| Реферат на тему:
Задача про розміщення ферзів. Дерево пошуку та його обхід
Розглянемо шахівницю, що має розміри не 8´ 8, а n
´
n
, де n
>0. Як відомо, шаховий ферзь атакує всі клітини та фігури на одній з ним вертикалі, горизонталі та діагоналі. Будь-яке розташування кількох ферзів на шахівниці будемо називати їх розміщенням
. Розміщення називається допустимим
, якщо ферзі не атакують одне одного. Розміщення n
ферзів на шахівниці n
´
n
називається повним
. Допустимі повні розміщення існують не при кожному значенні n
. Наприклад, при n
=2 або 3 їх немає. За n
=4 їх лише 2 (рис.19.1), причому вони дзеркально відбивають одне одного.
Задача.
Написати програму побудови всіх повних допустимих розміщень n
ферзів, де 4£ n
£
20.
Для початку з'ясуємо деякі властивості допустимих розміщень. Очевидно, що в них кожний ферзь займає окрему вертикаль і горизонталь. Занумеруємо вертикалі й горизонталі номерами 1, … , n
та позначимо через <H
1
, H
2
, ¼ , Hi
> послідовність номерів горизонталей, зайнятих ферзями, що стоять у вертикалях 1, 2, ¼ , i
, де 0£ i
£
n
. Випадок i
=0 відповідає порожньому розміщенню <>.
Існує n
способів розмістити ферзя в першій вертикалі, тобто перейти від порожнього розміщення до непорожнього. Цей перехід позначимо стрілкою (рис. 19.2(а)). За кожного з розміщень ферзя в першій вертикалі є n
варіантів розміщення ферзя в другій вертикалі, але з них слід відкинути недопустимі. Відмітимо їх знаком '*' (рис.19.2(б)).
Узагалі, нехай зафіксовано розміщення ферзів у перших i
-1вертикалях:
S
(i
-1)=<H
1
,¼ ,Hi
-1
>.
Для побудови всіх допустимих розміщень із початком S(i-1) треба перебрати всі допустимі розміщення S(i)з ферзем у i-й вертикалі та для кожного побудувати всі допустимі розміщення з початком S(i)
.
Отже, маємо рекурсивний алгоритм побудови всіх допустимих розміщень, за яким пошук усіх допустимих заповнень ферзями останніх n
-i
+1вертикалей зводиться до пошуку заповнень n
-i
вертикалей.
Уточнимо цей алгоритм рекурсивною процедурою deps. Нехай розмір шахівниці не більше nm=20. Номери вертикалей та діагоналей містяться в діапазоні nums=1..nm, а розміщення зображається станом масиву H
типу
arh = array
[ nums ] of
nums.
Процедура deps задає побудову розміщення, починаючи з i
-ї вертикалі за фіксованих H
[1], ¼ , H
[i
-1]. Підпрограми test та writs задають відповідно перевірку допустимості розміщення <H
[1], … , H
[i
-1], H
[i
]> та друкування повного розміщення. Вони викликаються у процедурі deps:
procedure
deps ( var H : arh; n, i : nums);
var
j, k : nums;
begin
for
k := 1 to
n do
begin
H[i] := k;
if
test ( H, i) then
if
i = n then
writs ( H, n) {друкування повного розміщення }
else
deps ( H, n, i+1 ) {рекурсивний виклик}
end
end
Функція test задає перевірку допустимості розміщення <H
[1], ¼ , H
[i
-1], H
[i
]> за умови, що <H
[1], ¼ , H
[i
-1]> є допустимим:
function
test ( var
H : arh; i : nums ) : boolean;
var
j : nums; flag : boolean;
begin
j := 1; flag := true
;
{перевірка, чи займається нова горизонталь і діагональ}
while
( j < i ) and
flag do
begin
flag := ( H[i] <> H[j] ) and
( abs ( H[i]-H[j] ) <> i-j ); j := j+1
end
;
test := flag
end
Розробка процедури writs друкування повного розміщення залишається вправою.
