопротивлению sB , т.е. при дальнейшем увеличении силы P происходит разруше­ние заданной системы. Сначала вычисляем значения удлине­ний в боковых стержнях, при достижении в среднем стержне пре­дельных напряжений и деформаций s(2)= sB , e(2) = eB .

Учитывая, что получим:

Таким образом, к моменту разрушения среднего стержня (s(2)= = sB , e(2) = eB ) боковые стержни также находятся в пластической стадии деформирования. Напряжения в боковых стержнях, в мо­мент разрушения среднего стержня, принимают значения:

кН/м2.

Для определения величины внешней силы P = P3, т.е. значения силы в момент разрушения среднего стержня из уравнения равно­весия (10.38) имеем:

кН.

Как показывают результаты расчетов, для перехода среднего стержня в пластическую стадию деформирования необходима была внешняя сила P = P1 = 119,5 кН, а для его разрушения - P = P3 = = 200,97 кН.

На основании полученных результатов можно заметить, что если бы мы ограничивались только учетом упругой стадии работы конструкции, т.е. P Ј P1, то несущая способность заданной систе­мы оценивалась бы как P = P1 = 119,5 кН.

Как показали расчеты, учет пластической стадии работы позво­лил выявить дополнительные резервы несущей способности задан­ной системы, т.к. величина разрушающей силы заданной системы в действительности равна P = P3 = 200,97 кН.

В заключении определим величины абсолютных удлинений стержней в момент разрушения среднего стержня:

м;

м.

Легко определить во сколько раз абсолютные удлинения стерж­ней возросли за счет возникновения пластических деформаций по отношению к их абсолютным удлинениям в момент перехода среднего стержня от упругой к пластической стадии деформирова­ния:

раз;

раз.

4. Рассматривая систему (рис. 10.10, а) при отсутствии среднего стержня в процессе ее нагружения, определить абсолютные и относительные удлинения элементов сис­темы, и внешней силы P = P4, при котором в ее элемен­тах напряжения достигают значения, равного времен­ному сопротивлению sB . Исключая средний стержень, система превращается из статически неопределимой в статически опреде­лимую. Применяя метод сечений, легко установить, что уравнения равновесия в данном случае принимают следующий вид:

. (10.44)

В конце упругой стадии работы элементов заданной системы имеем, что s(1)= sT , e(1)= eT . С учетом данного обстоятельства последовательно определим значение усилия N1, абсолютное удли­нение стержней и величину силы P = P1, соответствующих концу упругой стадии работы данной системы:

кН;

м;

кН.

При дальнейшем нагружении системы, то есть при P > P1 = = 86,6 кН, элементы данной системы переходят в пластическую стадию деформирования. Последовательно определим значение внутренних усилий, абсолютных удлинений и величину разруша­ющей силы P = P2, при достижении напряжений и деформаций предельных значений. Т.е. при s(2)= sB , e(2)= eB :

кН;

м;

кН.

218

Нормальное и касательное напряжение обозначаются через s и t, соответственно, с двумя индексами: sxx , syy ,..., tzx . Первый индекс соответствует координатной оси, перпендикулярной к пло­щадке на которой действует данное напряжение, а второй - оси, вдоль которой оно направлено. Поскольку, у нормальных напряже­ний оба индекса одинаковы, то для них применяют и одномерную индексацию: sxx = sx , syy = sy , и szz = sz . Ориентация осей является произвольной.

Правило знаков примем следующее: если внешняя нормаль к площадке совпадает по направлению с положительным направле­нием соответствующей оси, то напряжение считается положитель­ным, если оно направлено вдоль положительного направления оси, вдоль которой оно действует. Так, на рис. 10.1 все напряжения положительные.

Из трех условий равновесия параллелепипеда в виде суммы мо­ментов относительно координатных осей достаточно просто полу­чить важные утверждения, что

tyz = tzy ;    tzx = txz ;    txy = tyx . (10.1)

То есть, на двух взаимно перпендикулярных площадках состав­ляющие касательных напряжений, перпендикулярные к общему ребру, равны по величине и направлены обе либо к ребру, либо от него. Это утверждение - закон парности касательных на­пряжений, сформулированный в общем виде.

Рассматривая же равновесие параллелепипеда в виде суммы сил по направлениям координатных осей, и отбрасывая величины второго порядка ма­лости, легко получить дифференциальные уравнения его равнове­сия:

;

; (10.2)

,

где gx , gy , gz - составляющие объемных сил вдоль координатных осей.

