Контрольная работа
«Многомерные и многосвязные системы»
Задание
Для многомерной системы, заданной матрицами А, В, С, получить:
1. Передаточную функцию  ;
2. Частотную передаточную функцию  ;
3. Годограф;
4. Импульсную характеристику  ;
5. Переходную характеристику  ;
6. ЛАЧХ  ;
7. ФЧХ  .
Составить структурную схему системы.
Дано:
 ;
 ;
 .
Решение:
1. Передаточная функция
Рассматриваем линейную систему с постоянными параметрами:
 ,
 .
Преобразуем по Лапласу матричные уравнения:
 ; (1)
 , (2)
где
 ;  ; 
– лапласовы преобразования координат состояния  , выходных  и входных  сигналов.
Преобразуем уравнение (1):
Выносим за скобки:
где
 – единичная матрица.
Умножаем слева на обратную матрицу:
Откуда получаем:
 .
Подставляем в уравнение (2):
Получаем:
Выражение называют передаточной функцией
системы.
Находим её:
Находим обратную матрицу:
Подставляем:
 .
2. Частотная передаточная функция
Для получения частотной передаточной функции производим замену в передаточной функции :
 ,
получаем:
 .
Выделим действительную и мнимую части:
 ,
для этого умножим числитель и знаменатель на комплексно – сопряжённый знаменатель:
 ;
 ;
 ;
 .
3. Годограф
Годограф – это график частотной передаточной функции  на комплексной плоскости при изменении частоты  от нуля до бесконечности.
Изменяя частоту, производим расчёт действительной  и мнимой  частей частотной передаточной функции.
Результат расчёта записываем в таблицу 1.
Таблица 1. Расчёт годографа
|
 |
 |
|
|
|
|
|
|
| 0 |
2,8750000 |
0,0000000 |
10 |
-0,0512719 |
0,4570747 |
200 |
-0,00018 |
0,020008 |
| 1 |
2,7230769 |
0,9846154 |
20 |
-0,0163435 |
0,2074170 |
300 |
-0,000078 |
0,013336 |
| 2 |
1,9500000 |
1,9000000 |
30 |
-0,0075500 |
0,1355448 |
400 |
-0,000044 |
0,010001 |
| 3 |
0,8344828 |
1,9862069 |
40 |
-0,0043030 |
0,1009350 |
500 |
-0,000028 |
0,008001 |
| 4 |
0,2250000 |
1,5500000 |
50 |
-0,0027705 |
0,0804792 |
600 |
-0,000019 |
0,006667 |
| 5 |
0,0130624 |
1,1611030 |
60 |
-0,0019302 |
0,0669441 |
700 |
-0,000014 |
0,005715 |
| 6 |
-0,0500000 |
0,9000000 |
70 |
-0,0014209 |
0,0573176 |
800 |
-0,000019 |
0,005000 |
| 7 |
-0,0645030 |
0,7269777 |
80 |
-0,0010893 |
0,0501171 |
900 |
-0,000009 |
0,004445 |
| 8 |
-0,0634615 |
0,6076923 |
90 |
-0,0008614 |
0,0445267 |
1000 |
-0,000007 |
0,004000 |
| 9 |
-0,0578113 |
0,5216604 |
100 |
-0,0006982 |
0,0400600 |
2000 |
-0,000002 |
0,002000 |
Можно построить график на комплексной плоскости – рис. 1.
Рис. 1. Годограф
4. Импульсная характеристика
Импульсная характеристика вычисляется как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции:
 .
Найдём полюса передаточной функции:
Видим – полюса расположены в правой полуплоскости, а это значит, что процесс будет расходящимся.
Разложим передаточную функцию на простые дроби:
 .
Используя табличные значения, находим:
 ,
 .
Таким образом, получаем:
 .
Изменяя время от нуля до 5 секунд, производим расчёт по формуле, результаты заносим в таблицу 2.
Таблица 2. Импульсная характеристика
 |
0 |
0,5 |
1 |
1,5 |
2 |
2,5 |
3 |
3,5 |
4 |
4,5 |
5 |
 |
-4 |
11,28 |
62,69 |
100,8 |
-167,1 |
-1236 |
-2395 |
2097 |
23854 |
54578 |
-15944 |
Строим график импульсной характеристики – рис. 2.
Рис. 2. Импульсная характеристика
5. Переходная характеристика
Переходная характеристика вычисляется как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции, делённой на р:
 .
Найдём полюса передаточной функции:
;  .
Видим – полюса расположены в правой полуплоскости, а это значит, что процесс будет расходящимся.
