1. Модель равновесных цен.

Понятие добавленной стоимости, построение модели, условие разрешимости, определение решения. Изменение цен при изменении добавленной стоимости. Понятие равновесных цен и их вычислении в условиях модифицированной модели Леонтьева.

Модифицированная модель Леонтьева – продуктовая балансовая модель с факторами производства, но в качестве единичного фактора производства выступает труд

AX + Y = X

X > 0

b₀ * S * Y £ d₀

b₀ = ( b₁ ⁰ , b₂ ⁰ , … b_N ⁰ ) -- вектор прямых затрат труда

d_{0 --} наличие трудовых ресурсов

b*= b₀ * S полные затраты труда на единицу продукции (полная трудоемкость)

Оплату труда надо учитывать при нахождении прибыли.

Прибыль от нахождения единицы продукции в j-той отрасли -- П_j

П_j = Pj -- S_{( по i)} a_ij *P_i – w₀ *b₀

Причем Pj -- S_{(по i )} a_ij *P_i - прибыль в процессе производства

Pj -- доход

w_{0 --} коэф оплаты труда

Предположим, что П_j = 0 (это происходит, когда вся прибыль в процессе производства идет на оплату труда, те Pj -- S_{(по i )} a_ij *P_i = w₀ *b₀ )

Теорема: если матрица А – продуктивна, то существует единственный (с точностью до положительного множителя) вектор цен Р при котором прибыль каждого объекта равна нулю.

Определение: набор цен при котором прибыль каждого объекта равна нулю, в том случае, когда уровень зарплаты позволяет приобрести весь конечный продукт системы называется равновесным.

Теорема о равновесных ценах : множество цен, пропорциональных коэффициентам суммарной потребности в труде (Р ~b), является множеством цен равновесия для всех видов конечной продукции, т.е. не зависит от задания вектора Y.

Ценовая балансовая модель. Добавленная стоимость

Если рассмотреть баланс по столбцам:

Можно записать:

(1) V_j = x_j -- S_{(по i )} a_ij

V_j -- условно чистая продукция или добавленная ст-ть (амортизация, зарплата, прибыль)

a_ij – суммарные производственные затраты

Х_j – валовый продукт

Введем вектор цен Р

Р = ( Р₁ Р₂ … Р_n )

Х_j ^/ -- валовый продукт в натуральных измерителях

(2) x_j = P_j * Х_j ^/ -- валолвый продукт в стоимост измерителях

(3) a_ij = P_j * a_ij ^/ = P_j * aij *Хj^/

Подставим (2) и (3) в (1):

V_j = P_j * Х_j ^/ -- S_{(по i )} P_j * aij *Хj^/

(4) P_j * Х_j ^/ = P_j * aij *Хj^/ + V_j

P_j = P_j * aij + V_j / Хj^/

V_j ^\ = V_j / Хj^/ -- доля добавленной стоимости на единицу продукции

Ценовая балансовая модель:

P_j = P_j * aij + V_j ^\

P_j ³ 0

В матричном виде:

(5) P = A^T * P + V^\

P ³ 0

В этой модели задано A, V^\ . Найти P

Ценовую и продуктовую балансовые модели называют взаимодвойственными моделями. Для ценовой балансовой модели справедливы те же теорет предположения, что и для продуктовой. А именно, если матрица А продуктивна, то ценовая балансовая модель имеет единственное неотриц решение

Перепишем соотношение (5)

EP -- A^T * P = V^\

(E -- A^T ) * P = V^\

P = (E -- A^T ) ^-1 *V^\

(E -- A^T )^-1 = ((E -- A )^-1 )^T

P = S^T *V^\

S^T -- ценовой мультипликатор, показывает распространение изменения доли добавленной стоимости и его влияние на цены

Цены, определяемые в этой модели – равновесные, т.е. цены, при которых общие расходы, включая доб ст-ть равны ее совокупным доходам.

P= A^T * P + V^\ (Р выступает как доход)

2. Понятие модели и моделированияМетоды исслед нац эк.

3. Решение задачи фирмы

4. Межотраслевой баланс. Структура баланса, опис разделов, виды баланса

В основе построения балансовых моделей лежит балансовый метод – метод взаимного сопоставления имеющихся материальных, трудовых и прочих ресурсов с потребностью в них. Балансовые методы планирования применяются на различных уровнях иерархии экономических объектов – предприятиях, отраслях, народном хозяйстве в целом.

В соответствии с типом объекта строятся соответствующие экономико-математические модели. Широко применяется комплекс моделей межотраслевого баланса производства и распределения продукции (народнохозяйственный и региональный).