С учетом закона парности касательных напряжений (10.1), уравнения (10.2) содержат шесть неизвестных напряжений: sx , sy , sz , txy , txz , tyz . Поскольку количество уравнений равновесия ста­тики (10.2), меньше, чем количество неизвестных напряжений, то в общем случае задача определения напряженного состояния в произвольной точке сплошной среды нагруженного тела, является статически неопределимой.

10.2. Определение напряжений на произвольной площадке. Главные оси и главные напряжения

Из напряженного тела в окрестности произвольной точки вы­делим элементарный объем в виде тетраэдра (рис. 10.2).

Ориентация площадки в пространстве задается направляющими косинусами нормали v к ней - l = cos (x, v), m = cos (y, v), n =
= cos  (z, v).

Вектор полного напряжения на произвольной площадке abc спроецируем на оси x, y и z. Обозначим эти проекции через , , . Обозначая площадь треугольников abc, a0b, b0c, a0c через dF, dFx , dFy , dFz , соответственно будем иметь:

dFx = dFЧl;     dFy = dFЧm;     dFz = dFЧn. (10.3)

Проецируя все силы, действующие на выделенный элемент, по­следовательно на оси x, y, z и с учетом (10.3) получим:

X = sx Ч l + tyx Ч m + tzx Ч n;

Y = tyx Ч l + sy Ч m + tzy Чn; (10.4)

Z = tzx Ч l + tzy Ч m + sz Чn.

Выразим нормальное напряжение sv на наклонной площадке через X, Y, Z:

sv = X Ч l + Y Ч m + Z Ч n . (10.5)

Отcюда, с учетом (10.3) получим

sv = sx Чl 2 + sy Чm 2 + sz Чn 2 + 2 tyzЧmЧn + 2 tzxЧnЧl + 2 txyЧlЧm . (10.6)

Рассмотрим множество секущих площадок произвольной ори­ентации, проходящих через исследуемую точку. По нормали к каж­дой площадке отложим отрезок r = f (sv ), координаты конца век­тора которого будут следующими:

x = r Ч l;    y = r Ч m;    z = r Ч n.

Исключая из (10.6) направляющие косину­сы, получим

sv Чr 2 = sx Чx 2 + sy Чy 2 + sz Чz 2 + 2 tyzЧy z + 2 txyЧx y + 2 txzЧx z . (10.7)

Принимая обозначение

,

где k - произвольная постоянная, из (10.6) получим:

sx Чx 2 + sy Чy 2 + sz Чz 2 + 2 tyzЧy z + 2 txyЧx y + 2 txzЧx z = k. (10.8)

Из курса аналитической геометрии известно, что (10.8) пред­ставляет собой уравнение поверхности второго порядка в системе координат x, y, z. Следовательно путем поворота системы коорди­нат уравнение (10.8) можно преобразовать таким образом, чтобы попарные произведения исчезли, или иначе говоря коэффициенты попарных произведений принимали нулевые значения.

Это значит, что в произвольной точке напряженного тела суще­ствует такое положение системы координат x, y, z, в которой каса­тельные напряжения txy , txz , tyz равны нулю.

Такие оси называются главными осями. Соответствующие им взаимно перпендикулярные площадки называются главными площадками, а нормальные напряжения на них - главными напряжениями. Принимаются такие обозначения: s1 і s2 і s3.

Рис. 10.2

X = s1 Ч l;   Y = s2 Ч m;
Z = s3  Ч n.

Так как l 2 + m 2 + + n 2 =1, то получим:

.

Рис. 10.3

Рассмотрим как определяются величины главных напряжений через заданные значения шести компонентов напряжений sx , sy , sz , txy , txz , tyz в произвольной системе координат x, y, z. Воз­вращаясь к рис. 10.2, предполагаем, что наклонная площадка явля­ется главной.

Обозначая полное напряжение на этой площадке через S можем записать:

X = SЧl ; Y = SЧm ; Z = SЧn .  (10.9)

Соотношения (10.4) преобразуются к виду:

S Ч l = sx Ч l + tyx Ч m + tzx Ч n;

S Ч m = tyx Ч l + sy Ч m + tzy Ч n; (10.10)

S Ч n = tzx Ч l + tzy Ч m + sz Ч n;

или

(sx - S) Ч l + tyx Ч m + tzx Ч n = 0;

tyx Ч l + (sy - S) Ч m + tzy Ч n = 0; (10.11)

tzx Ч l + tzy Ч m + (sz - S) Ч n = 0.

