Билеты: ЕГЭ по МАТЕМАТИКЕ 2012 PDF

Название: ЕГЭ по МАТЕМАТИКЕ 2012 PDF
Раздел: ЕГЭ
Тип: билеты

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс. (2012 - 1 / 21)

Пояснения к демонстрационному варианту

контрольных измерительных материалов для ЕГЭ 2012 года по МАТЕМАТИКЕ

Демонстрационный вариант ЕГЭ по математике 2012 года разработан по заданию Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации.

Демонстрационный вариант предназначен для того, чтобы дать представление о структуре будущих контрольных измерительных материалов, количестве заданий, их форме, уровне сложности. Задания демонстрационного варианта не отражают всех вопросов содержания, которые могут быть включены в контрольные измерительные материалы в 2012 году. Структура работы приведена в спецификации, а полный перечень вопросов – в кодификаторах требований и элементов содержания по математике для составления контрольных измерительных материалов ЕГЭ 2012 года.

Правильное решение каждого из заданий В1–В14 части 1 экзаменационной работы оценивается 1 баллом. Правильное решение каждого из заданий С1 и С2 оценивается 2 баллами, С3 и С4 – 3 баллами, С5 и С6 – 4 баллами. Максимальный первичный балл за выполнение всей работы – 32.

Верное выполнение не менее пяти заданий экзаменационной работы отвечает минимальному уровню подготовки, подтверждающему освоение выпускником основных общеобразовательных программ общего (полного) среднего образования.

К каждому заданию с развёрнутым ответом, включённому в демонстрационный вариант, даётся возможное решение. Приведённые критерии оценивания позволяют составить представление о требованиях к полноте и правильности решений. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов, система оценивания, спецификация и кодификаторы помогут выработать стратегию подготовки к ЕГЭ по математике.

Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2012 года по математике

подготовлен Федеральным государственным научным учреждением

«ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ»

(2012 - 2 / 21)

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов 2012 года

Инструкция по выполнению работы

На выполнение экзаменационной работы по математике даётся 4 часа (240 мин.). Работа состоит из двух частей и содержит 20 заданий.

Часть 1 содержит 14 заданий с кратким ответом (В1–В14) базового уровня по материалу курса математики. Ответом является целое число или конечная десятичная дробь.

Часть 2 содержит 6 более сложных заданий (С1–С6) по материалу курса математики. При их выполнении надо записать полное решение и ответ.

Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой, капиллярной или перьевой ручки.

При выполнении заданий Вы можете пользоваться черновиком. Обращаем Ваше внимание, что записи в черновике не будут учитываться при оценке работы.

Советуем выполнять задания в том порядке, в котором они даны. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся выполнить сразу, и переходите к следующему. Если после выполнения всей работы у Вас останется время, Вы сможете вернуться к пропущенным заданиям.

Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.

Желаем успеха !

(2012 - 4 / 21)

Строительная фирма планирует купить 70 м³ пеноблоков у одного из трёх поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей нужно заплатить за самую дешёвую покупку с доставкой?

Поставщик	Стоимость пеноблоков (руб. за 1 м³ )	Стоимость доставки (руб.)	Дополнительные условия доставки
А	2 600	10 000	Нет
Б	2 800	8 000	При заказе товара на сумму свыше 150 000 рублей доставка бесплатная
В	2 700	8 000	При заказе товара на сумму свыше 200 000 рублей доставка бесплатная

Найдите корень уравнения log (₃ x − =3) 2.

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс. (2012 - 5 / 21)

Диагональ AC основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 6. Высота пирамиды SO равна 4. Найдите длину бокового ребра SB .

B10

В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.

B11

Объём первого цилиндра равен 12 м³. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания в два раза меньше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра (в м³).

B12

Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой h t ( ) = −5t ² +18t , где h – высота в метрах, t – время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров.

B13

Весной катер идёт против течения реки в 1 раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в 1 раза медленнее, чем по течению. Найдите

скорость течения весной (в км/ч).

B14

Найдите наибольшее значение функции

⎡ π⎤

y = 2cosx + ₃ на отрезке _⎢⎣ 0; ₂ _⎥⎦ .

Треугольник ABC вписан в окружность с центром O . Найдите угол BOC , если угол BAC равен 32°.

Найдите sinα, если cosα= 0,6 и π <α< π2 .

На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f (x ). На оси абсцисс отмечены девять точек: x ₁ , x ₂ , x ₃ ,..., x ₉ . Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции f (x ) отрицательна.

В ответе укажите количество найденных точек.

(2012 - 6 / 21)

Часть 2

Для записи решений и ответов на задания С1–С6 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания (С1, С2 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ.

