Статья: О подвижном пространстве

Океанов Е.Н.

В неподвижном геометрическом трехмерном пространстве X Y Z , , (с прямоугольными координатами) радиус-вектор:

r ( ) t = i x t ( ) + j y t ( ) + k z t ( ) (1)

определяет кривую в пространстве (годограф), по которой перемещается эта точка, являясь началом координат подвижного трехмерного пространства X Y Z _m , _m , _m (с иными прямоугольными координатами). Это подвижное пространство определено, как известно, сопровождающим трехгранником с базисом τ ,n,b – ортами касательной, нормали и бинормали к указанному годографу, соответственно. В этом подвижном пространстве начало координат неподвижного пространства определяется радиусвектором:

r _m =τ x _m + n y _m + b z _m (2)

Представляется очевидным равенство:

r =− r _m , (3)

поскольку левая часть этого равенства выражает расстояние от начала неподвижного пространства до начала подвижного пространства, а правая часть, наоборот, расстояние от начала подвижного пространства до начала неподвижного пространства. Но это – одно и то же расстояние, и лишь в векторной интерпретации оно характеризуется разными векторами с одинаковым модулем и противоположными направлениями. Поэтому равенство (3) можно дополнить равенством:

r = r _m (4)

Орты подвижного пространства можно выразить через орты неподвижного пространства:

τ= i ^{τ τ τ} _x + j _y + k _z , n = i n _x + j n _y + k n _z , b = i b _x + j b _y + k b _z (5)

и тогда равенство (3) преобразуется к виду:

i ( x + ^τ _{x m} x + n y _{x m} + b z _{x m} ) + + j ( y ^τ _{y m} x + n y _{y m} + b z _{y m} ) + k ( z + ^τ _{z m} x + n y _{z m} + b z _{z m} ) = 0, откуда следуют очевидные равенства:

τ z m x + n y z m + b z z m = − x

^τ _{y m} x + n y _{y m} + b z _{y m} = − y , (6)

τ z m x + n y z m + b z z m = − z

Эти равенства естественно рассматривать, как систему трех уравнений с тремя неизвестными x y z _m , _m , _m , поскольку задание радиус-вектора (1) вполне определяет значение остальных величин в этой системе. Ее определитель равен:

Δ = ^τ _x ( n b _{y z} − n b _{z y} ) + ^τ _y ( n b _{z x} − n b _{x z} ) + ^τ _z ( n b _{x y} − n b _{y x} ) , (8) которое в векторной форме принимает вид:

Δ = τ⋅ ( n b × ) (9)

Но, в силу очевидного равенства:

τ = n b × , определитель (7) принимает значение:

Δ =τ = ² 1 (10)

Первый частный определитель Δ _x системы равен:

и подвижная координата x _m принимает значение:

Δ ^x ( × ) (12) x _m = = − r n b ⋅

Δ

Второй частный определитель Δ _y системы равен:

τ _x − x b _x

Δ _y = ^τ _y − y b _y = r ⋅ τ× ( b ) (13)

τ _z − z b _z

Соответственно, вторая подвижная координата y _m принимает значение:

y _m (14) Наконец, третий частный определитель Δ _z равен:

и третья подвижная координата z _m принимает значение: z _m (16)

Теперь необходимо принять во внимание равенства:

n b × = τ , τ × b = − n , τ × n = b , (17)

в соответствии с которыми подвижные координаты принимают вид скалярных произведений:

x _m = − r ⋅τ , y _m = − r n ⋅ , z _m = − r b ⋅ (18)

Подстановка этих значений в уравнение (2) позволяет выразить радиус-вектор подвижного пространства через радиус-вектор неподвижного пространства:

r _m = − r ⋅τ ² − r n r b ⋅ ² − ⋅ ² = − r ( τ ² + n b ² + ² ) = − r ⋅ 1 = − r , подтверждая равенство (3), если, конечно, учитывать работу [1] о сущности скаляра. Более того, полученный результат лишний раз подтверждает корректность, но – главное – актуальность этой работы. Потому, что теперь без всяких надуманных « мысленных экспериментов » можно строго математически сравнивать скорости в неподвижной и подвижной системах отсчета. Действительно, скорость v радиусвектора (1) в неподвижной системе отсчета равна производной этого радиус-вектора по времени:

d r

v = (19) dt

В свою очередь, скорость v _m радиус-вектора (2) равна его производной по времени:

d r ^m v _m = (20) dt Но из равенства (3) следует очевидное равенство:

v = − v _m , (21)

в котором нет и не может быть даже намека на преобразования Лоренца. Следует отметить, что на подвижную и неподвижную системы отсчета никакие ограничения не накладывались в ожидании, что исследование выведет на особенности, позволяющие отличать инерциальную систему от каких-либо иных. Не вывело.