Так как, l 2 + m 2 + n 2 = 1, следовательно, l, m, n одновременно не могут быть равны нулю. Для того, чтобы система однородных уравнений (10.11) относительно l, m, n имела бы решение, отлич­ное от нулевого, необходимо, чтобы определитель этой системы был равен нулю.

. (10.12)

Отсюда

S 3 - S 2 I1 + S I2 - I3 = 0, (10.13)

где

I1 = sx + sy + sz ;

I2 = sy sz + sz sx + sx sy - tyx 2 + tyz 2 + txz 2;

. (10.14)

Все три корня уравнения (10.13) являются вещественными и определяют значения главных напряжений s1, s2, s3. Коэффи­циенты I1, I2, I3 называются инвариантами напряженного состояния и их значения не зависят от выбранной системы координат x, y, z.

Для определения положения главных площадок необходимо вычислить значения направляющих косинусов следующим образом. В два из трех уравнений системы (10.11) подставляются значения главных напряжений s1, s2, s3, а в качестве третьего используется равенство l 2 + m 2 + n 2 = 1.

Если I3 = 0 очевидно, что один из корней уравнения (10.7) также будет равен нулю. В этом случае напряженное состояние является плоским или двухосным. В частности, напряженное со­стояние чистого сдвига представляет собой двухосное напряженное состояние, для которого имеется s1 = -s3 , s2 = 0.

Рис. 10.4

На практике, если име­ется сложное напряженное состояние, для выполнения расчетов на прочность не­обходимо выразить напря­жения, действующие на произвольной площадке, проходящей через данную точку, через главные напря­жения. С этой целью рас­смотрим равновесие призмы, показанной на рис. 10.4.

Проецируя все силы, действующие на призму, на оси, совпа­дающие с векторами s и t (рис. 10.4), получим:

;

.

Эти выражения можно преобразовать к виду:

(10.15)

Рассматривая совместно полученные выражения для s и t, можно получить следующее выражение:

.

В системе координат s, t это уравнение окружности. Получен­ный круг называется кругом Мора или круговой диаграммой на­пряженного состояния. В заключение заметим, что при имеет место:

.

Деформированное состояние в точке.
Геометрические уравнения и уравнения

неразрывности

Происходящие при нагружении тела перемещения его точек можно задать при помощи совокупности трех функций (см. п.1.5): u (x, y, z), v (x, y, z) и w (x, y, z), определяющих перемещения вдоль коорди­натных осей x, y и z, соответственно. Достаточно просто можно показать, что деформации (линейные и угловые) выражаются через функции перемещений, (в случае малых перемещений, которые рассматриваются в сопротивлении материалов):

(10.16)

где ei - линейная деформация вдоль i-той оси координат, gij -уг­ловая деформация в плоскости i 0j (i , j = x,  y,  z) (см. рис. 10.1).

Правило знаков принимается следующее: для линейных дефор­маций - растяжению соответствует положительная деформация; для угловых деформаций положительное ее значение соответствует уменьшению прямого угла между положительными направлениями осей. По аналогии с напряженным состоянием, здесь также имеют­ся главные деформации и главные площадки деформирования, которые являются инвариантами, независящими от осей коорди­нат.

Принятая в механике деформируемого тела гипотеза о сплош­ности среды, выражающаяся, в частности, в том, что в одну и ту же точку пространства не могут придти две материальные точки, рав­но, как и не допускается разрывов среды, находит свое воплощение в уравнениях неразрывности деформаций. Как видно из (10.16), шесть компонентов деформаций выражаются через три функции перемещений - следовательно между ними существует определен­ная связь в виде:

;

;

; (10.17)

;

;

.

Убедиться в верности (10.17) можно просто - достаточно под­ставить в них выражения (10.16). В случае плоской задачи, за исключением первого уравнения системы (10.17), остальные уравнения превращаются в тождество.

В заключение заметим, что в каждой точке среды деформируе­мого тела всегда существуют три взаимно перпендикулярные плос­кости, которые не испытывают сдвигов. Координатные оси, кото­рые образуют эти плоскости, называются главными осями деформируемого состояния.

Линейные деформации по главным осям называются глав­ными деформациями и нормируются в порядке e1 > e2 > e3 с учетом их знака, причем знак “плюс” относится к тем деформаци­ям, которые вызваны в результате растяжения, и наоборот, знак “минус” относится к деформациям сжатия.

Заметим, что для изотропного тела, свойства которого не зави­сят от направлений координатных осей, главные оси напряжений и деформаций совпадают.

