МАТЕМАТИКА

ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ 2007 РОКУ З ВІДПОВІДЯМИ ТА КОМЕНТАРЯМИ

Тест зовнішнього незалежного оцінювання з математики перевіряє:

• відповідність знань, умінь і навичок учнів програмовим вимогам;

• рівень навчальних досягнень учнів;

• ступінь підготовленості випускників загальноосвітніх навчальних закладів до подальшого навчання у вищих навчальних закладах.

При укладанні тесту були використані підручники та посібники, рекомендовані Міністерством освіти і науки України для класів універсального, природничого, фізико-математичного профілів, а також для класів, шкіл, ліцеїв і гімназій математичного профілю та для спеціалізованих шкіл і класів з поглибленим вивченням математики.

Частина 1

ЗАВДАННЯ З ВИБОРОМ ОДНІЄЇ ПРАВИЛЬНОЇ ВІДПОВІДІ

1. Розташуйте у порядку спадання числа 5 ; 2^{log 2 5} ; .

Правильна відповідь: А.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Дійсні числа. Порівняння чисел. Основна логарифмічна тотожність.

2. Банк сплачує своїм вкладникам 8% річних. Визначте, скільки грошей треба покласти на рахунок, щоб через рік отримати 60 грн. прибутку.

Правильна відповідь: Д.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Задачі на відсотки.

3. З натуральних чисел від 1 до 30 учень навмання називає одне. Яка ймовірність того, що це число є дільником числа 30?

Правильна відповідь: В.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Поняття ймовірності випадкової події.

4. Розв’яжіть нерівність х ₊ ¹ _> ¹ − 2. х −3 х −3

Правильна відповідь : Д.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Дробово-раціональні нерівності.

5. Знайдіть область визначення функції у = х +9 .

Правильна відповідь : Г.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Властивості елементарних функцій: область визначення.

6. Будівельна компанія закупила для нового будинку металопластикові вікна та двері у відношенні 4:1. Укажіть число, яким може виражатися загальна кількість вікон та дверей в цьому будинку.

Правильна відповідь : Б.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Застосування ознак подільності чисел до розв’язування задач.

Правильна відповідь : Д.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Тотожні перетворення і знаходження значень виразів, що містять тригонометричні функції.

8. Розв’яжіть рівняння tg ^х = 3 2

Правильна відповідь : Г.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь.

9. За видом графіка функції у = кх + b визначте знаки коефіцієнтів к і b . Оберіть правильне твердження.

Правильна відповідь : Г.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Лінійна функція та її властивості.

10. Укажіть парну функцію.

Правильна відповідь : Д.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Властивості елементарних функцій: парність.

11. Обчисліть log5

Правильна відповідь : Б.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування найпростіших логарифмічних нерівностей, використовуючи властивості логарифмічної функції.

13. Розв’яжіть рівняння ³ 8^х = 2 ⋅³ 2

Правильна відповідь : Г.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування найпростіших показникових рівнянь.

14. Укажіть, скільки дійсних коренів має рівняння х ³ − 4х = 0.

Правильна відповідь : В.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування рівнянь з модулем.

15. Знайдіть первісну функції f (х ) = 2х + 2, графік якої проходить через точку з координатами (1;4).

Правильна відповідь : Б.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Первісна. Основна властивість первісної. Правила знаходження первісних.

16. На рисунку зображений графік функції у = f (х ) та дотичні до нього в точках х ₁ та х ₂ . Користуючись геометричним змістом похідної, знайдіть f ′(х ₁ ) + f ′(х ₂ ) .

Правильна відповідь : А.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Геометричний зміст похідної.

17. Градусна міра зовнішнього кута А рівнобедреного трикутника АВС (АВ = ВС) становить 125°. Знайдіть градусну міру внутрішнього кута В .

Правильна відповідь : Д.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Властивість рівнобедреного трикутника. Сума кутів трикутника. Градусна міра кута.

18. Точка М – середина сторони квадрата АВСD . Площа зафарбованої частини дорівнює 7 см ² . Знайдіть площу всього квадрата.

Правильна відповідь : В.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Властивості квадрата. Площі рівних фігур.

19. Знайдіть координати точки М , відносно якої симетричні точки Е (−3; 8; 7) і

F (−9; 6; 1).

Правильна відповідь : А.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Координати точки та симетрія відносно точки у просторі.

20. Знайдіть об’єм тіла, утвореного обертанням круга навколо свого діаметра, довжина якого дорівнює а см .

Правильна відповідь : Г.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Знаходження об’єму тіла обертання.