⎛ π ⎞

а) Решите уравнение cos2x = −1 cos_⎜ − x _⎟ .

⎝ 2 ⎠

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

⎡ 5π ⎞

_⎢ ⎣− ₂ ;− π⎠⎟ .

Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA B C _{1 1 1} равна 2, а диагональ боковой грани равна 5 . Найдите угол между плоскостью A ₁ BC и плоскостью основания призмы.

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2012 - 7 / 21)

С4

С3

С2

⎧4^x ≤ 9 2⋅ ^x + 22,

⎪

Решите систему неравенств ^⎨ ₂ x +₁

⎪log₃ (x − x − 2) ≤ +1 log₃ .

⎩ x − 2

На стороне BA угла ABC , равного 30^D , взята такая точка D , что AD = 2 и

BD =1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A , D и касающейся прямой BC .

Найдите все значения a , при каждом из которых наименьшее значение функции f x ( ) = 2ax +| x ² − +8x 7| больше 1.

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно 8− .

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

(2012 - 8 / 21)

Система оценивания демонстрационного варианта контрольных измерительных материалов по МАТЕМАТИКЕ

Ответы к заданиям части 1

Каждое правильно выполненное задание части 1 оценивается 1 баллом. Задания части 1 считаются выполненными верно, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс. (2012 - 9 / 21)

Решения и критерии оценивания заданий части 2

Количество баллов, выставляемых за выполнение заданий части 2 зависит от полноты решения и правильности ответа.

Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом:

решение должно быть математически грамотным, полным, в частности, все возможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное число баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов.

Эксперты проверяют только математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают.

В критериях оценивания конкретных заданий содержатся общие требования к выставлению баллов.

При выполнении задания можно использовать без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендованных (допущенных) Министерством образования и науки Российской Федерации.

Задание	Ответ
В1	5
В2	5
В3	18
В4	192 000
В5	12
В6	64
В7	–0,8
В8	3
В9	5
В10	0,92
В11	9
В12	2,4
В13	5
В14	1

Ответы к заданиям части 2

Задание		Ответ
С1	а) б)	k , n ∈], k ∈].
С2	30°
С3	(2; log 11 ₂ ]
С4	1 или 7
С5	⎛ 1 ⎞ ⎜ ; 4 + 6⎟ ⎝ 2 ⎠
С6	а) 44; б) отрицательных; в) 17

(2012 - 10 / 21)

⎛ π ⎞

а) Решите уравнение cos2x = −1 cos_⎜ − x _⎟ .

⎝ 2 ⎠

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

⎡ 5π ⎞ ⎢⎣− ₂ ;− π_⎠ ⎟ .

Решение.

а) Так как cos2x =1− 2sin² x , cos^⎛ _⎜ ^π − x _⎟ ^⎞ = sin x , то 1− 2sin² x = −1 sin ,x

⎝ 2 ⎠

2sin² x −sin x = 0, sin x ^⎛ _⎜ sin x − ¹ ^⎞ _⎟ = 0.

⎝ 2⎠

Корни уравнения: x =πn , x = −( 1)^k + πk , n ∈], k ∈].

б) Корни уравнения sin x = 0 изображаются точками A и B , а

корни уравнения sin x = — точками C и D , промежуток

С1

⎡ 5π ⎞

_⎢ ⎣− ₂ ;− π_⎠ ⎟ изображается жирной

дугой (см. рис.). В указанном промежутке содержатся три корня

уравнения: −2π, −2π + = − и

π 7π

−π − = − .

6 6

Ответ: k , n ∈], k ∈].

б) .

Другие решения пункта б).

⎡ 5π ⎞

б) Корни, принадлежащие промежутку _⎢ ⎣− 2 ;−π⎠_⎟ , отберем по графику y = sin x . Прямая y = 0 (ось Ox ) пересекает график в единственной точке

(−2π;0), абсцисса которой принадлежит промежутку _⎢ ⎣^⎡ −⁵ ₂ ^π ;−π_⎠ ^⎞ _⎟ .

(2012 - 12 / 21)

Тогда .

⎡ 5π ⎞ 11π

Корень, принадлежащий промежутку _⎢ ⎣− ₂ ;−π⎠_⎟ : x = − ₆ .

Пусть x n n .

Тогда .

⎡ 5π ⎞ 7π

Корень, принадлежащий промежутку _⎢ ⎣− ₂ ;−π⎠_⎟ : x = − ₆ .

⎡ 5π ⎞ 11π 7π Промежутку _⎢ ⎣− ₂ ;−π^⎟ _⎠ принадлежат корни: − 2π,− ₆ , − ₆ .

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс. (2012 - 13 / 21)

Возможны другие формы записи ответа. Например:

А) ;

Б) рад.