10.4. Физические уравнения теории упругости для
изотропного тела. Обобщенный закон Гука

Для получения полной системы уравнений, описывающих на­пряженное и деформированное состояние тела, необходимо распо­лагать равенствами, связывающими напряжения и деформации. В эти равенства должны входить параметры, характеризующие физи­ческие свойства материалов. Поэтому они называются физически­ми уравнениями механики сплошной среды.

Составим аналитическое выражение обобщенного закона Гука, справедливого для идеально упругого изотропного тела. Для этого воспользуемся принципом независимости действия сил. Рассмот­рим раздельно силы, возникающие на гранях элементарного парал­лелепипеда (рис. 10.1). При малых деформациях, действие каса­тельных напряжений вызывает только формоизменение, а от дейст­вия нормальных напряжений происходит изменение линейных раз­меров выделенного элемента. Учитывая данное обстоятельство, для трех угловых деформаций получаем:

, (10.18)

где G - модуль сдвига материала.

Линейная деформация по оси x, обусловленная напряжением sх , будет равна . Напряжениям sy , sz соответствуют дефор­мации по оси x обратного знака, равные и , соот­ветственно (здесь m - коэффициент Пуассона). Следовательно

.

Аналогично можно определить относительные удлинения ребер параллелепипеда (рис. 10.1), перпендикулярных осям y и z. Запи­сывая для ey и ez аналогичные уравнения окончательно получим:

(10.19)

Отсюда, получим выражение для объемной деформации

. (10.20)

Полученные соотношения (10.18 - 10.19) являются аналитиче­ским выражением обобщенного закона Гука для упругого изотроп­ного тела.

10.5. Возможные способы решения задач
теории упругости

В общем случае искомыми величинами в задачах теории упру­гости являются функции перемещений, компоненты напряженного и деформированного состояний среды. Следовательно, в каждой точке тела подлежат определению 15 величин: три компоненты смещений - u, v и w; шесть компонент напряжений - sx , sy , sz , txy , txz  и tyz ; шесть компонент деформаций - ex , ey , ez , gxy , gxz , gyz .

Очевидно, что для решения задачи в общем случае необходимо 15 уравнений, связывающих искомые величины, которые выполня­лись бы не только внутри заданного тела, но и на его границе.

Полученные выражения (10.2), (10.16), (10.18), (10.19) образуют такую систему. Для однозначного решения задачи необходимо задание условий на контуре тела - граничных условий. Эти условия могут быть заданы в виде заранее определенных компонент напря­жений (статические граничные условия) или компонент перемеще­ний (кинематические граничные условия) или же комбинации тех и других (смешанные граничные условия).

Если заданы граничные условия и требуется оценить напря­женно-деформированное состояние заданного тела, то такая задача называется прямой задачей теории упругости. Если же по задан­ным функциям напряженно-деформированное состояния рассмат­риваемого тела требуется найти граничные условия им соответству­ющие, то такая задача называется обратной задачей теории упру­гости.

Решение прямой задачи теории упругости можно вести разны­ми способами. Если в качестве неизвестных принять функции пе­ремещений - u, v и w, то полную система уравнений (10.2), (10.16), (10.18), (10.19) можно свести к следующим трем дифференциаль­ным уравнениям относительно этих функций:

(10.21)

где - оператор Лапласа.

Уравнения (10.21) называются уравнениями Ляме. Граничные условия также необходимо выразить через перемещения. В итоге контурные напряжения запишутся через перемещения в следу­ющем виде:

(10.22)

Если же в качестве неизвестных принять компоненты напря­женного состояния в произвольной точке тела - sx , sy , sz , txy , txz  и tyz , то к уравнениям равновесия (10.2) нужно присоединить уравнения совместности деформаций (10.17) и закон Гука (10.18-10.19). В результате совместного рассмотрения такой системы диф­ференциальных уравнений получаются так называемые уравнения Бельтрами:

(10.23)

где I1 - первый инвариант напряженного состояния в точке.

Произвольные постоянные, получаемые в результате интегри­рования уравнений (10.23), находятся при учете граничных усло­вий, выраженных в следующем виде:

где X, Y, Z - компоненты полного напряжения на границе.

10.6. Теория предельных напряженных состояний

При действии внешних сил материал конструкции может нахо­диться в различных механических состояниях. При невысоких уровнях напряжений материал пребывает в упругом состоянии. При значительных напряжениях в материале обнаруживаются за­метные остаточные деформации и он переходит в пластическое состояние. Затем, при дальнейшем увеличении внешних сил проис­ходит образование местных трещин, и наступает его разрушение. Механическое состояние материала в точке зависит в первую оче­редь от напряженного состояния в ней. С целью определения проч­ности материалов вводится понятие предельное напряженное состояние.