Модель МОБ является первой ЭММ сводного народнохозяйственного планирования. Первые балансы были построены в 1924-25гг. В настоящее время МОБ строятся в большинстве стран мира. (Основоположник -- Леонтьев).

МОБ – таблица, характеризующая связи отраслями экономической системы. В зависимости от того, в каких единицах измеряются потоки продуктов в балансе, выделяют МОБ

· в натуральных,

· стоимостных,

· смешанных измерителях.

По экономическому содержанию информации балансы делят на

· плановые и

· отчетные

По типу используемой модели:

· статические и

· динамические

Рассмотрим отчетный МОБ, в котором потоки продукции измеряются на основе стоимости производимого продукта в некоторых фиксированных ценах. Основа баланса – система материальных отраслей экономики. Каждая отрасль дважды фигурирует в балансе, как производящая (строка) и как потребляющая (столбец).

В разделе I – инфо о межотраслевых связях

a_ij -- стоимость средств производства, производимых в i-той отрасли и потребляемой в j-той в качестве материальных затрат. Каждая строка 1-ого раздела баланса показывает распределение продукции между другими отраслями экономической системы.

S _j a_ij (по j) – суммарное кол-во продукции, которое i-тая отрасль отдала в н/х на производственные цели – промежуточный продукт i-той отрасли.

a_ij -- можно интерпретировать как производственные затраты продукции i-той отрасли в j-той. (по столбцам производственные затраты каждой отрасли)

S _i a_ij (по i) – суммарные производственные затраты j-той отрасли.

S _i S _j a_ij -- суммарный промежуточный продукт экономической системы (суммарные производственные затраты).

Т.о. первый раздел показывает общую картину производственных затрат и распределение продукции отраслей на производственные цели.

Во II разделе:

Y_i -- конечный продукт i–той отрасли

X_i – валовый продукт i–той отрасли

Под конечным продуктом понимают продукцию, выходящую из сферы производства в области конечного использования (личное и общественное потребление), накопление и возмещение убытия основных фондов, прирост запасов, затраты на просвещение, армию, экспорт и проч.

В развернутых балансах конечная продукция показывается во направлениям использования: потребление, инвестиции, прирост запасов, экспорт (импорт со знаком минус), прочие.

S Y_i -- суммарный конечный продукт (национальный доход)

S X_i -- суммарный валовый продукт экономической системы

Во втором разделе показана материальная структура национального дохода.

Первые два раздела – это таблица – «затраты-выпуск»

Для каждой строки можно записать балансовые соотношения:

(1) SX_i = S_j a_ij (по j) + Y_i

(валовый продукт = промежуточный + кончный продукты)

В III разделе – стоимостная структура валового продукта отраслей

V_j -- условно-чистая продукция j-той отрасли

X_j – валовай продукт j-той отрасли

(2) V_j = X_j -- S_i a_ij (по i) (условно-чистая продукция)

В развернутых балансах из состава условно-чистой продукции выделяют амортизационные отчисления и чистую продукцию, которая, в свою очередь подразделяется на зарплату и различные виды чистого дохода.

Из (1) и (2): SV_j = SY_i

S V_j -- национальный доход, но здесь показана его стоимостная структура. (V_j -- вклад j-той отрасли в национальный доход, если со знаком минус, то отрасль убыточная)

В IV разделе указаны перераспределительные отношения в народном хозяйстве, осуществляющиеся через финансово-кредитную систему.

5. Простая балансовая модель Леонтьева и условия её разрешимости.

Предположения, лежащие в основе модели, построение модели, понятие продуктивной матрицы, критерии продуктивности, способы расчета технологических коэффициентов.

Рассмотрим таблицу «затраты-выпуск»:

Для каждой строки можно записать балансовые соотношения:

(1) SX_i = S_j a_ij (по j) + Y_i

(валовый продукт = промежуточный + кончный продукты)

При построении этой продуктовой балансовой модели используются следующие предположения:

1. Кол-во выпускаемой каждым объектом продукции м.б. охарактеризовано одним числом, в качестве которого чаще всего рассматривают валовый выпуск в некоторых фиксированных ценах.

2. Комплектность потребления: для выпуска заданного кол-ва продукта объект должен получать строго определенное кол-во других продуктов. Это св-во прежполагает, что технология производства в каждом объекте остается неизменной в течение рассматриваемого промежутка времени. Причем в каждом объекте имеется единственная технология, не допускающая замещение ресурсов.

3. Линейность потребления: увеличение выпуска продукции в некоторое число раз требует увеличения потребления объектом всех других продуктов в то же самое число раз.

4. Выпускаемая каждым объектом продукция частично потребляется другими объектами системы, а частично поступает во вне в качестве конечного продукта.