Програма розв'язання задачі має такий вигляд:
program
Queens ( input, output );
const
nm = 20;
type
nums = 1..nm;
arh = array
[ nums ] of nums;
var
H : arh; n : nums;
procedure
writs ¼ end
;
function
test ¼ end
;
procedure
deps ¼ end
;
begin
writeln ('задайте розмір дошки: 4..20>'); readln ( n );
deps ( H, n, 1)
end
.
2. Дерево пошуку та його обхід
Розміщення ферзів на шахівниці, що будуються в процесі виконання програми Queens, можна подати вузлами кореневого орієнтованого дерева
(рис.19.3).
У цьому дереві кожний вузол <H
[1], ¼ , H
[i
]>, де 0£ i
<n
, має синів
<H
[1], ¼ , H
[i
], 1>, <H
[1], ¼ , H
[i
], 2>, ¼ , <H
[1], ¼ , H
[i
], n
>.
Відповідно цей вузол називається їхнім батьком
. Сини вузла, сини його синів тощо називаються його нащадками
, а він – їхнім попередником
. Порожнє розміщення <> є коренем дерева
, повні чи недопустимі розміщення – його листками
, а допустимі неповні – проміжними вузлами
. Кожний вузол дерева має певну глибину
, або рівень
у дереві. Глибиною кореня є 0, його синів – 1 тощо. Повним розміщенням відповідають листки дерева, які в даному разі мають глибину n
. Зазначимо, що в даному разі глибина вузлів дерева збігається з довжиною їх як розміщень.
Це дерево відбиває пошук повних допустимих розміщень, тому називається деревом пошуку
. Пересування по вузлах дерева у визначеному порядку називається обходом дерева
. Отже, пошук розміщень у дереві є результатом його обходу.
Задамо алгоритм, реалізований процедурою deps із програми Queens, в узагальненому вигляді. Нехай A
позначає вузол дерева, ОБХІД( A )
– обхід дерева з коренем А
, а синами вузла A
є A
(1), A
(2), ¼ , A
(n
). Тоді процедура deps із програми Queens має таку схему:
for
k := 1 to
n do
begin
перехід до вузла A(k)
;
if
A(k) є допустимим
then
if
A(k) є листком
then
обробка листка A(k)
else
ОБХІД( A(k) )
end
Як бачимо, процедура deps задає обхід дерева пошуку з вузлів-розміщень ферзів. Цей обхід називається обходом
дерева у глибину
. Ця назва зумовлена тим, що обхід дерева з довільним коренем закінчується лише після того, як закінчено обхід усіх його нащадків
. Тобто від вузла ми переходимо до його нащадків, заглиблюючися в дерево.
Обхід дерева в глибину відтворюється за допомогою магазина (стека), до якого додаються та з якого вилучаються вузли дерева.
З кожним вузлом дерева пов'яжемо інформацію, яка додається при переході до цього вузла. В задачі про розміщення ферзів кореневий вузол відповідає порожньому розміщенню, тому з ним ніяка інформація не пов'язана. При переході від вузла, що подає розміщення <H
[1], ¼ , H
[i
]>, до вузла, відповідного розміщенню <H
[1], ¼ , H
[i
], k
>, збільшується номер останньої вертикалі i
, в k
-у клітину якої ставиться ферзь. Отже, з вузлом зв'язується пара чисел (i
, k
), що є номерами вертикалі й горизонталі. Саме такі пари додаються до магазина вузлів.
У задачі про ферзі роль магазина відіграє масив H. Збільшення номера вертикалі i
, тобто перехід до наступного компонента масиву, разом із присвоюванням H[i]:=k
відтворюють додавання до магазина нового елемента – пари (i
, k
). Цикл із заголовком
for
k := 1 to
n do
у процедурі deps задає перебирання вузлів-"братів"
<H
[1],¼ , H
[i
-1], 1>, <H
[1],¼ , H
[i
-1], 2>, ¼ , <H
[1],¼ , H
[i
-1], n
>,
що рівносильно послідовному вилученню з магазина попереднього брата з додаванням наступного.
