Реферат: Интегральные преобразования
Название: Интегральные преобразования Раздел: Рефераты по медицине Тип: реферат | ||||||||||||||||||||||||||||
Операционное исчисление и некоторые его приложения Пусть задана функция действительного переменного t, которая удовлетворяет условиям : 1) 2) Функция f(t) кусочно-непрерывная (имеет конечное число точек разрыва первого рода). 3) Для любого значения параметра t>0 существует M>0 и S0³0 такие, что выполняется условие : |f(t)|<MeS 0 t Рассмотрим функцию f(t)×e- pt , где р – комплексное число р = ( а + i b).
Применим к этому соотношению формулу Эйлера : Проинтегрировав это равенство получим :
Оценим левую часть равенства (2) : А согласно свойству (3) |f(t)| < MeS 0 t В случае если a>S0 имеем : Аналогично можно доказать, что существует и сходится второй интеграл в равенстве (2). Таким образом при a>S0 интеграл, стоящий в левой части равенства (2) также существует и сходится. Этот интеграл определяет собой функцию от комплексного параметра р :
Функция F(p) называется изображением функции f(t) по Лапласу, а функция f(t) по отношению к F(p) называется оригиналом. f(t) ÜF(p), где F(p) – изображение функции f(t) по Лапласу.
Смысл введения интегральных преобразований. Этот смысл состоит в следующем : с помощью перехода в область изображения удается упростить решение многих задач, в частности свести задачу решения многих задач дифференциального, интегрального и интегро-дифференциального уравнения к решению алгебраических уравнений. Теорема единственности : если две функции j(t) и Y(t) имеют одно и то же изображение F(p), то эти функции тождественно равны. Смысл теоремы : если при решении задачи мы определим изображение искомой функции, а затем по изображению нашли оригинал, то на основании теоремы единственности можно утверждать, что найденная функция является решением в области оригинала и причем единственным. Изображение функций s 0 ( t ), sin ( t ), cos ( t ). Определение: Единичная функция удовлетворяет требованиям, которые должны быть наложены на функцию для существования изображения по Лапласу. Найдем это изображение : Изображение единичной функции Рассуждая аналогичным образом получим изображение для функции sin(t) : интегрируя по частям получим :
Аналогично можно доказать, что cos (t) переходит в функцию Изображение функции с измененным масштабом независимого переменного.
Таким образом :
Свойства линейности изображения. Теорема : изображение суммы нескольких функций умноженное на постоянные равны сумме изображений этих функций умноженных на те же постоянные. Если Теорема смещения : если функция F(p) это изображение f(t), то F(a+p) является изображением функции e- a t f(t) (4) Доказательство : Применим оператор Лапласа к левой части равенства (4) Что и требовалось доказать. Таблица основных изображений:
Изображение производных. Теорема. Если
Доказательство :
Подставляя (3) в (2) и учитывая третье условие существования функции Лапласа имеем : Что и требовалось доказать. Пример : Решить дифференциальное уравнение :
Предположим, что x
(t) – решение в области оригиналов и Изображающее уравнение : Теорема о интегрировании оригинала
. Пусть Таким образом операции интегрирования в области оригиналов соответствует операция деления в области изображений. Теорема о интегрировании изображений
: Пусть Толкование теоремы : операция деления на аргумент в области оригиналов соответствует операции интегрирования в пределах от р до ¥ в области изображений. Понятие о свертке функций. Теорема о свертке. Пусть заданы две функции a(t) и b(t), удовлетворяющие условиям существования изображения по Лапласу, тогда сверткой таких функций называется следующая функция :
Свертка обозначается следующим образом :
Равенства (1) и (1’) идентичны. Свертка функции подчиняется переместительному закону. Доказательство: Теорема о умножении изображений
. Пусть Доказательство : Пусть изображение свертки
Интеграл (1) представляет собой повторный интеграл относительно переменных t и t . Изменим порядок интегрирования. Переменные t и t входят в выражение симметрично. Замена переменной производится эквивалентно. Если в последнем интеграле сделать замену переменной, то после преобразований последний интеграл преобразуется в функцию F2 (p). Операция умножения двух функций в пространстве изображений соответствует операции свертки их оригиналов в области оригиналов. Обобщением теоремы о свертке есть теорема Эфроса. Теорема Эфроса
. Пусть функция В практических вычислениях важную роль играет следствие из теоремы о свертке, наз. интеграл Дюамеля. Пусть все условия теоремы выполняются, тогда
Соотношение (2) применяется при решении дифференциальных уравнений. Обратное преобразование Лапласа.