9. ПРОЧНОСТЬ ПРИ ЦИКЛИЧЕСКИХ НАГРУЗКАХ

9.1. Основные характеристики цикла и предел усталости

Многие детали машин и механизмов, а также конструкции со­оружений в процессе эксплуатации подвергаются циклически изме­няющимся во времени воздействиям. Если уровень напряжений, вызванный этими воздействиями, превышает определенный пре­дел, то в материале формируются необратимые процессы накопле­ния повреждений, которые в конечном итоге приводят к разруше­нию системы.

Процесс постепенного накопления повреждений в материале под действием переменных напряжений, приводящих к разруше­нию, называется усталостью. Свойство материала противо­стоять усталости называется выносливостью.

Для раскрытия физической природы процесса усталостного разрушения в качестве примера рассмотрим ось вагона, вращаю­щуюся вместе с колесами (рис. 9.1, а), испытывающую циклически изменяющиеся напряжения, хотя внешние силы и являются по­стоянными величинами. Происходит это в результате того, что час­ти вращающейся оси оказываются попеременно то в растянутой, то в сжатой зонах.

В точке А (рис. 9.1, б) поперечного сечения оси вагона имеем:

где y = (D/2)Чsin j, j = wt, а w - круговая частота вращения колеса. Тогда:

.

Таким образом, нормальное напряжение s в сечениях оси ме­няется по синусоиде с амплитудой:

.

Опыт показывает, что при переменных напряжениях после не­которого числа циклов может наступить разрушение детали (уста­лостное разрушение ), в то время, как при том же неизменном во времени напряжении разрушения не происходит.

Число циклов до момента разрушения зависит от величины sа, и меняется в широких пределах. При больших напряжениях для разрушения бывает достаточно 5ё10 циклов, а при меньших напря­жениях разрушение может наступить при гораздо большем числе циклов или вообще не наступить.

Пусть напряжения изменяются по закону, представленному на рис. 9.2. Величина

(9.1)

называется коэффициентом асимметрии цикла. В тех случаях, когда smax = -smin, R = -1 и цикл называется симмет­ричным. Если smin = 0 или smax = 0, то R = 0 и цикл называется нулевым или пульсационным. При простом растяжении или сжатии (когда smax = smin) R = +1. Циклы, имеющие одинаковый коэффициент асимметрии называются подобными.

Введем две следующие величины:

,

где sm - средние напряжения цикла, sа - амплитуда цикла.

Тогда, в общем случае, цикл может быть представлен как сумма sm и напряжения, меняющегося по симметричному циклу с ампли­тудой sа , т.е. s = sm + sа sin wt .

Следует отметить, что не при всех периодически изменяющих­ся напряжениях происходит разрушение материала. Для этого на­пряжения должны превзойти некий предел - предел усталости или выносливости. Предел усталости - наибольшее значение максимального напряжения подобных циклов smax (или smin, если ЅsmaxЅ < ЅsminЅ), которое не вызывает усталостного разрушения материала при неограниченном количестве циклов нагружения.

Из определения следует, что предел усталости зависит от коэф­фициента асимметрии цикла и обозначается sR , где R - коэффици­ент асимметрии цикла. Экспериментально доказано, что наимень­шее значение предел усталости принимает при симметричном цик­ле.

Для цветных металлов и для закаленных до высокой твердости сталей, так как они разрушаются при любом значении напряжений, вводится понятие условного предела усталости. За условный предел усталости принимается напряжение, при котором образец способен выдержать 108 циклов.

Обычно, для сталей, предел усталости при изгибе составляет
s-1 » (0,4 ё 0,5) sВР . Для высокопрочных сталей s-1 » (400 +
+ 0,167 sВР) МПа. Для цветных металлов s-1 » (0,25 ё 0,5) sВР . При кручении для обычных сталей имеем t-1 » 0,56 s-1 . Для хрупких металлов t-1 » 0,8 s-1 .

Естественно, что определить экспериментальным путем предел усталости для каждого из возможных значений коэффициента асимметрии цикла R невозможно. На практике поступают следую­щим образом: для нескольких характерных значений R находят предел усталости sR и строят диаграмму усталостной прочности ма­териала (рис. 9.3), где по оси абсцисс откладываются значения среднего напряжения sm , а по оси ординат - амплитудного напря­жения sа , предельных циклов.

Рис. 9.3

9.2. Влияние концентраций напряжений, состояния
поверхности и размеров детали на усталостную

прочность

На величину предела усталости влия­ют многие факторы. Рассмотрим некото­рые из них.