Здесь полезно обратить внимание на принципиальное отличие физической сущности скорости от ее математической сущности. Физическая сущность скорости (например, некоторого тела) состоит в том, что скорость тела есть мера того, как быстро тело меняет свое положение относительно выбранного репера (ориентира). На этом основании физическое понятие скорости тела можно полагать относительным . Математическая сущность скорости состоит в том, что скорость есть производная вектора по времени, и, коль скоро вектор всегда является абсолютной величиной, математическое понятие скорости является абсолютным . Обе сущности оказываются субъективным отображением объективной реальности, и, несмотря на различие, не являются взаимоисключающими. Поэтому они могут совпадать, или не совпадать в оценке объективной реальности. На этом основании можно говорить о наличии своеобразной интерференции понятий в сознании исследователя. Когда физическая сущность совпадает с математической сущностью, вероятность заблуждений в изучении объективной реальности становится меньше. В противном случае возникают различные паразитные учения (например, о теплороде 200 лет назад, или о так называемых торсионных полях нынче), вплоть до «философского» отрицания генетики и кибернетики.

Так вот, если скорость (тела) понимать, как непосредственную характеристику движущегося тела, то могут возникать проблемы интерференционного (в данном случае - терминологического) характера, приводящие к подмене понятий и, как следствие, к подмене решаемой задачи. Здесь скорость всегда понимается в ее строгом математическом смысле – производная вектора по времени . Это единственный способ максимально уберечься от заблуждений. Тогда физическую « скорость тела » следует понимать, как упрощение длинного определения:

– скорость тела есть производная по времени радиус-вектора из начала системы отсчета до центра масс этого тела и является не характеристикой тела, а только и исключительно характеристикой этого радиус-вектора .

Но это упрощение повлекло за собой подмену характеристики математического объекта (вектора) якобы характеристикой физического объекта (тела), а это уже – произвол, чреватый непредсказуемыми последствиями. Особенно с участием « мысленных экспериментов », которые вполне могут оказаться совсем немыслимыми, хотя и красивыми.

Орты i,j,k в качестве базиса неподвижного пространства являются векторами направлений и остаются неизменными константами в пределах своего пространства. Поэтому выражение скорости (19) в развернутом виде:

v ( ) t = ^{в r} = i ^dx + j ^dy + k ^dz (22)

dt dt dt dt

не требует дифференцирования этих ортов. Орты τ ,n,b в качестве базиса подвижного пространства в пределах своего подвижного пространства также являются константами, но в неподвижном пространстве они оказываются переменными векторами с неизменным единичным модулем. Поэтому выражение скорости (20) в развернутом виде:

d r ^m d в d

v _m = ⁼ ( τ x _m ) ⁺ ( n y _m ) ⁺ ( b z _m ) (23)

dt dt dt dt

уже требует дифференцировать орты подвижного пространства по времени:

d τ dx ^m d n dy ^m d b dz ^m

v _m = x _m + τ + y _m + n + z _m + b (24)

dt dt dt dt dt dt

в пределах неподвижного пространства, поскольку подвижное пространство движется в неподвижном пространстве. То есть, нет нужды « синхронизировать » какие-либо « часы » потому, что время t оказывается единственным общим параметром неподвижного и подвижного пространств, который и обеспечивает сопоставимость этих пространств. С учетом известных формул Серре-Френе представляются очевидными равенства:

d τ = n K dl , в n = − ( τ K + b T ^{) dl} _, ^{d b} = − b T ^dl (25) dt dt dt dt dt dt

На основании равенств (18) в такой же мере очевидными представляются равенства: dx ^m d r d τ dy ^m d r d n dz ^m d r d b

= −τ − r , = − n − r , = − b − r (26) dt dt dt dt dt dt dt dt dt

Подстановка равенств (25) и (26) в равенство (24) приводит к уравнению:

² d τ dl ² d n ² dl ² d b v _m = −τ v − τ⋅ r − b n r ⋅ ⋅ T − n v n r − ⋅ + b r ⋅ T − b v b r − ⋅ , dt dt dt dt dt