В) arctg и т.п.

Возможны другие решения. Например, с использованием векторов или метода координат.

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ, или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

С3

⎧ 4^x ≤ 9 2⋅ ^x + 22,

⎪

Решите систему неравенств ^⎨ ₂ x +₁

⎪log₃ (x − x − 2) ≤ +1 log₃ .

⎩ x − 2

Решение.

1. Неравенство 4 ≤ 9 2⋅ + 22 запишем в виде (2 ) −9 2⋅ − 22 ≤ 0. x x x x

Относительно t = 2^x неравенство имеет вид: t ² −9t − 22 ≤ 0, откуда получаем: (t + 2)(t −11) ≤ 0, 2− ≤ ≤t 11.

Значит, 2− ≤ 2^x ≤11, x ≤ log 11₂ .

⎧(x +1)(x − 2) > 0,

⎪

2. Второе неравенство системы определено при ⎨ x +1

⎪ > 0,

⎩ x − 2

то есть при x < −1 и x > 2.

При допустимых значениях переменной получаем:

log₃ (x − 2)² ≤1, (x − 2)² ≤ 3, 2 − 3 ≤ x ≤ 2 + 3 .

С учётом области допустимых значений переменной получаем решение второго неравенства системы: 2 < x ≤ 2 + 3.

С2

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в п. а) и в п. б)	2
Обоснованно получен верный ответ в п. а) , но обоснование отбора корней в п. б) не приведено или задача в п. а) обоснованно сведена к исследованию простейших тригонометрических уравнений без предъявления верного ответа, а в п. б) приведен обоснованный отбор корней	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA BC _{1 1 1} равна 2, а диагональ боковой грани равна 5 . Найдите угол между плоскостью A ₁ BC и плоскостью основания призмы.

Решение.

Обозначим H середину ребра BC (см. рисунок). Так как треугольник ABC равносторонний, а треугольник A ₁ BC – равнобедренный, отрезки

AH и A ₁ H перпендикулярны BC . Следовательно, ∠A ₁ HA – линейный угол двугранного угла с гранями BCA и BCA .

Из треугольника A ₁ AB найдём: AA ₁ = 1.

Из треугольника AHB найдём: AH = Из треугольника HAA ₁ найдём:

AA ¹ = 1 . tg∠A HA ₁ =

AH 3

Искомый угол равен 30°.

Ответ: 30°.

(2012 - 14 / 21)

3. Сравним log 11 ₂ и 2 + 3. Так как , то

2 + 3 > 3,5 = log₂ (8⋅ 2) > log₂ (8 1⋅ ,4) = log₂ (11,2) > log 11₂ , следовательно, log 11₂ < 2 + 3 .

Решение системы неравенств: (2; log 11 . ₂ ] Ответ: (2; log 11 . ₂ ]

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Для обоих неравенств системы обоснованно получены верные ответы, но не проведено обоснованного сравнения значений конечных точек найденных промежутков	2
Для одного из двух неравенств системы обоснованно получен верный ответ	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

Комментарий. Если обоснованно получены оба ответа: x ≤ log 11₂ и

С4

2 < x ≤ 2 + 3, после чего лишь сказано , но никак не обосновано, что log 11₂ < 2 + 3, то такое решение оценивается в 2 балла.

На стороне BA угла ABC , равного 30^D , взята такая точка D , что AD = 2 и

BD =1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A , D и касающейся прямой BC .

Решение.

Центр O искомой окружности принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AD . Обозначим P середину отрезка AD , Q – основание перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую BC , E – точку пересечения серединного перпендикуляра с прямой BC (см. рисунок а). Из условия касания окружности и прямой BC следует, что отрезки OA , OD и OQ равны радиусу R окружности.

Заметим, что точка O не может лежать по ту же сторону от прямой AB , что и точка E , так как в этом случае расстояние от точки O до прямой BC меньше, чем расстояние от неё до точки A .

Из прямоугольного треугольника BPE с катетом BP = 2 и ∠B = 30°

2 3

находим, что PE = .

Так как OA = R и AP =1, получаем: OP = R ² −1, следовательно,

OE = R ² −1 + ^{2 3} .

(2012 - 16 / 21)

Пусть теперь точка Q касания окружности с прямой BC лежит на продолжении BC за точку B (см. рисунок б), а прямая, проходящая через точку Q перпендикулярно BC , пересекает прямую AB в точке H , а окружность вторично – в точке T . Тогда

BQ = BA BD ⋅ = 3, ∠HBQ = ∠ABC = 30°,

BH = BQ ¹ = 2, HQ = 1 BH =1. cos30° 2

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс. (2012 - 17 / 21)

Возможны другие формы записи ответа. Например:

А) 1, 7;

Б) радиус окружности равен 7 или 1.