5. Цель системы – производство заданного кол-ва продукта.

Эти предположения приближенно отражают реальную экономическую ситуацию (напр, комплектность и линейность), однако балансовая модель явл-ся удобным инструментом планирования благодаря своей простоте и возможности расчета необходимых показателей плана.

Построение модели

В модели задаются матрица А, матрица Y, а определяется матрица Х

Переменная х_i – план выпуска валовой продукции (валовый выпуск i-той отрасли), х_i >0

Переменная y_i – конечный продукт экономической системы (плановое задание)

Матрица А – матрица технологических коэффициентов или матрица прямых затрат:

a₁₁ a_{12 …} a_{1 n}

Матрица А = a₂₁ a₂₂ … a_{2 n}

……

a_{n 1} a_{n 2 …} a_nn

a_ij – кол-во i-той продукции необходимое для изготовления 1 единицы j-той продукции; это технологический коэффициент (коэф прямых затрат).

a_ij *x_j – кол-во i-той продукции необходимое для изготовления x_j единиц продукции j-той отрасли; это межотраслевая поставка.

(2) a_ij *x_j = а_ij (выполняется для всех видов продукции)

Подставим (2) в (1), получим:

(3) SX_i = S_j a_ij *x_j (по j) + Y_i

(4) х_i >0

Соотношения (3) и (4) определяют простую балансовую модель Леонтьева.

В матричном виде:

(5) AX + Y = X

(6) X > 0

Понятие продуктивной матрицы технологических коэффициентов. Условие разрешимости модели Леонтьева.

Матрица прямых затрат А (матрица технологических коэффициентов)

Коэффициенты матрицы А определяются на основе обработки данных о реальных потоках продукции за прошлый период. Эти данные представлены в отчетных межотраслевых балансах; для расчета технологических коэффициентов используют 1 и 2 разделы баланса. Отсюда находят:

a_ij = a_ij / x_j

Если на планируемый период не намечается существенного изменения технологии, то можно считать, что технологические коэффициенты в новом плановом периоде существенно не изменятся и их можно использовать для построения балансовой модели.

Нормативы, используемые в балансовых моделях, должны отвечать ряду требований:

1. материальные затраты и продукция должны строго соответствовать номенклатуре межотраслевого баланса

2. материальные, энергетические ресурсы и продукция, на производство которой они расходуются должны быть показаны в измерениях номенклатуры МОБ

Продуктивность матрицы А

Система балансовых уравнений

(1) AX + Y = X

(2) X > 0

имеет решение, когда матрица (Е – А) – невырожденная, значит существует обратная матрица (Е – А)^-1 , однако это не обеспечивает наличия неотрицательного решения системы. Исследование системы сводится к выявлению условий, которым должна удовлетворять матрица А, чтобы для любого Y > 0 система имела неотриц решение. Ответ на вопрос нахождения неотриц решения связан с понятием продуктивности матрицы А.

Матрица называется продуктивной, если существует такой неотрицательный вектор Х, что (Е – А)Х >0

То же самое: валовый продукт Х > AX промежуточного продукта, значит существует конечный продукт.

Экономическое определение: матрица А называется продуктивной, если она определяет технологию, обеспечивающую любому объекту выпуск некоторого кол-ва готовой продукции.

Теорема 1. Продуктивность матрицы А является необходимым и достаточным условием существования единственности неотрицательного решения системы балансовых уравнений.

Теорема 2. (Необходимое и достаточное условие продуктивности). Матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда существует матрица S = (Е – А)^-1 и все ее элементы не отрицательны.

Теорема 3. (Достаточный признак продуктивности) Матрица А продуктивна, если все ее элементы не отрицательны и сумма элементов по каждому из столбцов не более 1

a_ij ³ 0 Sa_ij (по j) Í 1

Матрица А м.б. продуктивной и в случае невыполнения теоремы 3.

Для продуктивной матрицы решение балансовых ур-ний м.б. найдено по формуле X = S*Y

6. Эконометрические модели. Линейн мод парной регресс.

Термин «Эконометрическое моделирование» можно перевести как Экономические измерения. Однако здесь речь идет об измерениях, существенно отличающихся от измерений в естественных науках. В эконометрике ошибки, связанные с исходными данными, основываются на различии статистических данных, а в естественных науках на ошибках приборов. Данные статистики, как правило, вероятностные, то есть это статистические ошибки.

