Курсовая работа: Конгруэнции Фраттини универсальных алгебр
Название: Конгруэнции Фраттини универсальных алгебр Раздел: Рефераты по математике Тип: курсовая работа |
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования "Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины" Математический факультет Кафедра алгебры и геометрии
Курсовая работа
КОНГРУЭНЦИИ ФРАТТИНИ УНИВЕРСАЛЬНЫХ АЛГЕБР Исполнитель: студентка группы H.01.01.01 М-43 Селюкова Н.В. Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор кафедры Алгебры и геометрии Монахов В. С. Гомель 2004 Содержание
Введение 1. Основные определения, обозначения и используемые результаты 2. Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр 3. Конгруэнция Фраттини, подалгебра Фраттини и их свойства Список литературы Введение Одно из направлений исследований самых абстрактных алгебраических систем, в частности, универсальных алгебр, связано с изучением, определенным образом выделенных подсистем таких систем. Например, в группах - это силовские подгруппы, подгруппа Фраттини, подгруппа Фиттинга, в алгебрах Ли --- это подалгебра Картана, Фраттини и т.д. Разработка новых методов исследований мультиколец, универсальных алгебр, нашедших свое отображение в книге Л. А. Шеметкова и А. Н. Скибы ``Формации алгебраических систем''(1), дает мощный импульс в реализации этого направленияи в универсальных алгебрах. В этой курсовой работе решается задача, связанная с изучением свойств подалгебр Фраттини и конгруэнции Фраттини универсальных алгебр, принадлежащих некоторому фиксированному мальцевскому многообразию. В частности, получены новые результаты, указывающие на связь подалгебры Фраттини с фраттиниевой конгруэнцией (теоремы (4)и(5)). Установлено одно свойство подалгебры Фраттини нильпотентной алгебры (теорема(2)). Как следствие, из полученных результатов следуют аналогичные результаты теории групп и мультиколец. Перейдем к подробному изложению результатов курсовой работы, состоящей из введения, трех параграфов и списка литературы, состоящего из пяти наименований. 1 носит вспомагательный характер. Здесь приведены все необходимые определения, обозначения и используемые в дальнейшем результаты. 2 носит реферативный характер. Здесь приводятся с доказательствами результаты работ , касающееся свойств централизаторов конгруэнций. 3 является основным. На основе введенного здесь понятия --- конгруэнции Фраттини, устанавливаются некотоые свойства подалгебры Фраттини универсальной алгебры. В частности, доказывается, что подалгебра Фраттини нильпотентной алгебры нормальна в (теорема(3)). 1. Основные определения и используемые результаты Определение 1.1 Пусть --- некоторое непустое множество и пусть , отображение -ой декартовой степени в себя, тогда называют -арной алгебраической операцией .
Определение 1.2 Универсальной алгеброй называют систему состоящую из некоторого множества с заданной на нем некоторой совокупностью операций .
Определение 1.3 Пусть --- некоторая универсальная алгебра и (), тогда называют подалгеброй универсальной алгебры , если замкнута относительно операций из . • Для любой операции , где и . • Для любой операции элемент фиксируемый этой операцией в принадлежит .
Определение 1.4 Всякое подмножество называется бинарным отношением на .
Определение 1.5 Бинарное отношение называется эквивалентностью , если оно: • рефлексивно • транзитивно и • симметрично
Определение 1.6 Пусть некоторая эквивалентность на , тогда через обозначают множество . Такое множество называют класс разбиения по эквивалентности содержащий элемент . Множество всех таких классов разбиения обозначают через и называют фактормножеством множества по эквивалентности . Определим -арную операцию на фактормножестве следующим образом:
Определение 1.7 Эквивалентность на алгебре называется ее конгруэнцией на , если выполняется следующее условие: Для любой операции для любых элементов таких, что имеет место .
Определение 1.8 Если и --- конгруэнции на алгебре , , то конгруэнцию на алгебре назовем фактором на . тогда и только тогда, когда . или или 1 --- соответственно наименьший и наибольший элементы решетки конгруэнций алгебры .
Лемма 1.1 (Цорна). Если любая цепь частично упорядоченного множества содержит максимальные элементы, то и само множество содержит максимальные элементы.
