Контрольная работа: Парная регрессия 3
Название: Парная регрессия 3 Раздел: Рефераты по математике Тип: контрольная работа | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА По курсу: Эконометрика На тему: Парная регрессия (Вариант №9) Выполнил студент 1 курса ФВВиДО Специальность:БУАА Конкина Анна Андреевна Руководитель: Репина Е.Г. г. Самара 2010г. По данным 12-летних наблюдений исследовали зависимость признаков Х иY , где Х – темп прироста капиталовложений, %; Y – выпуск валовой продукции, млн. руб. Признаки имеют нормальный закон распределения.
Задание 1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи между темпом прироста капиталовложений и выпуском валовой продукции. 2. Рассчитайте оценки параметров , уравнения парной линейной регрессии. 3. Оцените тесноту связи между темпом прироста капиталовложений и выпуском с помощью выборочного коэффициента корреляции (r в ). Проверьте значимость коэффициента корреляции(α =0,1). 4. Рассчитайте выборочный коэффициент детерминации (R 2 в ). Сделайте экономический вывод. 5. Проверьте значимость оценки параметра с помощью критерия Стьюдента при уровне значимости α =0,1. 6. Постройте 90-процентный доверительный интервал для коэффициента регрессии b . Сделайте экономический вывод. 7. Проверьте значимость оценки параметра с помощью критерия Стьюдента при уровне значимости α =0,1. 8. Постройте 90-процентный доверительный интервал для свободного члена уравнения а . 9. Составьте таблицу дисперсионного анализа. 10. Оцените с помощью F -критерия Фишера - Снедекора значимость уравнения линейной регрессии (α =0,1). 11. Рассчитайте выпуск валовой продукции (), если темп прироста капиталовложений составит 15%. Постройте 90-процентный доверительный интервал для прогнозного значения объясняемой переменной (). Сделайте экономический вывод. 12. Рассчитайте средний коэффициент эластичности (). Сделайте экономический вывод. 13. Проверьте гипотезу Н 0 : b = b 0 , (b 0 = 0,25). 14. На поле корреляции постройте линию регрессии. 1 . Построим поле корреляции (рис. 1) и сформулируем гипотезу о форме связи между признаками: Х – темп прироста капиталовложений,%; Y - выпуск валовой продукции, млн.руб. По расположению точек на поле корреляции можно предположить наличие прямой линейной связи между темпом прироста капиталовложений и выпуском валовой продукции. 2 . Рассчитаем оценки параметров линейной модели методом наименьших квадратов (МНК). Оценкой модели по выборке является выборочное уравнение регрессии . (1)
Найдем оценки параметров , из системы нормальных уравнений линейной зависимости, которая имеет следующий вид: Отсюда можно выразить , [1] : Необходимые суммы рассчитаны в табл. 1 в столбцах 2 - 5. Занесем полученные ответы в табл. 4. Подставим рассчитанные значения , в уравнение (1) и запишем линейную модель в виде: . (2) 3 . Оценим тесноту взаимосвязи между признаками с помощью выборочного линейного коэффициента корреляции: . Заполним столбец 6 и подставим рассчитанные суммы из табл. 1. 0,95348. Проверим значимость выборочного коэффициента корреляции. Для этого выдвигаем нулевую гипотезу Н 0 об отсутствии линейной зависимости между признаками Х и Y , т.е. Н 0 : r г = 0, Н 1 : r г ¹ 0. Конкурирующая гипотеза Н 1 определяет двустороннюю критическую область. Данная гипотеза проверяется с помощью случайной величины Т =, которая имеет распределение Стьюдента с k = 12 – 2 = 10 степенями свободы. По выборочным данным найдем Т н == 10,00181. По таблице критических точек распределения Стьюдента (прил. 1) находим t кр.дв (a; k ) = t кр.дв (0,1; 10) = 1,81 (на пересечении строки k = 10 и уровня значимости a= 0,1). Сравниваем Т н и t кр.дв (a; k ). Так как |Т н | > t кр.