которое далее приводится к виду:

^{2 2 2} d τ в n d n d b v _m = − v ( τ + n b + ) − τ⋅ r − n r ⋅ − n r ⋅ − b r ⋅

dt dt dt dt

Остается в полученное выражение подставить равенства (25):

^{2 2 2} dl dl dl ² dl

v _m = − v ( τ + n b + ) − τ⋅ ⋅ n r K + τ⋅ ⋅ n r K − n b r ⋅ ⋅ T + b r ⋅ T =

dt dt dt dt

(27) ^{2 2 2} dl ^{2 2 2 2}

= − v ( τ + n b + ) + r T ( b n b − ⋅ ) = − v ( τ + n b + ) = − v

dt

Здесь опять учтена работа[1], а также очевидное равенство:

b ² = n b ⋅ = 1

Полученное равенство (27), естественно, опять довольно сложным путем подтверждает установленное ранее простое равенство (21).

Эти неочевидные доказательства очевидных положений (3) и (21) выполнены под влиянием сомнений в знаменитой теории относительности, основанной на заблуждении о различных часах . Все дело в том, что физическая сущность времени не совпадает с его математической сущностью . Объективно время не существует. Объективно существует только последовательность неких физических состояний . Чтобы осмысленно ориентироваться в этой последовательности, Человек Разумный придумал способ неким счетным образом упорядочить в своем сознании эту последовательность, для чего придумал субъективную характеристику счета – время. Математика (в качестве субъективного средства отображения объективной реальности) формализовала эту характеристику в статусе универсального параметра t для всех физических явлений в данной среде обитания . Таким образом, математическая сущность времени есть единая параметризация любых процессов . А физической сущности времени не существует. Но существует физическая сущность самих процессов , которой и адекватно понятие времени в части последовательности состояний в этих процессах. Необратимость времени является следствием необратимости последовательности состояний, а не причиной их. Поэтому у любых наблюдателей во Вселенной часы, если они исправны, всегда синхронизированы (точнее - когерентны ). Когда « мысленный эксперимент» предполагает разные исправные часы у различных наблюдателей, он фактически по умолчанию помещает этих наблюдателей в различные несопоставимые Вселенные, из которых реально существует только одна. Так и превращается « мысленный эксперимент» в абсолютно немыслимый.

Пусть теперь в рассмотренном неподвижном пространстве, кроме первой подвижной точки, начинает двигаться вторая материальная точка, определяемая радиус-вектором r ₁ :

r ₁ ( ) t = i x t ₁ ( ) + j y t ₁ ( ) + k z t ₁ ( ) , (28) скорость v ₁ которого равна его производной по времени:

d r ¹ v ₁ = (29) dt

Это означает, что вдоль годографа этого второго радиус-вектора перемещается второе трехмерное подвижное пространство X _{1 m} , Y _{1 m} , Z _{1 m} , в котором начало отсчета неподвижного пространства определено радиус-вектором

r _{1 m} = τ ₁ x _m + n _{1 1} y _m + b _{1 1} z _m (30)

Скорость v _{1 m} этого радиус-вектора равна его производной по времени:

d r ^{1 m} v _{1 m} = (31) dt

и теперь уже можно считать строго доказанным равенство: v _{1 m} = − v ₁ (32)

Поскольку в геометрическом неподвижном пространстве одновременно движутся два различных геометрических подвижных пространства, например, A и B

(соответственно, для первого и второго), постольку уже можно говорить о скорости v _{A B /} первого подвижного пространства относительно второго подвижного пространства. Очевидно, что эта скорость определяется разностью: d

v _{A B /} = v _m − v _{1 m} ^{= −} ( v ) ( − − v ₁ ) ⁼ ( r r ₁ ⁻ ) (33) dt

Не менее очевидно, что скорость v _{B A /} второго пространства относительно первого равна:

d

v _{B A /} = − v _{A B /} = ( r r − ₁ ) (34) dt

Существенно, что подвижные пространства порождены соответствующими математическими точками, а это значит, что выражения (33) и (34) характеризуют одну и ту же абсолютную скорость одной математической точки относительно другой. Заметив, что разность R :

R = r − r ₁ (35)

представляет собой расстояние между этими точками, можно сделать общее утверждение (достаточно очевидное, кстати):

– абсолютная скорость одного объекта относительно другого всегда равна производной расстояния между этими объектами по времени.

Литература .

1. Океанов Е.Н. - О сугубо математических противоречиях.