Задача статистического исследования –
освоить методику анализа структуры статистической совокупности с использованием компьютерных средств экономико-статистических расчетов, научится использовать аналитические группировки в выявлении взаимосвязей между явлениями.
В проводимом статистическом исследовании обследованные предприятия выступают как единицы выборочной совокупности, а показатели Среднегодовая стоимость основных производственных фондов и Выпуск продукции – как изучаемые признаки единиц.
Таблица П1
Исходные данные
| Порядковый номер единицы наблюдения |
Среднегодовая стоимость основных средств, млн руб. |
Выручка от продаж продукции, млн руб. |
| 1 |
94 |
110 |
| 2 |
107 |
101 |
| 3 |
134 |
120 |
| 4 |
158 |
84 |
| 5 |
163 |
80 |
| 6 |
167 |
114 |
| 7 |
173 |
161 |
| 8 |
173 |
90 |
| 9 |
177 |
178 |
| 10 |
179 |
107 |
| 11 |
200 |
125 |
| 12 |
201 |
108 |
| 13 |
205 |
133 |
| 14 |
237 |
180 |
| 15 |
212 |
201 |
| 16 |
213 |
161 |
| 17 |
214 |
151 |
| 18 |
216 |
169 |
| 19 |
218 |
149 |
| 20 |
230 |
180 |
| 21 |
234 |
148 |
| 22 |
237 |
162 |
| 23 |
241 |
166 |
| 24 |
169 |
121 |
| 25 |
45 |
224 |
| 26 |
276 |
171 |
| 27 |
290 |
191 |
| 28 |
298 |
220 |
| 29 |
167 |
114 |
| 30 |
205 |
133 |
| 31 |
330 |
53 |
| 32 |
260 |
224 |
РЕЗУЛЬТАТИВНЫЕ ТАБЛИЦЫ И ГРАФИКИ
Диаграмма 1
Аномальные значения признаков на диаграмме рассеяния
Таблица 2
Аномальные единицы наблюдения
| Номер предприятия |
Среднегодовая стоимость
основных производственных
фондов, млн руб. |
Выпуск продукции,
млн руб. |
| 25 |
45 |
224 |
| 31 |
330 |
53 |
Таблица 3
Описательные статистики
| Среднегодовая стоимость основных средств, млн руб. |
Выручка от продаж продукции, млн руб. |
| Столбец 1
|
Столбец 2
|
| Среднее |
205,3103448 |
Среднее |
146,2758621 |
| Стандартная ошибка |
8,273511571 |
Стандартная ошибка |
7,251277542 |
| Медиана |
205 |
Медиана |
149 |
| Мода |
167 |
Мода |
114 |
| Стандартное отклонение |
44,55422334 |
Стандартное отклонение |
39,04932463 |
| Дисперсия выборки |
1985,078818 |
Дисперсия выборки |
1524,849754 |
| Эксцесс |
0,027595777 |
Эксцесс |
-0,686034479 |
| Асимметричность |
0,134309755 |
Асимметричность |
0,15523623 |
| Интервал |
191 |
Интервал |
144 |
| Минимум |
107 |
Минимум |
80 |
| Максимум |
298 |
Максимум |
224 |
| Сумма |
5954 |
Сумма |
4242 |
| Счет |
29 |
Счет |
29 |
| Уровень надежности(95,4%) |
17,2763084 |
Уровень надежности(95,4%) |
15,14173347 |
Таблица 4,а
Предельные ошибки выборки
| Среднегодовая стоимость основных средств, млн руб. |
Выручка от продаж продукции, млн руб. |
| Столбец 2
|
Столбец 2
|
| Уровень надежности(68,3%) |
8,429419969 |
Уровень надежности(68,3%) |
7,387922672 |
Таблица 4,б
Предельные ошибки выборки
| Среднегодовая стоимость основных средств, млн руб. |
Выручка от продаж продукции, млн руб. |
| Столбец 1
|
Столбец 2
|
| Уровень надежности(99,7%) |
26,88832532 |
Уровень надежности(99,7%) |
23,56613728 |
Таблица 5
Выборочные показатели вариации и асимметрии
| Среднегодовая стоимость основных средств, млн руб. |
Выручка от продаж продукции, млн руб. |
| Стандартное отклонение |
47,4549611 |
Стандартное отклонение |
38,28309752 |
| Дисперсия |
2251,973333 |
Дисперсия |
1465,595556 |
| Среднее линейное отклонение |
37,36 |
Среднее линейное отклонение |
32,72888889 |
| Коэффициент вариации, % |
23,1137701 |
Коэффициент вариации, % |
26,17184885 |
| Коэффициент асимметрии |
0,807299046 |
Коэффициент асимметрии |
0,843083872 |
Таблица 6
Выходная таблица инструмента ГИСТОГРАММА
| Карман
|
Частота
|
| 1 |
| 134,8 |
2 |
| 175,6 |
7 |
| 216,4 |
10 |
| 257,2 |
6 |
| 298 |
4 |
Таблица 7
Интервальный ряд распределения предприятий по стоимости основных производственных фондов
| Группы предприятий по среднесписочной численности работников, чел.