дв (a; k ), то Т н попало в критическую область. Следовательно, нулевая гипотеза об отсутствии линейной связи между темпом прироста капиталовложений и выпуском валовой продукции отвергается при 10-процентном уровне значимости. Справедлива конкурирующая гипотеза Н 1 : r г ¹ 0,r в значим, признаки Х и Y коррелированы. Коэффициент корреляции r в по модулю больше 0,7, значит, связь между признаками тесная, а положительный знак r в указывает на прямую зависимость между темпом прироста капиталовложений и выпуском валовой продукции, что подтверждается экономической теорией. 4 . Рассчитаем выборочный коэффициент детерминации . Для этого возведем коэффициент корреляции r в в квадрат: = (r в )2 = (0,95348)2 = 0,909124. Коэффициент детерминации характеризует вариацию признака Y , объясненную линейным уравнением регрессии. Таким образом, в среднем 90,91% вариации выпуска валовой продукции объясняется вариацией темпа прироста капиталовложений, а 9,09% зависит от вариации не учтенных в модели факторов. 5 . Проверим значимость оценки параметра регрессии с помощью критерия Стьюдента. Выдвигаем нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента регрессии: Н 0 : b = 0, Н 1 : b 0. Конкурирующая гипотеза Н 1 определяет двустороннюю критическую область. Данная гипотеза Н 0 проверяется с помощью случайной величины =, которая имеет распределение Стьюдента с k = 12 – 2 = 10 степенями свободы. Заполняем столбцы 7 и 8 табл. 1. Для того чтобы найти , надо значения фактора (столбец 2 табл. 1) подставить в уравнение (2). Предварительно найдем стандартную ошибку коэффициента регрессии по формуле , где – это несмещенная оценка остаточной дисперсии , она равна (табл. 1, столбец 8). Тогда стандартная ошибка регрессии (занесем этот результат в табл. 4). Дисперсия объясняющего фактора Х вычисляется по формуле == 87,74. Итак, 0,02207. Найдем наблюдаемое значение критерия Стьюдента: = . Заносим два последних ответа в табл. 4. По таблице критических точек распределения Стьюдента (прил. 1) находим t кр.дв (a; k ) = t кр.дв (0,1; 10) = 1,81. Сравниваем || и t кр.дв (a; k ). Так как || > t кр.дв (a; k ), то попало в критическую область. Следовательно, нулевая гипотеза о незначимости коэффициента регрессии отвергается при 10-процентном уровне значимости. Справедлива конкурирующая гипотеза Н 1 : b ¹ 0,оценка параметра статистически значима, признаки Х и Y взаимосвязаны. Таким образом, если прирост капиталовложений увеличится на 1%, то выпуск валовой продукции увеличится в среднем на 0,22132 млн.руб. 6 . Построим доверительный интервал для коэффициента регрессии b . – t кр.дв (α; k )+ t кр.дв (α; k ). Подставляем значения из п. 5: , (заносим результат в табл. 4). Таким образом, при увеличении темпа прироста капиталовложений на 1% выпуск валовой продукции увеличится в среднем с 0,18 до 0,26 млн. руб. 7 . Проверим значимость оценки параметра с помощью критерия Стьюдента. Выдвигаем нулевую гипотезу о незначимости свободного члена уравнения. Н 0 : а = 0, Н 1 : а 0. Конкурирующая гипотеза Н 1 определяет двустороннюю критическую область. Данная гипотеза Н 0 проверяется с помощью случайной величины =, которая имеет распределение Стьюдента с k = 12 – 2 = 10 степенями свободы. Предварительно найдем стандартную ошибку по формуле . Найдем наблюдаемое значение критерия Стьюдента = . Заносим ответы и в табл. 4. По таблице критических точек распределения Стьюдента (прил. 1) находим t кр.дв (a; k ) = t кр.дв (0,1; 10) = 1,81. Сравниваем || и t кр.дв (a; k ). Так как || > t кр.дв (a; k ), то попало в критическую область. Следовательно, нулевая гипотеза о незначимости свободного члена отвергается при 10-процентном уровне значимости. Справедлива конкурирующая гипотеза Н 1 : а ¹ 0,оценка параметра статистически значима. 8 . Построим доверительный интервал для свободного члена уравнения: – t кр.дв . (α; k )+ t кр.дв . (α; k ). Подставляем значения из п. 7: , (вносим в табл. 4). Границы доверительного интервала имеют одинаковые знаки, поэтому линейную модель оставляем в общем виде[2] : . 9 . Построим таблицу дисперсионного анализа по общей схеме (табл. 2).