Одним из основных факторов, оказывающих существенное влияние на усталостную прочность, является кон­центрация напряжений. Основным пока­зателем местных напряжений является коэффициент концентрации напряже­ний:

, (9.2)

где smax - наибольшее местное напряже­ние, sНОМ - номинальное напряжение. Например, для полосы с отверстием (рис. 9.4) от действия продольной силы Р в кольцевых сечениях, имеем:

.

Рис. 9.4

,

где  - предел усталости при симметричном цикле на гладких образцах,  - предел усталости при симметричном цикле на об­разцах с наличием концентрации напряжений.

Между КT и К-1 существует следующая зависимость:

, (9.3)

где q - коэффициент чувствительности материала к местным на­пряжениям, q » 1 - для высокопрочных сталей; q = 0,6 ё 0,8 - для конструкционных сталей.

При расчетах на усталостную прочность, особенности, связан­ные с качеством обработки поверхности детали, учитываются коэф­фициентом качества поверхности, получаемом при симметричных циклах нагружения:

, (9.4)

где s-1 - предел усталостной прочности, полученный на испыта­ниях образцов, имеющих стандартную обработку поверхности, s-1n - пре­дел выносливости рас­сматриваемой детали.

На рис. 9.5 приведе­ны значения b в зависи­мости от качества обра­ботки поверхности сталь­ного изделия и прочнос­ти материала sBP .

Прямая 1 относится к шлифованным образцам, 2 - к образцам с полированной поверхностью, 3 - к образцам, имеющим поверхность обработанную резцом, и наконец, 4 - к образцам поверхность которых обработана после проката.

Для учета масштабного фактора вводятся соответствующий коэффициент:

. (9.5)

Рис. 9.5

Графики es, et изображены на рис. 9.6, где кривая 1 относится к углеродистой стали, 2 - к полированной стали, 3 - к полированной стали с наличием концентрации напряжений, 4 - к сталям, име­ющим высокую степень концентраций напряжений.

9.3. Запас усталостной прочности и его определение

Сначала построим диаграмму усталостной прочности (часто, для простоты рассуждений предельную линию представляют в виде прямой) и покажем на ней рабочую точку М цикла (с коорди­натами sm и sа ) в случае, если рассматриваемый элемент испыты­вает только простое растяжение и сжатие (рис. 9.7).

Рассмотрим все те циклы, рабочие точки которых лежат на од­ной прямой (рис. 9.7) и для которых справедливо выражение sа = = sm tga. С учетом (9.1) и после несложных преобразований можно получить, что:

.

где R - коэффициент асимметрии цикла.

Значит, можно сделать вывод о том, что все подобные циклы лежат на одной прямой. Тогда, под запасом усталостной прочности будем понимать отношение отрезка ON к отрезку OM (рис. 9.7):

, (9.6)

где точка M соответствует действующему циклу, а точка N получа­ется вследствие пересечения предельной прямой и продолжения отрезка OM (рис. 9.7).

Это отношение характеризует степень близости рабочих усло­вий к предельным для данного материала. В частном случае при постоянных статических нагрузках sа = 0, данное определение за­паса прочности совпадает с обычным.

Рис. 9.7

. (9.7)

Полученный коэффициент запаса соответствует идеальному об­разцу. Реальная же его величина зависит, как отмечалось выше, от геометрии, размеров и состояния поверхности образца, учитывае­мых коэффициентами К-1, es и b, соответственно. Для этого необ­ходимо предел усталости при симметричном нагружении умень­шить в раз, или, что тоже самое, амплитудное напряжение цикла увеличить в раз. И тогда (9.7) принимает вид:

, (9.8)

где

. (9.9)

Аналогичным образом могут быть получены соотношения уста­лостной прочности и при чистом сдвиге. Эксперименты показы­вают, что диаграмма усталостной прочности для сдвига заметно отличается от прямой линии, свойственной простому растяжению-сжатию, и имеет вид кривой. В первом приближении эту кривую в координатных осях ta , tm  можно представить в виде двух наклон­ных, как это изображено на рис. 9.8. Причем, если одна из них (ближняя к оси ординат) соответствует разрушению образца вследствие усталостных явлений, то другая - по причине наступления пластического состояния.

В данном случае расчетная формула для записывается в виде

, (9.10)

где - эмпирическая величина, определенная на осно­ве обработки экспериментальных данных.