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины, или рассмотрены обе конфигурации, для которых получены значения искомой величины, неправильные из-за арифметических ошибок	2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

С5

Найдите все значения a , при каждом из которых наименьшее значение функции f x ( ) = 2ax +| x ² −8x + 7| больше 1.

Решение.

1. Функция f имеет вид:

a) при x ² − +8x 7 ≥0: f x ( ) = +x ² 2(a − 4)x + 7, а её график есть две части параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии x 4= − a ;

б) при x ² −8x + 7 <0: f x ( ) = − x ² + (2a +8)x − 7, а её график есть часть

параболы с ветвями, направленными вниз.

Все возможные виды графика функции f ( )x показаны на рисунках:

Рис. 1 Рис. 2

Если R – радиус окружности, то QT = 2R . По теореме о двух секущих HQ HT ⋅ = HA HD ⋅ , то есть 1 1⋅( + 2R ) = (2 + 3)⋅3, откуда находим, что R = 7.

Ответ: 1 или 7.

(2012 - 18 / 21)

Рис. 3 Рис. 4

2. Наименьшее значение функция f ( )x может принять только в точках 1x = или x = 7, а если 4 − a ∉[1; 7] – то в точке x = 4 − a .

3. Наименьшее значение функции f больше 1 тогда и только тогда, когда

⎧ 1

f (1) >1, ⎧2a >1, ⎪⎪a > 2,

⎧

⎪ ⎪ ⎪ 1

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс. (2012 - 19 / 21)

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное, но либо имеет пробелы (например, не описаны необходимые свойства функции), либо содержит вычислительные ошибки	3
Верно рассмотрены все случаи раскрытия модулей. При составлении или решении условий на параметр допущены ошибки, в результате которых в ответе либо приобретены посторонние значения, либо часть верных значений потеряна	2
Хотя бы в одном из случаев раскрытия модуля составлено верное условие на параметр либо построен верный эскиз графика функции в целом	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

С6

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Решение.

Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому 4 8 0k − l + ⋅m = −3(k + +l m ).

а) Заметим, что в левой части приведённого выше равенства каждое слагаемое делится на 4, поэтому k + +l m — количество целых чисел — делится на 4. По условию 40< + + <k l m 48, поэтому k + + =l m 44 .

Таким образом, написано 44 числа.

б) Приведём равенство 4 8k − l = −3(k + +l m ) к виду 5 7l = +k 3m . Так как m ≥0, получаем, что 5 7l ≥ k , откуда l > k . Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.

в_оценка ) Подставим k + + =l m 44 в правую часть равенства 4 8k − l = −3(k + +l m ): 4 8k − =−l 132, откуда k = −2 33l . Так как k + l ≤44, получаем: 3l −33≤ 44, 3l ≤ 77, l ≤ 25, k = 2l −33≤17; то есть

положительных чисел не более 17.

в_пример ) Приведём пример, когда положительных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25 раз написано число −8 и два

⎨ f (7) >1, ⇔ ⎨14a >1, ⇔ ⎨a >, ⇔

⎪⎩ f (4 − a ) >1 ⎪⎩2 (4a − a ) + | a 2 −9| >1 ⎪⎪2a 214−8a + −1 | a 2 −9|< 0

⎪

⎩

⎡⎧⎪a ≥ 3, ⎢⎡⎨⎪⎧a ≥ 3,

⎢⎨⎪⎩a ₂ −8a +10 < 0 ⎢_⎢ ⎪⎩4 −

⎢

⇔ ⎢⎧ ⇔ ⎢⎧_⎪⎪ ¹ ₂ ⇔

_⎢⎪ _3, _⎢

⎢⎨2 _⎢ ⎨

^⎢ ⎣^⎪ ⎩3a ² −8a −8< 0 ⎢⎢_⎣ ^⎪ ⎪_⎩

⎡3≤ a < 4 + 6

⇔ ^⎢⎢ ₁ < a < 3 ⇔ ¹ 2 < a < 4 +

⎢⎣2

⎛ 1 ⎞ Ответ: _⎜ ; 4 + 6 ._⎟

⎝ 2 ⎠

(2012 - 20 / 21)

раза написан 0. Тогда , указанный набор

удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17.

Содержание критерия	Баллы
Верно выполнены: а), б), в_пример ), в_оценка )	4
Верно выполнены три пункта из четырёх: а), б), в_пример ), в_оценка )	3
Верно выполнены два пункта из четырёх: а), б), в_пример ), в_оценка )	2
Верно выполнен один пункт из четырёх: а), б), в_пример ), в_оценка )	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4