| Контрольная работа № 1
Задача 1
Рабочие обслуживают три станка, на которых обрабатывается однотипные детали. Вероятность изготовления бракованной детали на первом станке равна 0,2, на втором – 0,3, на третьем – 0,4. Обработанные детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в три раза больше чем второго, а третьего – в два раза меньше чем второго. Взятая на удачу деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена на третьем станке.
Решение:
Событие А – взятая деталь оказалась бракованной. Деталь может быть изготовлена на первом, втором или третьем станке, обозначим через В1
, В2
и В3
. Соответственно Р(В1
) =  , Р(В2
) =  , Р(В3
) =  .
Условная вероятность того, что бракованная деталь изготовлена первым станком РВ1
(А) = 0,02, аналогично РВ2
(А) = 0,03 и РВ3
(А) = 0,04.
По формуле полной вероятности
Р(А) = 
По формуле Бейеса
Ответ:
РА
(В3
) = 0,1818
Задача 2
Каждая из пяти упаковок тетрадей содержит две тетради в линейку и три в клетку. Из каждой упаковки случайным образом отбираются по две тетради. Найти вероятность того, что не менее чем в трех из отобранных пяти пар тетрадей обе тетради будут в клетку.
Решение:
Вероятность взять 2 тетради в клетку из пачки
Р =  .
Не менее трех пар из пяти отобранных должны быть – 3 пары, 4 пары, 5 пар.
Вычислим
Р5
(3) + Р5
(4) + Р5
(5).
Pn
(k) =  ,
где р = 0,3 и q = 0,7.
Р5
(3) = 0,1323
Р5
(4) = 0,0284
Р5
(5) = 0,0024
Искомая вероятность равна 0,1323 + 0,0284 + 0,0024 = 0,1631
Ответ:
0,1631
Задача 3
Вероятность того, что договор страховой кампании завершится выплатой по страховому случаю, равна 0,1. Страховая кампания заключила 2000 договоров. Найти вероятность того, что страховой случай наступит: а) 210 раз; б) от 190 до 250 раз включительно.
Решение:
а) Используем локальную теорему Лапласа, где k = 210, р = 0,1 и q = 0,9.
Pn
(k) =  , где  = 
Р2000
(210) = 
б) Используем интегральную теорему Лапласа, где n = 2000, k2
= 250, k1
= 190.
Pn
(k1
;k2
) = F(x’’) - F(x’),
х’’ =  .
х’ =  .
F(x’’) = F(3,73) = 0,4999.
F(x’) = F(-0,75) = - 0,2764.
P2000
(190;250) = 0,4999 + 0,2764 = 0,7763/
Ответ:
а) Р2000
(210) = 0,0224, б) Р2000
(190;250) = 0,7763
Задача 4
Законное распределение независимых случайных величин Х и У имеют вид:
Х:
Y:
Найти вероятность P(X = 1), P(Y = 2).
Составить закон распределения случайной величины
Z = X*Y.
Проверить выполнение свойства математического ожидания:
M(Z) = M(X)*M(Y)
Решение:
Р(Х = 1) = 1 – (0,3 + 0,2) = 0,5
Р(Y = 2) = 1 – 0,4 = 0,6
Составим закон распределения случайной величины Z = X*Y
| xj
|
0
|
1
|
2
|
| yi
|
pj
pi
|
0,3
|
0,5
|
0,2
|
| 1
|
0,4
|
0
0,12
|
1
0,2
|
2
0,08
|
| 2
|
0,6
|
0
0,18
|
20,3
|
4
0,12
|
| zi
|
0
|
1
|
2
|
4
|
| pi
|
0,3
|
0,2
|
0,38
|
0,12
|
Spi
= 0,3 + 0,2 + 0,38 + 0,12 = 1
M(Z) = 0*0,3 + 1*0,2 + 2*0,38 + 4*0,12 = 1,44
M(X) = 0*0,3 + 1*0,5 + 2*0,2 = 0,9
M(Y) = 1*0,4 + 2*0,6 = 1,6
M(Z) = M(X)*M(Y) = 0,9*1,6 = 1,44.