Разложим передаточную функцию, делённую на р, на простые дроби:
 .
Приводим к общему знаменателю:
 .
Приравниваем коэффициенты при равных степенях р:
 ,
 ,
 .
Откуда находим:
 ,
 ,
 .
Используя табличные значения, находим:
 ,
 ,
 .
Таким образом, получаем:
 .
Изменяя время от нуля до 5 секунд, производим расчёт по формуле, результаты заносим в таблицу 3.
Таблица 3. Переходная характеристика
|
0 |
0,5 |
1 |
1,5 |
2 |
2,5 |
3 |
3,5 |
4 |
4,5 |
5 |
 |
0 |
0,654 |
17,59 |
62,52 |
69,32 |
-243 |
-1209 |
-1744 |
3830 |
24151 |
42653 |
Строим график переходной характеристики – рис. 3.
Рис. 3. Переходная характеристика 6. ЛАЧХ
Для получения ЛАЧХ найдём модуль частотной передаточной функции:
 .
далее находим 20 десятичных логарифмов от найденного модуля:
 .
Это и есть выражение для ЛАЧХ.
Расчёт значений ЛАЧХ ведём в логарифмическом масштабе. Результаты записываем в таблицу 4. Размерность ЛАЧХ – децибелы (дБ).
Таблица 4. ЛАЧХ
 |
 |
 |
|
|
|
|
 |
|
| -1 |
0,1 |
9,17406 |
0,1 |
1,25893 |
9,20891 |
1,2 |
15,8489 |
-11,426 |
| -0,9 |
0,12589 |
9,17482 |
0,2 |
1,58489 |
9,08243 |
1,3 |
19,9526 |
-13,614 |
| -0,8 |
0,15849 |
9,17601 |
0,3 |
1,99526 |
8,70564 |
1,4 |
25,1189 |
-15,738 |
| -0,7 |
0,19953 |
9,17788 |
0,4 |
2,51189 |
7,83066 |
1,5 |
31,6228 |
-17,818 |
| -0,6 |
0,25119 |
9,18077 |
0,5 |
3,16228 |
6,23375 |
1,6 |
39,8107 |
-19,869 |
| -0,5 |
0,31623 |
9,18519 |
0,6 |
3,98107 |
3,94960 |
1,7 |
50,1187 |
-21,902 |
| -0,4 |
0,39811 |
9,19182 |
0,7 |
5,01187 |
1,26946 |
1,8 |
63,0957 |
-23,923 |
| -0,3 |
0,50119 |
9,20135 |
0,8 |
6,30957 |
-1,5050 |
1,9 |
79,4328 |
-25,936 |
| -0,2 |
0,63096 |
9,21400 |
0,9 |
7,94328 |
-4,1982 |
2 |
100 |
-27,944 |
| -0,1 |
0,79433 |
9,22792 |
1 |
10 |
-6,7459 |
2,1 |
125,893 |
-29,950 |
| 0 |
1 |
9,23483 |
1,1 |
12,5893 |
-9,1470 |
2,2 |
158,489 |
-31,953 |
Строим график ЛАЧХ – рис. 4.
Рис. 4. ЛАЧХ
7. ФЧХ
ФЧХ – угол поворота вектора  на комплексной плоскости в зависимости от частоты:
 .
Расчёт значений ФЧХ ведём в логарифмическом масштабе. Результаты записываем в таблицу 5. Размерность ФЧХ – радианы (рад).
Таблица 5. ФЧХ
|
|
 |
|
|
|
|
|
|
| -1 |
0,1 |
0,03263 |
0,1 |
1,25893 |
0,44997 |
1,2 |
15,8489 |
1,66382 |
| -0,9 |
0,12589 |
0,04110 |
0,2 |
1,58489 |
0,58831 |
1,3 |
19,9526 |
1,64958 |
| -0,8 |
0,15849 |
0,05177 |
0,3 |
1,99526 |
0,77030 |
1,4 |
25,1189 |
1,63592 |
| -0,7 |
0,19953 |
0,06524 |
0,4 |
2,51189 |
0,99225 |
1,5 |
31,6228 |
1,62384 |
| -0,6 |
0,25119 |
0,08227 |
0,5 |
3,16228 |
1,22480 |
1,6 |
39,8107 |
1,61359 |
| -0,5 |
0,31623 |
0,10383 |
0,6 |
3,98107 |
1,42316 |
1,7 |
50,1187 |
1,60513 |
| -0,4 |
0,39811 |
0,13123 |
0,7 |
5,01187 |
1,56064 |
1,8 |
63,0957 |
1,59824 |
| -0,3 |
0,50119 |
0,16622 |
0,8 |
6,30957 |
1,63913 |
1,9 |
79,4328 |
1,59268 |
| -0,2 |
0,63096 |
0,21126 |
0,9 |
7,94328 |
1,67427 |
2 |
100 |
1,58822 |
| -0,1 |
0,79433 |
0,26981 |
1 |
10 |
1,68250 |
2,1 |
125,893 |
1,58466 |
| 0 |
1 |
0,34696 |
1,1 |
12,5893 |
1,67633 |
2,2 |
158,489 |
1,58182 |
Строим график ФЧХ – рис. 5.
