| Содержание
Задание на курсовую работу ....................................................................... 2
Замечания руководителя .............................................................................. 3
1. Бесселевы функции с любым индексом ................................................... 5
2. Формулы приведения для бесселевых функций ..................................... 10
3. Бесселевы функции с полуцелым индексом ............................................. 13
4. Интегральное представление бесселевых функций с целым индексом .. 15
5. Ряды Фурье-Бесселя ................................................................................. 18
6. Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексом для больших значений аргумента ...................................................................... 23
Список литературы ...................................................................................... 30
1. Бесселевы функции с любым индексом
Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах
Чтобы объяснить происхождение бесселевых функций, рассмотрим уравнение Лапласа в пространстве:
 . (1)
Если перейти к цилиндрическим координатам по формулам:
 ,  ,  ,
то уравнение (1) примет следующий вид:
 . (2)
Поставим задачу: найти все такие решения уравнения, которые могут быть представлены в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента, то есть найти все решения вида:
 ,
где  ,  ,  предполагаются дважды непрерывно дифференцируемыми.
Пусть  есть решение упомянутого вида. Подставляя его в (2), получим:
 ,
откуда (после деления на  )
 .
Записав это в виде:
 ,
найдем, что левая часть не зависит от  , правая не зависит от  ,  ; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная  . Отсюда:
 ;  ;
 ;  ;
 .
В последнем равенстве левая часть не зависит от , правая не зависит от  ; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная  . Отсюда:
 ,  ;
 ,  .
Таким образом, , , должны удовлетворять линейным дифференциальным уравнениям второго порядка:
 ,
(3)
, ,
из которых второе и третье есть простейшие линейные уравнения с постоянными коэффициентами, а первое является линейным уравнением с переменными коэффициентами нового вида.
Обратно, если , , удовлетворяют уравнениям (3), то  есть решение уравнения (2). В самом деле, подставляя в левую часть (2) и деля затем на , получим:
 .
Таким образом, общий вид всех трех решений уравнения (2), которые являются произведением трех функций, каждая из которых зависит от одного аргумента, есть , где , , – любые решения уравнений (3) при любом выборе чисел , .
Первое из уравнений (3) в случае  ,  называется уравнением Бесселя. Полагая в этом случае  , обозначая независимую переменную буквой  (вместо ), а неизвестную функцию – буквой  (вместо ), найдем, что уравнение Бесселя имеет вид:
 . (4)
Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами играет большую роль в приложениях математики. Функции, ему удовлетворяющие, называются бесселевыми, или цилиндрическими, функциями.
Бесселевы функции первого рода
Будем искать решение уравнения Бесселя (4) в виде ряда:
 .
Тогда
 ,
 ,
 ,
 .
Следовательно, приходим к требованию
или к бесконечной системе уравнений
  ,
которая распадается на две системы:
 
Первая из них удовлетворится, если взять  … Во второй системе  можно взять произвольно; тогда  … однозначно определяются (если  не является целым отрицательным числом). Взяв
 ,
найдем последовательно:
 ,
 ,
 ,
и в качестве решения уравнения (4) получим ряд:
Этот ряд, формально удовлетворяющий уравнению (4), сходится для всех положительных значений и, следовательно, является решением уравнения (4) в области  (в случае целого  в области  ).
Функция
 (5)
называется бесселевой функцией первого рода с индексом . Она является одним из решений уравнения Бесселя (4). В случае целого неотрицательного индекса  получим:
 , (5`)
и, в частности,
 . (5``)
Общее решение уравнения Бесселя
В случае нецелого индекса функции  и  являются решениями уравнения (4). Эти решения линейно независимы, так как начальные члены рядов, изображающих эти функции, имеют коэффициенты, отличные от нуля, и содержат разные степени . Таким образом, в случае нецелого индекса общее решение уравнения Бесселя есть:
 . (6)
Если  (целое отрицательное число), то функция, определяемая формулой (5) (учитывая, что  равно нулю для  …), принимает вид:
 (5```)
или, после замены индекса суммирования  на  ,
 , (7)
откуда видно, что  удовлетворяет вместе с  уравнению Бесселя
 .
Но формула (6) в случае целого уже не дает общего решения уравнения (4).