Определение 1.9 Пусть --- бинарное отношение на множестве . Это отношение называют частичным порядком на , если оно рефлексивно, транзитивно, антисимметрично.
Определение 1.10 Множество с заданным на нем частичным порядком называют частично упорядоченным множеством . Теорема Мальцев А.И. Конгруэнции на универсальной алгебре перестановочны тогда и только тогда, когда существует такой тернарный оператор , что для любых элементов выполняется равенство . В этом случае оператор называется мальцевским. Определение 1.11 Алгебра называется нильпотентной , если существует такой ряд конгруэнций , называемый центральным , что для любого .
Определение 1.12 Подалгебра алгебры называется собственной , если она отлична от самой алгебры .
Определение 1.13 Подалгебра универсальной алгебры называется нормальной в , если является смежным классом по некоторой конгруэнции алгебры .
Определение 1.14 Пусть и --- универсальные алгебры с одной и той же сигнатурой, отображение называется гомоморфизмом , если 1) и имеет место ; 2) , где и элементы фиксируемой операцией в алгебрах и соответственно.
Определение 1.15 Гомоморфизм называется изоморфизмом между и , если обратное к нему соответствие также является гомоморфизмом. Теорема Первая теорема об изоморфизмах Пусть - гомоморфизм, --- конгруэнция, тогда . Теорема Вторая теорема об изоморфизмах Пусть --- есть -алгебра, --- подалгебра алгебры и --- конгруэнция на . Тогда является подалгеброй алгебры , --- конгруэнцией на и . Теорема Третья теорема об изоморфизмах Пусть --- есть -алгебра и и --- такие конгруэнции на , что . Тогда существует такой единственный гомоморфизм , что . Если , то является конгруэнцией на и индуцирует такой изоморфизм . 2. Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр Определение 2.1 Пусть и --- конгруэнции на алгебре . Тогда централизует (записывается: ), если на существует такая конгруэнция , что: 1) из всегда следует 2) для любого элемента всегда выполняется 3) если то Под термином "алгебра" в дальнейшем будем понимать универсальную алгебру. Все рассматриваемые алгебры предполагаются входящими в фиксированное мальцевское многообразие . Следующие свойства централизуемости, полученные Смитом , сформулируем в виде леммы. Лемма 2.1 Пусть . Тогда: 1) существует единственная конгруэнция , удовлетворяющая определению 2.1; 2) ; 3) если то Из леммы 2.1. и леммы Цорна следует, что для произвольной конгруэнции на алгебре всегда существует наибольшая конгруэнция, централизующая . Она называется централизатором конгруэнции в и обозначается . В частности, если , то централизатор в будем обозначать .
Лемма 2.2 Пусть , --- конгруэнции на алгебре , , , . Тогда справедливы следующие утверждения: 1) ; 2) , где ; 3) если выполняется одно из следующих отношений:
4) из всегда следует Доказательство: 1) Очевидно, что --- конгруэнция на , удовлетворяющая определению 2.1. В силу пункта 1) леммы 2.1. и . 2) --- конгруэнция на , удовлетворяющая определению 2.1. Значит 3) Пусть . Тогда
Применим к последним трем соотношениям мальцевский оператор такой, что Тогда получим т.е. Аналогичным образом показываются остальные случаи из пункта 3). 4) Пусть Тогда справедливы следующие соотношения:
Следовательно, где --- мальцевский оператор. Тогда то есть . Так как то . Таким образом . Лемма доказана. Следующий результат оказывается полезным при доказательстве последующих результатов.
Лемма. 2.3 Любая подалгебра алгебры , содержащая диагональ , является конгруэнцией на алгебре . Доказательство: Пусть Тогда из следует, что Аналогичным образом из получаем, что Итак, симметрично и транзитивно. Лемма доказана.
Лемма 2.4 Пусть . Тогда для любой конгруэнции на алгебре . Доказательство: Обозначим и определим на алгебре бинарное отношение следующим образом: тогда и только тогда, когда где Используя лемму 2.3, нетрудно показать, что --- конгруэнция на алгебре , причем Пусть то есть Тогда и, значит Пусть, наконец, имеет место Тогда справедливы следующие соотношения:
применяя мальцевчкий оператор к этим трем соотношениям, получаем Из леммы 2.2 следует, что Так как то Значит, Но , следовательно, . Итак, и удовлетворяет определению 2.1. Лемма доказана.
