Квадратные корни

Введение

В ходе решения некоторых математических задач приходится оперировать с квадратными корнями. Поэтому важно знать правила действий с квадратными корнями и научиться преобразовывать выражения, их содержащие. Цель – изучение правил действий с квадратными корнями и способов преобразования выражений с квадратными корнями.

Мы знаем, что некоторые рациональные числа выражаются бесконечными периодическими десятичными дробями, как, например, число 1/1998=0,000500500500… Но ничто не мешает вообразить и число, в десятичном разложении которого не обнаружится никакого периода. Такие числа называются иррациональными.

История иррациональных чисел восходит к удивительному открытию пифагорейцев еще в VI в. до н. э. А началось все с простого, казалось бы, вопроса: каким числом выражается длина диагонали квадрата со стороной 1?

Диагональ разбивает квадрат на 2 одинаковых прямоугольных треугольника, в каждом из которых она выполняет роль гипотенузы. Поэтому, как следует из теоремы Пифагора, длина диагонали квадрата равна. Сразу же возникает соблазн достать микрокалькулятор и нажать клавишу извлечения квадратного корня. На табло мы увидим 1,4142135. Более совершенный калькулятор, выполняющий вычисления с высокой точностью покажет 1,414213562373. А с помощью современного мощного компьютера можно вычислить с точностью до сотен, тысяч, миллионов знаков после запятой. Но даже самый высокопроизводительный компьютер, сколько бы долго он ни работал, никогда не сможет ни рассчитать все десятичные цифры, ни обнаружить в них какой-либо период.

И хотя у Пифагора и его учеников компьютера не было, обосновали этот факт именно они. Пифагорейцы доказали, что у диагонали квадрата и его стороны общей меры (т.е. такого отрезка, который целое число раз откладывался бы и на диагонали, и на стороне) не существует. Следовательно, отношение их длин – число – нельзя выразить отношением некоторых целых чисел m и n. А коль скоро это так, добавим мы, десятичное разложение числа не обнаруживает никакой регулярной закономерности.

По следам открытия пифагорейцев

Как доказать, что число иррационально? Предположим, существует рациональное число m/n=. Дробь m/n будем считать несократимой, ведь сократимую дробь всегда можно привести к несократимой. Возведя обе части равенства, получим . Отсюда заключаем, что m – число четное, то есть m=2К. Поэтому и, следовательно, , или . Но тогда получим что и n четное число, а этого быть не может, поскольку дробь m/n несократима. Возникает противоречие.

Остается сделать вывод, что наше предположение неверно и рационального числа m/n, равного не существует.

1. Квадратный корень из числа

Зная время t , можно найти путь при свободном падении по формуле: Решим обратную задачу.

Задача . Сколько секунд будет падать камень, сброшенный с высоты 122,5 м?

Чтобы найти ответ, нужно решить уравнение Из него находим, что Теперь осталось найти такое положительное число t, что его квадрат равняется 25. Этим числом является 5, так как Значит, камень будет падать 5 с.

Искать положительное число по его квадрату приходится и при решении других задач, например при отыскании длины стороны квадрата по его площади. Введем следующее определение.

Определение . Неотрицательное число, квадрат которого равен неотрицательному числу а, называется квадратным корнем из а. Это число обозначают

Таким образом

Пример . Так как

Из отрицательных чисел нельзя извлекать квадратные корни, так как квадрат любого числа или положителен, или равен нулю. Например, выражение не имеет числового значения.

В записи знак называют знаком радикала (от латинского «радикс» – корень), а число а – подкоренным числом. Например, в записи подкоренное число равно 25. Так как Это означает, что квадратный корень из числа, записанного единицей и 2n нулями, равен числу, записываемому единицей и n нулями:

= 10…0

2n нулей n нулей

Аналогично доказывается, что 2n нулей n нулей

Например,

2. Вычисление квадратных корней

Мы знаем, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. Это означает, что не может быть рациональным числом. Он является иррациональным числом, т.е. записывается в виде непериодической бесконечной десятичной дроби, причем первые десятичные знаки этой дроби имеют вид 1,414… Чтобы найти следующий десятичный знак, надо взять число 1.414х , где х может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, возвести по порядку эти числа в квадрат и найти такое значение х, при котором квадрат меньше, чем 2, но следующий за ним квадрат больше, чем 2. Таким значением является х=2. Далее повторяем то же самое с числами вида 1,4142х . Продолжая этот процесс, получаем одну за другой цифры бесконечной десятичной дроби, равной .