|
Число предприятий в группе
|
Накопительная частотность группы
|
| 94 - 134,8 |
3 |
10,00% |
| 134,8 - 175,6 |
7 |
33,33% |
| 175,6 - 216,4 |
10 |
66,67% |
| 216,4 - 257,2 |
6 |
86,67% |
| 257,2 - 298 |
4 |
100,00% |
| Итого |
0 |
100,00% |
Диаграмма 2
Анализ выборочной совокупности.
Задача 1.
На построенной диаграмме рассеяния (см. Диаграмма 1) визуально видно наличие аномальных точек. Это предприятие №25 (среднегодовая стоимость основных производственных фондов – 45 млн руб.; выпуск продукции – 224 млн руб.) и предприятие №31 (среднегодовая стоимость основных производственных фондов – 330 млн руб.; выпуск продукции – 53 млн руб.). Исключим аномальные единицы наблюдения из первичных данных. Внесем аномальные единицы наблюдения в таблицу 2.
Задача 2.
На основе имеющихся данных составим таблицу
Таблица 8
Описательные статистики выборочной совокупности
Среднегодовая стоимость
основных производственных
фондов, млн руб. |
Выпуск продукции,
млн руб. |
| Столбец1
|
Столбец2
|
| Среднее, Ч̃
|
199,6333333 |
Среднее, Ч̃
|
143,1666667 |
| Медиана, Me
|
205 |
Медиана, Me
|
148,5 |
| Мода,Mo
|
167 |
Мода,Mo
|
114 |
| Интервал, R
|
204 |
Интервал, R
|
140 |
| Стандартное отклонение, σn
|
46,04815113 |
Стандартное отклонение, σn
|
34,06179026 |
| Дисперсия, σn
2
|
2120,432222 |
Дисперсия, σn
2
|
1160,205556 |
| Среднее линейное отклонение, d |
35,44 |
Среднее линейное отклонение, d |
28,42222222 |
| Коэффициент вариации, %, Vσ
|
23,0663639 |
Коэффициент вариации, %, Vσ
|
23,79170449 |
| Коэффициент асимметрии, AsП
|
0,708678471 |
Коэффициент асимметрии, AsП
|
0,856286955 |
В таблицу внесены обобщающие статистические показатели совокупности, исчисляемые на основе анализа вариационных рядов распределения
Задача 3.
3,а.
Если величина Vσ
удовлетворяет условию0%<Vσ
≤40%, то степень колеблемости незначительна. В данной совокупности выполняется это условие.
0%<23,0663639≤40%
0%<23,79170449≤40%
3,б.
Совокупность является количественно однородной по тому или иному признаку, когда выполняется неравенство Vσ
≤33%. Коэффициенты вариации по каждому признаку удовлетворяют данному условию. Следовательно, совокупности являются количественно однородными.
3,в.