Лемма 2.5 Пусть , --- конгруэнции на алгебре , и --- изоморфизм, определенный на . Тогда для любого элемента отображение определяет изоморфизм алгебры на алгебру , при котором . В частности, . Доказательство. Очевидно, что --- изоморфизм алгебры на алгебру , при котором конгруэнции , изоморфны соответственно конгруэнциям и . Так как то определена конгруэнция удовлетворяющая определению 2.1. Изоморфизм алгебры на алгебру индуцирует в свою очередь изоморфизм алгебры на алгебру такой, что для любых элементов и , принадлежащих . Но тогда легко проверить, что --- конгруэнция на алгебре , изоморфная конгруэнции . Это и означает, что Лемма доказана.
Определение 2.2 Если и --- факторы на алгебре такие, что то конгруэнцию обозначим через и назовем централизатором фактора в .
Определение 2.3 Факторы и назыавются перспективными , если либо либо Теорема Пусть , , , --- конгруэнции на алгебре . Тогда: 1) если , то 2) если , то 3) если , и факторы , перспективны, то 4) если - конгруэнции на и , то где , . Доказательство. 1) Так как конгруэнция централизует любую конгруэнцию и , то 2) Из первого пункта лемы 2.2 следует, что а в силу леммы 2.4 получаем, что Пусть - изоморфизм . Обозначим По лемме 2.5 , а по определению Следовательно, 3) Очевидно, достаточно показать, что для любых двух конгруэнции и на алгебре имеет место равенство Покажем вналале, что Обозначим . Тогда, согласно определению 2.1. на алгебре существует такая конгруэнция , что выполняются следующие свойства: а) если , то б) для любого элемента , в) если то Построим бинарное отношение на алгебре следующим образом: тогда и только тогда, когда и Покажем, что --- конгруэнция на . Пусть для . Тогда и Так как --- конгруэнция, то для любой -арной операции имеем Очевидно, что и Следовательно, Очевидно, что для любой пары Значит, Итак, по лемме 2.3, - конгруэнция на . Покажем теперь, что удовлетворяет определению 2.1, то есть централизует . Пусть Тогда Так как , и , то . Следовательно, удовлетворяет определению 2.1. Если , то значит, Пусть, наконец, имеет место (1) и Тогда Так как и , то , следовательно, . Из (2) следует, что , а по условию . Значит, и поэтому
Тем самым показано, что конгруэнция удовлетворяет определению 2.1, то есть централизует . Докажем обратное включение. Пусть Тогда на алгебре определена конгруэнция удовлетворяющая определению 2.1. Построим бинарное отношение на алгебре следующим образом: тогда и только тогда, когда и , . Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что --- конгруэнция на алгебре . Заметим, что из доказанного включения в одну сторону следует, что . Покажем поэтому, что централизует . Так как то то есть удовлетворяет условию 1) определения 2.1. Если , то следовательно, Пусть имеет место (3) и . Так как то Из (4) следует, что , следовательно, то есть На основании леммы 2.2 заключаем, что Следовательно, . А так как , то , то есть 4) Обозначим . Пусть и удовлоетворяет определению 2.1. Определим бинарное отношение на следующим образом
тогда и только тогда, когда
Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что --- конгруэнция, удовлетворяющая определению 2.1. Это и означает, что Теорема доказана. Как следствия, из доказанной теоремы получаем аналогичные свойства централизаторов в группах и мультикольцах. 3. Конгруэнция Фраттини, подалгебра Фраттини и их свойства Определение 3.1 Конгруэнция универсальной алгебры называется фраттиниевой , если , для любой собственной подалгебры из ;
Определение 3.2 Собственная подалгебра универсальной подалгебры называется максимальной , если из того, что для некоторой подалгебры выполняется , всегда следует, что либо , либо . Будем в дальнейшем рассматривать алгебры с условием максимальности и минимальности для подалгебр. Теорема Конгруэнция универсальной алгебры является фраттиниевой тогда и только тогда, когда для любой максимальной подалгебры из имеет место равенство . Доказательство: Пусть --- фраттиниева конгруэнция алгебры и --- максимальная подалгебра из . Так как и , то . Обратно. Пусть удовлетворяет свойству и пусть --- любая собственная подалгебра алгебры . Так как выполняется условие максимальности для подалгебр, то найдется такая максимальная подалгебра алгебры , что , но . Тем самым теорема доказана.
