Курсовая работа: Исследование кривых и поверхностей второго порядка
Название: Исследование кривых и поверхностей второго порядка Раздел: Рефераты по математике Тип: курсовая работа | ||||||||||||
Курсовая работа по линейной алгебре и аналитической геометрии на тему: Исследование кривых и поверхностей второго порядка Дубна, 2002 Оглавление ВВЕДЕНИЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА Теоретическая часть Практическая часть ВЫВОД ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМЫ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Теоретическая часть Практическая часть ВЫВОД СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ВведениеЦель 2. Ознакомление с пакетами программ Microsoft® Word и Microsoft® Excel. Постановка задачи I . Для данного уравнения кривой второго порядка: 1. Определить тип данной кривой с помощью инвариантов. 2. Привести уравнение кривой к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей. 3. Найти фокусы, директрисы и ассимптоты данной кривой (если они есть). 4. Построить каноническую систему координат и данную кривую в общей системе координат. II . Для данного канонического уравнения поверхности второго порядка: 1. Исследовать форму поверхности методом сечений плоскостями, построить линии, полученные в сечениях; 2. Построить поверхность в канонической системе координат. Исследование кривой второго порядкаТеоретическая частьПусть кривая Г задана в декартовой прямоугольной системе координат xOy уравнением:
Если хотя бы один из коэффициентов Теорема 1. Для произвольной кривой второго порядка Г существует такая декартова прямоугольная система координат XO ¢ Y , что в этой системе кривая Г имеет уравнение одного из следующих канонических видов: 1) 2) 3) (точка), 4) 5) 6) 7) 8) 9) В этих уравнениях a ,b ,p — положительные параметры. Систему координат XO¢Y назовем канонической системой координат, а систему координат xOy — общей системой координат. Классификация кривых второго порядка В зависимости от значения инварианта · если · если · если Кривая второго порядка Г называется центральной
, если Центром
кривой второго порядка Г называется такая точка плоскости, по отношению к которой точки этой кривой расположены симметрично парами. Точка
Определитель этой системы равен
Из теорем 1 и 2 получается следующая классификация кривых второго порядка с помощью инвариантов: 1) эллипс 2) мнимый эллипс 3) две мнимые пересекающиеся прямые (точка) 4) гипербола 5) две пересекающиеся прямые 6) парабола 7) две параллельные прямые 8) две мнимые параллельные прямые 9) две совпадающие прямые Практическая частьДано: Определить тип кривой с помощью инвариантов в зависимости от β: Вычислим инварианты: 1. Если Этих β будет эллипс При При 2. Если 3. Если При При
Исследуем кривую при β=0 , тогда получим: Сперва повернём на угол φ: Найдём угол φ,такой чтобы коэффициент при
Сгруппируем члены уравнения и дополним до полного квадрата: Произведём перенос системы координат:
т.е. мы правильно определили каноническое уравнение Определим фокус Расстояние между В системе координат Эксцентрический эллипс Директрисы Исследовав общее уравнение кривой второго порядка и приведя его к каноническому виду, мы установили, что данная кривая — эллипс. Мы получили каноническое уравнение гиперболы при помощи преобразований параллельного переноса и поворота координатных осей. Исследование формы поверхности второго порядка Теоретическая частьПоверхностью второго порядка S называется геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида:
где по крайней мере один из коэффициентов Уравнение (3.1) называют общим уравнением поверхности второго порядка S , а систему координатOxyz называют общей системой координат .
Теорема:
Для произвольной поверхности S
, заданной общим уравнением существует такая декартова прямоугольная система координат 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) O 'Z ), 12) 13) 14) 15) 16) 17) В выше перечисленных уравнениях a
,
b
,
c
,
p
— положительные параметры. Систему координат Исследование формы поверхности второго порядка методом сечения плоскостями Если дано каноническое уравнение поверхности S , то представление о поверхности можно получить по форме линий пересечения ее плоскостями: Z = h — параллельными координатной плоскости XO ' Y , X = h — параллельными координатной плоскости YO ' Z , Y = h — параллельными координатной плоскости XO ' Z . Практическая частьДано:
Это эллипсоид в прямоугольной декартовой системе координат Oxyz, где оси OX, OY, OZ — оси симметрии. 1. Рассмотрим линии
Плоскость Z = h параллельна плоскости Oxy. Уравнения проекций Если Это уравнение эллипсов с полуосями При различных h имеем: Если 2. Рассмотрим
Уравнение проекций Это уравнение эллипсов с полуосями Если Если
Если Если 3. Рассмотрим
Уравнения эллипсов, проекций Полуоси Если Если
Если Построим однополостный гиперболоид в канонической системе координат ВыводПроанализировав уравнение эллипсоида Из уравнения следует, что оси OX, OY, OZ — оси симметрии, плоскости XOY, YOZ, XOZ — плоскости симметрии. Рассекая поверхность плоскостями y
=
h
,z
=
h
,x
=
h
,
в сечениях имеем эллипсы, наибольшие из которых получаются в плоскостях x=0, y=0, z=0, полуоси их уменьшаются с увеличением Список используемой литературы1. Копылова Т. В. Конспект лекций по линейной алгебре; 2. Копылова Т. В. Линейная алгебра. — Дубна: Международный университет природы, общества и человека «Дубна», 1996; 3. Ефимова Л. В., Демидович Б. П. Линейная алгебра и основы математического анализа. — М: Наука, 1993. |