Эконометрика занимается изучением и выявлением наблюдаемых в жизни количественных зависимостей и установлением ведущих тенденций в развитии экономических явлений. Закономерности, проявляющиеся в большой массе наблюдений, через преодоление свойственной им случайности называются статистическими закономерностями. По своей сущности они близки к закону, так как отражают существенные причинно-следственные связи. Однако эти связи менее устойчивы и не всеобщи, как в законе, а относятся к определенному пространству и времени. Таким образом. Целью экономического исследования является выявление статистических закономерностей и построение соответствующих ЭММ на основе статистических данных. Построенная модель обычно используется для выработки рекомендаций по принятию решений и прогнозу. Основным элементом любого экономического исследования является построение зависимостей и анализ взаимосвязей экономических величин. Это можно записать так: У=F(х)

Если каждому набору Х соответствует одно определенное значение У, то связь называется функциональной. Характерной особенностью функциональной связи является то, что в каждом случае известен полный перечень факторов, влияющих на результат и механизм этого влияния, выраженный определенным уравнением:

Функциональная связь имеет место в экономике, но не характерна для экономического исследования. В большинстве случаев экономические величины складываются под влиянием множества факторов, один из которых действует объективно. Не исключены случайные воздействия.

При изучении большинства экономических зависимостей не известен полный перечень факторов, влияющий на исследуемый показатель. Факторы могут быть качественно неоднородны, а их действие неоднозначно. Значение зависимой переменной подвержено случайному разбросу. Эти значения не могут быть предсказаны точно. Такие связи называют стохастическими или вероятностными.

Стохастические связи могут быть записаны так: Y= F(x) + E , Е – часть результата, возникшая вследствие случайных явлений.

Главным требованием для экономических моделей является требование допущения случайности изучаемых величин. Наличие зависимости между изучаемыми показателями устанавливается обычно не математическим путем, а на основе качественного анализа. Задача экономического моделирования состоит в установлении вида функции, то есть в отыскании уравнения, которое наилучшим образом соответствует характеру изучаемой связи.

Типы эк. моделей.

регрессионные модели с одним уравнением

Y= F(x,а) + E (а – вектор параметров, Е – стохастическое возмущение)

Y= F(x) + E – однофакторная модель или модель парной регрессии. Если много факторов – модель множественной регрессии.

В зависимости от вид функции модели могут быть линейными и нелинейными.

системы одновременных ур-й

системы могут состоять из тождеств и регрессионных уравнений, каждое из которых кроме независимых переменных может включать зависимые пер-ые из др ур-й системы. На практике такие уравнения стараются привести к рекурсивному виду. Для этого сначала выбирают показатели ,зависящие только от независимых факторных переменных и находят эти переменные. Выбирают показатель, зависящий от независимых и найденных зависимых факторных пер-х.

модели временных рядов.

Это последовательность наблюдений какого-либо показателя, упорядоченного во t. Числовые значения исследуемого показателя называются уровнями ряда. Длина ряда – время, прошедшее от начала исследования до конца. Здесь всего одна независимая факторная переменная – t. Y=F(t)+E. При этом в моделях временных рядов F разлагается на: T(t) – тренд (показывает устойчивую зависимость от t), S(t) – сезонная компонента, С(t) – циклическая компонента.

Методика построения модели.

1. формирование проблемы и ее анализ.

Проводится качественный анализ сущности изучаемого явления или процесса, движущих его сил развития, установление причинно-следственных связей. На основе анализа осуществляется выбор включаемых в модель показателей факторов (лишь наиболее существенные). Выбор переменных определяется содержанием и спецификой изучаемого процесса.

2. формирование исходных данных.

В мат стат-ке – ген совокупность (все возможные наблюдения интересующего показателя). В эконометрике – выборка (случайно отобранные значения из ген совокупности). Главное: представительность. Методы отбора: случайный, типический, механический, серийный.

Данные бывают 2 типов: экспериментальные и не экспериментальные (на основе материалов учета и стат-ки). Не экспериментальные делятся на: перекрестные (данные, относящиеся к одному периоду времени) и временные ряды (данные за разные периоды). На перекрестных данных меньше всег сказываются качественные изменения факторных величин, но слишком сильно может оказаться влияние неучтенных факторов. Временные данные по составу стабильны, но качественно неоднородны характеристики самих переменных. Поэтому возникают трудности в связи с явлениями корреляции.

3. спецификация модели – выбор мат формы Ур-я на основе исх данных.

Y= F(x,a), х- вектор факторных пер-х, а – вектор параметров.

Общие приемы подбора формы урвнения:

-графический анализ хар-ра зависимости

-расчет показателей на основе роста и прироста

-выбор простейших ф-й и переход к более сложным

-сравнение для различных видов ф-й количественных оценок тесноты связей и стат-ой надежности Ур-я в целом.

Задача моделирования: установления вида ф-и, наилучшим образом соответствующей характеру изучаемой связи и оценке точности и адекватности модели.

