Контрольная работа: Решения с подробным описанием Векторы

Название: Решения с подробным описанием Векторы
Раздел: Рефераты по математике
Тип: контрольная работа

˙ 1. ˜ ß Œ ß a = 3i + j Ł b = 2i + 3j .

(a) ˇ æ Ł Œ Ł Ł Ø ºŁ ß ª º Ł , Ł a .

(b) ˇ æ Ł Œ a/ 2 − b .

— ł Ł :

(a) ¯æºŁ a - Œ , |a | - ºŁ Œ a , ºŁ Œ a/ |a | Ł Ł ,

Ł æ√ º √æ a . ˜ºŁ Œ Œ Ł æ ß Œ Œ Ł :

|a | = 32 + 12 = 10, ŁæŒ ßØ Œ

(b)

˙ 2. ˜ ß Œ

.

˝ Ø æ Ł t , Ł Œ ßı

(a) ´ Œ a Ł b Œ ººŁ ß.

(b) ´ Œ a Ł c ŁŒ º ß.

(c) ´ Œ a , b Ł c Œ º ß.

(d) ´ Œ a , b Ł c Æ ßØ Æ Łæ.

— ł Ł :

(a) ´ Œ a Ł b Œ ººŁ ß ª Ł º Œ ª , Œ ª Łı Œ Ł ß Ł º ß.

ˇ æŒ º Œ ł Ł æº Łı Œ Ł -4, ŒŁ º Æß Ł ł Ł ßı Ł ßı Œ Ł :

8/t = −4 ⇐⇒ t = −2, (−2 − 10)/ 3 = −4.

(b) ´ Œ a Ł c ŁŒ º ß ª Ł º Œ ª , Œ ª Łı æŒ º

Ł 0. Œ º Ł Ł ( æ ßı Ł ŁØ

Ł … ßı Œ Ł ):

(a,b ) = −8t − 3 + 2 = −8t − 1 = 0 ⇐⇒ t = −1/ 8.

(c) ´ Œ a , b Ł c Œ º ß ª Ł º Œ ª , Œ ª ºŁ º Ł ß,

— æ º ß º Ł t = 4 ŁºŁ t = −2.

(d) ´ Œ a , b Ł c Æ ßØ Æ Łæ ª Ł º Œ ª , Œ ª ºŁ º Ł ß, æ æ º Ø Ł Œ Ł Œ Œ Łı æº Ł º Ł º .

ºŁ º æ Ł ß ø Œ Ł (t −4)(t +2).

ß Ł º Ł º Ł t < −2 ŁºŁ t > 4.

˙ 3. ˜ºŁ Œ a , |a | = 2. ˜ºŁ Œ b , |b | = 3. ª º

Œ Ł a Ł b , ϕ = 60◦ . ˝ Ø Ł

(a) ˜ºŁ ß Ł ª º Ø ºº º ª , æ ª Œ ı a Ł b . (b) ˇº ø ºº º ª , æ ª Œ ı 2a − b Ł a + 3b . — ł Ł :

(a) ˜Ł ª ºŁ ºº º ª , æ ª Œ ı a Ł b , Œ
Ł Łæ Œ Œ a − b Ł a + b . ˜ºŁ Œ æ Ł
Œ Œ Œ ßØ Œ Ł ª æŒ º ª Ł Ł æ Æ . Œ º
Ł Ł ı Œ æ Ł Œ Œ Ł Ł Łı ºŁ
Œ æŁ æ ªº Ł Ł, æŒ º Ł Ł Ł ª º Ø ºº º ª
æ Æ æ Ł ŒŁ Æ :

,

√ √

ºŁ ß Ł ª º Ø ß 7 Ł 19.

(b) ˇº ø ºº º ª , ª 2 Œ , ºŁ Œ ª Ł Ł Łı ı Œ . ´ Œ Ł Ł ı Œ

º Ł Ł Łı ºŁ æŁ æ ªº Ł Ł,

º Ł ŁŒ º Ł Æ Ł Ł Æ æ Ł Ł ØŒ Œ , :

˙ 4. ˜ ß ŒŁ A (3, 5, 4), B (−1, −3, 5), C (−5, −3, 0) Ł O (0, 0, 0).
(a) ˝ Ø Ł Œ æŁ æ ª º Œ Ł AB Ł AC .
(b) ˝ Ø Ł º ø 4ABC .
(c) ˝ Ø Ł Æœ… ª º Ø Ł Ł ß OABC .
(d) ˝ Ø Ł ºŁ ßæ ß Ł Ł ß, ø Ø Ł łŁ ß O .