Аналогично доказывается существование квадратного корня из любого положительного действительного числа. Разумеется, последовательное возведение в квадрат весьма трудоемкое занятие, и потому существуют способы быстрее находить десятичные знаки квадратного корня. С помощью микрокалькулятора можно найти значение с восемью верными цифрами. Для этого достаточно ввести в микрокалькулятор число а>0 и нажать клавишу – на экране высветится 8 цифр значения . В некоторых случаях приходится использовать свойства квадратных корней, которые мы укажем ниже.

Если точность, даваемая микрокалькулятором, недостаточна, можно воспользоваться способом уточнения значения корня, даваемым следующей теоремой.

Теорема. Если а – положительное число и – приближенное значение для по избытку, то – приближенное значение для по недостатку .

Доказательство .

По условию x₁ > и потому х₁ ² >a, <1. Но ² = = a . Т.к. <1, то a <a . Значит, а и - приближенное значение для по недостатку.

Аналогично доказывается, что если – приближенное значение для по недостатку, то – приближенное значение по избытку.

Поскольку и являются приближенными значениями для по избытку и по недостатку, то в качестве лучшего приближения для естественно выбрать среднее арифметическое этих чисел, т.е. число х2 = . А чтобы получить еще более точное значение для , надо взять среднее арифметическое чисел , т.е. число х3 = . Так вычисляются одно за другим все лучшие и лучшие приближенные значения для . Приближения ведут до тех пор, пока два полученных значения не совпадут в пределах заданной точности. Можно доказать, что каждое приближение примерно удваивает число верных десятичных знаков.

Пример 1. Уточним по формуле х2 = приближение

х1 = 1,414 для .

Решение.

В нашем случае а=2. Поэтому

х1 = (1,414 + 1,4144271) + 1,4142135…

Выполнив еще одно приближение, мы убедимся, что все выписанные знаки полученного ответа верны, т.е. число верных знаков удвоилось.

Пример 2 . Найдем приближенное значение для с точностью до 0,0001.

Решение.

Выберем за первое приближение для число 2. Тогда второе приближение вычисляется так:

х2 = = 2,25

Далее имеем

х3 == 2,2361,

х4==2,2361.

Значит, с точностью до 0,0001 имеем =2,2361.

Ответ:

3. Геометрические приложения

К извлечению квадратных корней сводятся многие геометрические задачи. Например, в курсе геометрии доказывают теорему Пифагора : квадрат длины гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов длин катетов этого треугольника. Индийцы две тысячи лет тому назад доказывали ее с помощью следующего чертежа.

Рис. 1

Видим, что площади заштрихованных фигур в обоих квадратах равны, но в одном случае площадь равна , а в другом – . Значит, .

Из теоремы Пифагора следует, что расстояние между точками

М (х1; у1) и N (x2; y2) координатной плоскости (рис. 2) выражается формулой

MN= (1)

Пример 1 . Найдем расстояние от вершины дерева до конца его тени, если высота дерева равна 12 м, а длина тени – 16 м.

Решение. По теореме Пифагора имеем

Так как , т.е. расстояние равно 20 м.

Пример 2 . Найдем расстояние между точками М (3; 1) и N (8; -11) координатной плоскости.

Решение.

По формуле (1) имеем MN = = =13

4. Основные тождества для квадратных корней

Из определения квадратного корня вытекает, что равенство=х, где а0, верно в том и только в том случае, когда х² =а, причем х0. Заменяя в равенстве х² =а переменную х на , получаем тождество ² =а, (1)

верное для всех а0. Заменяя в равенстве =х переменную а на х² , получаем тождества

= х, (2)

которое верно для всех х0.

Например , ² = 25;² = 8; ² = 0,11; = 6; =0,24.

Формулы и показывают, что для неотрицательных чисел операции возведения в квадрат и извлечения квадратного корня взаимно обратны, т.е. если выполнить над каким-нибудь неотрицательным числом сначала одну из этих операций, а потом другую, то число не изменится.