4. расчет параметров модели.

существует целый ряд методов расчета параметров. Наиболее распространенный –МНК. Это метод оценки параметров линейной эконометрической модели на основе минимизации меры отклонений наблюдаемых значений зависимой переменной У от искомой, линейной относительно А, функции Y = F (X,A).

У теоретическое находится по ф-ле: Y = F (X,A).

У наблюдаемое имеет вид: Утеор. + Е

В качестве меры отклонений используется сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений У от вычисленных по выбранной модели У теор.

где i – номер наблюдения. Необнодимым условием экстремума будет явяться равенство 0 системы нормальных Ур-й для нахождения параметра А:

МНК применяется для линейных относительно параметров однофакторных и

многофакторных ф-й, а также приводимых к линейным.

МНК для модели парной регрессии y = a 0+ a 1* x .

составим систему нормальных Ур-й для нахождения параметров:

упростим систему:

поделим на n (число наблюдений):

отсюда найдем параметры: определитель системы =

(величина = в (x) - называется дисперсией величины х )

а1 =

a0 =

МНК для многофакторной линейной модели (y=a0+a1x1+a2x2+…..+a_k x_k )

Xij – значение i-й переменной в j-м наблюдении

Запишем ф-ю в матричном виде:

Yтеор = XA

Метод МНК :

e_i = Yi-Yтеор (i-е отклонение),

второй и третий члены равны, тогда:

Отсюда получаем систему нормальных уравнений:

Из системы нормальных уравнений получаем А:

Этот метод может применяться и для однофакторной модели, как частный случай, а также однофакторных моделей, представленных многочленами.

5.проверка эконометрической модели.

На данном этапе надо определить, насколько модель согласуется с реальными стат данными. Для этого на основе исходных фактических и теоретических данных вычисляют различные стат характеристики, позволяющие качественно оценить параметры модели, проанализировать надежность этих оценок, проверить различные гипотезы, лежащие в основе модели.

В реальных задачах подбирается несколько ф-й-кандидатов на модель ,из которых после расчета параметров и оценки адекватности выбирается в наибольшей степени отвечающая качественным и количественным утверждениям об объекте.

7. Матрица полных материальных затрат в балансовой модели Леонтьева

Матрица S -- матрица полных затрат

1 вариант

S = (E - A) ^–1

S₁₁ S₁₂ … S_1n

S = S₂₁ S₂₂ … S_{2 n}

….

S_{n 1} S_{n 2} … S_nn

Откуда появилась матрица S:

Исследуем балансовую модель:

(1) AX + Y = X

(2) X > 0

AX + Y = ЕX (Е – единичная матрица размерности n*n)

(E – A)X = Y

1) X = (E – A)^-1 *Y = S*Y (если матрица продуктивна)

Матрица S кроме полных затрат содерж единицу прод-ии, на кот эти затраты собираются=> Sii≥1- диагональный элемент S, а все остальные содержат полные затраты. S- матрица полн мат затрат. Если задается ∆Y, то ∆X=S∆Y, тогда S –мультипликатор Леонтьева, через нее идет распростр-е влияния изменения конечного спроса на валов выпуск отраслей.

Экономический смысл матрицы S

Пусть одну единицу конечной продукции производит некая k-тая отрасль, а остальные отрасли конечной продукции не производят, выясним смысл элементов S_ik . Это валовое кол-во продукции, которое должна изготовить i-тая отрасль, чтобы k–тая отрасль выпустила одну единицу готовой продукции. Поэтому S_ik называют коэффициентами полных материальных затрат.

a_ik – прямые или непосредственные затраты на изготовление единицы продукции каждой отрасли. Кроме прямых, есть еще косвенные или опосредованные затраты – те затраты, которые входят в продукт через производство других отраслей.

a_j = (a_{1 j} a_{2 j} … a_ij ) -- затраты на один продукт в j-той отрасли

a_j ⁽¹ = a_j * A -- для изготовления всего вектора продукции; показывает то кол-во продукции, которое должна изготовить каждая отрасль, чтобы выпустить необходимое кол-во продукции.

Коэффициенты затрат 1-ого порядка: a_{1 j} a_{2 j} … a_ij

Матрица косвенных затрат 1-ого порядка: А⁽¹ = А*А = А²

Коэффициенты затрат 2-ого порядка: a_j ⁽²

Матрица косвенных затрат 2-ого порядка: А⁽² = А*А² = А³

Определим полные затраты как сумму прямых и косвенных затрат всех порядков и назовем их матрицей С:

С = А + А² + А³ + … + Аⁿ

2 вариант Эк смысл S=(Е-А)¯¹. Обозначим ее решением Sij.