При сложном напряженном состоянии, т.е. если в рабочей точ­ке при действии внешних нагрузок одновременно возникают как нормальные, так и касательные напряжения, для вычисления nR применяется следующая приближенная формула:

, (9.11)

где nR - искомый коэффициент запаса усталостной прочности; - коэффициент запаса усталостной прочности в предположе­нии, что касательные напряжения в рабочей точке отсутствуют; - коэффициент запаса прочности по усталости при предполо­жении, что в рабочей точке нормальные напряжения отсутствуют.

Резюмируя заметим, как это было показано в настоящем раз­деле книги, в настоящее время в связи с тем, что физические осно­вы теории твердого деформируемого тела недостаточно развиты, многие предпосылки современной теории усталостной прочности базируются на эмпирической основе. Отсутствие твердых предпо­сылок в теории выносливости, в современном виде лишает ее нуж­ной строгости. Так как полученные эмпирические зависимости не являются универсальными, сами результаты расчетов являются до­статочно приближенными. Однако указанные приближения оказы­ваются допустимыми для решения инженерных задач.

9.4. Пример расчета (задача № 18)

Для цилиндрической клапанной пружины (рис. 9.9) двигателя внутреннего сгорания определить коэффициент запаса прочности аналитически и проверить его графически по диаграмме предель­ных амплитуд, построенной строго в масштабе.

Диаметр пружины D = 0,04 м, диаметр проволоки пружины d = = 0,004 м. Сила, сжимающая пружину в момент открытия клапана, Рmax = 0,240 кН, в момент закрытия клапана - Рmin = 0,096 кН. Ма­териал проволоки пружины - хромованадиевая сталь с механиче­скими характеристиками, предел текучести tT = 900 МПа, предел выносливости при симметричном цикле t-1 = 480 МПа, предел вы­носливости при нулевом (пульсирующем) цикле t0 = 720 МПа. Для проволоки пружины эффективный коэффициент концентрации напряжений kt = 1,05, коэффициент влияния качества обработки поверхности b = 0,84, коэффициент влияния абсолютных размеров поперечного сечения et = 0,96.

Рис. 9.9

1. Определение макси­мального tmax и мини­мального tmin напря­жений в проволоке пружины и вычисле­ние коэффициента асимметрии цикла R. Для вычисления напря­жений используем фор­мулу:

,

где k - коэфф., учитыва­ющий поперечную силу и неравномерность рас­пределения напряжений от ее воздействия, а также влияние дефор­мации изгиба вследствие кривизны витков пружины.

Этот коэффициент можно определить по приближенной фор­муле:

,

где  - характеристика геометрии пружины. В данном при­мере , тогда .

Определим величины напряжений:

435,4Ч103 кН/м2,

174,2103 кН/м2.

Коэффициент асимметрии цикла:

.

2. Нахождение среднего tm и амплитудного ta напря­жений цикла. Найдем величину среднего и амплитудного напря­жений цикла в зависимости от tmax и tmin:

кН/м2,

кН/м2.

3. Определение коэффициента запаса прочности. Де­таль (пружина) может перейти в предельное состояние по уста­лости и по причине развития пластических деформаций. Коэф­фициент запаса прочности по усталости определяются по форму­лам (9.10):

,

где t-1 - предел выносливости при симметричном цикле; величины КP и y определяются по зависимостям, приведенным в п.9.3:

.

Коэффициент запаса усталостной прочности:

.

Коэффициент запаса по пределу текучести можно получить аналогичными рассуждениями, как и коэффициент запаса устало­стной прочности, учитывая, что предельная прямая по текучести проходит под углом 45° к горизонту (рис. 9.8). В итоге:

.

Так как, 1,77 < 2,07, то коэффициент запаса прочности для пру­жины определяется усталостью и равен 1,77.

Для анализа рассмотрим ситуацию, когда в момент закрытия клапана на него действует сжимающая сила Рmin = 0,18 кН. Тогда имеем:

минимальное значение напряжения:

326,6Ч103 кН/м2;

среднее напряжение

кН/м2;

амплитудное напряжение

кН/м2;

коэффициент запаса прочности по усталости

;

коэффициент запаса прочности по пределу текучести

.

Так как 2,07 < 2,43, то коэффициент запаса выбирается по пределу текучести и принимается равным 2,07.

10. ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ

10.1. Напряженное состояние в точке.
Уравнения равновесия

Чтобы охарактеризовать напряженное состояние в произволь­ной точке тела, находящегося в равновесном состоянии в общем случае нагружения, выделим в ее окре­стности некоторый объем в виде элементарного параллелепипеда, грани которого перпендикулярны координатным осям (рис. 10.1).