Если а – отрицательное число, то равенство неверно, так как не имеет числового значения. При отрицательных значениях х неверно и равенство . Например , ² ==5, а не –5. Так как х ² =² , а при х < 0 имеем – х > 0,

то при х< 0 верно равенство =² = – х (3)

Итак,

x, если х 0,

= – х, если х < 0.

Но мы знаем, что х, если х 0,

=

– х, если х < 0.

Поэтому для всех чисел х верно равенство

= . (4)

Например, ==8, ² = = 12.

Пример 1 . Упростим выражение +² + - ² .

Р е ш е н и е. Так как ² = 3, ² = 2, то +² + - ² =² +

2 + ² +² – 2 + ² =2 ² + 2 ² = 2 3 + 2 2 = =10.

Пример 2 . Найдем значения выражения при а = 2,1; b = 3,6

Решение. При любом значении х выполняется равенство

= . Поэтому = . Но == 1,5. Значит, при а = 2,1; b =3,6 имеем =1,5.

5. Извлечение квадратного корня из произведения, дроби и степени

Выражения и имеют одно и то же значение 6.

В самом деле, = 3, = 2, = 6, поэтому = 3 2 = 6 и = == 6. Равенство = – часный случай общего утверждения.

Теорема 1 . Квадратный корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению квадратных корней из этих чисел, т.е. при а 0, b 0 имеем =

Доказательство .

Пусть числа а и b неотрицательны.

Тогда по правилу возведения в степень имеем

² = = а b

Кроме того, – неотрицательное число как произведение двух неотрицательных чисел и . Поэтому =

Пример 1. Найдем значения выражения

Решение.

Мы имеем = 25, = 16, = 0,01,

и потому = 25160,01= 4.

Аналогично доказывается, что =

Теорема 2 . Квадратный корень из дроби с неотрицательным числителем и положительным знаменателем равен частному от деления квадратного корня из числителя на квадратный корень из знаменателя, т.е. при а 0 и b > 0 имеем

Теорема 3. При любом значении а и при любом b 0 верно равенство

6. Преобразование выражений

При преобразовании выражении, содержащих квадратные корни, оказывается полезной следующая формула:

= ,

где А² В (в обеих частях равенства одновременно берутся знаки «плюс» и «минус «). Чтобы доказать это равенство, заметим, во-первых, что и левая, и правая его части являются при А 0, В 0, А² – В 0 неотрицательными числами. Возведем теперь обе части равенства в квадрат. В левой части имеем А , в правой части по формуле квадрата суммы или разности получаем

2 + =

= А 2 = А 2 =

= А 2 = А 2 = А .

Таким образом, квадраты обеих частей равенства оказались одинаковыми, а поскольку эти части – неотрицательные числа, то равенство доказано.

Пример 1. Упростить выражение .

1-й способ . В одном случае имеем А = 5, В = 21, А² – В =

= 5² – 21 = 4, и поэтому по формуле

= – = – .

2-й способ . Приведем подкоренное выражение к полному квадрату:

5 – = = =

== = .

Поэтому = =

Пример 2. Упростить выражение

1-й способ:

= + =

= + =

2-й способ. Приведем подкоренное выражение к полному квадрату:

Пример 3 . Упростить выражение

Решение.

Ответ: 10.

Пример 4 . Упростить

Решение.

1.

2.

3.

Ответ:

Пример 5 . Какое из чисел больше: или ?

Решение.

Очевидно, что

Оценим сумму

Так как , а , то

Ответ:

7. Алгоритм извлечения квадратного корня столбиком

Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью.

Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком. Пусть извлекается корень из целого числа A . В отличие от деления снос производится группами по две цифры, причём группы следует отмечать, начиная с десятичной запятой (в обе стороны), дописывая необходимым количеством нулей.

Найти a_n , квадрат которого наиболее близко подходит к группе старших разрядов числа A , оставаясь меньше последнего.

Провести вычитание из старших разрядов A квадрата числа a_n .

Удвоить a_n .

Сдвинуть остаток от вычитания на 2 разряда влево, а величину 2a_n – на один разряд влево. Под сдвигом в данном алгоритме понимается умножение / деление на степени 10, что соответственно является сдвигом влево и вправо.

Приписать справа от остатка вычитания два следующих старших разряда числа A .

Сравнить полученное число с нулём.

