| Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Московский педагогический государственный университет»
математический факультет
кафедра Алгебры.
РЕФЕРАТ
По теме «Некоторые примеры некоммутативных алгебр».
Выполнила:
Студентка
3
группы 6 курса
Браницкая Нина Анатольевна
Научный руководитель:
Ширшова Елена Евгеньевна.
Москва, 2010
Содержание:
Глава 1. Основные понятия и определения...................................................................................................................... 4
Глава 2. Примеры некоммутативных алгебр............................................................................................................................... 3
1. Множество векторов трехмерного векторного пространства над полем  3
a. Свойства векторного произведения.................................................................................................. 4
b. Выражение векторного произведения через координаты.................................................................................................... 4
2. Множество квадратных матриц  над полем 5
3. Тело кватернионов К
над полем 5
a. Основные свойства.......................................................................................................... 6
4. Алгебра Грассмана над полем 9
a. Следствия..................................................................................................... 10
5. Список литературы............................................................................................................ 11
1.
Основные понятия и определения.
Определение:
Пусть F
– поле, V
- некоторое множество, на котором заданы следующие операции:
1. операция сложения:
2. операция умножения:
Множество V с заданными на нем операциями сложения и умножения элементов из V на элементы из F называется векторным (линейным) пространством над полем F
, если выполняются следующие условия:
 - абелева группа;
Элементы множества V называются векторами
, а элементы поля F – скалярами
.
Определение:
Векторное пространство А
над полем Р
называется алгеброй
, если выполняются следующие условия:
Определение (И.Л. Бухбиндер):
Линейное пространство А называется (линейной) алгеброй
, если в нем определена бинарная операция умножения элементов, то есть любым двум элементам  сопоставляется единственный элемент, обозначаемый  :  , при этом бинарная операция удовлетворяет следующему свойству:
 .
Определение:
Алгебра  называется ассоциативной
, если  .
Определение:
Алгебра называется коммутативной
, если  .
Определение:
Если в алгебре существует элемент  , обладающий свойством единицы, то есть  , то данная алгебра называется алгеброй с единицей
, а элемент - единицей алгебры
.
2.
Примеры некоммутативных алгебр.
1.
Множество векторов трехмерного векторного пространства над полем
, в котором роль бинарной операции умножения играет векторное произведение векторов.
Определение: Векторным произведением
вектора  на вектор  называется вектор  , который удовлетворяет следующим условиям:
1.  ;
2. имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах, т.е.  , где  ;
3. векторы , и образуют правую тройку векторов.
Обозначение:
 , где .
Свойства векторного произведения.
1.
При перестановки сомножителей векторное произведение меняет знак, то есть 
Доказательство:
Векторы  и  коллинеарные, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки , , и , , противоположной ориентации). Следовательно, .
2.
Векторное произведение обладает ассоциативным законом относительно операции умножения на скаляр, то есть  .
Доказательство
: Пусть  . Вектор  перпендикулярен векторам и . Вектор  также перпендикулярен векторам и (векторы ,  лежат в одной плоскости). Значит, векторы и коллинеарные, сонаправленые (), имеют одинаковую длину ( )
Поэтому  . Аналогично доказывается при  .
3.
Два ненулевых вектора и коллинеарные тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, то есть .
Доказательство:
 . Следовательно, .
В частности,  .
4.
Векторное произведение обладает законом дистрибутивности умножения относительно сложения, то есть 
Выражение векторного произведения через координаты.
Таблица векторного произведения векторов  
Пусть заданы два вектора  и  , такие, что  , 
Векторное произведение этих векторов вычисляется по формуле:  .
Проверим, является ли векторное пространство  линейной алгеброй.
Следовательно, по определению И.Л. Бухбиндера, - алгебра.
Проверим, является ли ассоциативной алгеброй.
Следовательно,  не является ассоциативной алгеброй.
Проверим, является ли коммутативной алгеброй.
 , такие образом,  .
Следовательно, не является коммутативной алгеброй.
Замечание:
является неассоциативной, некоммутативной алгеброй без единицы.
2.