Частина 2

ЗАВДАННЯ ВІДКРИТОЇ ФОРМИ З КОРОТКОЮ ВІДПОВІДДЮ

21. Обчисліть (⁶ 27 + ⁴ 64)(⁶ 27 − ⁴ 64)

Правильна відповідь : −5.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Дії над ірраціональними числами.

22. Знайдіть суму перших дванадцяти непарних натуральних чисел.

Правильна відповідь : 144.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Сума членів арифметичної прогресії.

23. Укажіть найменше ціле число, яке є розв’язком нерівності

(х −3)(х +10)(х ² +8х −9)

2 < 0 х +8х −9

Правильна відповідь : −8 .

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування раціональних нерівностей методом інтервалів.

24. На перегоні, довжина якого дорівнює 240 км , поїзд рухався зі швидкістю на 10 км /год менше, ніж мала бути за розкладом, і запізнився на 48 хв . З якою швидкістю мав рухатися поїзд за розкладом?

Правильна відповідь : 60 км /год .

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування текстових задач за допомогою рівняння або системи рівнянь.

25. Обчисліть 2sin15°cos15°tg 30°ctg 30°.

Правильна відповідь : 0,5

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Тотожні перетворення і знаходження значень тригонометричних виразів.

26. Розв’яжіть рівняння (х ² −9) −15+8х − х ² = 0. У відповідь запишіть суму коренів.

Правильна відповідь : 11 (або 8).

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування ірраціональних рівнянь.

Примітка. Враховуючи, що чинні підручники з математики для загальноосвітніх навчальних закладів порізному тлумачать ситуацію, коли рівняння мають кратні корені, відповідь 8 також є правильною.

Розв’язання.

Знайдемо область визначення: −15+8х − х ² ≥ 0, х ² −8х +15 ≤ 0, х ^∈ [3; ⁵ ]

Рівняння (х ² −9) −15+8х − х ² = 0 рівносильне сукупності рівнянь:

⎢_⎣ −15+8х − х ² = 0; ⎢⎢х ₃ = 3,

⎣х ₄ = 5.

Рівняння має чотири корені, з яких два рівні між собою. Корінь х =−3 не входить в область визначення. Тому 3+3+5=11.

⎧22у −х = 32,

⎪

27. Розв’яжіть систему рівнянь ⎨log1 (у − х ) = −2.

⎪⎩ 2

Запишіть у відповідь добуток x ₀ ⋅ y ₀ , якщо пара (x ₀ , y ₀ ) є розв’язком вказаної системи рівнянь.

Правильна відповідь : −3.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування систем рівнянь, у яких одне рівняння показникове, а інше ─ логарифмічне.

28. Середній вік одинадцяти футболістів команди становить 22 роки. Під час гри одного з футболістів було вилучено з поля, після чого середній вік гравців, що залишилися, став 21 рік. Скільки років футболісту, який залишив поле?

Правильна відповідь : 32.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Статистичні характеристики рядів даних: середнє значення випадкової величини.

29. Обчисліть log₃ 4⋅log₄ 5⋅log₅ 7⋅log 81₇

Правильна відповідь : 4.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Тотожні перетворення логарифмічних виразів.

30. Знайдіть найбільше ціле значення параметра а , при якому система рівнянь

⎧у −х =а ,

⎨ _{2 2} має два розв’язки.

⎩х +у =1

Правильна відповідь : 1.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування систем рівнянь з параметрами графічно.

31. Знайдіть найбільше значення функції у = х ³ −3х ² + 2 на проміжку [−1; 1].

Правильна відповідь : 2.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Дослідження функції за допомогою похідної.

32. Знайдіть найменше ціле значення параметра а , при якому рівняння log₈ (х + 2) = log₈ (2х −а ) має корені.

Правильна відповідь : −3.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування рівнянь з параметрами.

33. Сторона рівностороннього трикутника АВС дорівнює 5 см. Знайдіть скалярний

r r

добуток AB ⋅ AC .

Правильна відповідь : 12,5.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Скалярний добуток векторів.

34. Для опалювальної системи будинку необхідні радіатори із розрахунку: три одиниці на 50м³ . Яку кількість одиниць радіаторів треба замовити, якщо новий будинок має форму прямокутного паралелепіпеда розміру 15м×18м×25м?

Правильна відповідь : 405.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Задачі прикладного змісту на знаходження об’єму фігур: об’єм прямокутного паралелепіпеда.

35. Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює 2 3 см і нахилена під кутом 60°до площини основи. Знайдіть об’єм піраміди.

Правильна відповідь : 12 см ³ .

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Знаходження об’єму фігури, використовуючи теореми планіметрії: об’єм піраміди.