Обратное преобразование есть возможность получить функцию-оригинал через известную функцию-изображение :
Пользоваться формулой для обратного преобразования можно при определенном виде функции F(p), либо для численного нахождения функции-оригинала по известному изображению. Теоремы разложения. Известная методика разложения дробно-рациональных функций на сумму элементарных дробей (1)-(4) может быть представлена в виде двух теорем разложения. Первая теорема разложения
. Пусть F(p) – изображение некоторой функции, тогда эта функция представляется в виде Вторая теорема разложения
. Если изображение представляется дробно-рациональной функцией
Например : Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа. Преобразование Лапласа имеет вид :
На f ( t ) наложены условия : 1) f ( t ) определена и непрерывна на всем интервале: (-¥ ; ¥ ) 2) f ( t ) º 0 , tÎ (- ¥ ;0) 3) При M, S0 >0 , для всех t > 0 выполняется условие |f(t)|<MeS 0 t Если отказаться от условий 2 и 3, и считать, что f ( t ) принимает произвольное значение при t < 0, то вместо (1) можно рассмотреть следующий интеграл :
Формула (2) – двустороннее преобразование Лапласа. Пусть в (1) и (2) p = a + in , где a и n – действительные числа. Предположим, что Re( p ) = a = 0, т.е.
(4) и (5) соответственно односторонние и двусторонние преобразования Фурье. Для существования преобразования Фурье, функция должна удовлетворять условиям : 1) Должна быть определена на промежутке (-¥ ; ¥ ) , непрерывна всюду, за исключением конечного числа точек разрыва первого рода. 2) Любой конечный промежуток оси t можно разделить на конечное число промежутков, в каждом из которых функция либо кусочно-гладкая, либо кусочно-монотонная. 3) Функция абсолютно интегрируема : Из существования преобразования Лапласа не следует преобразование Фурье. Преобразования Фурье существуют для более узкого класса функций. Преобразования Фурье не существуют для постоянной и ограниченной функции : f ( t ) = C Аналогично преобразования Фурье не существуют и для гармоничных функций :
Если f ( t ) = 0 при t >0 и преобразование для этой функции существует, то оно может быть получено из таблицы оригиналов и изображений для преобразования Лапласа путем замены параметра t на iu, но при этом необходимо убедиться, что F ( p ) не обращается в число справа от мнимой оси. Если f(t) ¹ 0, t<0
Обозначим Очевидно, что Функция (6) называется спектральной плотностью В связи с изложенным можно указать два пути отыскания спектральной плотности : 1) Вычисление интеграла (5) 2) Использование преобразования Лапласа или Фурье. Непосредственное вычисление спектральной плотности для абсолютно интегрируемой функции. Функция F ( iu ) может быть представлена, как комплексная функция действительной переменной
|F ( iu )| - амплитудное значение спектральной плотности, y (u) – фазовый угол. В алгебраической форме : F ( iu ) = a ( u ) + ib ( u )
Для непосредственного вычисления спектральной плотности вычисляется интеграл (6), а затем по формулам (8) и (9) определяется амплитудное значение |F ( iu )| и фазовый угол y (u). Пример. Найти спектральную плотность импульса : откуда Отыскание спектральной плотности для неабсолютно интегрируемых функций. Прямое преобразование Фурье для таких функций не существует, существует преобразование Лагранжа. Прямое преобразование Фурье необходимо : 1) Для облегчения процесса решения дифференциальных и интегральных уравнений. 2) Для исследования амплитудной и частотной характеристик спектральной плотности, определенной всюду на числовой оси. Введем следующее определение спектральной плотности для неабсолютно интегрируемых функций: Если для заданной функции y = f ( t ) существует непрерывное изображение по Лапласу F ( p ), то спектральной плотностью функции называется изображение функции по Лапласу при p = iu . Спектральной плотностью F 1 ( iu ) неабсолютно интегрируемой функции называется предел от спектральной плотности F 2 ( iu a ) абсолютно интегрируемой функции. |