Ответ:
| Zi
|
0
|
1
|
2
|
4
|
| Pi
|
0,3
|
0,2
|
0,38
|
0,12
|
Задача 5
Функции распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:
0 при х < -1,
F(x) = (х + 1)2
при -1 £ х £ 0,
1 при х > 0.
Найти математическое ожидание этой случайной величины и вероятность того, что при каждом из трех независимых наблюдений этой случайной величины будет выполнено условие  .
Решение:
Найдем плотность распределения
0 при х < -1,
f(x) = F’(x) = 2(x + 1) при -1 £ х £ 0,
1 при х > 0.
М(х) =  
- математическое ожидание.
Р(х £  ) = Р( -1 £ х < ) = F() – F( -1) = 
Ответ:
М(х) =  и Р(х < ) =
Контрольная работа № 4
Задача 1
При выборочном опросе ста телезрителей, пользующихся услугами спутникового телевидения, получены следующие результаты распределения их по возрасту
| Возраст (лет)
|
Менее 20
|
20 – 30
|
30 – 40
|
40 – 50
|
50 – 60
|
60 – 70
|
Более 70
|
Итого
|
| Количество пользователей (чел.)
|
8
|
17
|
31
|
40
|
32
|
15
|
7
|
150
|
Найти:
а) Вероятность того, что средний возраст телезрителей отличается от среднего возраста, полученного по выборке, не более чем на два года (по абсолютной величине);
б) Границы, в которых с вероятностью 0,97 заключена доля телезрителей, возраст которых составляет от 30 до 50 лет;
в) Объем бесповторной выборки, при котором те же границы для доли можно гарантировать с вероятностью 0,9876; дать ответ на тот же вопрос, если никаких предварительных сведений о доле нет.
Решение:
Вычислим среднюю арифметическую и дисперсию распределения. Величина интервала k = 10 и с = 45, середина пятого интервала. Вычислим новые варианты в рабочей таблице:
| i
|
[xi
;xi+1
]
|
xi
|
ui
|
ni
|
ui
;ni
|
u2
i
;ni
|
ui
+1
|
(ui
+ 1)ni
|
| 1
|
10 – 20
|
15
|
-3
|
8
|
-24
|
72
|
-2
|
32
|
| 2
|
20 – 30
|
25
|
-2
|
17
|
-34
|
68
|
-1
|
17
|
| 3
|
30 – 40
|
35
|
-1
|
31
|
-31
|
31
|
0
|
0
|
| 4
|
40 – 50
|
45
|
0
|
40
|
0
|
0
|
1
|
40
|
| 5
|
50 – 60
|
55
|
1
|
32
|
32
|
32
|
2
|
128
|
| 6
|
60 – 70
|
65
|
2
|
15
|
30
|
60
|
3
|
135
|
| 7
|
70 – 80
|
75
|
3
|
7
|
21
|
63
|
4
|
112
|
| S
|
315
|
0
|
150
|
-6
|
326
|
7
|
464
|
a) Найдем среднюю квадратическую ошибку бесповторной выборки
Искомая доверительная вероятность
б) Выборочная доля зрителей от 30 до 50 лет
Средняя квадратическая ошибка бесповторной выборки для доли
Из соотношения g = Ф(t) = 0,97; t = 2,17
Предельная ошибка выборки для доли в = 2,17*0,0376 = 0,08156
Искомый доверительный интервал
0,4733 – 0,08156 £ р £ 0,4733 + 0,08156
0,3918 £ р £ 0,5549
в) Учитывая g = Ф(t) = 0,3876; t = 2,5
 человек.
Если о доле p = w ничего не известно, полагаем (pq)max
= 0,25
 человек.
Ответ:
а)  ; б) 0,3918 £ р £ 0,5549 ; в) 190 человек
Задача 2
По данным задачи 1, используя критерий c2
– Пирсона, при уровне значимости, а = 0,5 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х – количество телезрителей – распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.
Решение:
Выдвигается гипотеза Н0
: случайная величина Х – количество телезрителей – распределена нормально. с параметрами а = 44,6 и d2
= 217,17.
