Реферат: Интегралы Дифференциальные уравнения
Название: Интегралы Дифференциальные уравнения Раздел: Рефераты по математике Тип: реферат | ||||||||||
Интегралы Основные вопросы лекции: первообразная; неопределенный интеграл, его свойства; таблица интегралов; методы интегрирования: разложение, замена переменной, по частям; интегрирование рациональных функций; интегрирование иррациональностей и выражений, содержащих тригонометрические функции, задачи, приводящие к понятию определенного интеграла; интегральная сумма; понятие определенного интеграла, его свойства; определенный интеграл как функция верхнего предела; формула Ньютона Лейбница; применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур; вычисление объемов тел и длин дуг кривых; несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций, основные понятия дифференциальных уравнений; задача Коши; дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными; однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка; линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка, дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка; линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами: однородные и неоднородные. Функция Теорема. Если
Множество всех первообразных для функции
Свойства неопределенного интеграла 1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, то есть
2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, то есть 3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, то есть
где 4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть 5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, то есть
Метод замены переменной
где Метод интегрирования по частям
где Интегрирование рациональных дробей. Простейшими дробями называют дроби вида
причем квадратный трехчлен не имеет действительных корней. Рациональную функцию Для интегралов вида При интегрировании тригонометрических выражений Талица основных интегралов. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Пусть на отрезке
будем называть интегральной суммой для функции Пусть предел интегральной суммы при стремлении
Экономический смысл интеграла. Если Достаточное условие существования интеграла. Теорема. Если Свойства определенного интеграла. 1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть
где 2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, то есть
3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, то есть при любых 4. Если на отрезке
Следствие. Пусть на отрезке
Теорема о среднем. Если функция
Теорема. Пусть функция Эта формула называется формулой Ньютона – Лейбница. Теорема. Пусть функция Тогда имеет место равенство
Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле. Теорема. Пусть функции
Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Теорема. Пусть на отрезке Пусть на отрезке
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции. Дифференциальное уравнение
Решением дифференциального уравнение называется такая функция Общим решением дифференциального уравнения
которое является функцией переменных Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных Теорема. Пусть в дифференциальном уравнении
функция 1. Для любой точки 2. Если два решения Дифференциальное уравнение (1) первого порядка называется неполным, если функция Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде или в виде
где Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид
где В случае, когда функция Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
где Если
называется однородным, в противном случае при Теорема. Если
Для некоторых действительных чисел Уравнение
называется характеристическим уравнением уравнения (3). Теорема. 1. Пусть характеристическое уравнение (4) имеет действительные корни
где 2. Если характеристическое уравнение (4) имеет один корень
где 3. Если характеристическое уравнение (4) не имеет действительных корней, то общее решение уравнения (3) имеет вид
где Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (2) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (3) и частного решения исходного неоднородного уравнения (2). Числовым рядом называется выражение вида
Числа Сумма Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, то есть Число Свойства сходящихся рядов. 1. Если ряд (1) сходится и имеет сумму 2. Если ряды и
сходятся и их суммы соответственно равны 3. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного путем отбрасывания или приписывания конечного числа членов. Теорема (необходимый признак сходимости) Если ряд сходится, то предел его общего члена стремится к нулю, то есть
Теорема (признак сравнения). Пусть (1) и (2) – ряды с положительными членами, причем члены первого ряда не превосходят членов второго, то есть при любом
Тогда а) если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1) б) если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2). Теорема (предельный признак сравнения). Пусть (1) и (2) – ряды с положительными членами и существует конечный предел отношения их общих членов Теорема (признак Даламбера). Пусть дан ряд (1) с положительными членами и существует предел