Если полученное число не равно 0, то найти такое 2a_{n − 1} , которое, будучи умноженным на , даст в результате число, меньшее полученного на четвёртом шаге, но наиболее близкое к нему по значению. Перейти к п. 3.

Если в п. 6 получено равенство, то перейти к п. 4, предварительно приписав справа от a_n нуль.

После получения количества цифр, равного , прекратить вычисления (если требуется целое значение) или продолжать до необходимой точности, записывая получающиеся цифры после запятой.

Описанная последовательность действий в математике получила название алгоритма извлечения квадратного корня.

1. Чтобы извлечь квадратный корень из данного целого числа, разбивают его справа налево на грани, по две цифры в каждой, кроме первой (крайней левой), в которой может быть и одна цифра.

2. Чтобы найти первую цифру корня, извлекают квадратный корень из первой грани.

3. Чтобы найти вторую цифру, из первой грани вычитают квадрат первой цифры корня, к остатку сносят вторую грань и число десятков получившегося числа делят на удвоенную первую цифру корня; полученное целое число снова подвергают испытанию.

4. Испытание проводится так: за вертикальной чертой (слева от остатка) пишут удвоенное, ранее найденное число корня, и к нему с правой стороны приписывают испытуемую цифру; получившееся после этой приписки число умножают на испытуемую цифру. Если после умножения получится число, больше остатка, то испытуемая цифра не годится и надо испытать следующую меньшую цифру.

5. Следующие цифры корня находят с помощью того же приёма.

6. Если после снесения грани число десятков получившегося числа окажется меньше делителя, т.е. меньше удвоенной найденной части корня, то в корне ставят 0, сносят следующую грань и продолжают действие дальше.

Пример. Извлечём корень .

1-й шаг . Число 8649 разбиваем на грани справа налево; каждая из которых должна содержать две цифры. Получаем две грани: .

2-й шаг. Извлекаем квадратный корень из первой грани 86, получаем с недостатком. Цифра 9 – это первая цифра корня.

3-й шаг . Число 9 возводим в квадрат (9² = 81) и число 81 вычитаем из первой грани, получаем 86 – 81 = 5. Число 5 – первый остаток.

4-й шаг . К остатку 5 приписываем вторую грань 49, получаем число 549.

5-й шаг . Удваиваем первую цифру корня 9 и, записывая слева, получаем:

Ї 81

18… ^ЇЇЇЇЇ 549^ЇЇЇЇЇ

К числу 18 нужно приписать такую наибольшую цифру, чтобы произведение числа, которое мы получим, на эту цифру было бы либо равно числу 549, либо меньше, чем 549. Это цифра 3. Она находится путем подбора: количество десятков числа 549, то есть число 54 делится на 18, получаем 3, так как 183 ∙ 3 = 549. Цифра 3 – это вторая цифра корня.

6-й шаг . Находим остаток 549 – 549 = 0. Так как остаток равен нулю, то мы получили точное значение корня – 93. Процесс извлечения корня закончился. Число 93 – двузначное, так как подкоренное число 8649 содержит две грани. Корень из числа содержит столько цифр, сколько граней содержит это число.

Аналогично извлекают квадратный корень из десятичных дробей. Только подкоренное число разбивают на грани так, чтобы запятая была между гранями, т.е. от запятой влево и вправо. Если в крайней правой грани окажется одна цифра, то её дополняют дописыванием к числу нуля.

Заключение

Данная работа посвящена квадратным корням. Рассмотрены правила действий с квадратными корнями, способы преобразования выражений, содержащих квадратные корни, геометрические приложения. В работе приведены примеры действий с квадратными корнями и преобразования выражений с ними. Рассмотрен алгоритм извлечения квадратного корня.

Таким образом, цель достигнута, задачи выполнены.

Список использованных источников

1. Алгебра: Учеб. пособие для 8 кл. / Е.П. Кузнецова и др; под ред. Л.Б. Шнепермана. – 2 изд. – Мн.: Нар. асвета, 2005.

2. Алгебра: Учеб. для 8‑х кл. общеобразоват. шк. с углубл. изучением математики / К.О. Ананченко и др. – Мн.: Нар. асвета, 1994.

3. Петраков И.С. «Математические кружки в 8–10 классах»: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1987 г.

4. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика/ Глав. ред. М. Аксенова. М.: Аванта+плюс. 2004 г.