Курсовая работа: Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона
Название: Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона Раздел: Рефераты по математике Тип: курсовая работа | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Федеральное агентство по образованию РФ Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) Кафедра: «Высшая математика»РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТАТема: «Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона»Выполнила: студентка 23ЭУТХасянова А.Ф. Проверил: Матвеева С.В Дата_______________ Оценка_____________ Омск-2010 Содержание1. Введение. Исходные данные 2. Вариационный ряд 3. Интервальный вариационный ряд 4. Построение гистограммы плотности относительных частот. Выдвижение гипотезы о законе распределения генеральной совокупности Х 5. Оценки числовых характеристик и параметров выдвинутого закона 6. Теоретическая функция плотности рассматриваемого закона распределения «Построение ее на гистограмме» 7. Проверка критерия Пирсона Вывод 1. Исходные данные варианта №20Дана выборка из генеральной совокупности случайной величины Х. Данные представлены в таблице 1. Таблица 1
Выборка содержит 100 наблюдаемых значений, поэтому выборка имеет объем n=100. 2. Построение вариационного ряда Операция расположения значений случайной величины по не убыванию называется ранжированием. Последовательность элементов х(1) ≤ х(2) ≤…≤ х(k) называется вариационным рядом, элементы которого называют вариантами. Проранжировав статистические данные, получаем вариационный ряд (табл. 2). Таблица 2
3. Построение интервального вариационного ряда Опытные данные объединяем в группы так, чтобы в каждой отдельной группе значения вариант будут одинаковы, и тогда можно определить число, показывающее, сколько раз встречается соответствующая варианта в определенной (соответствующей) группе. Численность отдельной группы сгруппированного ряда опытных данных называется выборочной частотой соответствующей варианты x(i) и обозначается mi; при этом Отношение выборочной частоты данной варианты к объему выборки называется относительной выборочной частотой и обозначается Pi*, т.е. Т.к. согласно теореме Бернулли имеем, что Интервальным вариационным рядом распределения называется упорядоченная совокупность частичных интервалов значений С.В. с соответствующими им частотами или относительными частотами. Для построения интервального вариационного ряда выполняем следующие действия. 1. Находим размах выборки R = xmax – xmin. Имеем R = 102,21-3,59=98,62 . 2. Определяем длину частичного интервала ∆ – шаг разбиения по формуле Стерджеса: 3. ∆= 4. Определяем начало первого частичного интервала После разбиения на частичные интервалы просматриваем ранжированную выборку и определяем, сколько значений признака попало в каждый частичный интервал, включая в него те значения, которые ≥ нижней границы и меньше верхней границы. Строим интервальный вариационный ряд (табл. 3).Таблица 3
Где
4. Построение гистограммы Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины По данным таблицы 4 строим гистограмму (рис. 1). Гистограмма частот является статистическим аналогом дифференциальной функции распределения (плотности)
|
i |
|
|
1 |
|
8.5*14=119 |
2 |
|
18.5*6=111 |
3 |
|
28.5*7=199.5 |
4 |
|
38.5*12=462 |
5 |
|
48.5*12=582 |
6 |
|
58.5*7=409.5 |
7 |
|
68.5*8=548 |
8 |
|
78.5*12=942 |
9 |
|
88.5*13=1150.5 |
10 |
|
98.5*9=886.5 |
|
|
6. Равномерный закон
интервальный вариационный генеральный совокупность
Выдвинута гипотеза о распределении генеральной совокупности Х по равномерному закону
найдем функцию плотности равномерного закона вычислив оценки параметров
и
,
Т.к М(x)= ,
, D(x)=
Таблица 5
i |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
7 |
|
8 |
|
9 |
|
10 |
|
|
После того, как найдены значения функции плотности для каждого разряда, нанесем их прямо на гистограмму, получая тем самым кривую функции плотности
7 Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности по критерию Пирсона
В качестве меры расхождения между статистическим и гипотетическим (теоретическим) распределениями возьмем критерий Пирсона К = ч2.
Пирсон доказал, что значение статистического критерия не зависит от функции и от числа опытов n, а зависит от числа частичных интервалов
интервального вариационного ряда. При увеличении ч2, и находится по формуле:
К = или К =
Дальнейшие вычисления, необходимые для определения расчетного значения выборочной статистики , проведем в таблице 5.
Таблица 6
i |
|
|
|
|
|
|
1 |
0.14 |
14 |
0.1029 |
10.29 |
|
13.76/10.37=1.33 |
2 |
0.06 |
6 |
0.1 |
10 |
|
16/10=1.6 |
3 |
0.07 |
7 |
0.1 |
10 |
|
16/10=1.6 |
4 |
0.12 |
12 |
0.1 |
10 |
|
16/10=1.6 |
5 |
0.12 |
12 |
0.1 |
10 |
|
16/10=1.6 |
6 |
0.07 |
7 |
0.1 |
10 |
|
16/10=1.6 |
7 |
0.08 |
8 |
0.1 |
10 |
|
16/10=1.6 |
8 |
0.12 |
12 |
0.1 |
10 |
|
16/10=1.6 |
9 |
0.13 |
13 |
0.1 |
10 |
|
16/10=1.6 |
10 |
0.09 |
9 |
0.1149 |
11.49 |
|
6.3/11.49=0.548 |
|
|
|
|
Чтобы найти значение надо воспользоваться табличными распределениями
в которых значение сл. величины находят по заданному уровню значимости
и вычисленному числу степеней свободы
R- число частичных интервалов в таблице 1 но если в некоторых из интервалов значения то надо объединить расположенные рядом интервалы так, чтобы
тогда число
R-это число из необъединенных интервалов
i- число неизвестных параметров
В рассматриваемом эмпирическом распределении не имеются частоты, меньшие 5. Случайная величина ч2 (мера расхождения) независимо от вида закона распределения генеральной совокупности при (n ≥ 50) имеет распределение ч2 с числом степеней свободы
1) К =
уровень значимости б =1–=0,05
,
найдем по таблице значений критическое значение для б = 0,05 и
=9
Имеем =16.9. Так как
то предполагаемая гипотеза о показательном законе распределения генеральной совокупности не противоречит опытным данным и принимается на уровне значимости б.
2)=
,
=
3) M(x)= ,
M(x)=
4) D(x)=
D(x.1)=
5) Таким образом, критическая область для гипотезы задается неравенством ; P(
)=
Это означает, что нулевую гипотезу можно считать правдоподобной и гипотеза Но принимается
Вывод: В ходе расчетно-графической работы мы установили, что генеральная совокупность X распределена по равномерному закону, проверив это по критерию Пирсона. Определили параметры и числовые характеристики закона и построили для них доверительные интервалы.