Если размеры параллелепипеда уменьшать, он будет стягивать­ся в эту точку. В пределе (dx, dy, dz ® 0) все грани параллелепипе­да пройдут через рассматриваемую точку и напряжения на соответ­ствующих плоскостях параллелепипеда могут рассматриваться как напряжения в исследуемой точке.

Полное напряжение, возникающее на площадке параллелепи­педа может быть разложено на три составляющие, одну по нормали к площадке и две в ее плоскости.

182

5.5. Касательные напряжения при поперечном изгибе. Главные напряжения при изгибе

В случае поперечного изгиба в сечениях балки возникают не только изгибающий момент, но и поперечная сила. Следовательно, в этом случае в поперечных сечениях бруса возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.

Так как касательные напряжения в общем случае распределены по сечению неравномерно, то при поперечном изгибе поперечные сечения балки строго говоря не остаются плоскими. Однако при (где h - высота поперечного сечения, l - длина балки) ока­зывается, что эти искажения заметным образом не сказываются на работе балки на изгиб. В данном случае гипотеза плос­ких сечений и в случае чистого изгиба с достаточной точно­стью приемлема. Поэтому для расчета нормальных напряже­ний s применяют ту же формулу (5.10).

Рассмотрим вывод расчетных формул для касательных напря­жений. Выделим из бруса, испытывающего поперечный изгиб, элемент длиной dz (рис. 5.21, а).

Продольным горизонтальным сечением, проведенным на рас­стоянии y от нейтральной оси, разделим элемент на две части (рис. 5.21, в) и рассмотрим равновесие верхней части, имеющей основание шириной b. При этом с учетом закона парности каса­тельных напряжений, получим, что касательные напряжения в по­перечном сечении равны касательным напряжениям, возникающим в продольных сечениях (рис. 5.21, б). С учетом данного обстоятель­ства и из допущения о том, что касательные напряжения по пло­щади bЧdz распределены равномерно, используя условие еz = 0, получим:

N* - N* - d N* + tЧ bЧdz = 0 ,

откуда

. (5.12)

где N* - равнодействующая нормальных сил sЧdF в левом попереч­ном сечении элемента dz в пределах заштрихованной площади F * (рис. 5.20, г):

. (5.13)

С учетом (5.10) последнее выражение можно представить в виде

, (5.14)

где - статический момент части поперечного сечения, расположенной выше координаты y (на рис. 5.21,б эта область за­штрихована). Следовательно, (5.14) можно переписать в виде

,

откуда

. (5.15)

В результате совместного рассмотрения (5.12) и (5.15) получим

,

или окончательно

. (5.16)

Полученная формула (5.16) носит имя русского ученого Д.И. Журавского.

Для исследования напряженного состояния в произвольной точке балки, испытывающей поперечный изгиб, выделим из сос­тава балки вокруг исследуемой точки элементарную призму (рис. 5.21, г), таким образом, чтобы вертикальная площадка явля­лась частью поперечного сечения балки, а наклонная площадка составляла произвольный угол a относительно горизонта. Прини­маем, что выделенный элемент имеет следующие размеры по координатным осям: по продольно оси - dz, т.е. по оси z; по вер­тикальной оси - dy, т.е. по оси у; по оси х - равный ширине балки.

Так как вертикальная площадка выделенного элемента принад­лежит поперечному сечению балки, испытывающему поперечный изгиб, то нормальные напряжения s на этой площадке определя­ются по формуле (5.10), а касательные напряжения t - по формуле Д.И. Журавского (5.16). С учетом закона парности касательных на­пряжений, легко установить, что касательные напряжения на гори­зонтальной площадке также равны t. Нормальные же напряжения на этой площадке равны нулю, согласно уже известной нам гипо­тезе теории изгиба о том, что продольные слои не оказывают дав­ления друг на друга.

Обозначим величины нормальных и касательных напряжений на наклонной площадке через sa и ta , соответственно. Принимая площадь наклонной площадки dF, для вертикальной и горизон­тальной площадок будем иметь dF sin a и dF cos a, соответственно.

Составляя уравнения равновесия для элементарной вырезанной призмы (рис. 5.21, г), получим:

     ,

откуда будем иметь:

;

.

Следовательно, окончательные выражения напряжений на на­клонной площадке принимают вид:

Определим ориентацию площадки, т.е. значение a = a0 , при котором напряжение sa принимает экстремальное значение. Со­гласно правилу определения экстремумов функций из математиче­ского анализа, возьмем производную функции sa от a и прирав­няем ее нулю:

.

Предполагая a = a0 , получим:

.

Откуда окончательно будем иметь:

.