Рис. 5. ФЧХ
8. Структурная схема системы
Записываем матричные уравнения системы:
 ;
 .
Подставляем исходные данные:
 ;
 .
Производим умножение матриц:
 ,
 ,
 .
Получили систему уравнений, на основе которой строим структурную схему – рис. 6.
Рис. 6. Структурная схема системы
Часть 2:
Осуществить синтез замкнутой системы с собственными числами
{–1; –4; ± 5 j }.
Построить наблюдатель полного порядка.
Дано:
 ,
 ,
 .
Решение:
1. Синтез замкнутой системы
Рассматриваем линейную систему с постоянными параметрами:
 ,
 .
Пусть управление линейно зависит от координат состояния системы:
 ,
где
 – входной командный сигнал,
К – матрица коэффициентов обратной связи.
После замыкания эта система имеет структуру, изображённую на рис. 7.
Рис. 7. Структура исходной системы
Движение системы описывается линейным дифференциальным уравнением:
 .
Таким образом, динамические свойства системы полностью определяются матрицей А – ВК, её характеристическими числами.
Характеристический многочлен исходной системы равен:
 .
Спектр характеристических чисел (корни характеристического многочлена):
 .
Желаемый характеристический многочлен замкнутой системы  по условию имеет 4 собственных числа, но наша исходная система имеет третий порядок, поэтому одно из собственных чисел необходимо убрать, убираем собственное число (–1), тогда:
 .
Пусть матрица коэффициентов обратной связи  , тогда характеристический полином замкнутой системы:
 .
Приравниваем коэффициенты при равных степенях многочленов и  :
 ,
 ,
 ,
 .
Решая полученную систему уравнений, получаем:
 ,
 ,
 .
Искомое управление принимает вид:
 .
Структура синтезированной системы представлена на рис. 8.
Она построена по уравнениям:
 ,
 ,
 ,
 ,
 .
Рис. 8. Структура синтезированной системы
2. Построение наблюдателя полного порядка
Система
называется асимптотическим наблюдателем полного порядка, если для любого начального состояния х(0) и всех  оценка  с ростом времени асимптотически приближается к вектору состояния  .
Найдём структуру асимптотического наблюдателя, для чего определим ошибку восстановления  и найдём модель её изменения:
 .
Затем потребуем, чтобы  при всех и  .
Это равенство возможно при:
 ,
 .
Таким образом, структура асимптотического наблюдателя полного порядка определяется моделью вида:
 .
На рис. 9 изображена структура системы и её наблюдателя.
Рис. 9. Структура системы с наблюдателем
Задача синтеза наблюдателя системы состоит в том, чтобы найти матрицу  . Это можно сделать, исходя из условия асимптотической сходимости оценки  к вектору состояния  при любых начальных состояниях наблюдателя и системы.
Пусть ошибка восстановления  , тогда
 .
Ошибка восстановления описывается линейным однородным дифференциальным уравнением с матрицей  и ненулевыми начальными условиями, а поэтому асимптотическая сходимость ошибки к нулю возможна тогда и только тогда, когда собственные числа матрицы , которые называют полюсами наблюдателя, располагаются в левой полуплоскости.
Пусть матрица
 ,
тогда матрица
 .
Полюса наблюдателя определяются уравнением:
  .
Переходные процессы в наблюдателе будут несравнимы с процессами в системе, если полюса наблюдателя будут значительно левее полюсов системы. Поскольку характеристические числа замкнутой системы равны:
{– 4; ± 5 j },
то расположим полюса наблюдателя в точках:
 .
Желаемый характеристический полином наблюдателя принимает вид:
 ,
что будет иметь место тогда, когда:
 ,
 ,
 .
Решая полученную систему уравнений, получаем:
 ;
 ;
 .
Находим матрицу:
Модель асимптотического наблюдателя системы принимает вид:
 ,
 ,
 ,
 .
Структура системы со своим асимптотическим наблюдателем полного порядка представлена на рис. 10.
Она построена по уравнениям:
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
,
 .
|