Предположим, что некот k-ая отрасль выпускающая 1 единицу конечного продукта, все ост отрасли конечн продукт не выпускают.

Y=(0,..1,0) Yk=0, тогда определим X=SY

(4) Sik = Xi вскрывает эк смысл матрицы S. Здесь Sikэто валов кол-во прод-ии. Кот д выпустить i-я отрасль, чтобы kотрасль выпустила ед конечной прод-ии.

Теоретич доказана лемма, что если А- продуктивна, то lim(n→∞)Aⁿ=0

С=А+А²+…+Аⁿ м доказать, что S раскладывается в ряд-сходящийся:

S=Е+А+А²+…+Аⁿ

Разделим уравнение на (Е-А)

Получим Е=Е+А+А²+…+Аⁿ-А-А²…-Аⁿ+¹=>

1=Е-Аⁿ+¹ если n―>∞ то Аⁿ+¹—>0=> Е=1

S=Е+С

Матрица S кроме полных затрат содерж единицу прод-ии, на кот эти затраты собираются=> Sii≥1- диагональный элемент S, а все остальные содержат полные затраты. S- матрица полн мат затрат. Если задается ∆Y, то ∆X=S∆Y, тогда S –мультипликатор Леонтьева, через нее идет распростр-е влияния изменения конечного спроса на валов выпуск отраслей.

Матрица косвенных затрат(К)

К= S - E - A матрица косвенных(опосредованных) затрат равна матрица полных затрат вычесть единичнцю матрицу и матрицу производственных затрат. Возможность разложения матрицы полных затрат и косвенных затрат дает приближенный сп-б их расчета. Матрица косвенных затарт является одной из производных матрицы полных затрат( наравне с матрицей прямых затрат). Косвенные затрат входят не непосредственно, а через продукцию других отраслей.

К=А²+А³..+Аⁿ

8. Производственные функции.

Определение, виды, понятие множества производственных возможностей, основные свойства на примере функции Кобба-Дугласа.

ПФ – это экономико-математическое выражение зависимости результатов производственно-хозяйственной деятельности от обусловивших эти результаты показателей факторов. ПФ обычно содержит основные факторы, оказывающие решающее воздействие на производственный процесс. Отбор главных факторов является одним из основных принципов моделирования. Из-за наличия неучитываемых факторов, неоднозначного действия учитываемых, присутствия в производственном процессе случайных явлений ПФ явл функцией лишь в статистическом смысле; описываемая ею матем зависимость проявляется лишь обще в массе наблюдений. Другими словами, ПФ явл эконометрической моделью процесса производства и выражает устойчивую закономерную количественную зависимость между объемными показателями ресурсов и выпуска. В самом общем виде ПФ может быть записана в виде F(x, y, ā)=0, где x-затраты, y-выпуск, а-параметры.

1. ПФ выпуска. Y= f(x, a)

2. ПФ затрат. X_i =h_i (Y, a), I от 1 до n.

Если рассматривается производство с 1 продуктом и 1 ресурсом, между функцией выпуска и затрат не принцип различий, т. к. они явл взаимообратными. Если рассматривается произв процесс с несколькими ресурсам, возникает принципиальное различие: при использовании функции выпуска один и тот же объем продукции может быть получен при различных сочетаниях количества используемых ресурсов. При использовании функции затрат задание выпуска полностью определяет затраты ресурсов, поэт функция затрат может использоваться только в том случае, когда в исследуемой системе отсутствует возможность замещения ресурсов, а функция выпуска тогда, когда замена допустима.

С понятием ПФ связано понятие произв возможностей.

y

x (заштрихованная область – область производственных возможностей)

Если производство работает эффективно, то при опред количестве ресурсов получается максим количество продукции, кот определяется по ПФ. При неэффективном производстве можно при тех же затратах получить меньшее количество продукции.

Свойства ПФ:

1. Y=f(x₁ ,x₂ , … x_n )

При отсутствии какого-либо ресурса выпуск равен 0. Это свойство не всеобще и справедливо не для всех ПФ и ресурсов, а только для необходимых, без кот процесс производства невозможен.

2. При увеличении затрат производственных ресурсов выпуск продукции не снижается. Свойство выполняется практически для всех производственных ресурсов. Для исследования зависимости выпуска от затрат: среди ресурсов выделяем переменный фактор (x_i ), а остальные фиксируют и исследуют зависимость выпуска от переменного фактора; при этом вводится понятие совокупного, предельного и среднего продукта.

Совокупный продукт – количество продукта, выпущенного с использованием некот количества переменного фактора. Y=f(x_i ) – уравнение сов продукта. График У – кривая затраты-выпуск.

