Реферат: Некоторые примеры некоммутативных алгебр
Название: Некоторые примеры некоммутативных алгебр Раздел: Рефераты по математике Тип: реферат |
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский педагогический государственный университет»
математический факультет кафедра Алгебры.
РЕФЕРАТ
По теме «Некоторые примеры некоммутативных алгебр».
Выполнила: Студентка 3 группы 6 курса Браницкая Нина Анатольевна Научный руководитель: Ширшова Елена Евгеньевна.
Москва, 2010 Содержание: Глава 1. Основные понятия и определения...................................................................................................................... 4 Глава 2. Примеры некоммутативных алгебр............................................................................................................................... 3 1. Множество векторов трехмерного векторного пространства над полем 3 a. Свойства векторного произведения.................................................................................................. 4 b. Выражение векторного произведения через координаты.................................................................................................... 4 2. Множество квадратных матриц над полем 5 3. Тело кватернионов К над полем 5 a. Основные свойства.......................................................................................................... 6 4. Алгебра Грассмана над полем 9 a. Следствия..................................................................................................... 10 5. Список литературы............................................................................................................ 11 1. Основные понятия и определения. Определение: Пусть F – поле, V - некоторое множество, на котором заданы следующие операции: 1. операция сложения: 2. операция умножения: Множество V с заданными на нем операциями сложения и умножения элементов из V на элементы из F называется векторным (линейным) пространством над полем F , если выполняются следующие условия: - абелева группа; Элементы множества V называются векторами , а элементы поля F – скалярами . Определение: Векторное пространство А над полем Р называется алгеброй , если выполняются следующие условия: Определение (И.Л. Бухбиндер): Линейное пространство А называется (линейной) алгеброй , если в нем определена бинарная операция умножения элементов, то есть любым двум элементам сопоставляется единственный элемент, обозначаемый : , при этом бинарная операция удовлетворяет следующему свойству: . Определение: Алгебра называется ассоциативной , если . Определение: Алгебра называется коммутативной , если . Определение: Если в алгебре существует элемент , обладающий свойством единицы, то есть , то данная алгебра называется алгеброй с единицей , а элемент - единицей алгебры . 2. Примеры некоммутативных алгебр.
1. Множество векторов трехмерного векторного пространства над полем , в котором роль бинарной операции умножения играет векторное произведение векторов. Определение: Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который удовлетворяет следующим условиям: 1. ; 2. имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах, т.е. , где ; 3. векторы , и образуют правую тройку векторов. Обозначение: , где . Свойства векторного произведения.
1. При перестановки сомножителей векторное произведение меняет знак, то есть Доказательство: Векторы и коллинеарные, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки , , и , , противоположной ориентации). Следовательно, . 2. Векторное произведение обладает ассоциативным законом относительно операции умножения на скаляр, то есть . Доказательство : Пусть . Вектор перпендикулярен векторам и . Вектор также перпендикулярен векторам и (векторы , лежат в одной плоскости). Значит, векторы и коллинеарные, сонаправленые (), имеют одинаковую длину () Поэтому . Аналогично доказывается при . 3. Два ненулевых вектора и коллинеарные тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, то есть. Доказательство: . Следовательно, . В частности, . 4. Векторное произведение обладает законом дистрибутивности умножения относительно сложения, то есть Выражение векторного произведения через координаты. Таблица векторного произведения векторов Пусть заданы два вектора и , такие, что , Векторное произведение этих векторов вычисляется по формуле: . Проверим, является ли векторное пространство линейной алгеброй. Следовательно, по определению И.Л. Бухбиндера, - алгебра. Проверим, является ли ассоциативной алгеброй. Следовательно, не является ассоциативной алгеброй. Проверим, является ли коммутативной алгеброй. , такие образом, . Следовательно, не является коммутативной алгеброй. Замечание: является неассоциативной, некоммутативной алгеброй без единицы. 2. Множество квадратных матриц над полем , в котором роль бинарной операции умножения играет обычное произведение матриц . Замечание: является некоммутативной, ассоциативной алгеброй с единицей . 3. Тело кватернионов К над полем . Роль бинарной операции умножения здесь играет обычное умножение кватернионов. , где - мнимые единицы со следующей таблицей умножения: Определим бинарные операции сложения и умножения кватернионов: Определение: Кватернион называется сопряженным к . Определение: называется модулем кватерниона . Кватернионы можно определить как комплексные матрицы с обычными матричными произведением и суммой. Рассмотрим базис: Проверим свойства мнимых единиц кватернионов на данных элементах базиса: Любой кватернион представим в виде квадратной матрицы: , здесь - комплексно-сопряженные числа к . Основные свойства. 1. комплексному числу соответствует диагональная матрица; 2. сопряженному кватерниону соответствует сопряженная транспонированная матрица . 3. квадрат модуля кватерниона равен определителю соответствующей матрицы . Докажем это свойство: Следовательно, . Проверим, является ли алгеброй. 1. - векторное пространство? а). - абелева группа? 1). 2). 3). 4).
Из 1) - 4) следует, что - абелева группа. б). в). г). д).
Из а) - д) следует, что - векторное пространство. 2. Аналогично проверяется, что 3. Аналогично проверяется, что . Из 1-3 следует, что - алгебра над полем . Замечание: - некоммутативная алгебра с единицей Е над полем . 4. Алгебра Грассмана над полем . Определение: Ассоциативная алгебра с единицей называется алгеброй Грассмана , если в ней существует система линейно-независимых образующих элементов , обладающих свойствами: (a) *свойство антикоммутативности* (1) (b) любое другое соотношение между образующими элементами является следствием соотношения (1), в частности Обозначение: - алгебра Грассмана с образующими элементами. Выясним, как выглядит произвольный элемент алгебры Грассмана. Начнем с алгебры . В этом случае имеется только один образующий элемент , причем , и, поэтому . Следовательно, произвольный элемент алгебры есть . Рассмотрим алгебру , содержащую два образующих элемента , причем . Путем их перемножения можно построить еще один элемент . Таким образом, произвольный элемент алгебры выглядит так: . Обратимся теперь к общему случаю . Здесь мы имеем образующих элементов . Перемножая эти элементы получим мономы , где индексы принимают значения . Заметим теперь, что любой моном , где , всегда обращается в нуль. Дело в том, что в этом случае среди сомножителей какой-нибудь из элементов встретится, по крайней мере, два раза. Используя соотношение (1) переставим сомножители так, чтобы возникло произведение .В результате, мы получаем следующие независимые мономы: . Следовательно, произвольный элемент алгебры имеет вид: (2) где . По повторяющимся индексам подразумевается суммирование от 1 до в каждом слагаемом. Следствия. 1 . Любой моном, содержащий ровно сомножителей, равен с точностью до знака произведению . 2 . Рассмотрим соотношение (2),оно представляет собой разложение элемента некоторого линейного пространства по базису, образованному линейно-независимыми мономами Подсчитаем число базисных элементов. Число образующих равно , число мономов - числу сочетаний из элементов по 2, то есть , число мономов - числу сочетаний из элементов по 3, то есть , и так далее. В результате число базисных элементов в соотношении (2) составляет Таким образом, алгебру Грассмана можно рассматривать как линейное пространство размерности . Список литературы. 1. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976. 2. Зорич В.А. Математический анализ. М.: Наука, 1981. Т.1. 3. Курош Л.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1965. 4. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M. Ideas and Method of Supersymmetry and Sypergravity or a Walk through Superspace.Bristol; Philadelphia:IOP Publ., 1995. |