Частина 3

ЗАВДАННЯ ВІДКРИТОЇ ФОРМИ З РОЗГОРНУТОЮ ВІДПОВІДДЮ

36. У правильній чотирикутній піраміді SABCD (S – вершина) бічне ребро вдвічі більше сторони основи. Знайдіть кут між медіаною трикутника SDC , проведеною з вершини D , та середньою лінією трикутника ASC , що паралельна основі піраміди.

Правильна відповідь : α= arctg 11.

Розв’язання (авторський варіант)

Нехай SABCD – задана правильна піраміда, в основі якої лежить квадрат ABCD, і SO її висота. Позначимо сторону основи АВ через а , тоді бічне ребро SA = 2a .

У трикутнику SDC з вершини D проведемо медіану DN, N – середина ребра SC . У трикутнику ASC проведемо середню лінію, паралельну AC . Вона перетинає ребра SA та SC у точках М та N відповідно, AM = MS та SN = NC (за означенням середньої лінії). Оскільки АС лежить у площині ABC і MN || AC , то MN || (ABC ). Прямі MN та ND перетинаються в точці N , тому кут MND є шуканим кутом між медіаною DN трикутника SDC і середньою лінією MN трикутника ASC . Позначимо ∠MND =α.

a 2

Діагональ АС квадрата АВСD дорівнює a 2 , тому середня лінія MN = .

2

Висота SO піраміди перетинає MN в точці L . Оскільки трикутники ASC і SMN є

a 2

рівнобедреними, то АО = ОС і ML = LN = .

4

З прямокутного трикутника SOC SO =

1

За теоремою Фалеса SL = LO = SO = a

2

З прямокутного трикутника LOD LD =.

Трикутник DNM рівнобедрений, оскільки DM = DN як медіани рівних трикутників SAD та SCD . Медіана DL є висотою. Отже, трикутник DLN є прямокутним.

З трикутника DLN маємо:

LD

tg α= = 11.

LN

Відповідь. α= arctg 11.

Схема оцінювання

1. За правильно побудований рисунок до задачі з обґрунтуванням паралельності відповідної середньої лінії до основи учень одержує 1 бал .

2. За обгрунтування рівності двох сторін трикутника MND (DM=DN) учень одержує ще 1 бал .

3. Якщо учень правильно знайшов елементи трикутника DLN , необхідні для знаходження кута α, він одержує ще 1 бал .

4. За правильну відповідь учень одержує ще 1 бал .

Таким чином, за правильно розв’язану задачу учень одержує 4 бали .

• Якщо учень не з’єднує точки М і Д на рисунку, а розглядає кут α як кут трикутника DLN, то в цьому випадку треба обґрунтувати, що трикутник DLN – прямокутний. Тоді має місце така схема оцінювання :

1. За правильно побудований рисунок до задачі з обґрунтуванням паралельності відповідної середньої лінії до основи учень одержує 1 бал .

2. За обґрунтування того, що LD ⊥ MN учень одержує ще 1 бал .

3. Якщо учень правильно знайшов елементи трикутника DLN , необхідні для знаходження кута α, він одержує ще 1 бал .

4. За правильну відповідь учень одержує ще 1 бал .

Таким чином, за правильно розв’язану задачу учень одержує 4 бали .

• Якщо учень для розв’язування задачі використав векторно-координатний метод, то тоді має місце така схема оцінювання :

1. За правильне обґрунтування висоти SO учень одержує 1 бал .

2. За вибір системи координат з поясненням необхідних точок учень одержує ще 1 бал .

3. За обчислення координат цих точок учень одержує ще 1 бал .

4. За правильну відповідь учень одержує ще 1 бал .

Таким чином, за правильно розв’язану задачу учень одержує 4 бали .

37. Побудуйте графік функції y =.

2

Розв’язання

Знаходимо область визначення функції, тобто розв’язуємо нерівність −х ≥ 0. Отже, D (y ) = (−∞; 0].

Знайдемо точки, у яких модуль обертається в нуль, тобто розв’яжемо рівняння 4− − x = 0 , звідки x =−16.

Якщо x ∈(−∞;−16], то y == −x − 2.

Якщо х ∈ (−16; ⁰ ], то y = = 2.

2

Побудуємо ескіз графіка вказаної функції.

1. За правильно знайдене D (y ) учень одержує 1 бал .

2. Якщо учень правильно розкрив модуль на проміжку x ∈(−∞;−16], то він одержує 1 бал .

3. Якщо учень правильно розкрив модуль на проміжку (−16; ⁰ ], то він одержує ще 1 бал .

4. За правильно побудований ескіз графіка вказаної функції учень одержує ще 1 бал .

Тобто за правильно розв’язане завдання учень одержує 4 бали .

38. Розв’яжіть нерівність (x ² − 2 a ⋅ x +1)(2^x +lga ) < 0 .