Предельный продукт (МР) – сколько доп единиц продукции принесет 1 доп единица i-го ресурса. Этот показатель называют предельной эффективностью i-го ресурса. С его помощью свойство 2 записывается след образом:

В этом случае процесс производства явл рациональным. Для таких ПФ вводится понятие экономической области (сочетание ресурсов, для кот выполняется это соотношение).

Средний продукт (АР) показ сколько в среднем приходится продукта на единицу используемого ресурса. Пред и сред подукт явл абсолютными показателями.

Эластичность выпуска по затратам ресурса (относительный прирост объема производства на единицу увелич ресурса: E_i (x_i )=MP_i /AP_{i .} Этот показатель характеризует % изменение выпуска при изменении затрат ресурса на 1%.

3. Закон убывающей предельной производительности. По мере увеличения одного из ресурсов при пост количестве других ресурсов предельная эффективность этого ресурса не увеличивается (функция МР не возрастает). Свойство справедливо практически для всех ресурсов.

4. Расширение масштабов производства – одновременное увеличение всех ресурсов в одно и то же число раз. Свойство выполняется не для всех ПФ, применяемых в экономике. Для характеристики последствий изменения масштабов производства вводят показатель эластичности производства: E(x)=ΣE_i (x_i ), i от 1 до n. Это соотношение справедливо для всех ПФ, а не только для однородных. В случае ПФ с 1 ресурсом эластичность производства совпадает с эластичностью выпуска по затратам ресурсов.

Функция Кобба-Дугласа (Y=x₁ ^α x₂ ^1-α ):

1. В О функция принимает нулевое значение.

2. Пред производительность каждого фактора пропорциональна его средней производительности:

МР₁ =αх₁ ^α-1 х₂ ^1-α , АР₁ =Y/x₁ =(x₂ /x₁ )^{1- α} , MP₁ =α*AP₁ , чтд

Так как 0<= α>=1, то МР₁ <AP₁

Такой же результат может быть получен и для 2-го фактора.

3. Эластичность выпуска по факторам постоянна: Е₁ (х₁ )=МР₁ /АР₁ =α, Е₂ (х₂ )=1-α.

4. Функция характеризует постоянную отдачу от расширения масштабов производства, так как явл однородной 1-ой степени, то есть δ=1, Е=1 (α+1-α).

5. Эластичность замещения ресурсов постоянна и = 1. (ω=1).

9. Теория поведения потребителя на конкурентном рынке

Модель поведения потребителя

Поскольку основня часть матер благ распределяется через торговлю, то у людей есть возможность отказаться от приобретения и потребления некоторых товаров, кот удовлетворяли бы их физиолог и психолог потребности. Аксиома потребителя – каждый потребитель принимает решение о потреблении исключительно исходя из своей системы предпочтений. Поэтому в основе теории потребления лежит понятие предпочтения товаров. Объектом исследования явл-ся индивидуальный потребитель, который может представлять определенный тип совокупности потребителей (напр семья)

На рынке потребителю предлагается различные наборы благ, каждый из которых описывается набором неотрицательных чисел Yi

Y = (y₁ y₂ … y_n )

Y_i – кол-во i-того товара в наборе, который потребитель может и желает купить (спрос потребителя на i-той товар)

Товары реализуются по фиксированным ценам

Р = ( Р₁ Р₂ … Р_n ) – вектор цен на товары спроса

Цены фиксируются рынком и не зависят от потребителя.

К – доход потребителя

Требуется установить, какие товары и в каком кол-ве приобретает потребитель на рынке. Для математической формализации задачи принимаются некоторые предположения относительно поведения потребителя :

предпосылка сравниваемости

У потребителя сущ-ет сис-ма предпочтений относительно любых двух наборов:

Y₁ = (y₁ ¹ y₂ ¹ … y_n ¹ )

Y₂ = (y₁ ² y₂ ² … y_n ² )

Отношения предпочтения:

Y₁ ÉY₂

Отношения эквивалентности (безразличия):

Y₁ »Y₂

Св-ва отношений эквивалентности и предпочтения:

А) транзитивность – если первый набор товаров предпочтительнее второго, а второй предпочтительнее третьего, то первый предпочтительнее третьего.

В) ненасыщенность – если хотя бы в одном из наборов кол-во какого-либо товара превосходит кол-во этого товара в другом наборе, тот этот набор будет предпочтительнее.

