Реферат: Задач линейного программирования
Название: Задач линейного программирования Раздел: Рефераты по информатике Тип: реферат | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Цель работы: изучить теорию и методы решения задач линейного программирования; пробрести навыки построения моделей линейного программирования и решения задач линейного программирования на ЭВМ.
Краткие теоретические сведения Методы линейного программирования (ЛП) оказались весьма эффективными для решения задач из различных областей человеческой деятельности. Слово "программирование" понимается как планирование, и это определяет характер рассматриваемых приложений. Основные идеи линейного программирования возникли во время второй мировой войны в связи с поиском оптимальных стратегий при ведении военных операций. С тех пор они нашли широкое применение в промышленности, торговле и в управлении - как в местных, так и в государственных масштабах. Этими методами можно решить многие задачи, связанные с эффективным использованием ограниченных ресурсов. Пример 1. Фирма производит две модели (А и В) сборных книжных полок. Их производство ограничено наличием сырья (высококачественных досок) и временем машинной обработки. Для каждого изделия модели А требуется 3 м2 досок, а для изделия модели В - 4 м2 . Фирма может получить от своих поставщиков до 1 700 м2 досок в неделю. Для каждого изделия модели А требуется 12 мин машинного времени, а для изделия модели 5-30 мин. В неделю можно использовать 160 ч машинного времени. Сколько изделий каждой модели следует фирме выпускать в неделю, если каждое изделие модели А приносит 2 дол. прибыли, а каждое изделие модели В-А дол. прибыли? Чтобы сформулировать эту задачу математически, обозначим через х{ количество выпущенных за неделю полок модели Л, а через х2 -количество выпущенных полок модели В. Задача состоит в том, чтобы найти наилучшие значения х\ и х2 . Очевидно, наилучшими для данной задачи являются такие значения, которые максимизируют еженедельную прибыль. Еженедельная прибыль составляет Р = 2x1 , + 4x2 . Поскольку х1 и х2 выражают еженедельный объем выпускаемых изделий, то они не могут быть отрицательны, т.е. х{ > 0, х2 >0 (1) Теперь ограничения на наличие досок и машинное время могут быть записаны следующим образом: для досок - Зх1 + 4х2 < 1700 (2) для машинного времени - 2X1 + 5 х2 < 1600. (3) Следовательно, задача состоит в том, чтобы найти значения х1 и х2 , удовлетворяющие условиям неотрицательности (1) и ограничениям типа неравенства (2) - (3) и максимизирующие функцию Р. Это типичная двумерная задача линейного программирования. Целевая функция, которая должна быть максимизирована, является линейной функцией своих переменных. Ограничения на эти переменные тоже линейны (1). Рис. 1 Линия уровня целевой функции и допустимое множество задачи ЛП Условия неотрицательности позволяют ограничиться рассмотрением положительного квадранта. Границы определяются прямыми 3x1 + 4х2 = 1700, 2х1 + 5х2 = 1 600. Стрелка на каждой границе указывает, с какой стороны прямой * выполняется ограничение. Заштрихованная область ОАВС, содержащая точки, для которых соблюдены условия (2) и (3), является допустимой. Точки внутри и на границе этой области изображают допустимые решения. Допустимых решений много. Задача состоит в том, чтобы найти точку максимума функции Р. Штриховыми линиями изображены прямые 2x1 + 4x2 =0, 2x1 + 4x2 = 800, обозначенные а и b соответственно. Эти прямые параллельны и представляют собой две линии уровня функции Р со значениями 0 и 800. Ясно, что значение функции Р возрастает по мере того, как линии уровня удаляются от начала координат в положительном квадранте. ми (2, 4), указывающий направление возрастания функции Р перпендикулярен штриховым линиям и направлен в сторону, противоположную началу координат. Линией уровня с наибольшим значением функции Р имеющей хотя бы одну точку с допустимой областью, является прямая с, проходящая через вершину В; на ней Р принимает значение 1 400. Точка В, в которой х1 = 300, х2 = 200, соответствует оптимальному решению задачи. Эти значения могут быть получены как решения уравнений. 2х1 +4х2 =1700, 2х1 +5х2 =1 600. Следовательно, максимальная прибыль составляет 2*300 + 4*200 = 1400. В точке максимума оба ограничения превращаются в равенства, что означает полное использование сырья и машинного времени. Пример 1 показывает, как возникают задачи линейного программирования на практике и демонстрирует графический метод их решения. Рассмотренная задача может быть расширена до трех и более ограничений и соответствующего количества неотрицательных переменных. Могут быть введены дополнительные ограничения, связанные с возможностями рынка, упаковкой и т.д. В этом случае задача по-прежнему заключается в максимизации линейной функции от нескольких переменных при линейных ограничениях.
Порядок выполнения работы Вариант № 2 -2х1 + 3х2 → max Графический метод:
1) х1
+ 2х2
х1 > 0 x2 > 0 х1 > 0 x2 > 0 x1 = 0 x2 = 6 x1 = 0 x2 = 4 x1 = 12 x2 = 0 x1 = 8/3 x2 = 0 3) -2х1
+ х2
х1 > 0 x2 > 0 x1 = 0 x2 =-8 x1 = 4 x2 = 0 Таблица 1 – Начальное базисное решение
Опорная точка: х1 = 0, х2 = 0, х3 = 12, х4 = 8, х5 = -8, G = 0. Таблица 2 – Правило минимальных отношений
Таблица 3 – Сложное базисное решение
|