Для расчета рi
используем функцию Лапласа
Дальнейшие расчеты покажем в таблице
| i
|
[xi
;xi+1
]
|
ni
|
pi
|
npi
|
(ni
– npi
)
|
|
| 1
|
10 – 20
|
8
|
0,0582
|
8,7225
|
0,522
|
0,0598
|
| 2
|
20 – 30
|
17
|
0,1183
|
17,738
|
0,5439
|
0,0307
|
| 3
|
30 – 40
|
31
|
0,2071
|
31,065
|
0,0042
|
0,0001
|
| 4
|
40 – 50
|
40
|
0,2472
|
37,073
|
8,5703
|
0,2312
|
| 5
|
50 – 60
|
32
|
0,2034
|
30,51
|
2,2201
|
0,0728
|
| 6
|
60 – 70
|
15
|
0,1099
|
16,478
|
2,183
|
0,1325
|
| 7
|
70 – 80
|
7
|
0,0517
|
7,755
|
0,57
|
0,0735
|
| S
|
150
|
0,9956
|
149,34
|
0,6006
|
Фактическое значение c2
= 0,6006 Соотносим критическое значение c2
0,05;4
= 9,49 k = m – r – 1 = 7 – 2 – 1 = 4.
Так как c2
< c2
0,05;4
, гипотеза Н0
согласуется с опытными данными. Выполним построение:
  
Ответ:
Гипотеза о выбранном теоретическом нормальном законе N (44,6; 217,17) согласуется с опытными данными.
Задача 3
Распределение 50 однотипных малых предприятий по основным фондам Х (млн., руб.) и себестоимости выпуска единицы продукции. У (тыс., руб.) представлено в таблице:
| у
х
|
1,25
|
1,5
|
1,75
|
2,0
|
2,25
|
Итого
|
| 80 – 130
|
1
|
2
|
3
|
6
|
| 130 – 180
|
1
|
4
|
3
|
8
|
| 180 – 230
|
4
|
8
|
3
|
1
|
16
|
| 230 – 280
|
2
|
5
|
4
|
11
|
| 280 – 330
|
3
|
4
|
2
|
9
|
| Итого:
|
5
|
3
|
16
|
9
|
7
|
50
|
Необходимо:
1. Вычислить групповые средние xj
и yi
и построить эмпирические линии регрессии.
2. Предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость:
а) найти уравнение прямых регрессий и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии;
б) вычислить коэффициент корреляции на уровне значимости, а=0,05, оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y;
в) используя соответствующие уравнения регрессии, определить количество выпускаемой продукции при стоимости одной единицы продукции, равной 2,5 тыс., руб.
Решение:
1) Составим корреляционную таблицу
| х
|
у
xi
|
1,25
|
1,5
|
1,75
|
2
|
2,25
|
ni
|
уi
|
| 80 – 130
|
105
|
1
|
2
|
3
|
6
|
2,0833
|
| 130 – 180
|
155
|
1
|
4
|
3
|
8
|
2,0625
|
| 180 – 230
|
205
|
4
|
8
|
3
|
1
|
16
|
1,7656
|
| 230 – 280
|
255
|
2
|
5
|
4
|
11
|
1,5456
|
| 280 – 330
|
305
|
3
|
4
|
2
|
9
|
1,4722
|
| nj
|
5
|
13
|
16
|
9
|
7
|
50
|
| xj
|
285
|
255
|
220,63
|
160,56
|
140,71
|
Построим эмпирические линии регрессии
2) Предположим, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость;
а) Вычислим среднее значение
 Найдем уравнение
ух
= byx
(x – x) + y,
где byx
= 
ух
= - 0,0036(х – 214) + 1,75
ух
= - 0,0036х + 2,5105
 ху
- х = byx
(у – у),
где bху
= 
ху
= - 157,14(х – 1,75) + 214
ху
= - 157,14х + 489
б) Коэффициент корреляции
связь обратная и тесная;
Статистика критерия
При а = 0,05 и k = 48; t0,05;48
= 2,01, так как t > t0,05;48
коэффициент значительно отличается от 0.
в) Используя ху
= - 157,14у + 489
х = - 157,14*2,5 + 489 = 96,14
Ответ: а) ух
= - 0,0036х + 2,5105; ху
= - 157,14х + 489.
б) k = - 0,7473.
в) х = 96,14 при у = 2,5
|