Множество квадратных матриц над полем
 ,
в котором роль бинарной операции умножения играет обычное произведение матриц 
 .
Замечание:
является некоммутативной, ассоциативной алгеброй с единицей  .
3.
Тело кватернионов К
над полем
.
Роль бинарной операции умножения здесь играет обычное умножение кватернионов.
 ,
где  - мнимые единицы со следующей таблицей умножения:
Определим бинарные операции сложения и умножения кватернионов:
Определение:
Кватернион  называется сопряженным
к  .
Определение: 
называется модулем
кватерниона  .
Кватернионы можно определить как комплексные матрицы с обычными матричными произведением и суммой.
Рассмотрим базис: 
Проверим свойства мнимых единиц кватернионов на данных элементах базиса:
Любой кватернион представим в виде квадратной матрицы:
 ,
здесь  - комплексно-сопряженные числа к  .
Основные свойства.
1.
комплексному числу соответствует диагональная матрица;
2.
сопряженному кватерниону соответствует сопряженная транспонированная матрица  .
3.
квадрат модуля кватерниона равен определителю соответствующей матрицы  .
Докажем это свойство:
Следовательно, .
Проверим, является ли  алгеброй.
1. - векторное пространство?
а). - абелева группа?
1). 
2). 
3). 
4).
Из 1) - 4) следует, что
- абелева группа.
б). 
в). 
г).
д).
Из а) - д) следует, что - векторное пространство.
2.
 
    
Аналогично проверяется, что 
3. 
Аналогично проверяется, что  .
Из 1-3 следует, что  - алгебра над полем .
Замечание: - некоммутативная алгебра с единицей Е над полем .
4.
Алгебра Грассмана над полем
.
Определение:
Ассоциативная алгебра с единицей называется алгеброй Грассмана
, если в ней существует система линейно-независимых образующих элементов  , обладающих свойствами:
(a) *свойство антикоммутативности*   (1)
(b) любое другое соотношение между образующими элементами  является следствием соотношения (1), в частности 
Обозначение:
 - алгебра Грассмана с  образующими элементами.
Выясним, как выглядит произвольный элемент алгебры Грассмана.
Начнем с алгебры  . В этом случае имеется только один образующий элемент  , причем  , и, поэтому  . Следовательно, произвольный элемент алгебры  есть  .
Рассмотрим алгебру  , содержащую два образующих элемента  , причем  .
Путем их перемножения можно построить еще один элемент  . Таким образом, произвольный элемент алгебры выглядит так:  .
Обратимся теперь к общему случаю  . Здесь мы имеем  образующих элементов  . Перемножая эти элементы получим мономы  , где индексы  принимают значения  .
Заметим теперь, что любой моном  , где  , всегда обращается в нуль. Дело в том, что в этом случае среди сомножителей какой-нибудь из элементов  встретится, по крайней мере, два раза. Используя соотношение (1) переставим сомножители так, чтобы возникло произведение  .В результате, мы получаем следующие независимые мономы:  . Следовательно, произвольный элемент алгебры имеет вид:
 (2)
где  . По повторяющимся индексам  подразумевается суммирование от 1 до в каждом слагаемом.
Следствия.
1
. Любой моном, содержащий ровно сомножителей, равен с точностью до знака произведению  .
2
. Рассмотрим соотношение (2),оно представляет собой разложение элемента  некоторого линейного пространства по базису, образованному линейно-независимыми мономами 
Подсчитаем число базисных элементов.
Число образующих равно , число мономов  - числу сочетаний из  элементов по 2, то есть  , число мономов  - числу сочетаний из элементов по 3, то есть  , и так далее.
В результате число базисных элементов в соотношении (2) составляет 
Таким образом, алгебру Грассмана можно рассматривать как линейное пространство размерности  .
Список литературы.
1. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976.
2. Зорич В.А. Математический анализ. М.: Наука, 1981. Т.1.
3. Курош Л.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1965.
4. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M. Ideas and Method of Supersymmetry and Sypergravity or a Walk through Superspace.Bristol; Philadelphia:IOP Publ., 1995.
|