Тогда, если Ряды с членами произвольного знака Знакочередующиеся ряды. Под знакочередующимся рядом понимается ряд в котором члены попеременно то положительны то отрицательны Теорема. (Признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и предел его общего члена при Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда (1) сходится, то сходится и данный ряд. Ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится как сам ряд, так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов. Степенным рядом называется ряд вида
Совокупность тех значений Теорема Абеля. 1). Если степенной ряд сходится при значении 1. 2. Тогда областью сходимости степенного ряда будет интервал На любом отрезке Кроме того, в интервале сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать. При этом после интегрирования или дифференцирования полученные ряды имеют тот же радиус сходимости Имеют место следующие разложения элементарных функций. Случайные события Основные вопросы лекции: случайные события; случайные величины, описательный подход к понятию случайной величины, дискретные случайные величины, случайные величины общего вида, функция распределения, распределение случайных величиныи числовые характеристики. Числовые характеристики случайных величин Рассмотрим основные характеристики дискретной случайной величины при конечном числе значений. Каждому значению дискретной случайной величины отвечает его вероятность. Как отмечалось выше, последовательность таких пар образует ряд распределения дискретной случайной величины: где Если случайная дискретная величина является случайной альтернативной величиной, т.е. задается двумя значениями 0 и 1 и соответствующими им вероятностями исходов q = 1 – ри р, то ряд распределения принимает форму:
где 0 ≤ p ≤ 1, p + q = 1. На основе ряда распределения можно определить среднее значение случайной дискретной величины как меру, которая объединяет значения случайной дискретной величины и их вероятности. Среднее значение есть взвешенная средняя всех возможных значений случайной величины, роль весов (частот) играют вероятности. Ожидаемое среднее значение случайной величины называется математическим ожиданием М(Х) (оценкой, которую ожидают получить). Математическое ожидание случайной дискретной величины X (т.е. принимающей только конечное или счетное множество значений x1, x2,…, хп соответственно с вероятностями р1, p2,…, рп) равно сумме произведений значений случайной величины на соответствующие им вероятности:
Свойства математического ожидания случайной дискретной величины Математическое ожидание случайной дискретной величины обладает следующими свойствами: 1. M(C) = С, где С – постоянная величина. 2. М (С·Х) = С·М(Х), где С – постоянная величина. 3. М (Х1 ± Х2 ±…± Хn) = М(Х1) ± М(Х2) ±…± М(Хn). (2) 4. Для конечного числа пнезависимых случайных величин: М (Х1∙ Х2∙…∙Хn)= М(Х1) ∙М(Х2) ∙…∙М(Хn). (3) 5. М (Х–C) = М(Х) – C. Следствие. Математическое ожидание отклонения значений случайной величины X от ее математического ожидания равно нулю: М [Х – М(Х)] = 0. (4) 6. Математическое ожидание среднего арифметического значения п одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию каждой из величин:
Случайные дискретные величины называются одинаково распределенными, если у них одинаковые ряды распределения, а следовательно, и одинаковые числовые характеристики. Пусть Х1, Х2,…, Хn – одинаково распределенные случайные величины, математические ожидания каждой из которых одинаковы и равны а. Тогда математическое ожидание их суммы равно nаи математическое ожидание средней арифметической равно а:
Ожидаемое среднее значение функции случайной величиныожидаемое среднее значение можно вычислять как функцию случайной величины. Пусть h(X) – функция случайной величины X. Ожидаемое значение функции дискретной случайной величины:
Функция h(X) может быть любой, например X 2,3Х 4, logX. Разберем простой пример, когда h(X) – линейная функция от X, т.е. h(X)= аХ+ b, где а, b – числовые параметры. Ожидаемый ежемесячный доход от продаж продукции составляет 5400 условных денежных единиц. Для линейной функции случайной величины вычисления M[(h(x)] можно упростить, так как из свойств математического ожидания следует, что M (аХ+ b) = аM(Х) + b, где a, b – числовые параметры. Формула (5) подходит для любых случайных величин как дискретных, так и непрерывных. Дисперсия дискретной случайной величины Дисперсия случайной величины есть математическое ожидание квадрата отклонения значений случайной величины от ее математического ожидания. σ2 = D(X) = M{[X – M(X)] 2} = Вероятности значений случайной величины играют роль весов (частот) при вычислении ожидаемых значений квадратов отклонений дискретной случайной величины от средней. По формуле (7) дисперсия вычисляется путем вычитания математического ожидания из каждого значения случайной величины, затем возведения в квадрат результатов, умножения их на вероятности Р(хi) и сложения результатов для всех хi. Для примера 3.1 (о рекламных объявлениях, размещаемых в газете в определенный день) дисперсия вычисляется так: σ2 = Свойства дисперсии дискретной случайной величины Дисперсия дискретной случайной величины обладает следующими свойствами. 1. D(C) = 0, где C – постоянная величина. 2. D(C∙X)= C∙D(X), где C – постоянный множитель. 3. Для конечного числа nнезависимых случайных величин: D (X1 ± Х2±…±Xn) = D(X1) + D(X2)+ … +D(Xn). (8) 4. Если Х1, Х2,…, Хn – одинаково распределенные независимые случайные величины, дисперсия каждой из которых равна σ2 (Хi), то дисперсия их суммы равна пσ2, а дисперсия средней арифметической равна σ2/п:
Для вычисления дисперсии проще пользоваться другой формулой, полученной путем несложных математических выкладок: D(X) = M[X – M(X)] 2 =M[X2 – 2M(X) X+ M(X) 2] = M(X) 2 –2M(X) M(X) + [M(X)] 2 = M(X2) – [M(X)] 2 = M (X 2) – М 2 (Х). Таким образом, σ2 = D(X) = M(X2) – М2 (Х). (10) Дисперсия линейной функции случайной величины Для случайной величины, заданной линейной функцией аХ+b, имеем D(a∙X+ b)= a2∙D(X)=a2∙σ2. (11) По формуле (11) найдем дисперсию ожидаемого дохода для примера 3. Доход задан функцией 2Х-8000. Находим M(X2)=50002∙0,2 + 60002∙0,3 + 70002∙0,2 + 80002∙0,2 + 90002∙0,1 =4 650 000. М(Х)=6700. Отсюда дисперсия D(X)=M(X2) – [М(Х)] 2=46 500 000 – 67002=1 610 000. Используя формулу (11), вычислим дисперсию ожидаемого дохода: D(Х) = σ2 = 22∙1 610 000 = 6 440 000. Среднее квадратическое отклонение дохода равно Испытания Бернулли – это последовательность n идентичных испытаний, удовлетворяющих следующим условиям: 1. Каждое испытание имеет два исхода: успех и неуспех – взаимно несовместные и противоположные события. 2 Вероятность успеха р остается постоянной от испытания к испытанию. Вероятность неуспеха q = 1-р. 3. Все n испытаний – независимы. Вероятность наступления события в любом из испытаний не зависит от результатов других испытаний. Успех и неуспех – статистические термины. Например, когда имеют дело с производственным процессом, то исход испытания «деталь дефектная» определяют как успех. Успех относится к появлению определенного события – «деталь дефектная», а неуспех относится к непоявлению события. Определим случайную величину как биномиальную, если для нее мы рассчитываем число успехов и неуспехов в последовательности n испытаний Бернулли. Случайная величина, для которой вычисляется число успехов в n повторных испытаниях, где р – вероятность успеха в любом из заданных испытаний, a q = (1-р) – соответствующая вероятность неуспеха, подчиняется закону биномиального распределения с параметрами n и р. Все возможные исходы данного эксперимента называются элементарными событиями, а множества составленные из них – событиями. Таким образом можно разбить все множество исходов на благоприятствующие данному событию (то есть входящие в него) и не благоприятствующие. Множество всех исходов обозначают Классическое определение вероятности. Вероятностью события
где Пусть некоторый эксперимент повторяется Схема Бернулли имеет место при соблюдении трех условий. 1. Каждое повторение имеет два исхода. 2. Повторения независимы. 3. Вероятность появления события постоянна и не меняется при повторениях. Тогда вероятность появления события
где Если события 1. попарно не пересекаются, то есть 2. то говорят что они образуют полную группу событий. Теорема (формула полной вероятности). Если
Теорема (формула Байеса) Если
Случайной величиной называют любую числовую функцию заданную на множестве Дискретной случайной величиной называется случайная величина принимающая не более чем счетное число значений. Дискретную случайную величину удобно задавать в виде таблицы
где Математическим ожиданием Свойства математического ожидания 1. 2. 3. Дисперсией Свойства дисперсии 1. 2. 3. Среднеквадратическим отклонением Функцией распределения случайной величины называют функцию Свойства функции распределения 1. 2. Функция 3. Функция Случайная величина называется непрерывной, если непрерывна ее функция распределения. Плотностью распределения 1. 2. 3. Для непрерывных случайных величин математическое ожидание определяется как число На практике чаще всего встречаются следующие виды распределений 1.Биномиальное, где случайная величина принимает значения 2.Геометрическое, где случайная величина принимает значения 3.Нормальное, где плотность распределения имеет вид 4.Равномерное, где плотность распределения имеет вид Литература 1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2003. 2.Е.С. Кочетков, С.О. Смерчинская Теория вероятностей в задачах и упражнениях / М. ИНФРА-М 2005. 3. Высшая математика для экономистов: Практикум / Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2004.Ч1, 2 4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., Высшая школа, 1977 5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Высшая школа, 1977 6. М.С. Красс Математика для экономических специальностей: Учебник/ М. ИНФРА-М 1998. 7. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М., 2000. 8.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1971. 9.А.К. Казашев Сборник задач по высшей математике для экономистов – Алматы - 2002 г. 10.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1985, Т1,2. 11.П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевников Высшая математика в упражнениях и задачах/ М. ОНИКС-2005. 12.И.А. Зайцев Высшая математика/ М. Высшая школа-1991 г. 13.Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. – М.: Наука, 1985. 14.Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы анализа экономики. – М.: ДИС, 1997. 15.Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. – М.: Высшая школа, 1982 – Ч 1, 2. 16.Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. – М.: Инфра-М, 1997. 17.В.С. Шипацев Задачник по высшей математике-М. Высшая школа, 2005 г. |