Полагая
 ( – не целое) (8)
и дополняя это определение для  (целое число) формулой:
 , (8`)
получим функцию  , удовлетворяющую уравнению Бесселя (4) и во всех случаях линейно независимую от  (в случае  , где – целое). Функция  называется бесселевой функцией второго рода с индексом . Общее решение уравнения Бесселя (4) можно записать во всех случаях в виде:
 . (9)
2. Формулы приведения для бесселевых функций
Имеем:
 ;  ;
 ,  ;
 .
Следовательно,
 . (10)
Таким образом, операция  (состоящая в дифференцировании с последующим умножением на  ), примененная к  , повышает в этом выражении индекс  на единицу и меняет знак. Применяя эту операцию  раз, где – любое натуральное число, получаем:
 . (10`)
Имеем:
 ;
Следовательно,
 . (11)
Таким образом, операция , примененная к  , понижает в этом выражении индекс  на единицу. Применяя эту операцию раз, получаем:
 . (11`)
Из выведенных формул можно получить некоторые следствия. Используя (10), получим:
 ;  ;  .
Отсюда, в частности, следует, что  . Используя (11), получим:
 ;  ;  .
Почленное сложение и вычитание полученных равенств дает:
 , (12)
 . (13)
Формула (13) позволяет выразить все бесселевы функции с целыми индексами через  ,  . Действительно, из (13) находим (полагая  ):
 , (13`)
откуда последовательно получаем:
 ,
 , …………………
3. Бесселевы функции с полуцелым индексом
Бесселевы функции, вообще говоря, являются новыми трансцендентными функциями, не выражающимися через элементарные функции. Исключение составляют бесселевы функции с индексом  , где  – целое. Эти функции могут быть выражены через элементарные функции.
Имеем:
 ,
 ,
следовательно,
 .
Но  , значит:
 . (14)
Далее
 ,
 ,
следовательно,
 .
Но  , поэтому
 . (15)
С помощью (10`) находим:
 ,
а учитывая (14)
 ,
следовательно, при целом положительном 
 . (14`)
С помощью (11`) находим:
 ,
но в силу (15)
 ,
и, следовательно, при целом положительном
 . (15`)
4. Интегральное представление бесселевых функций с целым индексом
Производящая функция системы функций
Рассмотрим систему  функций  (с любой общей областью определения), пронумерованных с помощью всех целых чисел:
Составим ряд
 ,
где  – комплексная переменная. Предположим, что при каждом  (принадлежащем области определения рассматриваемых функций) этот ряд имеет кольцо сходимости, содержащее внутри себя единичную окружность  . В частности, это кольцо может представлять собой полную плоскость комплексной переменной без точек 0 и ∞.
Функция
 (16)
(где x лежит в области определения функций системы  ,  – внутри кольца сходимости, соответствующего рассматриваемому значению  ) называется производящей функцией системы .
Обратно, пусть задана функция  , где пробегает некоторое множество, находится внутри некоторого кольца, зависящего от , с центром 0 и содержащего внутри себя единичную окружность. Тогда, если при каждом аналитична относительно внутри соответствующего кольца, то есть производящая функция некоторой системы функций. В самом деле, разложив при каждом функцию в ряд Лорана по степеням :
,
найдем, что система коэффициентов  этого ряда будет искомой системой .
Формулы для коэффициентов ряда Лорана позволяют выразить функции  рассматриваемой системы через производящую функцию. Применяя эти формулы и преобразовывая затем интеграл вдоль единичной окружности в простой интеграл, получим:
 . (17)
Производящая функция системы бесселевых функций с целыми индексами
Покажем, что для системы бесселевых функций первого рода с целыми индексами  ( …) производящая функция есть:
 .
Имеем:
 ,  ,
откуда после почленного перемножения этих равенств найдем:
(так как в предпоследней внутренней сумме  и  были связаны зависимостью  , то мы могли положить  , получив суммирование по одному индексу  ). В последней внутренней сумме суммирование производится по всем целым , для которых  , следовательно, при  это будет  ; при  это будет  . Таким образом, во всех случаях внутренняя сумма есть в силу формул (5`) и (5```). Итак,
 , (18)
но это и доказывает, что  есть производящая функция для системы  .