Если  , то значения признака неустойчивы. В них имеются «аномальные» выбросы.
Следовательно, несмотря на визуальное обнаружение и исключение нетипичных единиц наблюдения при выполнении задания 1, некоторые аномалии в первичных данных продолжают сохраняться.
Аномалии следует выявить и удалить из выборки.
3,г.
Обобщим данные и составим таблицу
Таблица 9
Распределение значений признака по диапазонам рассеяния признака относительно
| Границы диапазонов |
Количество значений xi
, находящихся в диапазоне |
| Первый признак |
Второй признак |
Первый признак |
Второй признак |
 |
153,5851822≤xi
≤ 245,6814844 |
109,1048764≤xi
≤177,228457 |
23/76,7% |
21/65,6% |
 |
107,537031≤xi
≤ 291,7296356 |
75,04308618≤xi
≤211,2902472 |
28/87,5% |
29/90,6% |
 |
61,48887991≤xi
≤ 337,7777867 |
40,98129592≤xi
≤245,3520375 |
31/96,9% |
32/100% |
Согласно вероятностной теореме П.Л. Чебышева, следует ожидать, что независимо от формы распределения 75% значений признака будут находиться в диапазоне ( ), а 89% значений – в диапазоне ( )
В нормально распределенных и близких к ним рядах вероятные оценки диапазонов рассеяния значений признака таковы:
- 68,3% войдет в диапазон ( )
- 95,4% попадет в диапазон () (1)
- 99,7% появится в диапазоне ()
Соотношение (1) известно как правило «трех сигм».
В нашем случае значения каждого из признаков отлично от правила «трех сигм». Значения второго признака ближе к правилу.
Задача 4.
4,а.
Размах вариации R= Х
max
-Х
min
.
R для первого признака – 204 млн руб., для второго – 140 млн руб.. Размах вариации устанавливает предельное значение амплитуды колебаний признака.
Среднее линейное отклонение по первому признаку равно 35,44, по второму - 28,42222222. В условиях симметричного и нормального, а также близких к ним распределениям между показателями σ
и в имеет место равенство: в ≈ 0,8 σ.
Первый признак: в ≈ 0,8*46,04815113 ≈ 36,838520904.
Второй признак: в ≈ 0,8*34,06179026 ≈ 27,249432208
Рассчитанные по формуле значения приблизительно равны значениям, рассчитанным с помощью программы MSExcel.
Дисперсия σ
n
2
оценивает средний квадрат отклонений ( ). Величина σ
очень чутко реагирует на вариацию признака (за счет возведения отклонений в квадрат) и органически вписывается в аппарат математической статистики (дисперсионный, корреляционный анализ и др.). Дисперсия первого признака (2120,432222) более, чем в 1,5 раза превосходит значение дисперсии второго признака (1160,205556).
Среднее квадратическое отклонение σ
показывает, насколько в среднем отклоняются индивидуальные значения признака хi
от их средней величины  . Так, индивидуальные значения первого признака отличаются от на 46,04815113 млн руб., а второго – на 34,06179026 млн руб..
4,б.
Совокупность является количественно однородной по тому или иному признаку, когда выполняется неравенство Vσ≤33%. Коэффициенты вариации по каждому признаку удовлетворяют данному условию. Следовательно, совокупности являются количественно однородными.
4,в.
Для оценки надежности (типичности) средней величины х можно воспользоваться значением показателя вариации Vσ
. Если его значение невелико, т.е. <40% (как в нашем случае), то индивидуальные значения признака хi
мало отличаются друг от друга, единицы наблюдения количественно однородны и, следовательно, средняя арифметическая величина является надежной характеристикой данной совокупности.
4,г.
Если As<0, то асимметрия левосторонняя, если As>0, то асимметрия правосторонняя. И для первого (0,708678471), и для второго (0,856286955) признака асимметрия левосторонняя.
│As│>0,5. Следовательно, асимметрия существенная.
Задача 5.
Интервальный вариационный ряд распределения единиц совокупности по признаку представлен в таблице 7. Гистограмма и кумулята интервального ряда распределения предприятий изображены на Диаграмме 2.