Опишемо обхід дерева пошуку розміщень без застосування рекурсії. Розглянемо пересування, пов'язані з вузлами дерева. З допустимого вузла-листка ми одразу рухаємося до його батька, з недопустимого – до його брата. Пересування, пов'язані з кожним його проміжним вузлом, можна подати, як на рис.19.4.
Як бачимо, відвідувати проміжний вузол доводиться лише двічі – на початку та в кінці обходу дерева, коренем якого він є. Для того, щоб відрізнити ці два випадки, потрібні додаткові змінні. У разі розміщень ферзів перехід від вузла до його правого брата задається збільшенням H[i] на 1. Це рівносильне одночасному виштовхуванню вузла з магазина та додаванню його правого брата. Звідси випливає, що коли обробляється вузол глибини i
, в магазині є лише по одному вузлу кожної глибини m
, m
£
i
. Тому достатньо однієї додаткової змінної для кожної можливої глибини. Отже, означимо додатковий масив в того ж самого типу, що й масив H. Значенням D[i] стає 0, коли до вузла глибини i
ми приходимо згори або зліва, та 1 – коли знизу.
Перехід до вузла знизу – це повернення до батька, і його умовою в задачі про ферзі є H[i]=n.
Повернення до кореня дерева означає кінець його обходу. Тому використаємо умову i=0 як умову закінчення пошуку. Отже, пошук повних допустимих розміщень ферзів має таке описання, яке по суті є тілом процедури пошуку:
i:=1; H[i]:=1; D[i]:=0;
while
(i<>0) do
begin
if
i=n then
{обробка вузла-листка}
if
test(H, i) then
{друкування повного допустимого розміщення}
{ та повернення до батька незалежно від наявності братів}
begin
writs(H, n); i:=i-1; {i>0!} D[i]:=1 end
else
if
H[i]<n then
H[i]:=H[i]+1 {перехід до правого брата}
else
{повернення до батька – }
{піддерево, в якому він є коренем, вже обійшли}
begin
i:=i-1; {i>0!} D[i]:=1 end
else
{обробка проміжного вузла}
if
(D[i]=0) and
test(H, i) then
{рух у глибину}
begin
i:=i+1; H[i]:=1; D[i]:=0 end
else
{рух праворуч або нагору}
if
H[i]<n then
{рух праворуч}
begin
H[i]:=H[i]+1; D[i]:=0 end
else
{рух нагору}
begin
i:=i-1; if
i>0 then
D[i]:=1 end
end
Оформлення програми з необхідними означеннями, ініціалізаціями та нерекурсивною процедурою пошуку залишаємо як вправу.
Узагальнимо наведений алгоритм, вважаючи, що, на відміну від задачі про розміщення ферзів, кореневий вузол дерева також містить деяку відповідну інформацію:
заштовхнути кореневий вузол у магазин
;
while
магазин не порожній
do
begin
нехай A – вузол на верхівці магазина
;
if
A є листком
then
begin
обробити листок A
;
виштовхнути A з магазина
;
if
A не є правим сином свого батька
then
заштовхнути в магазин правого брата A
;
end
else
{A – проміжний вузол
}
if
A
є допустимим і дерево з коренем A ще не оброблено
then
заштовхнути в магазин лівого сина A
else
{дерево з коренем A вже оброблено або A не є допустимим
}
begin
виштовхнути A з магазина
;
if
A не є правим сином свого батька і не є коренем
then
заштовхнути правого брата A в магазин
;
end
end
.
Наведений опис задає так званий вичерпний пошук
у дереві пошуку варіантів, оскільки рано чи пізно ми дістаємося кожного допустимого вузла дерева. Зазначимо, що цей опис є схемою багатьох алгоритмів розв'язання різноманітних задач, пов'язаних із перебиранням варіантів.
|