Выведем некоторые следствия из формулы (18). Полагая в ней  , получим:
 ,
откуда после разделения действительной и мнимой части (учитывая, что  )
 (18`)
 (18``)
Заменяя в (18`) и (18``)  на  , найдем:
 , (18```)
 . (18````)
Интегральное представление Jn
(x)
Так как, по доказанному, при  имеем , то по формуле (17) получаем (используя в преобразованиях формулы Эйлера):
где принято во внимание, что  есть четная функция от  есть нечетная функция от . Итак, доказано, что для любого целого числа 
 . (19)
Формула (19) дает представление бесселевых функций с целым индексом в виде определенного интеграла, зависящего от параметра  . Эта формула называется интегральным представлением Бесселя для , правая часть формулы называется интегралом Бесселя. В частности, при  найдем:
 . (19`)
5. Ряды Фурье-Бесселя
Рассмотрим на каком-либо интервале  (конечном или бесконечном) два дифференциальных уравнения
 ,  , (20)
где  и  – непрерывные функции на . Пусть  и – ненулевые решения этих уравнений. Умножение на и на и последующее вычитание дают
 .
Пусть  и  принадлежат и  , тогда после интегрирования в пределах от до получим
 . (21)
Если и  – соседние нули решения  , то между и   сохраняет постоянный знак, пусть, например,  на (, ) (в противном случае следует заменить на  ), тогда  ,  (равенство нулю исключено, так как – ненулевое решение дифференциального уравнения второго порядка). Если на   , то  должна, по крайней мере, раз обращаться в нуль между  и , так как иначе сохранит постоянный знак на (,). Пусть, например,  на (,) (в противном случае заменяем на  ), и тогда из (21) получим противоречие, ибо левая часть ≤0, а правая >0. Таким образом доказана теорема сравнения Штурма: если P(x)<Q(x) на рассматриваемом интервале I и если y и z – ненулевые решения уравнений (20), то между каждыми двумя соседними нулями y(x) находится по крайней мере один нуль z(x).
Из теоремы сравнения Штурма вытекают нижеследующие следствия. Если  на , то каждое ненулевое решение уравнения  может иметь на не более одного нуля (это легко видеть, если положить  и взять  ). Если  на (где  ), то для всяких двух соседних нулей и ( ) каждого ненулевого решения уравнения  имеем  (это легко видеть, если положить  , взять  и заметить, что нулями  будут только числа вида  ,  целое). Если  на (где  ), то для всяких двух соседних нулей каждого ненулевого решения уравнения  имеем  (это легко видеть, если положить  и взять  ). Из сказанного следует, что если  на , то для всяких двух соседних нулей и  () каждого ненулевого решения уравнения имеем  .
Изложенное показывает, что если  непрерывна на  и превышает некоторое положительное число вблизи +∞, то каждое ненулевое решение  уравнения имеет на  бесконечно много нулей. Если еще вблизи  не обращается в нуль, то эти нули образуют бесконечную возрастающую последовательность  , имеющую пределом +∞, а если, кроме того,  , где  , то  .
Рассмотрим уравнение Бесселя
на интервале  . Подстановка  приводит к уравнению
 .
Очевидно, и  имеют одни и те же нули. Так как  , где  – целая функция, то  не имеет нулей на  при достаточно малом  , и так как  при  , то при каждом  нули на образуют бесконечную возрастающую последовательность
причем  .
Если  , то  удовлетворит уравнению
на интервале (0, +∞). Подстановка приводит к уравнению
и, следовательно,  удовлетворяет этому уравнению. Таким образом, при любых положительных и  имеем
 , где  ,
 , где  ,
откуда
 ,
следовательно,
 , где  . (22)
Пусть теперь  . Разложение  по степеням  начинается с члена, содержащего  , разложение  по степеням начинается с члена, содержащего  , так как коэффициент при  равен нулю, что легко видеть, исходя из формулы (5). Следовательно, из (22) при  получим
 ,
то есть
 , (23)
откуда видно, что если и  являются разными нулями функции  , то
 . (23`)
Этим доказано, что при система функций
на интервале  является ортогональной относительно веса  .