Для полученного интервального ряда значение моды рассчитывается по формуле:
 млн руб.
Значение моды в таблице 3 – Мо=167 млн руб..
Для несгруппированных данных мода - это значение признака с наибольшей частотой появления. В интервальном ряду вычисление моды весьма условно. Поэтому между ними могут быть различия.
Анализ генеральной совокупности.
Задача 1.
На основе имеющихся данных составим таблицу
Таблица 10
Описательные статистики генеральной совокупности
Среднегодовая стоимость
основных производственных
фондов, млн руб. |
Выпуск продукции,
млн руб. |
| Столбец1
|
Столбец2
|
| Стандартное отклонение, σN
|
46,83535603 |
Стандартное отклонение, σN
|
34,64408526 |
| Дисперсия выборки, σN
2
|
2193,550575 |
Дисперсия выборки, σN
2
|
1200,212644 |
| Эксцесс, Ek |
0,438466983 |
Эксцесс, Ek |
-0,36007995 |
| Асимметричность, As |
-0,03462322 |
Асимметричность, As |
0,085504193 |
В нашем случае обе дисперсии совпадают.
Rn
=204 млн руб.
RN
=6σN
RN
=281 млн руб.
Значение размаха вариации различно, поскольку из генеральной совокупности были удалены аномальные значения признаков.
Задача 2.
2,
a
.
Средняя ошибка выборки (µЧ̃
) первого признака - 8,550926996 млн руб., второго - 6,325115661млн руб..
2,б.
Предельная ошибка выборки Δ
Ч̃
определяет границы, в пределах которых лежит генеральная средняя  . Эти границы задают так называемый доверительный интервал генеральной средней – случайную область значений, которая с вероятностью Р, близкой к 1, гарантированно содержит значение генеральной средней. Эту вероятность называют доверительной вероятностью или уровнем надежности. Наиболее часто используются уровни надежности Р=0,954; Р=0,997; Р=0,683.
В математической статистике доказано, что: Δ
Ч̃
=
t
* µЧ̃
.
Составим таблицу
Таблица 8
Предельные ошибки выборки и ожидаемые границы для генеральных средних
| Доверительная вероятность |
Коэффициент доверия t |
Предельные ошибки выборки |
Ожидаемые границы для средних  |
| для первого признака |
для второго признака |
для первого признака |
для второго признака |
| 0,683 |
1 |
8,70660336
|
6,440269376
|
190,92672994≤≤208,33993666 |
136,726397324≤≤149,606936076 |
| 0,954 |
2 |
17,82706705
|
13,18667099
|
181,80626625≤≤217,46040035 |
129,97999571≤≤156,35333769 |
| 0,997 |
3 |
27,69995902
|
20,48964337
|
171,93337428≤≤227,33329232 |
122,67702333≤≤163,65631007 |
Таким образом, предельная ошибка выборки позволяет определить предельные значения показателей генеральной совокупности и их доверительные интервалы.
Задача 3.
Если As<0, то асимметрия левосторонняя, если As>0, то асимметрия правосторонняя. Для первого признака асимметрия левосторонняя (-0,03462322), для второго – правосторонняя (0,085504193).
│As│≤0,25. Следовательно, асимметрия незначительная.
Для первого признака Ek>0. Следовательно, вершина кривой распределения располагается выше вершины нормальной кривой, а форма кривой является более островершинной, чем нормальная. Это говорит о скоплении значений признака в центральной зоне ряда распределения, т.е. о преимущественном появлении в данных значений, близких к средним.
Для второго признака Ek<0. Следовательно, вершина кривой распределения лежит ниже вершины нормальной кривой, а форма кривой более пологая по сравнению с нормальной. Это означает, что значения признака не концентрируются в центральной части ряда, а достаточно равномерно рассеяны по всему диапазону от Хmax
до Хmin
.
│Ek│ не значителен. Следовательно, кривая распределения незначительно отличается от нормальной.
|