— ł

(a)

 Ł :

−5 3 −8

AC~ = C~ − A~ = −3 − 5 = −8 0 4 −4

−1 3 −4

AB~ = B~ − A~ = −3 − 5 = −8

5 4 1
ª Ł æŒ Ø ŒŁ Ł æŒ º Ł Ł ı Œ
Ł Ł Łı ºŁ Œ æŁ æ ªº Œ Ł.
˜ºŁ a Œ

.

˜ºŁ a Œ

Œ º ß Ł Ł ı Œ º æ Łæº , æ ßı

Ł ŁØ Ł … ßı Œ Ł .

Œ º Ł Ł Œ

3

(b) ´ Œ oe Ł Ł ı Œ º æ Œ o , ºŁ Œ ª
º ø Ł ºº º ª , ª ß .

Œ Œ Œ 2 Œ æ ºº º ª

Ł ª º ø Æ 2 ł , Œ æ

 ª º ŁŒ,
º Ł ºŁ ß Œ ª Ł Ł æ ª º ŁŒ .
ˇ æ Ł

Œ Ł Ł æ :

−5 3 −8

AC~ = C~ − A~ = −3 − 5 = −8

0 4 −4

−1 3 −4

AB~ = B~ − A~ = −3 − 5 = −8

5 4 1
´ß ŁæºŁ Œ Ł Ł …ı æ æ , æ Ł
æ ºŁ º Ł ß, Œ Ø Ø æ Œ æ Œ Ł ß
ß, Ø Ł Ø - Œ Ł ß ª Ł ª Œ æ æ .

˜ºŁ a Œ

.

˛ æ º ø ª º ŁŒ

(c) ł ß Ł Ł …ı Œ º æ Łæº , º
Æœ… ºº º Ł , ª Ł Ł Œ . ˙ Œ Łæº "+",
æºŁ Ł Ł Œ Æ ØŒ Œ , Ł " ", æºŁ º .
˛Æœ… ºº º Ł Ł æ Ł Œ Œ º ø æ Ł ,
ºŁ ßæ ß. ˝ Ł Œ æ ºº º Ł
ª º Ł Ł . Ł Ł ß Æœ… æ æ º 1/3
º ø Ł æ Ł Ł Ł ß, Ø ßæ Ł Ł ß. ´ Ø
æŁ ŁŁ ºŁ ß ßæ Ł Ł ß Ł ºº º Ł ß, æ Ł Ł Ł ß
º ø Ł 2 ł ( ª º ŁŒ º Ł ºº º ª ). ˇ
Æœ… Ł Ł ß Æ 6 ł Æœ… æ æ ø ª ºº º Ł .
ˇ º ı Ł Æœ… Ł Ł ß æ ºŁ 6 º
æ ł ª Ł

Ł …ı Œ Ł Ø … łŁ ß æ º ß .

−5 0 −5

OC~ = C~ − O~ = −3 − 0 = −3

0 0 0

−1 0 −1

OB~ = B~ − O~ = −3 − 0 = −3

5 0 5

3 0 3

OA~ = A~ − O~ = 5 − 0 = 5 4 0 4

´ß ŁæºŁ æ ł Ł Ł …ı Œ , æ Ł ºŁ º Ł ß, Œ Ø Ø æ Œ æ Œ Ł ß ª Œ , Ø ª , Ø - Œ Ł ß ª Œ .

ˇ æ Ł ºŁ º æ æ ø Ø Ł ß:

ˇ æ ł Ł Ł (OA,~ OB,~ OC~ ) = −128. ˛ æ Æœ… Ł Ł ß

64/ 3.