Определение 3.3 Пусть --- конгруэнция на универсальной алгебре , тогда называется конгруэнцией, порожденной конгруэнцией , если тогда и только тогда, когда существуют такие, что .
Определение 3.4 Конгруэнцией Фраттини универсальной алгебры назовем конгруэнцию, порожденную всеми фраттиниевыми конгруэнциями алгебры и будем обозначать . Теорема Конгруэнция Фраттини является фраттиниевой конгруэнцией. Доказательство: Из теоремы следует, что достаточно показать выполнимость следующего равенства , где --- произвольная подалгебра алгебры . Напомним, что Так как , то существует такая конечная последовательность фраттиниевых конгруэнций , что . Это означает, что существует последовательность элементов, что . Так как и , то . Аналогичным образом получаем, что . Следовательно, . Теорема доказана. Напомним следующее определение из книги.
Определение 3.5 Пусть --- множество всех максимальных подалгебр алгебры , --- конгруэнция алгебры , порожденная всеми такими конгруэнциями на , что , .
Лемма 3.1 Конгруэнция является фраттиниевой конгруэнцией на и всякая фраттиниева конгруэнция на входит в . Доказательство: Пусть --- произвольная собственная подалгебра алгебря . Тогда найдется такая максимальная в подалгебра , что . Значит, и тем более . Следовательно, фраттиниева конгруэнция на . Пусть теперь --- произвольная фраттиниева алгебры , --- произвольная максимальная подалгебра из . Тогда , т.е. . Следовательно, . Лемма доказана.
Определение 3.6 Подалгебра Фраттини универсальной алгебры называется пересечение всех максимальных подалгебр из , и обозначается через . Теорема Пусть --- алгебра. Тогда . Доказательство: От противного. Предположим, что . Тогда существует элемент такой, что не принадлежит . Так как , то существует и, следовательно, для любой максимальной подалгебры и --- фраттиниева. Значит, принадлежит любой максимальной подалгебре из . Следовательно, . Теорема доказана. Лемма 3.2 Пусть --- максимальная подалгебра алгебры такая, что , где , тогда . Доказательство: Определим бинарное отношение на алгебре следующим образом: тогда и только тогда, когда существует элементы и . Как показано в работе --- конгруэнция на алгебре . Покажем, что , т.е. является смежным классом по конгруэнции . Пусть и пусть . В силу определения найдутся такие элементы и , что Применим мальцевский оператор . Отсюда получаем Следовательно, . Лемма доказана.
Лемма 3.3 Пересечение нормальных подалгебр алгебры является нормальной подалгеброй алгебры . Теорема Подалгебра Фраттини нильпотентной алгебры нормальна в . Доказательство: Пусть алгебра --- нильпотентна, тогда она обладает таким рядом конгруэнций, , где . Очевидно, что для любой максимальной подалгебры алгебры всегда найдется такой номер , что и . По лемме 3.2. . Отсюда следует, что . Так как пересечение нормальных подалгебр является нормальной подалгеброй, то . Теорема доказана. Заключение В данной курсовой работе приведены с доказательствами результаты работ[2], касающееся свойств централизаторов конгруэнций. А также на основе введенного здесь понятия - конгруэнции Фраттини, устанавливаются некотоые свойства подалгебры Фраттини - универсальной алгебры. В частности, доказано, что подалгебра Фраттини нильпотентной алгебры нормальна в . Список использованной литературы Шеметков Л. А., Скиба А. Н., Формации алгебраических систем. --- М.: Наука, 1989. -- 256с. Ходалевич А. Д., Универсальные алгебры с -центральными рядами конгруэнций// Известия АН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук, 1994. N1. с.30--34 Smith J. D. Mal'cev Varieties // Lect. Notes Math. 1976. V.554. Hodalevich A. D., Maximal Subalgebras of universal algebras --- Manuscript, 1994. |