Переходя к пределу при  в соотношении
и используя правило Лопиталя, получим при всяком 
 , (24)
следовательно, если является нулем функции , то
 . (24`)
Таким образом, при каждом всякой непрерывной функции  на , удовлетворяющей требованию
 ,
поставлен в соответствие ряд Фурье-Бесселя
 , (25)
коэффициенты которого определяются формулами
 . (25`)
Можно доказать, что система функций  на , ортогональная относительно веса , замкнутая. В частности, если ряд Фурье-Бесселя (25) равномерно сходится к порождающей его непрерывной функции  .
Можно показать, что если  и непрерывная на и кусочно-гладкая на функция, то ряд Фурье-Бесселя этой функции сходится к ней при  .
6. Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексом для больших значений аргумента
Пусть  - положительная функция и - какая-нибудь (вообще комплекснозначная) функция, определенные для достаточно больших значений  . Запись
 при
означает, что найдутся такие числа  и M, что при  имеем  .
Подобная запись употребляется и в других аналогичных случаях. Например, если  - положительная функция и  - какая-нибудь функция, определенные для достаточно малых положительных значений  , то запись
 при 
означает, что найдутся такие числа  и  , что  на  .
Вспомогательная лемма
Если  дважды непрерывно дифференцируема на  , то для функции
имеет место асимптотическое представление
 при .
Докажем эту лемму. Заменяя на  , получим:
 . (26)
Рассмотрим интеграл, фигурирующий в первом слагаемом правой части формулы (20). Заменяя  на , найдем:
 ,
но, заменив на  , получим:
 .
Если  положительна, убывает и стремиться к нулю при  , то  и  , а следовательно, и  есть  при  , поэтому
 при ,
откуда
 при  .
Итак, получаем асимптотическое представление:
 при . (27)
Рассмотрим теперь интеграл, фигурирующий во втором слагаемом правой части формулы (20). Имеем:
 ,
 .
Очевидно,  дважды непрерывно дифференцируема на  , но существуют  и  , поэтому становится непрерывно дифференцируема на  . Интегрирование по частям дает:
 ,
где первое слагаемое правой части  есть  при  , а интеграл во втором слагаемом несобственный при нижнем пределе мажорируется интегралом
 ,
который сходится, так как
 при ;
следовательно, второе слагаемое есть тоже  при .
Итак, имеем:
 при . (28)
Из (26), (27), (28) получаем искомое асимптотическое представление:
 при . (29)
Из этой формулы, переходя к сопряженным величинам, найдем еще:
 при  . (29`)
Формулы (29) и (29`) верны и для комплекснозначных функций  .
Вывод асимптотической формулы для Jn
(x)
Заменяя  на  , получим:
(учитывая, что  есть четная функция от , а  есть нечетная функция от ). Подстановка  дает:
 ,
где  есть, очевидно, полином n-й степени (полином Чебышева), так как из формулы Муавра видно, что  есть полином n-й степени относительно  . Но
и, заменяя в первом из этих интегралов  на  , получим:
Так как  и  на  имеют производные всех порядков, то к двум последним интегралам применимы формулы (29) и (29`), и мы получаем:
 ;
но  ;  , следовательно,
 .
Итак, имеем искомое асимптотическое представление бесселевой функции первого рода с целым индексом для больших значений аргумента:
 при  . (30)
Эта формула показывает, что  с точностью до слагаемого порядка  является затухающей гармоникой с волной постоянной длины и амплитудой, убывающей обратно пропорционально квадратному корню из абсциссы.
В частности,
 при  ; (30`)
 при . (30``)
Графики этих функций изображены ни рисунках 1 и 2.
Рассмотрим несколько примеров решения уравнения Бесселя.
1. Найти решение уравнения Бесселя при 
 ,
удовлетворяющее начальным условиям при  ,  и  .
Решение.
На основании формулы (5`) находим одно частное решение:
 .
2. Найти одно из решений уравнения:
 ,  .
Решение.
Сделаем замену
 .
При  получим:
 .
При  будем искать решение в виде обобщенного степенного ряда:
 .
Уравнение на  имеет вид  ;
 ,  ,  ,  , поэтому
 ,
 ,  .
Рисунок 1 – График функции y=J0
(x)
Рисунок 2 – График функции y=J1
(x)
Список литературы
1. Пискунов Н. С. «Дифференциальное и интегральное исчисления», учебное пособие для втузов, М: Наука, 1985г., 560 стр.
2. Романовский П. И. «Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа», учебное пособие для втузов, М: Наука, 1983г., 336 стр.
|