(d) Æß Ø Ł ºŁ ßæ ß Ł Ł , ø Ø Ł łŁ ß O æ
æ Œ Ł Œ

Œ , ŁŒ º ßØ æ Ł , Œ æŒ æ ßæ , ŁºŁ
Œ ºŁ Œ º æŒ æ Ł, ı ø Ø æ Ł . æ Ł æ
Œ. — ææ

Ł Œ
Ł
Æß º Ł Œ ºŁ ( ŁŒ º ßØ) Œ º æŒ æ Ł, ı ø Ø
Ł ŒŁ, Œ , º øŁ Ø º æŒ æ Ł Ł Łı
Œ Ł Ł .
´ Œ ß Ł Ł ı Œ º æ ŁØ Œ , º ßØ
ŁŒ º Æ Ł Œ Ł Æ øŁØ æ Ł Ł ØŒ Œ .
´ß ŁæºŁ Œ Ł Ł …ı æ æ , æ Ł
æ ºŁ º Ł ß, Œ Ø Ø æ Œ æ Œ Ł ß
ß, Ø Ł Ø - Œ Ł ß ª Ł ª Œ æ æ .

˛ Ł ª Ł æŒŁı Ł ŁØ æŒ º ª Ł Ł ı Œ

Œº æ , ª º ºŁ ª Œ , Ø
ºŁ Œ ŁŁ ª ª Œ . ˛ æ º , Æß
ºŁ Œ ŁŁ, º æŒ º ª Ł Ł ºŁ ºŁ
Œ , Œ ßØ Łæı Ł Œ Ł .
Œ º ß Ł Ł ı Œ º æ Łæº , æ ßı
Ł ŁØ Ł … ßı Œ Ł .
Œ º Ł Ł Œ

5

˜ºŁ a Œ

.

˜ºŁ Œ ŁŁ Œ OA ~ Œ AB ~ × AC ~ :

.

˙ 5. ˜ ß Œ

.

(a) ˜ Œ , Œ ß a , b Ł c Æ Æ Łæ. (b) ˝ Ø Ł Œ Ł ß Œ d Æ Łæ .

— ł Ł :

(a) ØŒ Œ æ æ IR3 Æ Æ Łæ ª Ł º Œ ª , Œ ª

ºŁ º Ł ß, æ æ º Ø Ł Œ Ł Łı Œ ,

º .

(b) Æß Ø Ł Œ Ł ß Œ d Æ Łæ , Æı Ł Ø Ł ŒŁ ø æ ß Łæº x 1 , x 2 Ł x 3 , ax 1 + bx 2 + cx 3 = d , Ł ª ,

łŁ æŁæ

ŁØ

 1 − x 2 + 7x 3 = 6 x

2x 1 + 3x 2 − 3x 3 = 10 .

3x 1 − 2x 2 + 5x 3 = 17
— æłŁ Ø Ł Ø Ø æŁæ ß ŁØ º æ

.

˝ Ł Ł : º ı Ł ł Ł æŁæ ß ºŁ Ø ßı ŁØ æ
Ø æłŁ Ø Ł Ø æº æº ª º ß
Æ Ł æ Œ Ł. ˇ Ł æ ł ŁØ æŁæ ŁØ,
æ æ øŁı Ł Ł Ł º ª Æ Ł Ł æº
- æ .
º ß Æ Ł æ Œ Ł Ł ß Æß …ı Ł :

(a) ˛Æ æ Ł æ Ł i Ł j (æ Œ ø… Ri ↔ Rj ),

(b) Ł æ i º Łæº r (æ Œ ø… Ri → rRi ), (c) ˙ æ i ª Ł æ Œ j (æ Œ ø… Ri →

Ri − rRj ),

º Œº æ Ł ŁŁ æłŁ Ø Ł ß æŁæ ß Œ Ł Ł Ø

, Ł … Œ, Æß Œ Ø æ Œ ß º ß º

Æߺ Ł Ł , Ł æ º ß Ł ß Ø Ł Ł Ø ÆߺŁ º Ł. ¨ Œ Ø Ł … Ø Ł Ł Ø ß æłŁ Ø Ł ß æŁæ ß º ªŒ º æ … ł Ł .

Łæ ŁØ æ æº Ø Ł Ø Œ æ æłŁ Ø Łæ

Œ Œ

1 = 38/ 7 x x 2 = −5/ 21

x 3 = 1/ 21

 .
Ł Æ Œ Ł ß Œ d .