Сначала найдем среднее значение признака Y : =59,2= 4,93333(3). Затем в табл. 1 заполним столбцы 9 и 10. RSS =– регрессионная сумма квадратов отклонений. ESS =– остаточная сумма квадратов отклонений. TSS = RSS + ESS – общая сумма квадратов отклонений. F – статистика рассчитана по формуле F = .
10 . Оценим значимость линейной модели в целом при 10-процентном уровне значимости. Выдвигаем гипотезу о незначимости линейной модели. Н 0 : модель незначима, Н 1 : модель значима. Конкурирующая гипотеза Н 1 определяет правостороннюю критическую область. Данная гипотеза проверяется с помощью случайной величины F , которая имеет распределение Фишера – Снедекора с и степенями свободы. Наблюдаемое значение критерия берем из схемы дисперсионного анализа (табл. 3): . Критическое значение критерия смотрим в таблице критических точек Фишера – Снедекора (прил. 2) F кр (α; k 1 ; k 2 ) = F кр (0,1; 1; 10) = 3,29 (на пересечении строки k 2 = 10 и уровня значимости α = 0,1). Сравниваем F н и F кр (α; k 1 ; k 2). Так как F н >> F кр (α; k 1 ; k 2 ), то F н попало в критическую область. Следовательно, нулевая гипотеза о незначимости линейной модели отвергается при 10-процентном уровне значимости. Справедлива конкурирующая гипотеза Н 1 , следовательно, модель значима и ее можно использовать для прогноза. 11. Спрогнозируем процент расходов на питание при темпе прироста капиталовложений =15%. Для этого подставим в уравнение регрессии (2): . Таким образом, если темп прироста капиталовложений будет равен 15%, выпуск валовой продукции составит в среднем 4,4 млн.руб. Построим 90-процентный доверительный интервал прогноза: – t кр.дв (α; k )+ t кр.дв (α; k ). Предварительно заполним столбец 11 (см. табл. 1) и найдем стандартную ошибку прогноза : , где = – среднее значение дохода Х . Итак, (табл. 4). Подставляем найденные значения в формулу доверительного интервала: . (табл. 4). Таким образом, если темп прироста капиталовложений буде равен 15%, то выпуск валовой продукции будет колебаться в среднем от 3,04 до 5,76 млн. 12 . Найдем средний коэффициент эластичности: . Таким образом, с увеличением темпа прироста капиталовложений на 1% выпуск валовой продукции увеличится в среднем на 0,7806 млн.руб. 13 . Проверим гипотезу о равенстве параметра b некоторому теоретическому значению b 0 . Примем b 0 = 0,25, так как = 0,22 ≈ 0,25. Н 0 : b = 0,25, Н 1 : b 0,25. Конкурирующая гипотеза Н 1 определяет двустороннюю критическую область. Данная гипотеза проверяется с помощью случайной величины =, которая имеет распределение Стьюдента с k = n – 2 = 10 степенями свободы. Стандартная ошибка коэффициента регрессии = 0,02207 (см. п. 5). По выборочным данным найдем = . По таблице критических точек распределения Стьюдента (прил. 1) находим t кр.дв (a; k ) = t кр.дв (0,1; 10) = 1,81. Сравниваем || и t кр.дв (a; k ). Так как || < t кр.дв (a; k ), то попало в область принятия гипотезы. Следовательно, нулевая гипотеза принимается при уровне значимости α = 0.1, Н 0 : b =0,25 . Таким образом, b 0 и b различаются несущественно. 14 . На поле корреляции построим график уравнения линейной регрессии (рис. 2). Графиком является прямая, которую можно построить по данным столбцов 2 и 7 (см. табл. 1). Рис.2 y =1,08+0,22 x Коэффициент детерминации() – 0,909
[1] Пределы суммирования постоянны, поэтому суммубудем обозначать знаком. [2] Если при сравнении || < t кр.дв (a; k ), то попадает в область принятия гипотезы и нулевая гипотеза Н 0 : а = 0 принимается, аоценка параметра считаетсястатистически незначимой. Тогда модель можно записать в виде. |