С) выпуклость – для любых двух наборов, которые эквивалентны по предпочтению, но не равны (Y₁ »Y₂ , Y₁ ¹Y₂ ), можно построить их линейную комбинацию: aY₁ +(1— a)Y₂ , 0 £a£ 1

Это требование выделяет линейную выпуклую комбинацию векторов не менее предпочтительных чем данный набор

aY₁ +(1— a)Y₂ Ê Y₁

aY₁ +(1— a)Y₂ ÊY₂

Предпосылкавыбора

Если не учитывать возможность использования сбережений, то при ценах Р = ( Р₁ Р₂ … Р_n ), потребитель, имеющий доход К может приобрести кол-во товаров, удовлетворяющее след условию: затраты на потребление не должны превосходить доходов:

SP_i *Y_i £K

При этом возникает задача выбора из множества наборов, удовлетворяющих этому условию, оптимального набора.

Функция полезности (ФП)

Гораздо удобнее оценивать привлекательность товаров не на основе системы предпочтений, а количественно, т.е. приписать каждому набору Y из пространства наборов числовую функцию U(Y) – ф-ию полезности , которая позволит количественно оценивать предпочтительность того или иного набора. Главное ее требование – отражать отношения предпочтения:

Если U(Y₁ ) ÊU(Y₂ ), то Y₁ ÉY₂

Всегда ли можно построить такую ф-ию? Если на систему предпочтений не накладывать никаких ограничений, кроме рассмотренных ранее, то ФП может не существовать, однако при некоторых естественных условиях, наложенных на систему предпочтений, ФП сущ-ет. Главное – ФП должна отражать сис-мы предпочтений.

ФП м.б. построена неодназначно. Имеется несколько ф-ий кот соот-ют одной сис-ме предпочтений: U(Y) и k*U(Y) + b

Задача потребителя: найти набор товаров, чтобы:

S P_i *Y_i £ K

Y_i ³ 0

Max U(Y)

Это задача выбора поведения потребителя – модель спроса.

При выполнении св-ва ненасыщенности:

S P_i *Y_i = K

Y_i ³ 0

Max U(Y)

Этот модель оптимального поведения потребителя.

Св-ва ФП:

1)Кол-во товаров может изменяться непрерывно, т.е. Yi может принимать любые неотриц значения. Т.о. область определения ФП U(Y) – любые неотриц значения

2) ФП непрерывна

3) ФП дважды дифференцируема

Экономические св-ва:

1) U(Y) = 0 , если сущ-ет такой Yi = 0

ФП возрастает (не убывает) при увеличении кол-ва любых товаров в наборе

U(Y₁ ) ³ U(Y₂ ) если Y₁ ³ Y₂

Ui = ¶U(Y) / ¶Yi³ 0

Ui -- предельная полезность

предельная полезность каждого продукта уменьшается, если объем его потребления увеличивается

Uii = ¶² U(Y) / ¶Yi² < 0

предельная полезность некоторого продукта возрастает, если возрастает кол-во другого продукта в наборе.

¶Ui / ¶Yk = ¶² U / ¶Yi * ¶Yk > 0

(это св-во не справедливо, если продукты взаимозаменяемые)

Точка оптимального выбора

Точка оптимального выбора – точка, где ФП достигает максимального значения. В то же время на ФП должны накладываться ряд ограничений (бюджетное множество).

Задача сводится к нахождению Y, при котором

Max U (Y)

S Pi *Yi = B

Yi ³ 0

Дляф-ииЛагранжа:

Max L (Yi, l) = U (Yi) + l (B – S Pi *Yi )

Найти точку оптим выбора

dL / dy_i = dU /dy_i - lPi = 0

dL / dl = B - SPi *Yi = 0

Свойства точки оптимального выбора:

d U /d y_i = l Pi

Pi = (1 / l) * (d U /d y_i )

d U /d y₁ = в U /d y₂ = l Pi

пр Ui / пр Uj = Pi / Pj

Здесь l - предельная полезность денег – кол-во предельной полезности, приходящуюся на расходуемую ден единицу

Функция спроса

ФС описывает зависимость от цен, дохода и др факторов.

При любых ценах Р и доходе В решение задачи поведения потребителя существует и единственно, зависит от Р и В: Y = f (P, B)

Т.о. ФС м.б. получена как решение задачи потребительского выбора с заданной ФП.

Виды ф-ий спроса:

1)степенная: Y = Ao*K^{A 1} *P^{A 2} (A1 + A2 = 1)

2)Торнквиста

A) товары первой необходимости Y = A1K / (K + B1)

B) товары необязательного потребления Y = A2 * ((k – k2) / (k +b2))

C) предметы роскоши y = a3* k * ((k – k3)/(k+b3))

3)Стоуна Yi = Yi⁰ + (Ai* (k - SPi* Yi)) / SAi* Pi

4)есть такие ФС, кот учитывают различия товаров длительного и краткосрочного пользования