1

Правильна відповідь: при a ∈(0;1) x ∈(−∞;log₂ lg ) ; a

при а =1 х ∈∅ ;

при a ∈(1;+∞) x ∈( a − a −1; a + a −1).

Розв’язання

Визначимо область допустимих значень параметра а : a > 0.

Дана нерівність еквівалентна наступній сукупності систем нерівностей:

^⎡ ⎧⎪x ² −2x a +1> 0,

⎢⎨

⎢⎪_⎩ 2^x +lga < 0;

⎢

⎢⎧⎪x ² −2x a +1< 0,

⎢⎨

⎢⎣⎪_⎩ 2^x +lga > 0.

Розв’яжемо спочатку першу систему.

Розглянемо нерівність x ² − 2 a ⋅x +1> 0 .

D ₂

= ( a ) −1=a −1.

4

1. Якщо a <1 , то розв’язком першої нерівності даної системи буде x ∈R . Тоді

розв’язком нерівності 2^x < −lga буде x ∈(−∞;log₂ lg ¹ ) при 0 < a <1. Тобто,

a

1

розв’язок першої системи матиме вигляд x ∈(−∞;log₂ lg ) при 0<a <1. a

2. Якщо а ≥1, то розв’язком нерівності x ² − 2 a ⋅x +1> 0 буде x ∈(−∞; a − a −1)∪( a + a −1;+∞), а нерівність ^{2 x} < −lga не має розв’язків.

Отже, перша система не має розв’язків. Розв’яжемо другу систему.

Розглянемо нерівність x ² − 2 a ⋅x +1< 0 .

D ²

Ураховуючи розв’язання попередньої системи, = ( a ) −1=a −1.

4

1. Якщо a <1, то нерівність не має розв’язків. Отже, друга система не має розв’язків.

2. Якщо а >1, то розв’язком нерівності x ² − 2 a ⋅x +1< 0 буде x ∈( a − a −1; a + a −1). Тоді розв’язком нерівності ^{2 x} > −lga буде x ∈R .

Тобто розв’язок другої системи матиме вигляд x ∈( a − a −1; a + a −1).

3. Якщо a =1, то одержимо нерівність x ² −2x +1< 0, звідси х ∈∅ .

1

Отже, загальна відповідь: при 0 < a <1 x ∈(−∞;log₂ lg ) ; a

при a >1 x ∈( a − a −1; a + a −1); при а =1 х ∈∅ .

Схема оцінювання

1. Якщо учень правильно знайшов область допустимих значень параметра а і розглянув нерівність як сукупність двох систем, то він одержує 1 бал .

2. За правильно розв’язану першу систему нерівностей учень одержує ще 2 бали . Якщо він припустився помилки при розв’язанні однєї з нерівностей при умові, що друга нерівність розв’язана правильно, учень одержує 1 бал .

3. За правильно розв’язану другу систему нерівностей учень одержує ще 2 бали . Якщо він припустився помилки при розв’язанні однєї з нерівностей при умові, що друга нерівність розв’язана правильно, учень одержує 1 бал .

4. За правильно записану відповідь учень одержує ще 1 бал .

Тобто за правильно розв’язану задачу учень одержує 6 балів .

• Якщо учень розв’язує нерівність методом інтервалів , то в цьому випадку має місце така схема оцінювання:

1. За правильно знайдене ОДЗ змінної і параметра учень одержує 1 бал .

2. За правильно знайдені нулі функції у = (х ² − 2 ах +1)(2^х + lgа ) з вказівкою відповідних значень параметра учень одержує 2 бали .

Якщо знайдені нулі тільки одного множника з вказівкою відповідних значень параметра, то учень одержує лише 1 бал .

3. За правильне застосування методу інтервалів на кожному з виділених проміжків для параметра а учень одержує 2 бали .

Якщо учень розглянув один з випадків a >1 або 0 < a <1, то він одержує лише 1 бал .

4. За правильно записану відповідь учень одержує ще 1 бал .

Тобто за правильно розв’язану задачу учень одержує 6 балів .

• Якщо учень розв’язує нерівність методом розбиття усіх значень а на три випадки: 0 < a <1, а= 1, a >1 , то в цьому випадку має місце така схема оцінювання:

1. Якщо учень дослідив випадок а =1 і одержав відповідь, то він одержує 1 бал.

2. Якщо учень дослідив випадок 0 < a <1 і одержав відповідь, то він одержує 2 бали.

3. Якщо учень дослідив випадок a >1 і одержав відповідь, то він одержує 2 бали.

4. За правильно записану відповідь учень одержує ще 1 бал .

Тобто за правильно розв’язану задачу учень одержує 6 балів .